2023年不等式易错点.docx

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1、2023年不等式易错点 不等式易错点 【易错点29】含参分式不等式的解法。易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。 例29解关于x的不等式a(x-1)1(a1)【易错点】不等式化为关于x的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论 x-2解：原不等式可化为：(a-1)x+(2-a)0，即(a1)x+(2a)(x2)0.x- 2当a1时，原不等式与(xa-2)(x2)0同解.若a-22，即0a1时，原不等式无解；若a-22，即a0或a1，于是 a-1a-1a- 1a1时原不等式的解为(，a-2)(2，+). a-1 当a1时，若a0，解集为(a-2，2)；若0a1，解集为(

2、2，a-2) a-1a-1 综上所述：a1时解集为(，a-2)(2，+)；0a1时，解集为(2，a-2)；a=0时，；a0时，解集为(a-2，2). a-1a-1a-1 【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法.(3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等

3、式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. 【易错点30】求函数的定义域与求函数值域错位 例30、已知函数f(x)=lgm2-3m+2x2+2(m-1)x+5（1）如果函数f(x)的定义域为R求实数m的取值范围。（2）如果函() 数f(x)的值域为R求实数m的取值范围。 【易错点分析】易忽视对m2-3m+2是否为零的讨论，思维不全面.漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。 解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值m2-3m+2x2+2(m-1)x+50恒成立，令() 2g(x)=(m2-3m+2)x

4、2+2(m-1)x+5，当m-3m+2=0时，即m=1或2。经验证当m=1时适合，当m2-3m+20时，据二次函数知 m9。 4识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需m2-3m+20解之得m9综上所知m的取值范围为m1或D0解之得2 0 解之得 2 31、已知 a0，b0，且 a+b=1.求证：(a+ 不能同时取得等号，本题可有如下证明方法。 证法一：(分析综合法）欲证原式，即证 4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即证 4(ab)233(ab)+80，即证 ab 1 或 ab8.a0，b 40，a+b=1，ab8 不可能成立1=a+b21 1 1 )(b+ 1 ) 25 .【易错点

5、分析】此题若直接应用重要不等式证明，显然 a+ 和 b+ b a a b 4ab ，ab 1 ，从而得证.41 1 证法二：(均值代换法)设 a= +t1，b= +t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1| 1 ，|t2| 1 2 2 2 21 1 1 1 2 2 ( + t1 ) 2 + 1 ( + t 2 ) 2 + 1 ( + t1 + t1 + 1)( + t 2 + t 2 + 1) a +1 b +1 1 1 4 (a + )(b + ) = = 2 2 = 4 1 1 1 1 a b a b + t1 + t2 ( + t1 )( + t 2 ) 2 2 2 2 25

6、 3 2 25 1 1 5 4 2 2 2 2 + t2 + t 2 ( + t1 + t1 + 1)( + t 2 + t 2 + 1) ( + t 2 ) 2 t 2 25 4 = 4 = 4 = 16 2 16 = .1 1 1 1 2 2 2 4 t2 t2 t2 4 4 4 42 2显然当且仅当 t=0，即 a=b=1 时，等号成立.2证法三：(比较法）a+b=1，a0，b0，a+b2 ab ，ab 1 41 1 25 a 2 + 1 b 2 + 1 25 4a 2 b 2 + 33ab + 8 (1 4ab)(8 ab) ( a + )(b + ) = = = 0 a b 4 a

7、b 4 4ab 4ab 1 1 25 (a + )(b + ) a b 4证法四：(综合法)a+b=1， a0，b0，a+b2 ab ，ab25 2 (1 ab) + 1 16 (1 ab) 2 + 1 25 1 3 9 2 1 ab 1 = (1 ab) 1 4 4 16 ab 4 4 ab 1 .41 1 25 即( a + )(b + ) a b 4证法五：(三角代换法) a0，b0，a+b=1，故令 a=sin2，b=cos2，(0， )21 1 1 1 sin 4 + cos 4 2 sin 2 cos 2 + 2 (a + )(b + ) = (sin 2 + )(cos 2 +

8、)= a b sin 2 cos 2 4 sin 2 2 4 2 sin 2 2 + 16 25 ( 4 sin 2 ) 2 + 16 = Q sin 2 2 1, 4 sin 2 2 4 1 = 3.1 1 4 sin 2 2 2 sin 2 4 2 2 (4 sin 2 ) 25 1 1 25 即得(a + )(b + ) .4 a b 4 4 sin 2 2【知识点归类点拔】1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方 不等式易错点 不等式知识点不等式基础知识 不等式知识点 不等式证明,均值不等式 经典不等式证明柯西不等式排序不等式切比雪夫不等式均值不等式 不等式 不等式与不等式组教案 用均值不等式证明不等式 不等式知识点总结 不等式与不等式组复习教案