2023年勾股定理证明（精选多篇）.docx

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1、2023年勾股定理证明（精选多篇） 推荐第1篇：勾股定理证明 勾股定理证明 直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直

2、角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 以下即为一种证明方法： 如图，这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为的等腰直角三角形拼成的。 ABEAEDCED梯形ABCD （ab+ab+c）2(a+b)(a+b)/2 c=a+b，即在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和 初二十四班秦煜暄 推荐第2篇：勾股定理证明 勾股定理证明 中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于

3、天地得到数据呢?” 商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体饿认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。稍懂平面几何饿读者都知道，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦(c)来表示斜边，则可得： 勾2+股2=弦 2亦即： a2+b2=c2 勾股定理在西方被称为毕达

4、哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例(32+42=52)。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。 在稍后一点的九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说;“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”把这段话列成算式，即为： 弦=(勾2+股2

5、)(1/2) 亦即： c=(a2+b2)(1/2) 中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2;中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为(b-a)2。于是便可得如下的式子： 4(ab/2)+(b-a)2=c2 化简后便可得： a2+b2=c2 亦即： c=(a2+b2)(1/2) 赵爽的这

6、个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统 一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。 中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学

7、中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的.十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”。 推荐第3篇：勾股定理证明 勾股定理的历史及证明 勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”，是初等几何中的一个基本定理。 那么大家知道多少勾股定理的别称呢？我可以告诉大家，有：毕达哥拉斯定理，商高定理，百牛定理，驴桥定理和埃及三角形等。所谓勾股定理，就是指“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。”这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊

8、数学家兼哲学家毕达哥拉斯（Pythagoras，公元前572?公元前497?）于公元前550年首先发现的。但毕达哥拉斯对勾股定理的证明方法已经失传。著名的希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330公元前275）在巨著几何原本（第卷，命题47）中给出一个很好的证明。（下图为欧几里得和他的证明图） 中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话： 周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？” 商高回答说：“ 数的产生来源于

9、对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。” 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为“勾股定理”是非常恰当的。 在稍后一点的九章算术一书中（约在公元50至100年间），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦”。 中

10、国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。中国古代数学家 们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。 【证法】（辛卜松证明） D D 图一图二 设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD. 把正方形ABCD划分成图一所示的几个部分，则正方形ABCD 2()a+b=a2+b2+2ab； 的

11、面积为 把正方形ABCD划分成 图二所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 =2ab+c2. a2+b2+2ab=2ab+c2, a2+b2=c2. (a+b)2=41ab+c22 推荐第4篇：证明勾股定理 勾股定理的应用 一、引言 七年级上册的数学有讲到如何精确地画出根号2。老师说，要画一个22的，边长都为1的方格。然后在里面再做出一个菱形（表示方格面积的一半）。这个菱形的边长就是根号2。当时有人就埋怨方法的麻烦了，老师就回答用勾股定理会简便许多。还有印度数学家什迦逻（1141年-1225年）曾提出过“荷花问题”： “平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边， 渔人观

12、看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅？”用勾股定理就可以很简便的解出。就勾股定理，我查阅了一些资料，弄清楚了它的意义以及它的2种证明方法。 二、提出问题 1、什么是勾股定理？ 2、怎么证明勾股定理？ 三、问题求解 （1）中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 勾股定理用文字表述：在任何一个的直角三角形中，两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方（也可以理解成两个长边的平方相减与最短边的平方相等）。勾股定理示意图 用数学式表达：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 （2）针对它的证明方法，我查阅了一些相关的资料，通过我

13、自己的整理和理解，得出了2种证明方法。 方法一：（课本的证明） 做8个全部相同的直角三角形，设它们的直角边长分别为a和b，斜边长为c，再做3个边长分别为a，b ， c 的正方形，把它们拼成两个大正方形，如下图所示： 由上图可知，两个大正方形的边长都是a加b，所以面积是相等的。用方程表 1示它们的面积关系，得：（a+b）=c+4 ab 2（a+b）(a+b)=c+2ab a(a+b)+b(a+b)=c+2ab a+ab+ab+b=c+2ab a+b+2ab=c+2ab a+b=c 方法二：（利用相似三角形性质证明） 在直角三角形ABC中，设直角边AC和BC的长度分别为a和b，斜边AB的长度为c。

14、过点C做AB的垂线CD，垂足是D。如图所示： 在直角三角形ABC与直角三角形ACD中， 因为角ADC=角ACB=90度 角CAD=角BAC， 所以它们互为相似的直角三角形。 因为它们互为相似的直角三角形，所以它们在各个线 段上的三角形边长的比值都是相同的。即ADAC =ACAB 对角相乘得AC=ADAB， 同理可证，右边的直角三角形BCD与直角三角形ABC也是互为相似的直角三角形的。从而有了BCAB =BDBC 对角相乘得 BC=BDAB， 因为（AC=ADAB）=（BC=BDAB） 所以AC+BC= ADAB+BDAB AC+BC=(AD+BD)AB AC+BC=ABAB AC+BC=AB

15、即a+b=c.四、总结与感想 随着数学水平的提高，很多数学的定理和公式都被人们一一推敲了出来， 勾股定理就是其中的一个重大的发现。勾股定理是人们认识宇宙中形规律的自然起点，无论在东方还是西方文明起源过程中，都有着很多动人的故事。勾股定理在几何学中的实际应用非常广泛，比如用它就可以很方便地把引言中的问题解决掉。答案是3.75尺。从勾股定理出发开平方、开立方、求圆周率等，运用勾股定理数学家还发现了无理数，就如引言中的画根号2一样。 我想说的是，虽然勾股定理看似简单，只是一句话，但是它的意义以及作用是无穷大的。认识和掌握勾股定理对初一的无理数有着一定的帮助。我作为一个初一的学生，能力毕竟有限，只能把

16、勾股定理推敲到这里。以后我一定会再接再厉，玩转勾股定理！ 2023.11 推荐第5篇：勾股定理的证明 勾股定理的证明 【证法1】等面积法 做8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b，所以面积相等.即 11a2+b2+4ab=c2+4ab22222， 整理得a+b=c.【证法2】（邹元治证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B

17、、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. RtHAE 与 RtEBF重合, AHE = BEF. AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. HEF = 18090= 90. 四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2. RtGDH 与 RtHAE重合, HGD = EHA. HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. 2()a+b ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于. (a+b)21=4ab+c22222. a+b=c. 【证法3】（赵爽证明）

18、以a、b 为直角边（ba）， 以c为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于.把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. RtDAH 与 RtABE重合, HDA = EAB. HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， 2 ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. 2()b-a EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于.124ab+(b-a)=c 22 . 222 a+b=c. 【证法4】（1876年美国总统加菲尔德Garfield证明） 以a、b 为直角边，以c为斜边作

19、两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. RtEAD 与 RtCBE重合, ADE = BEC. AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. DEC = 18090= 90. DEC是一个等腰直角三角形， 12c2它的面积等于. 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. 1(a+b)2 ABCD是一个直角梯形，它的面积等于2. 1(a+b)2=21ab+1c2 22. 2 222 a+b=c. 推荐第6篇：勾股定理 专题证明 勾股定理 专题证明 1.我们给出如下定义：若一个四边

20、形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方， 则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边。 (1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称：-，- ； (2)如图1，已知格点(小正方形的顶点)O（0,0），A（3,0）,B(0,4)请你画出以格点为顶 点，OA,OB为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB ； (3)如图2，将ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60，得到 DBE，连结AD,DC,DCB= 30。写出线段DC,AC,BC的数量关系为-； 2.（1）如图1，已知AOB，OAOB，点E在OB边上，四边形AEBF 是平行四边形， 请你只用无刻度

21、的直尺在图中画出AOB的平分线（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）如图2 ，1010的正方形网格中，点A（0，0）、B（5，0）、C（3，6）、D（1，3）， 依次连结A、B、C、D四点得到四边形ABCD，四边形ABCD的形状是-； 在x轴上找一点P，使得PCD的周长最短（直接画出图形，不要求写作法）； 此时，点P的坐标为- ，最短周长为-； 3.如图正方形ABCD ,E 为AD边上一点，F为CD边上一点，FEA=EBC,若AE= kED, 探究DF与CF的数量关系； 4.如图1 等腰直角 ABC，将 等腰直角DMN如图 放置，DMN的斜边MN与ABC的一直角边AC重合. 在图1中，绕点 D

22、旋转DMN，使两直角边DM、DN分别与 交于点E ，F如图2 ，求证：AE2+BF2=EF2 ； 在图1 中，绕点 C旋转DMN，使它的斜边CM、直角边 CD的延长线分别与 AB交于点E ，F，如图3，此时结论AE2+BF2=EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. 如图4，在正方形 ABCD中，E、F 分别是边BC、CD 上的点且满足CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE、AF 分别与对角线 BD交于点M、N .线段BM、MN、DN 恰能构成三角形.请指出线段BM、MN、DN 所构成的三角形的形状，并给出证明； 5.将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD

23、（ABBC）的对角线的交点O旋转（如图），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点， 如图三角板一直角边与OD重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-； 如图三角板一直角边与OC重合，则线段BN、CD、CN间的数量关系为-； 如图，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明； 若将矩形ABCD改为边长为1的正方形ABCD，直角三角板的直角顶点绕O点旋转到图，两直角边与AB、BC分别交于M、N，探究线段BN、CN、CM、DM间的数量关系，写出你的结论，加以说明； 6.如图 ，四边形ABCD, ADBC，ADBC ，B=90 ，AD=AB

24、,点E是AB边上一动点(点E不与点A、B重合)，连结ED，过ED的中点F作ED的垂线，交AD于点G,交BC于点K,过点K作KMAD于M若AB=k AE , 探究DM与DG 的数量关系；（用含 的式子表示） 推荐第7篇：如何证明勾股定理 如何证明勾股定理 勾股定理是初等几何中的一个基本定理。这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明下面结合几种图形来进行证明。 一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1） 左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直角边分别为、

25、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式，化简得。 在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，但遗憾的是，他的证明方法已经失传，这是传说中的证明方法，这种证明方法简单、直观、易懂。 二、赵爽弦图的证法（图2） 第一种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜边为 的直 角三角形围在外面形成的。因为边长为的正方形面积加上4个直角三角形的面积等于外围正方形的面积，所以可以列出等式，化简得。 第二种方法：边长为的正方形可以看作是由4个直角边分别为、，斜

26、边为 的 角三角形拼接形成的（虚线表示），不过中间缺出一个边长为 的正方形“小洞”。 因为边长为的正方形面积等于4个直角三角形的面积加上正方形“小洞”的面积，所以可以列出等式，化简得。 这种证明方法很简明，很直观，它表现了我国古代数学家赵爽高超的证题思想和对数学的钻研精神，是我们中华民族的骄傲。 三、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3） 这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直角边为 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所以可以列出等式，化简得。 这种证明方法由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明更加简洁，它在数学史上被传为佳

27、话。 推荐第8篇：勾股定理证明方法 勾股定理证明方法 勾股定理的种证明方法(部分) 【证法1】(梅文鼎证明) 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点p.D、E、F在一条直线上,且RtGEFRtEBD, EGF=BED， EGF+GEF=90， BED+GEF=90， BEG=18090=90.又AB=BE=EG=GA=c， ABEG是一个边长为c的正方形. ABC+CBE=90. RtABCRtEBD, ABC=EBD. EBD+CBE=90. 即CBD=90. 又BDE=90

28、，BCp=90， BC=BD=a. BDpC是一个边长为a的正方形. 同理，HpFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S，则 , . 【证法2】(项明达证明) 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(ba)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QpBC，交AC于点p.过点B作BMpQ，垂足为M;再过点 F作FNpQ，垂足为N. BCA=90，QpBC， MpC=90， BMpQ， BMp=90， BCpM是一个矩形，即MBC=90. QBM+MBA=QBA=90， ABC+MBA=MBC=

29、90， QBM=ABC， 又BMp=90，BCA=90，BQ=BA=c， RtBMQRtBCA. 同理可证RtQNFRtAEF. 【证法3】(赵浩杰证明) 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b(ba)，斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形. 分别以CF，AE为边长做正方形FCJI和AEIG， EF=DF-DE=b-a，EI=b， FI=a， G,I,J在同一直线上， CJ=CF=a，CB=CD=c， CJB=CFD=90， RtCJBRtCFD， 同理，RtABGRtADE， RtCJBRtCFDRtABGRtADE ABG=BCJ, BCJ+C

30、BJ=90, ABG+CBJ=90, ABC=90, G,B,I,J在同一直线上， 【证法4】(欧几里得证明) 做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结 BF、CD.过C作CLDE， 交AB于点M，交DE于点 L.AF=AC，AB=AD， FAB=GAD， FABGAD， FAB的面积等于， GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半， 矩形ADLM的面积=. 同理可证，矩形MLEB的面积=. 正方形ADEB的面积 =矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积 ，即. 勾股定理的别名 勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石

31、”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用。正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，因此有许多名称。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高(约公元前1120年)答周公曰“勾广三，股修四，经隅五”，其意为，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我国又称“商高定理”.在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利

32、时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 在陈子后一二百年，希腊的著名数学家毕达哥拉斯发现了这个定理，因此世界上许多国家都称勾股定理为“毕达哥拉斯”定理.为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢供奉神灵，因此这个定理又有人叫做“百牛定理”. 前任美国第二十届总统加菲尔德证明了勾股定理(1876年4月1日)。 证明 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思(ElishaScottLoomis)的pythagoreanproposition一书中总共提到367种证明方式。 有人会尝试以三角恒等式(例如：正弦和余弦函数的泰勒级数

33、)来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明(参见循环论证)。 推荐第9篇：勾股定理证明方法 勾股定理证明方法 勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。这个定理有十分悠久的历史，几乎所有文明古国（希腊、中国、埃及、巴比伦、印度等）对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。 中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对

34、话：周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？ 商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。 在九章算术一书中，勾股定

35、理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”九章算术系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”， 用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。 上中间的那个小正方形组成的。 每个直角三角形的面积为ab/2； 中间的小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。 于是便可得如下的式子： 4（ab/2）+（b-a）2=c 2化简后

36、便可得： a2+b2=c2 在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加 刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法，刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法，他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出)，移到以弦为边的正方形的空白区域内(入) ， 结果刚好填满，完全用图解法就解决了问题。 1876年4月1日，伽菲尔德在新英格兰教育日志上发表了他对勾股定理的证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法 古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。

37、尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。 推荐第10篇：勾股定理的证明 勾股定理的证明 一、基本情况 组长：曾烨秋 组员：邱丽璇、李锐、陈应飞、黄富荣、贾雪梅 指导老师：何建荣 相关课程：数学 一、问题提出 1、背景： 初中时就学习了直角三角形的勾股定理，我们对此很感兴趣，便想探究勾股定理的证明方法。 2、目的： 3、意义：探究出勾股定理的证明方法 二、研究过程 1、查阅资料： 利用课间等休息时间在图书室或计算机室查阅资料。 2、整理资料： 在网上下载部分 第11篇：勾股定理的逆定理的证明 用“勾股定理”证明“勾股定理的逆定理”反证法 湛江市爱周中学伍彩梅 八年级

38、数学学习的勾股定理，是几何学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，内容是：“如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么a+b=c”。 勾股定理的逆定理给出了一个用代数运算判定一个三角形是直角三角形的方法，内容是：“如果三角形的三边长a、b、c满足a+b=c，那么这个三角形是直角三角形”。 这两大定理都来源于实践，并在实践中得到广泛的应用。 定理的证明，有助于加深对定理得理解，有助于实现从感性认识到理性认识的飞跃。教材中，勾股定理的证明采用了多种方法，学生容易理解。而 课本里用三角形全等证明了该定理。勾股定理的逆定理，只用“三角形全等”来证明，这种方法

39、学生一时不易理解。实际上，我们也可以用“勾股定理”来证明“勾股定理的逆定理”反证法。表述如下： 已知ABC的三边长a、b、c满足a+b=c，求证：ABC是直角三角形。 用反证法证明如下： 由a+b=c，可知c边最大，即ACB最大。只要证明了ACB=90，即ABC是直角三角形。 分两种情况进行。 （一） 假设ABC不是直角三角形而是钝角三角形，则C90。如图（1） 222222222222 B 图（1） 过B作BD垂直于AC的延长线于D，垂足为D。如图（2 ） 图（2） 在图（2）中，ABD与CBD都是直角三角形，根据勾股定理有： a1+(b+b1)2=c2（1） a1+b1=a2（2） 22由

40、（1）得a1+b1+2bb1+b=c（3） 22222 把（2）代入（3）得a2+b2+2bb1=c2（4） 对比已知条件a+b=c 可得b1=0 把b1=0代入（2）得a1=a2，则a1=a 因此点C与点D重合，ACB=ADB=90，结论与假设矛盾，所以ABC是直角三角形。 （二） 假设ABC不是直角三角形而是锐角三角形，则C90。如图(3) 2222 B c a A b 图（3） C 过B作BD垂直于AC于D，垂足为D。如图（4） B c a a1 Ab b D C b2 图（4） 其中BD=a1，AD=b1，DC=b2，b1+b2=b 在图（4）中，ABD与CBD都是直角三角形，根据勾股

41、定理有： 22a1+b1=c2（5） a1+b2=a2（6） 把（5）-（6）得 2222c2-a2=b1-b2=(b1+b2)(b1-b2)=b(b-2b2)=b2-2bb2 整理得 c2=a2+b2-2bb2（7） 对比已知条件a+b=c 得b2=0 所以b1=b 则点C与点D重合，ACB=ADB=90，结论与假设矛盾，所以ABC是直角三角形。 因此，勾股定理的逆定理得到证明。 2023-3-12 222 第12篇：验证勾股定理的证明 验证勾股定理的证明拼图的应用 几何学里有一个非常重要的定理，在我国叫 “勾股定理”或“商高定理”，在国外叫“毕达哥拉斯定理”。相传毕达哥拉斯发现这个定理后欣喜若狂，宰了100头牛大肆庆贺了许多天，因此这个定理也