2023年三角形证明（精选多篇）.docx

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1、2023年三角形证明（精选多篇） 推荐第1篇：几何证明三角形 1.在ABC、AED中，AB=AC,AD=AE,且CAB=DAE,若将AED绕点A沿逆时针方向旋转，使D、E、B在一条直线上，CE=BD成立吗？若成立，请说明理由 1.已知点E、F在正方形ABCD的边BC、CD上，若E、F分别是BC、CD的中点，G在AE、BF的交点上 GD=AD2.已知BD、CE是ABC的两条高，M、N分别是BC、DE的中点，EM=DM(2)MNDE 求证：求证：（1） 3.正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点。EAF=45（1）若。求证：EF=BE+DF(2)若AEF绕A点旋转， EAF=45保持，问C

2、EF的周长是否随AEF的位置的变化而变化？ 4.已知正方形ABCD的边长为1，BC、CD上各有一点E、F，如果CEF的周长为2，求EAF的度数 5.已知正方形ABCD，F为BC中点E为CD边上一点，且满足BAF=FAE求证：AF=BC+CE 6.已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点（不与A、C重合）BC,PFCD于点F，PE（1）若四边形PECF绕点C旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请证明之；若不是，请举出反例（2）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在旋转的过程中长度始终相等，并证明之 求任意三角形面积公式的方法？ 7.某人在上

3、午6点至7点之间去长跑，开始时看表，分针与时针成110度，跑完后再看，有、又成110度，问此人跑了多久？（表没停） 8.已知三角形ABC是等腰三角形,角C=90度, 推荐第2篇：三角形的证明 全等三角形的证法 1：（SSS或“边边边”） 证明三条边相等的两个三角形全等 在两个三角形中，若三条边相等，则这两个三角形全等。 几何语言：在三角形中因为ab=AB, ac=AC, bc=BC所以三角形abc全等于三角形ABC 2.(SAS或“边角边”)证明有两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等 在两个三角形中，若有两条边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。 几何语言：在三角形中因为ab=AB，bc=

4、BC, b=B，则三角形abc全等于三角形ABC 3.(ASA或“角边角”)证明有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 在两个三角形中，若有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等. 几何语言：在三角形中a=A,b=B,ab=AB, 则三角形abc全等于三角形ABC 4.(AAS或“角角边”)证明有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 在两个三角形中 ，若两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等 几何语言：在三角形中a=A,b=Bac=AC则三角形abc全等于三角形ABC 5.(HL或“斜边，直角边”)证明斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等 在两个直角三角形中，若斜边及一直角边对应相等

5、的两个直角三角形全等 几何语言：在三角形中因为ab=AB 直角c=直角C 则三角形abc全等于三角形ABC 所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形. 提醒：在证明的 图中 可能出现，两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角相等 两直线平行，对顶角相等 通常在混合题，混合图，等等 推荐第3篇：全等三角形证明 全等三角形的证明 1.翻折 如图（1），DBOCDEOD，DBOC可以看成是由DEOD沿直线AO翻折180得到的； 旋转 如图（2），DCODDBOA，DCOD可以看成是由DBOA

6、绕着点O旋转180得到的； 平移 如图（3），DDEFDACB，DDEF可以看成是由DACB沿CB方向平行移动而得到 的。 2.判定三角形全等的方法： （1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边（直角三角形中）公理 （2） 推论：角角边定理 3.注意问题： （1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等； （2）不能证明两个三角形全等的是，a: 三个角对应相等，即AAA；b :有两边和其中一角对应相等，即SSA。 一、全等三角形知识的应用 （1） 证明线段（或角）相等 例1：如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC （2）证明线段平行 例2：已知：如图，DEAC，BFAC

7、，垂足分别为E、F，DE=BF，AE=CF.求证：ABCD - 1 - （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 例3：如图，在 ABC中，AB=AC，延长AB到D，使BD=AB，取AB的中点E，连接CD和CE.求证：CD=2CE 例4 如图，ABC中，C2B，12。求证：ABACCD 例5：已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，CDAB,ADC、BDO为等腰Rt三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 例6.如图，已知C为线段AB上的一点，DACM和DCBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点。求证：DCEF是等

8、边三角形。 N M FE C A B - 2 - 推荐第4篇：全等三角形证明 全等三角形证明 1、已知CDAB，DFEB，DF=EB，问AF=CE吗？说明理由。 CA 2、已知E=F，1=2，AB=CD，问AE=DF吗？说明理由。 F 3、已知，点C是AB的中点，CDBE，且CD=BE，问D=E吗？说明理由。 4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，问ABCD吗？ A B C 推荐第5篇：三角形 1 已知ABC中,AD,BE,CF分别是A,B,C的平分线。求证：AD,BE,CF交于一点。 证明：设AD与BE交于点P，则要证CF过点P,也就是要证CP平分C，用向量知识分析，即要证存在，使得向

9、量CP=(向量CA/|CA|+向量CB/|CB|)。 为简便起见，设|AB|=c,|BC|=a,|CA|=b. AP平分A,BP平分B，存在1, 2,使得向量AP=1(向量AB/c+向量AC/b),向量BP=2(向量BA/c+向量BC/a)，向量AB+向量BP=向量AP，向量AB+2(向量BA/c+向量BC/a)=1(向量AB/c+向量AC/b)，即 (1-2/c)向量AB+2/a向量BC=(1/c+1/b)向量AB+1/b向量BC 由平面向量基本定理，有：1-2/c=1/c+1/b，2/a=1/b，消去2，求得1=bc/(a+b+c)， 于是向量AP=bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量

10、AC/b）， 向量CP=向量CA+向量AP=向量CA+bc/(a+b+c)(向量AB/c+向量AC/b）=向量CA+b/(a+b+c)向量AC+b/(a+b+c)向量CB+c/(a+b+c)向量AC=a/(a+b+c)向量CA+b/(a+b+c)向量CB=ab/(a+b+c)(向量CA/b+向量CB/a) 这就证到了存在ab/(a+b+c），使得向量CP=(向量CA/b+向量CB/a) 所以AD,BE,CF交于一点 2.用向量法证明三角形ABC的三条中线交于一点P，并且对任意一点O有向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）注意：要求用向量法，不使用坐标。 证明：先假设两条中线AD,BE

11、交与P点，连接CP,取AB中点F连接PF，PA+PC=2PE=BP，PB+PC=2PD=AP，PA+PB=2PF ，三式相加 ，得到 2PA+2PB+2PC=BP+AP+2PF ，3PA+3PB+2PC=2PF ，6PF+2PC=2PF， PC=-2PF ， 所以PC,PF共线，PF就是中线 ，所以ABC的三条中线交于一点P，连接OD,OE,OF， OA+OB=2OF，OC+OB=2OD，OC+OC=2OE，三式相加，OA+OB+OC=OD+OE+OF，OD=OP+PD，OE=OP+PE，OF=OP+PF， OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP+1/2AP+1/2BP+1/2CP

12、， 由第一问结论，2PA+2PB+2PC=BP+AP+CP，2PA+2PB+2PC=0，1/2AP+1/2BP+1/2CP， 所以OA+OB+OC=3OP+PD+PE+PF=3OP，向量OP=1/3（向量OA+向量OB+OC向量）， 3试用平面向量数量积的知识证明:ABC的三条高线交于一点 。 设三角形ABC中，AB、AC边上的高分别为交于H，求证：AHBC。 BHAC,CHAB-BH*AC=CH*AB ，AH=AC+CH=AB+BH-2AH=(AC+AB)+(CH+BH) ， 又 BC=AC-AB，2AH*BC=(AC+AB)+(CH+BH)(AC-AB) =(AC2-AB2)+(AC*CH

13、-AB*BH) =AC(AC+CH)-AB(AB+BH)=AH(AC-AB) =AH*BC -AH*BC=0-AHBC 推荐第6篇：全等三角形的证明 3eud教育网http:/50多万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 全等三角形的证明 1、已知：（如图）ADBC，AD=CB，求证：ADCCBA。 B C 2、已知：如图ADBC，AD=CB，AE=CF。求证：AFDCEB。AC 3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，1=2。求证：ABDACE。 A C ED 4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE， ABED，ACFD。求证：AB=DE，AC=DF。 E B F C

14、 5、已知，D是ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FCAB。求证：AE=CE。 E D B C 6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：B=D。 B 3eud教育网 http:/教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！ A 全等三角形的证明 2、已知：（如图）ADBC，AD=CB，求证：ADCCBA。 B C 2、已知：如图ADBC，AD=CB，AE=CF。求证：AFDCEB。AC 3、已知，如图，AB=AC，AD=AE，1=2。求证：ABDACE。 C 1 B ED 4、已知，如图，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE， ABED，ACFD。求证：AB=D

15、E，AC=DF。 E B F C 5、已知，D是ABC的边AB上的一点，DE交AC于点E，DE=FE，FCAB。求证：AE=CE。 E D B C 6、已知，如图，AB=AD，DC=CB，求证：B=D。 B A 推荐第7篇：证明三角形全等(四) 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 一、倍长中线（线段）造全等 例 2、如图，ABC中，E、F分别在AB、AC上，DEDF，D是中点， 试比较BE+CF与EF的大小.例 3、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE. A 二、截长补短 1、如图，DABC中，AB=2AC，AD平分BAC， 且AD=BD，求证：CDAC E

16、F B D C 2、如图，ACBD，EA,EB分别平分CAB,DBA，CD求证;ABAC+BD A 3、如图，已知在VABC内，BAC=60，C=400，P，Q分别 在BC，CA上，并且AP，BQ分别是BAC，ABC的角平分线。 C A BDEC B 应用： 1、（09崇文二模）以DABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtDABD和等腰RtDACE，BAD=CAE=90,连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及 求证：BQ+AQ=AB+BP 数量关系 （1）如图 当DABC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是； （2）将图中的等腰Rt

17、DABD绕点A沿逆时针方向旋转q(0 C 4、如图，在四边形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分ABC， 求证： A+C=180 C 5、如图在ABC中，ABAC，12，P为AD上任意一点， 求证;AB-ACPB-PC A 四、借助角平分线造全等 1、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平 应用： 分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD B B C 2、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F.A （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长. B G C F D 三、平移变换 例1 AD为ABC的角平分线，直线

18、MNAD于A.E为MN上一点， ABC周长记为PA，EBC周长记为PB.求证PBPA.应用： 1、如图，OP是MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图，在ABC中，ACB是直角，B=60，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 例2 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE， 求证：AB+

19、ACAD+AE.A 图 B M P N 图 D C D BDE C 图 C 五、旋转 例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数.例2 D为等腰RtDABC斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 (1)当MDN绕点D转动时，求证DE=DF。(2)若AB=2，求四边形DECF的面积。 3、在等边DABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且 当M、N分别在直线AB、 AC上移动时，BM、NC、MDN=60,BDC=120,BD=DC.探究： MN之间的数量关系及DAMN的周长Q与等边DABC的

20、周长L的关系 A D F B E C A 例3 如图，DABC是边长为3的等边三角形，DBDC是等腰三角形，且为顶点做一个600角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则DAMN的周长为； 2、（西城09年一模）已知以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长; (2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小. 图1图2图 3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是； 此时 QL =； （II）如图2，点M、N边AB、AC上，且当DMDN时，猜

21、想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x，则Q=（用 x、L表示） B C 推荐第8篇：初中数学三角形证明 1.如图ABC ，AFD 158，求EDF的度数。 2.如图，C 48，E25，BDF140，求A与EFD的度数。 3.如图，在ABC中，CABC2A，BD是AC边上的高，求DBC 4.如图，在ABC中，已知AD是 ABC角平分线，DE是ADC的高线，B60，C45， 求ADB和ADE的度数 5.如图ABC的周长为18 cm，BE、CF 分别为AC、AB边上的中线，BE、CF相交于点O，AO的延长线交B

22、C于D，且AF=3 cm,AE=2 cm，求BD的长.解题思路： （1）求角度问题要考虑：角平分线、三角形内角和定理、两内角之和等于第三角的外角 （2）先列等式，然后根据题目要求去掉无关信息，最后采用“消元法”的思路转换解决，求出未知 （3）对于某些题要结合外围图形和条件，比如四边形、三角形全等、直线关系（平行、相交）来解答。 00第八讲三角形证明 （一）6.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求ADEC DAB7.已知：BC=DE，B=E，C=D，F是CD中点， F 求证：1=2E A8.已知：AD平分BAC，AC=AB+BD，求证：B=2C AB A9.已知：AC平分BAD

23、，CEAB，B+D=180，求证：EAE=AD+BEBDC10如图所示，已知1=2，EFAD于P，交BC延长线于M，求证：2M=（ACB-B）解题思路：(1)三角形的证明一般思路是证全等和相似（八年级）（2）分析题目先看求什么？然后考虑求未知必须先求什么？需证明那些量相等，或哪个三角形相等然后找出已知条件所能得出的结论，然后看它们能不能证出所要的关系（3）如果不能证出数量关系要考虑添加辅助线来“凑出”条件，然后在证明 11.如图，A,F,E,B四点共线，ACCE，BDDF，AE=BF，A 17.如图，ABC中，AD是CAB的平分线，且AB=AC+CD，求AC=BD。求证：DACFDBDE。较难

24、 12.如图，在DABC中，BE是ABC的平分线，ADBE，垂足为D。求证：2=1+C 13.已知如图，BAC=90，AB=AC，BDDE，CEDE，求证：DE=BD+CE.14.在ABC中，ACB=90，AC=BC，直线MN经过点C， 且ADMN于D，BEMN于E求证：DADCDCEB 15.如图,已知ACBD，EA、EB分别平分CAB和DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由 16.已知ABC=3C，1=2，BEAE，求证：AC-AB=2BE 证：C=2BCD BF 18.如图，ABC中，BAC=90度，AB=AC，BD是ABC的平 A E 分线，BD的延长线垂直于过C点的

25、直线于E，直线CE交 D BA的延长线于FBC 求证：BD=2CEQ A E 19.已知BE，CF是ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定 P AP与AQ的数量关系和位置关系B C 20.ABC中，A=90，AB=AC，D为BC中点，E、F分别在 AC、AB上，且DEDF，试判断DE、DF的数量关系，并说明 理由 (附加题)如图，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE AC于E，BFAC于F，若AB= CD，AF=CE，BD交AC于点 M （1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当E、F两点移动到如图的位置时，其余条件不变，上 述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由 推

26、荐第9篇：全等三角形证明专题 1、(10分)如图，ABC中，ACB=90，AC=BC,AE是BC边上的中线，过C作CFAE,F是 垂足，过B作BDBC交CF的延长线于点D.（1）求证：AE=CD； （2）AC=12cm,求BD的长. F 2、（10分）如图，AB=CD,AEBC于E,DFBC于F，CE=BF,连接AD交EF于点O，猜想O为 那些线段的中点？请选择其中一种结论证明.EO 3、（12分）如图，在梯形ABCD中，AB/CD, A=90,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD的中点，求 证：CEBE.D C E BA 4、如图，点P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1

27、，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2=15，求PMN的周长。（7分） 5在ABC中,ACB90o,ACBC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于 E.（10分） （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: DEADBE （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系.6、如图，ABC中，D是BC的中点，过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，DEGF交AB于点E，连接EG。（10分） （1）求证：BG=CF； （2）请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明。 E A C B 7、（本题10

28、分）如图，ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，ABD的周长为13cm， 求ABC的周长为。 A B 8、（本题10分）如图:ABC和ADE是等边三角形.证明：BD=CE.A B D E C 9.（本题满分7分）如图16，BEAC于点E，CFAB于点F，CF、BE相交于点D，且BDCD. 求证：AD平分BAC.F A 图16 10.（本题满分7分）数学课上，张老师画出图17，并写下了四个等式： AB=DC，BE=CE， B =C， BAE =CDE 要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED是等腰三角形请你试着完成张老师提出的问题，并说明理由（写出一种即可） 已知： （填番号

29、） 求证：AED是等腰三角形 证明： A D 图17 11 （6分）如图：FG是OA上两点，MN是OB上两点，且FG=MN， PFG的面积PMN的面积 试问，点P是否在AOB 12.（本题满分7分） （1）如图18 ，点C在线段AB上，ACM，CBN都是等边三角形，求证：1=2； （2）CBN固定不动，将ACM绕点C按逆时针方向旋转（CBN和ACM不重叠）， 如图18 ，AN、BM交点E,其它条件不变，求BEN的大小.N N EM 2A C 图18 A 图18 B B 13（本题满分8分）如图19在ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上， 且BE=CD，BD=CF.（1）求

30、证：BEDCDF； （2）当A=50时，求EDF的度数； （3）试判断EDF可能是等腰直角三角形吗？(写出结果不证明) D 图19 14.如图，A、B两点是湖两岸上的两点，为测A、B两点距离，由于不能直接测量，请你设计一种方案，测出A、B两点的距离，并说明你的方案的可行性。 15八（1）班同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端A、B （）如图1，先在平地上取一个可直接到达A、B的点C，连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB的长； （）如图2，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点使BC=CD，接着过D作BD 的垂线DE，交A

31、C的延长线于E，则测出DE的长即为AB的距离.16（8分）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AFDC，ABDE，BCEF， 求证：ABCDEF A C E B F 推荐第10篇：全等三角形证明为何非直角三角形 全等三角形证明为何非直角三角形 不能用ASS（角边边）证明 证明全等中的ASS 1）直角三角形ASS是可以的（HL） 2）非直角三角形不行 A C 不行的原因要证明： B 已知： DABC和DABD A=A AB=AB AC=ADAC 为什么会出现这两个三角形不全等呢？ 说明： cosA=b+c-a 2bc222 而 COSC=-COSD 才造成了这两个三角形不全等 备注：对于证明

32、方法ASS，若这两个三角形都是锐角三角形或都是钝角三角形，则他们必然全等。也就是说同类三角形（同锐同直同钝），ASS也可判定三角形全等。 第11篇：解三角形 第七章解三角形 一、基础知识 在本章中约定用A，B，C分别表示ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，p= a+b+c 2为半周长。 a = bsinB =1 2csinC 1正弦定理： sinA =2R（R为ABC外接圆半径）。 12 bcsinA= 12 casinB.推论1：ABC的面积为SABC=absinC= 推论2：在ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在ABC中，A+B=q，解a满足 asina

33、 = bsin(q-a) ，则a=A. 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到，这里不再给出，下证推论。先证推论1，由正弦函数定义，BC边上的高为bsinC，所以SABC= 12 absinC；再证推论2，因为B+C=p-A， 所以sin(B+C)=sinA，即sinBcosC+cosBsinC=sinA，两边同乘以2R得bcosC+ccosB=a；再证推论 3，由正弦定理 asinA = bsinB ，所以 12 siansiAn = siqn-(a)siqn-(A) ，即 sinasin(q-A)=sin(q-a)sinA，等价于- -12 cos(q-A+a)-cos(q-A-a)= co

34、s(q-a+A)-cos(q-a-A)，等价于cos(q-A+a)=cos(q-a+A)，因为0 q-a+A 2余弦定理：a=b+c-2bccosAcosA= 222 b+c-a 2bc 222 ，下面用余弦定理证明几个常 用的结论。 （1）斯特瓦特定理：在ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则AD= 2 bp+cqp+q 22 -pq.（1） 【证明】因为c2=AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB， 所以c2=AD2+p2-2ADpcosADB. 222 同理b=AD+q-2ADqcosADC， 因为ADB+ADC=p， 所以cosADB+cosADC=0， 所以q

35、+p得 qc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD= 2 2 2 2 bp+cqp+q 22 -pq. 用心爱心专心 注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD= （2）海伦公式：因为SD=ABC & 2b+2c-a 1 4222 . 14 14 b2c2sin2A=b2c2 (1-cos2A)= b2c2 2222 (b+c-a)122 22 (b+c)-aa-(b-c)=p(p-a)(p-b)(p-c).1-=22 4bc16 这里p= a+b+c . 所以SABC=p(p-a)(p-b)(p-c). 二、方法与例题 1面积法。 例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的

36、三条射线满足w, v，这里，+(0, POQ=a,QOR=b，另外OP，OQ，OR的长分别为u, p)，则P，Q，R的共线的充要条件是 sinbsinasin(a+b) +=.u v w 2正弦定理的应用。 例2 ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。 求证：APBC=BPCA=CPAB。 例3 ABC的各边分别与两圆O1，O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。 3一个常用的代换：在ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y. 例4在ABC中，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2

37、(a+b-c) 3abc. 4三角换元。 例5设a, b, cR+，且abc+a+c=b，试求P= 例6在ABC中，若a+b+c=1，求证: a2+b2+c2+4abc 212a+ 1- 2b+1 + 3c+1 的最大值。 三、基础训练题 1在ABC中，边AB为最长边，且sinAsinB=_.2在ABC中，若AB=1，BC=2，则C的取值范围是_.3在ABC中，a=4, b+c=5, tanC+tanB+_. 4在ABC中，3sinA+4cosB=6, 3cosA+4sinB=1，则C=_.5在ABC中，“ab”是“sinAsinB”的_条件. 6在ABC中，sinA+cosA0, tanA-

38、sinA 3 52- 4，则cosAcosB的最大值为 3=3tanCtanB，则ABC的面积为 ，cosB= 51 3，则cosC=_. A2tan C2=13 8在ABC中，“三边a, b, c成等差数列”是“tan件. ”的_条 9在ABC中，若sinC=2cosAsinB，则三角形形状是_.10在ABC中，tanAtanB1，则ABC为_角三角形. 11三角形有一个角是600，夹这个角的两边之比是8：5，内切圆的面积是12p，求这个三角形的面积。 12已知锐角ABC的外心为D，过A，B，D三点作圆，分别与AC，BC相交于M，N两点。求证：MNC的外接圆半径等于ABD的外接圆半径。 13已知ABC中，sinC= 四、高考水平训练题 1在ABC中，若tanA= 1 2sinA+sinBcosA+cosB