2012届数学北师大版课件：411定积分的背景——面积和路程问题（选修2-2）[来源：学优719872].ppt

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1、4定积分定积分的背景面积和路程问题这些图形的面积该怎样计算？说教学设想 曲边梯形的概念：如图所示，我曲边梯形的概念：如图所示，我们把由直线们把由直线x=a,x=b(ab),y=0 x=a,x=b(ab),y=0和曲线和曲线y=f(x)y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形所围成的图形称为曲边梯形 abf(a)f(b)y=f(x)xyO如何求曲边梯形的面积？例题（阿基米德问题）：求由抛物例题（阿基米德问题）：求由抛物线线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所围成的平面图形所围成的平面图形的面积的面积 Archimedes，约公元前287年约公元前212年问题问题1 1：我们

2、是怎样计：我们是怎样计算圆的面积的？圆周率算圆的面积的？圆周率是如何确定的？是如何确定的？问题问题2 2：“割圆术割圆术”是是怎样操作的？对我们有怎样操作的？对我们有何启示？何启示？说教学设想 建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主建构主义要求在课堂上体现思想方法的自主建构过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论、建构过程，让学生去尝试，经历挫折，讨论、调整、选择更合理的解题思路调整、选择更合理的解题思路合作探究：线段线段OBOB近似曲边近似曲边OBOB；分割，矩形近似；分割，矩形近似；分割越多，小矩形的分割越多，小矩形的面积之和越接近曲边梯面积之和越接近曲边梯形的面积；形的面积；说教学设想解题思想

3、图象放大图象放大“细分割、近似和、渐逼近”说教学设想例题：求由抛物线例题：求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所所围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积 解：1 1分割：将区间分割：将区间0,10,1分成分成n n等份：等份：2 2近似代替：用小矩形近似代替：用小矩形代替小曲边梯形代替小曲边梯形 记记n n个小曲边梯形的个小曲边梯形的面积分别为：面积分别为：S1,S2,Sn则则S=S1+S2+Sn4 4取极限取极限：3 3求和求和：说教学设想例题：求由抛物线例题：求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所所围成的平面图形的面积围

4、成的平面图形的面积 练习练习：试以区间右端点的函数值作高，近：试以区间右端点的函数值作高，近似、求和、取极限，计算此时曲边梯形的似、求和、取极限，计算此时曲边梯形的面积面积 解：如果取如果取(i-1)/n,i/n(i-1)/n,i/n内任意点内任意点i i的函数值的函数值f(f(i i)作为小矩形的高，作为小矩形的高，以此近似，情况又怎样呢？以此近似，情况又怎样呢？说教学设想求曲边梯形面积的求曲边梯形面积的“四步曲四步曲”：1 1分割分割化整为零化整为零2 2近似代替近似代替以直代曲以直代曲3 3求和求和积零为整积零为整4 4取极限取极限刨光磨平刨光磨平说教学设想 作业：求直线作业：求直线x=

5、0,x=2,y=0 x=0,x=2,y=0与曲线与曲线y=xy=x2 2所围成所围成的曲边梯形的面积的曲边梯形的面积 课后探究：以区间内任意点课后探究：以区间内任意点i i的函数值的函数值f(f(i i)作高，求此时曲边梯形的面积作高，求此时曲边梯形的面积 研究性课题：利用所学知识，编写计算曲边研究性课题：利用所学知识，编写计算曲边梯形面积的梯形面积的QBASICQBASIC程序程序 “一沙一世界，一花一天国掌上有无穷，瞬一沙一世界，一花一天国掌上有无穷，瞬时即永恒时即永恒”勃莱克（英国）勃莱克（英国）在准备本节课时，我首先注意到了以下几个方在准备本节课时，我首先注意到了以下几个方面：一是如何

6、激发学生的学习兴趣，使学生面：一是如何激发学生的学习兴趣，使学生“想想学、乐学、自主的去学学、乐学、自主的去学”；二是从学生的角度来；二是从学生的角度来呈现数学思想的建构过程，与同学们共享成长呈现数学思想的建构过程，与同学们共享成长 ；三是尽量采用符合同学们思维习惯的、易于接受三是尽量采用符合同学们思维习惯的、易于接受的讲授方式；再就是，我非常关心学生在学习本的讲授方式；再就是，我非常关心学生在学习本课之后，将得到怎样的发展？为此，我从数学情课之后，将得到怎样的发展？为此，我从数学情感上进行了渗透，描绘了定积分的美！感上进行了渗透，描绘了定积分的美！在课堂上，我将始终重视在课堂上，我将始终重视

7、“以直代曲以直代曲”“逼近逼近”思想的渗透，强调思想的渗透，强调“分割、近似、求和、取极分割、近似、求和、取极限限”的步骤，让同学们认真演练的步骤，让同学们认真演练“四步曲四步曲”，最，最后通过课后探究，探讨后通过课后探究，探讨i i的任意性对面积逼近过的任意性对面积逼近过程的影响，实现思想的升华这种迂回包抄、螺程的影响，实现思想的升华这种迂回包抄、螺旋上升的处理方式，正是建构主义的处理方式旋上升的处理方式，正是建构主义的处理方式 我想通过这样的教学过程，让同学们在兴趣的我想通过这样的教学过程，让同学们在兴趣的带动下带动下“想学想学”，在老师的帮助下，在老师的帮助下“能学能学”，在，在数学思想

8、的渗透和感化下数学思想的渗透和感化下“坚持学坚持学”，真正喜欢，真正喜欢上数学，欣赏到数学的美上数学，欣赏到数学的美曲边梯形的面积曲边梯形的面积曲边梯形曲边梯形的概念的概念课堂作图课堂作图（学生板演）例题例题求曲边梯形面积“四步曲”分析过程分析过程（放大分割图）探究问题探究问题（作业）说真情实感说教学设想例题：求由抛物线例题：求由抛物线y=xy=x2 2与直线与直线x=1,y=0 x=1,y=0所所围成的平面图形的面积围成的平面图形的面积 突破障碍：求和符号突破障碍：求和符号：返回求和教材前后联系、地位和作用教材前后联系、地位和作用 微微积积分分是是数数学学发发展展史史上上继继欧欧氏氏几几何何

9、后后的的又又一一个个具具有有划划时时代代意意义义的的伟伟大大创创造造，被被誉誉为为数数学学史史上上的里程碑、的里程碑、“人类精神的最高胜利人类精神的最高胜利”在在前前面面的的课课程程中中，我我们们通通过过学学习习导导数数，并并利利用用导导数数研研究究函函数数的的单单调调性性、变变化化快快慢慢、极极值值及及生生活活中的优化问题等，渗透了微分思想中的优化问题等，渗透了微分思想教材前后联系、地位和作用 微微分分研研究究的的是是局局部部的的、动动态态的的和和瞬瞬时时的的事事物物，是是发发生生在在“0 0”时时刻刻的的事事件件；而而数数学学家家则则希希望望借借此此来来“以以暂暂定定久久”、“以以常常制制

10、变变”、“以以局局部部驭驭整整体体”，这就需要用到定积分了！，这就需要用到定积分了！本节课是定积分的第一节课课程标准要求本节课是定积分的第一节课课程标准要求我们通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功我们通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借等），从问题情境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定助几何直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念积分的概念 教学目标、知识与技能目标：1 1通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，了解积分的实际背景，了解“以直代曲以直代曲”“逼近

11、逼近”的的思想方法，建构定积分的认知基础；思想方法，建构定积分的认知基础；2 2通过这部分内容的教学，逐步培养学生分通过这部分内容的教学，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力和辨证思维能力，能求析问题、解决问题的能力和辨证思维能力，能求简单的曲边梯形的面积简单的曲边梯形的面积教学目标、过程与方法目标：1 1通过类比通过类比“割圆术割圆术”，引导学生萌发，引导学生萌发“分分割割”、“近似近似”、“以直代曲以直代曲”的想法，变曲为的想法，变曲为直；直；2 2通过对比分割后图象面积差的变化特点，通过对比分割后图象面积差的变化特点，突出突出“细分割、近似和、渐逼近细分割、近似和、渐逼近”的数学过程；的

12、数学过程；3 3通过数学软件的演示，观察数据特征，让通过数学软件的演示，观察数据特征，让学生经历学生经历“刨光磨平刨光磨平”的逼近过程，从直观上理的逼近过程，从直观上理解极限思想，接受极限值即准确值的数学事实解极限思想，接受极限值即准确值的数学事实教学目标、情态与价值目标：1 1从生产生活实践中创设情境引出课题，培从生产生活实践中创设情境引出课题，培养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神，养学生的创新意识和科技服务于生活的人文精神，鼓励同学们勤于思考、刻苦学习；鼓励同学们勤于思考、刻苦学习；2 2帮助学生建立帮助学生建立“分割、近似、求和、取极分割、近似、求和、取极限限”的定积分思想，渗透

13、的定积分思想，渗透“化整为零零积整化整为零零积整”的的辨证唯物观辨证唯物观教学重点、难点 了解定积分的基本思想方法（以直代曲、了解定积分的基本思想方法（以直代曲、逼近的思想），初步掌握求曲边梯形面积的逼近的思想），初步掌握求曲边梯形面积的“四步曲四步曲”“分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”1 1掌握掌握“以直代曲以直代曲”“逼近逼近”思想的形思想的形成过程，尤其是成过程，尤其是“刨光磨平刨光磨平”的极限过程；的极限过程；22求和符号求和符号、教学重点：、教学难点：鉴于定积分思想的高度抽象性，并针对本节课鉴于定积分思想的高度抽象性，并针对本节课的特点，我采用以教师引导为主，学生自

14、主探索、的特点，我采用以教师引导为主，学生自主探索、积极思考为辅的探究式教学方法；在教学手段上采积极思考为辅的探究式教学方法；在教学手段上采用黑板和多媒体相结合的灵活的教学手段，利用几用黑板和多媒体相结合的灵活的教学手段，利用几何画板等数学工具直观的展现面积的逼近过程，激何画板等数学工具直观的展现面积的逼近过程，激发学生的学习兴趣，并加深其对发学生的学习兴趣，并加深其对“分割、近似、求分割、近似、求和、取极限和、取极限”的理解；在教学思想上则以建构主义的理解；在教学思想上则以建构主义的的“创设问题情境创设问题情境提出数学问题提出数学问题尝试解决尝试解决问题问题验证解题方法验证解题方法”为主，强调思想方法的建为主，强调思想方法的建构过程，把主动权交给学生，与同学们共享成长构过程，把主动权交给学生，与同学们共享成长 教学基本流程创设情境、引出课题创设情境、引出课题 联系史实、提出问题联系史实、提出问题 例题分析、思想奠基例题分析、思想奠基 师生合作、共同探究师生合作、共同探究 练习巩固、思想提升练习巩固、思想提升 步骤板演、解决问题步骤板演、解决问题 课堂小结、布置作业课堂小结、布置作业