2023年复变函数与积分变换试题_复变函数与积分变换期末试题(附有答案).docx

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1、2023年复变函数与积分变换试题_复变函数与积分变换期末试题(附有答案) 复变函数与积分变换期末试题 一填空题（每小题3分，共计15分） 1 1-i 的幅角是 ；2. 2 (5) Ln (-1+i ) 的主值是 1f (z ) =）f （ ；3. 1+z 2，(0) =（ 0 ），4z =0是 z -sin z 1 f (z ) =的（ 一级 ）极点；5 ，Re s f (z ), =（-1 ）； z 4z 二选择题（每题3分，共15分） 1解析函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）； （A ） f (z ) =u x +iu y ； （B ）f

2、(z ) =u x -iu y ； （C ） f (z ) =u x +iv y ； （D ）f (z ) =u y +iv x . C 2C 是正向圆周z =3，假如函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0 33(z -1) 3(z -1) ； （B ）； （C ）； 2z -2z -2(z -2) （A ） n c z 3假如级数n n =1 在z =2点收敛，则级数在 （A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =2i 点肯定收敛； 共6页第 页 （C ）z =1+i 点肯定收敛； （D ）z =1+2i 点肯定发散 下列结论正确的是( ) （A ）假如函数f (z )

3、 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点肯定解析； （C ）假如 C f (z ) dz =0，则函数f (z ) 在C 所围成的区域内肯定解析； （D ）函数 f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是 u (x , y ) 、v (x , y ) 在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） 1 为sin 的可去奇点；(A) (B) 为sin z 的本性奇点； z (C) 为 的孤立奇点sin z 1 三按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）设f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是

4、解析函数，求 2 2 2 2 a , b , c , d . 解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件 共6页第 页 u v u v =- x y y x 2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy , a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1, 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 e z d z 其中C 是正向圆周： （2）计算C 2 (z -1) z 解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗绽开计算，仅给出用前者计算过程 e z 因为函数f (z ) =在复平面内只有两个奇点z 1=

5、0, z 2=1，分别以z 1, z 22 (z -1) z 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1, c 2 且位于c 内 e z C (z -1) 2z d z =C 1 e z e z (z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z e z e z =2i () +2i z z =1(z -1) 2 =2i z =0 无论采纳那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。 z 15 （3）d z z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3 解：设f (z ) 在有限复平面内全部奇点均在：z 共6页第 页 z 15 z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3d z =-2i

6、 Re s f (z ), -（5分） 11 =2i Re s f () 2 -（8分） z z 11f () 2=z z 1() 15(1+ 12143) (2+() ) 2 z z 1 2z 111f () 2=有唯一的孤立奇点z =0, z z z (1+z 2) 2(2z 4+1) 3 11111Re s f () 2, 0=lim zf () 2=lim =1 2243 z z z z (1+z ) (2z +1) z 0z 0 z 15 d z =2i -（10分） z =3(1+z 2) 2(2+z 4) 3 z (z 2-1)(z +2) 32 (z -3) （4）函数f (z

7、 ) =在扩充复平面上有什么类型的奇 (sinz ) 3 点？，假如有极点，请指出它的级. 解 ： z (z 2-1)(z +2) 3(z -3) 2 f (z ) =的奇点为z =k , k =0, 1, 2, 3, ，3 (sinz ) sin z ）=0的三级零点，（1）z =k , k =0, 1, 2, 3, 为（ ，z =1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点，（2）z =0 （3）z 3 =3为f (z ) 的一级极点， 共6页第 页 （4）z =2, -3, 4 ，为f (z ) 的三级极点； （5）为f (z ) 的非孤立奇点。 备注：给出全部

8、奇点给5分 ，其他酌情给分。 1 在以下区域内绽开成罗朗级数； 2 z (z -1) 四、（本题14分）将函数f (z ) = （1）0 解：（1）当0 111 f (z ) =2=- z (z -1) (z -1) (z -1+1) 1 =(-1) n (z -1) n 而 (z -1+1) n =0 =(-1) n n (z -1) n -1 n =0 f (z ) =(-1) n +1n (z -1) n -2 -6分 n =0 （2）当0 111f (z ) =2=-2=-2 z (z -1) z (1-z ) z n z n =0 共6页第 页 =-z n -2 -10分 n =0

9、（3）当1 f (z ) = 11 = z 2(z -1) z 3(1-1) z 1n 1 () =n +3 -14分 n =0z n =0z 1 f (z ) =3 z 每步可以酌情给分。 五（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题： y (x ) -5y (x ) +4y (x ) =e -x y (0) =1=y (0) =1 解：对y (x ) 的Laplace 变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有 1 （5分） s +1 s 2L (s ) -s -1-5(sL (s ) -1) +4L (s ) = 整理得 11 + (s +1)(s -1)(s

10、 -4) s -11111 （7分） =-+ 10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) s -1151 =+ 10(s +1) 6(s -1) 15(s -4) L (s ) = 1-x 5x 14x e +e +e （10分） 10615 共6页第 页 y (x ) = 六、（6分）求 f (t ) =e + -t (>0) 的傅立叶变换，并由此证明： cos t -t d =e 220+ -t -i t 解：F () =e e - + dt (>0) -3分 F () =e - -i t t e dt +e -i t e -t dt (>0) + + =e -

11、(-i ) t dt +e -(+i ) t dt (>0) = e (-i ) t 0 - - e -(+i ) t + (>0) F () = 112+ =2 (>0) -4分 2 -i +i + + 1f (t ) = 1= - e i t F () d (>0) - -5分 + - e i t 2 d (>0) 22 + = 2 1 + 2 + 2 - (cost +i sin t ) d (>0) = + cos t i + 2+2sin t -2+2 (>0) + 共6页第 页 f (t ) = 2 + cos t (>0) ， -6

12、分 22 + + cos t -t d =e 220+ 复变函数与积分变换期末试题简答及评分标准（B ） 填空题（每小题3分，共计15分） （）；2. Ln (-1-i ) 的 ）；3. f (z ) = 1 1+z 2 ， f (7) (0) =（ 0 ）； z -sin z 1 f (z ) =f (z ) =Re s f (z ), 0=4 ，（ 0 ） ；5 ， z 2z 3 Re s f (z ), =（ 0 ）； 二选择题（每小题3分，共计15分） 1解析函数 f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 的导函数为（ ）； （A ） f (z ) =u y +i

13、v x ； （B ）f (z ) =u x -iu y ； （C ） f (z ) =u x +iv y ； （D ）f (z ) =u x +iu y . C 2C 是正向圆周z =2，假如函数f (z ) =（ ），则f (z ) d z =0 3z 3z 3 （B ）； （C ）； （D ）. 22 z -1(z -1) (z -1) 共6页第 页 3假如级数c n z n 在z =2i 点收敛，则级数在 n =1 （A ）z =-2点条件收敛 ； （B ）z =-2i 点肯定收敛； （C ）z =1+i 点肯定收敛； （D ）z =1+2i 点肯定发散 下列结论正确的是( ) （A ）

14、假如函数f (z ) 在z 0点可导，则f (z ) 在z 0点肯定解析； (B) 假如f (z ) dz =0, 其中C 复平面内正向封闭曲线, 则f (z ) 在C 所围成 C 的区域内肯定解析； （C ）函数f (z ) 在z 0点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内肯定可以绽开成为z -z 0的幂级数，而且绽开式是唯一的； （D ）函数f (z ) =u (x , y ) +iv (x , y ) 在区域内解析的充分必要条件是u (x , y ) 、 v (x , y ) 在该区域内均为调和函数 5下列结论不正确的是（ ） （A ）、n z l 是复平面上的多值函数； (B ) 、co

15、sz 是无界函数； z (C ) 、sin z 是复平面上的有界函数；（D ）、e 是周期函数 三按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） 2 2 2 2 （1）求a , b , c , d 使f (z ) =x +axy +by +i (cx +dxy +y ) 是解析函数， 解：因为f (z ) 解析，由C-R 条件 共6页第 页 u v u v =- x y y x 2x +ay =dx +2y ax +2by =-2cx -dy , a =2, d =2, ，a =-2c , 2b =-d , c =-1, b =-1, 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2

16、） C 1 d z 其中C 是正向圆周z 2 z (z -1) =2； 解：本题可以用柯西公式柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗绽开计算，仅给出用前者计算过程 1 在复平面内只有两个奇点z 1=0, z 2=1，分别以z 1, z 22 (z -1) z 因为函数f (z ) = 为圆心画互不相交互不包含的小圆 c 1, c 2 且位于c 内 1 C (z -1) 2z d z =C 1 11(z -1) 2d z d z + C 2(z -1) 2z 11 =2i () +2i z z =1(z -1) 2 1 3z =0 z =0 z e d z ，其中C 是正向圆周z =2； （3）

17、计算C (1-z ) 解：设f (z ) 在有限复平面内全部奇点均在：z z =2 f (z)dz =-2i Re s f (z ), =2ic -1 -（5分） 共6页第 页 1 31z 21z z e z e 111111=-=-z 2(1+ )(1+ ) 23231(1-z ) z 2! z 3! z z z z 1-z =-(z 2+z +111111+ )(1+ ) 2232! 3! z 4! z z z z 811+) =- 32! 3! c -1=-(1+1+ z =28f (z)dz =-2i 3 (z 2-1)(z +2) 3 （4）函数f (z ) =在扩充复平面上有什么类

18、型的奇点？，假如有(sinz ) 3 极点，请指出它的级. f (z ) 的奇点为z =k , k =0, 1, 2, 3, ， 3z =k , k =0, 1, 2, 3, 为（sin z ）=0的三级零点， z =1, 为f (z ) 的二级极点，z =-2是f (z ) 的可去奇点， z =0, 2, -3, 4 ，为f (z ) 的三级极点； 为f (z ) 的非孤立奇点。 给出全部奇点给5分。其他酌情给分。 共6页第 页 11 四、（本题14分）将函数f (z ) = 朗级数； 1在以下区域内绽开成罗z 2(z +1) （1）0 （1）0 解：（1）当0 111f (z ) =2=

19、z (z +1) (z +1) (1-(z +1) 1n -1n =n (z +1) =(z +1) 而 (1-(z +1) n =0n =0 f (z ) =n (z +1) n -2 -6分 n =0 （2）当0 11f (z ) =2=z (z +1) z 2 n n (-1) z n =0 =(-1) z n -2 -10分 n =0 （3）当1 共6页第 页 12 f (z ) =11=z 2(z +1) z 3(1+1) z 1n n 1(-) =(-1) n +3 -14分 z z n =0n =01f (z ) =3z 五（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问

20、题 y (x ) +2y (x ) -3y (x ) =e -x y (0) =0, y (0) =1 解：对y (x ) 的Laplace 变换记做L (s ) ，依据Laplace 变换性质有 1 （5分） s +1s 2L (s ) -1+2sL (s ) -3L (s ) = 整理得 s +2 （7分） (s +1)(s -1)(s +4) L (s ) = 131y (x ) =-e -x +e x -e -3x （10分） 488 六、（本题6分）求1t 1f (t ) =的傅立叶变换，并由此证明： t >10 t 00t >1 共6页第 页 13 解：F () =+ -e -i t f (t ) dt F () =e -i t dt -2分 -11 e =-i -i t 1=i -1e -i -e i =2sin - 4分 1f (t ) =2 =+-e i t F () d - 5分 11+-e i t sin d =2+sin -(cost +i sin t ) d =+sin cos t 0 + i +sin sin t - +sin cos t d =2f t 1 共6页第 页 14