2023年教案模板初三数学（精选多篇）.docx

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1、2023年教案模板初三数学（精选多篇） 推荐第1篇：初三数学圆教案 初三数学 圆教案 一、本章知识框架 二、本章重点 1圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆 (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合 2判定一个点P是否在O上 设O的半径为R，OPd，则有 dr点P在O 外； dr点P在O 上； d (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数 (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等

2、的圆周角所对的弧相等 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角 (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半 4圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等 (2)轴对称：圆是轴对称

3、图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧 (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦 (5)平行弦夹的弧相等 5三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示 (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝

4、角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示 (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示 (4)垂心：是三角形三边高线的交点 6切线的判定、性质： (1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线 (2)切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点 经过切点作切线的垂线经过圆心 (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长 (4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线

5、长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 7圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等 8直线和圆的位置关系： 设O 半径为R，点O到直线l的距离为d (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离dR (2)直线和O有唯一公共点直线l和O相切dR (3)直线l和O 有两个公共点直线l和O 相交dr)，圆心距 (1)外离(2)含(3)外切(4)dRr 没有公共点，且 的每一个点都在 外部 内有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外部dRr 的每个点都在

6、内部有唯一公共点，除这个点外，内切dRr 相交(5)有两个公共点Rr 10两圆的性质： (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线 (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点 11圆中有关计算： 圆的面积公式： ，周长C2R 圆心角为n、半径为R的弧长 圆心角为n，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2Rl，全面积为 ，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为【经典例题精讲】 例1 如图23-2，已知AB为O

7、直径，C为上一点，CDAB于D，OCD的平分线CP交O于P，试判断P点位置是否随C点位置改变而改变？ ，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有 分析：要确定P点位置，我们可采用尝试的办法，在上再取几个符合条件的点试一试，观察P点位置的变化，然后从中观察规律 解： 连结OP， P点为中点 小结：此题运用垂径定理进行推断 例2 下列命题正确的是( ) A相等的圆周角对的弧相等 B等弧所对的弦相等 C三点确定一个圆 D平分弦的直径垂直于弦 解： A在同圆或等圆中相等的圆周角所对的劣弧相等，所以A不正确 B等弧就是在同圆或等圆中能重合的弧，因此B正确 C三个点只有不在同一直线上才能确定一个圆 D平分弦(不

8、是直径)的直径垂直于此弦 故选B 例3 四边形ABCD内接于O，ABC123，求D 分析：圆内接四边形对角之和相等，圆外切四边形对边之和相等 解： 设Ax，B2x，C3x，则DACB2x x2x3x2x360， x45 D90 小结：此题可变形为：四边形ABCD外切于O，周长为20，且ABBCCD123，求AD的长 例4 为了测量一个圆柱形铁环的半径，某同学采用如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，用如图23-4所示方法得到相关数据，进而可以求得铁环半径若测得PA5cm，则铁环的半径是_cm 分析：测量铁环半径的方法很多，本题主要考查切线长性质定理、切线性质、

9、解直角三角形的知识进行 合作解决，即过P点作直线OPPA，再用三角板画一个顶点为A、一边为AP、大小为60的角，这个角的另一边与OP的交点即为圆心O，再用三角函数知识求解 解： 小结：应用圆的知识解决实际问题，应将实际问题变成数学问题，建立数学模型 例5 已知 相交于A、B两点， 的半径是10， 的半径是17，公共弦AB16，求两圆的圆心距 解：分两种情况讨论： (1)若位于AB的两侧(如图23-8)，设 与AB交于C，连结又AB16 AC8 在在故(2)若，则垂直平分AB， 中，中， 位于AB的同侧(如图23-9)，设 的延长线与AB交于C，连结垂直平分AB， 又AB16， AC8 在在故中

10、，中， 注意：在圆中若要解两不等平行弦的距离、两圆相切、两圆相离、一个点到圆上各点的最大距离和最小距离、相交两圆圆心距等问题时，要注意双解或多解问题 三、相关定理： 1.相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等） 说明：几何语言： 若弦AB、CD交于点P，则PAPB=PCPD（相交弦定理） 例1 已知P为O内一点，P任作一弦AB，设为 。 ， ，O半径为 ，过 ，则关于的函数关系式解：由相交弦定理得，即，其中 2.切割线定理 推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 说明：几何语言：若

11、AB是直径，CD垂直AB于点P，则PC2=PAPB 例2 已知PT切O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。 解：设TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割线定理，理， ， （舍） 由勾股定 四、辅助线总结 1.圆中常见的辅助线 1）作半径，利用同圆或等圆的半径相等 2）作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明 3）作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算 4）作弦构造同弧或等弧所对的圆周角 5)作弦、直径等构造直径所对的圆周角直角 6)遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角

12、 7)遇到切线，作过切点的半径，构造直角 8)欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径 9)遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点 10)遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点 11)遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线 12)遇两圆相切，常过切点作两圆的公切线 13)求公切线时常过小圆圆心向大圆半径作垂线，将公切线平移成直角三角形的一条直角边 2、圆中较特殊的辅助线 1)过圆外一点或圆上一点作圆的切线 2)

13、将割线、相交弦补充完整 3)作辅助圆 例1如图23-10，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为E，如果AB10，CD8，那么AE的长为( ) A2 B3 C4 D5 分析：连结OC，由AB是O的直径，弦CDAB知CDDE设AEx，则在RtCEO中，则，(舍去) ，即 ，答案：A 例2如图23-11，CA为O的切线，切点为A，点B在O上，如果CAB55，那么AOB等于( ) A35 B90 C110 D120 分析：由弦切角与所夹弧所对的圆心角的关系可以知道AOB2BAC255110答案：C 例3 如果圆柱的底面半径为4cm，母线长为5cm，那么侧面积等于( ) A B C D 分析：圆柱的侧面展

14、开图是矩形，这个矩形的一边长等于圆柱的高，即圆柱的母线长；另一边长是底面圆的周长，所以圆柱的侧面积等于底面圆的周长乘以圆柱的高，即 答案：B 例4 如图23-12，在半径为4的O中，AB、CD是两条直径，M为OB的中点，延长CM交O于E，且EMMC，连结OE、DE，求：EM的长 简析：(1)由DC是O的直径，知DEEC，于是则AMMBx(7x)，即 所以 设EMx， 而EMMC，即EM4 例5如图23-13，AB是O的直径，PB切O于点B，PA交O于点C，PF分别交AB、BC于E、D，交O于F、G，且BE、BD恰好是关于x的方程 (其中m为实数)的两根 (1)求证：BEBD； (2)若，求A的

15、度数 简析：(1)由BE、BD是关于x的方程 的两根，得 ，则m2所以，原方程为(2)由相交弦定理，得 得 ，即 故BEBD 而PB切O于点B，AB为O的直径，得ABPACB90又易证BPDAPE，所以PBDPAE，PDCPEB，则 ， ，所以 ，所以 在RtACB中， ，故A60 推荐第2篇：初三数学开课教案 初三数学中考模拟试卷分析课教案 一 教学目标： 1培养学生学会分析自己试卷失分的原因； 2培养学生提出问题分析问题的能力。 二 教学重难点： 让学生学会分析试卷失分的原因，提高解决问题的能力。 三 教学流程： （一）课前错题统计与订正。 （二）课中分组讨论交流。 （三）课中展示分享反馈

16、。 （四）诊断：1）纠错；2）小结。 （五）课后完成错题巩固练习（见讲义） 推荐第3篇：初三数学 圆教案 圆 一、本章知识框架 二、本章重点 1圆的定义： (1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆 (2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合 2判定一个点P是否在O上 设O的半径为R，OPd，则有 dr点P在O 外； dr点P在O 上； d (1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数 (2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角 圆周角的性质： 圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半 同弧或等弧所对的圆周角相

17、等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等 90的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角 (3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角 弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角 弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半 4圆的性质： (1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等

18、(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴 垂径定理及推论： (1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 (2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 (3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧 (4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦 (5)平行弦夹的弧相等 5三角形的内心、外心、重心、垂心 (1)三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示 (2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三

19、角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示 (3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示 (4)垂心：是三角形三边高线的交点 6切线的判定、性质： (1)切线的判定： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线 (2)切线的性质： 圆的切线垂直于过切点的半径 经过圆心作圆的切线的垂线经过切点 经过切点作切线的垂线经过圆心 (3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长 (4)切线长定理：从圆外一点作

20、圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 7圆内接四边形和外切四边形 (1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角 (2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等 8直线和圆的位置关系： 设O 半径为R，点O到直线l的距离为d (1)直线和圆没有公共点直线和圆相离dR (2)直线和O有唯一公共点直线l和O相切dR (3)直线l和O 有两个公共点直线l和O 相交dr)，圆心距 (1)外离(2)含(3)外切(4)dRr 没有公共点，且 的每一个点都在 外部 内有唯一公共点，除这个点外，每个圆上的点都在另一个圆外

21、部dRr 的每个点都在 内部有唯一公共点，除这个点外，内切dRr 相交(5)有两个公共点Rr 10两圆的性质： (1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线 (2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点 11圆中有关计算： 圆的面积公式： ，周长C2R 圆心角为n、半径为R的弧长 圆心角为n，半径为R，弧长为l的扇形的面积弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为面积为2Rl，全面积为 ，侧圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为Rl ，全面积为 ，母线长、圆锥高、底面圆

22、的半径之间有 本文由：西安论坛 西安婚纱摄影 宝鸡论坛 共同整理 推荐第4篇：初三数学总复习教案 初三数学总复习教案一元一次方程 知识结构 等式与方程等式性质若a=b,则a+c=b+c 若a=b,则ac=bc(ac=bc(c0) 方程的定义方程 方程的解 解方程 一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 目标要求 1 了解等式和方程的相关概念，掌握等式性质，会对方程的解进行检验 2 灵活运用等式性质和移项法则解一元一次方程 【典型例析】 例1 （2000 湖北十堰）解方程 2x+1x+13 -106 =1时，去分母后正确的结果是（ ）. A 4x+110x+1=1B4x+2

23、10x1 =1 C4x+210x16D4x+210x+1=6 【特色】此题设计旨在考查学生对于解一元一次方程的去分母、去括号等步骤的理解.【解答】去分母是根据等式性质，方程两边同乘以.去分母，得 62x+13-10x+1=16 6 2(2x+1)-(10x+1)=6. 去括号，得4x+210x1=6.选 C 【拓展】用去分母解方程时 , 根据等式性质,方程两边同乘最简公分母这一步不要省略.例2（2023年泰州） 解方程：（0.1x-0.2）/0.02（x+1）/0.53 分析：利用解一元一次方程方法和步骤完成本题。 解：（0.1x-0.2）/0.02-（x+1）/0.5=3 去分母，得5x-1

24、0-2(x+1)=3，去括号得 5x-10-2x-2=3 移项，合并同类项，得3x=15 系数化为1，得x=5 例3（2023年宁夏）某乡中学现有学生500人,计划一年后女生在校生增加3%，男生在校生增加4%，这样，在校学生将增加3.6%，那么该学校现有女生和男生人数分别是（ ） （A）200和300(B)300和200（C）320和180（D）180和320 分析：可列一元一次方程或列二元一次方程组： 解法一：设该校有女生x人，则男生有（500-x）人， 依题意有：x（1+3%）+（500x）（1+4%）500（1+3.6%） 1.03x+5001.04-1.04x5001.036 -0.0

25、1x-2 x200 则500-x500-200300 因此女生有200人，男生有300人，选（A） 解法二：设该校有女生x人，男生有y人依题意有x=200 解之有y=300 该校有女生200人，男生有300人，故选（A） 课堂练习： 1、若3x-5与1-2x互为相反数，求x。 2、若(a-2)xa-1 -3=6是关于x的一元一次方程，求-a2 - 1a 的值。 3、求方程3x+2y=11在自然数范围内的解。 1(1-x) 4、1- -b3 =4 a+xb = xa +2 (ab) 5、（03海淀）某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是452元

26、，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元。（1）求该同学看中的随身听和书包单价各是多少元？ （2）某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市A所有商品打八折销售，超市B全场购物满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的这两样物品，你能说明他可以选择哪一家购买吗？若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？ 推荐第5篇：初三数学教案(一) 让任何人在任何地方任何时候享受最好的教育服务 初三数学教学案 执笔：周广雄 学习目标 1、理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。 2、能用函数的观点理解正弦、余

27、弦和正切。学习过程 一、情景创设 1、问题1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了13m后，他的相对位置升高了5m，如果他沿着该斜坡行走了20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了a m呢？ 2、问题2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？ 二、探索活动 1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值_；它的邻边与斜边的比值_。 （根据是_。） 2、正弦的定义 如图，在RtABC中，C90， 我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做A 的_，记作_， 即：sinA_=_. 3、余弦的定义 如图，在RtABC中，C90, 我们把锐角A的邻边b与斜边c

28、的比叫做A的_，记作=_， 第 - 1 页 共 4页 让任何人在任何地方任何时候享受最好的教育服务 从sin15，sin30，sin75的值，你们得到什么结论？ _。 从cos15，cos30，cos75的值，你们得到什么结论？ _。 当锐角越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？ _。 6、锐角A的正弦、余弦和正切都是A的_。 三、随堂练习 1、如图，在RtABC中，C90， AC12，BC5，则sinA_， cosA_，sinB_，cosB_。 2、在RtABC中，C90，AC1，BC 3，则sinA_，cosB=_,cosA=_,sinB=_. 3、如图，在RtABC中

29、，C90， BC9a，AC12a，AB15a，tanB=_, cosB=_,sinB=_ 4、在RtABC中，如果各边长度都扩大3倍，则锐角A的各个三角函数值（ ） A、不变化 B、扩大3倍 C、缩小 5、根据图示填空 （1）sinA= 1D、缩小3倍 3( )BC= AC( )CD( )= ( )ABCD( ),cosBCD= ( )BC（2）sinB=（3）cosACD=（4）tanA=CD( )( )AC=,tanB= ( )ACBD( ) 6、若090，则下列说法不正确的是（ ） A、sin随的增大而增大 B、cos随的增大而减小 第 - 3 页 共 4页 推荐第6篇：初三数学圆教案.

30、doc 第七章 圆 一.本周教学内容： 第七章 圆 三 圆和圆的位置关系 学习目标 1.掌握圆和圆的各种位置关系的概念及判定方法； 2.理解并掌握两圆相切的性质定理； 3.掌握相交两圆的性质定理，并完成相关的计算和证明； 4.理解圆的内、外公切线概念，会计算内、外公切线长及两公切线夹角；并能根据公切线的条数确定两圆的位置关系； 5.通过两圆位置关系的学习，进一步理解事物之间是相互联系和运动变化的观点，学会在变化中寻找规律，培养综合运用知识的能力。 知识回顾 1.圆与圆的位置关系的判定方法及图形特征 2.两圆相切的性质：如果两圆相切，那么切点一定在连心线上。 3.两圆相交的性质：相交两圆的连心线

31、垂直平分两圆的公共弦。 4.设两圆公切线长L，两圆半径R、r，两公切线的夹角 【典型例题】 例1.已知O 1、O2半径分别为15cm和13cm，它们相交于A、B两点，且AB长24cm，求O1O2长。 分析：该题没有给出图形，两圆相交有两种可能性： 1.两圆心在公共弦的两侧； 2.两圆心在公共弦的同侧； 因此，我们必须分两种情况来解。 解：（1）连结O1O2交AB于C （2）连结O1O2并延长交AB于C O1 O2交于A、B两点 在RtAO1C中，由勾股定理： 在RtAO2C中，由勾股定理： 如图（1） O1O2=O1C+O2C=14cm 如图（2） O1O2=O1CO2C=4cm 例1是两圆相

32、交时的一题两解问题，希望引起同学们的重视。 例2.如图，O1与O2外切于点P，AC切O2于C交O1于B，AP交O2于D，求证： （1）PC平分BPD （2）若两圆内切，结论还成立吗？证明你的结论。 证明：（1）过P点作公切线PM交AC于M点 AC切O2于C MP=MC MCP=MPC 在O1中，由弦切角定理： BPM=A CPD为APC的外角 CPD=A+MCP=BPM+MPC=BPC PC平分BPD。 （2）两圆内切时仍有这样的结论。 证明：过P点作公切线PM交AB延长线于M AM切O2于C，MC=MP MPC=MCP MPB=A MCP为CPA的外角 MCP=CPA+A 又MPC=MPB+

33、BPC BPC=CPA 即PC平分BPD。 在解决有关两圆相切的问题时，过切点作两圆的公切线是常见的一条辅助线，利用弦切角及圆周角的性质或切线长定理，可使问题迎刃而解。 从这道题我们还可以联想到做过的两道题， 当A、B重合时，也就是AC成为两圆的外公切线时，PCAD，即我们书上的例题（P129 例4） 当APD经过O 1、O2时，PBAC，PC平分BPD的证法就更多了。 例3.如图，以FA为直径的O1与以OA为直径的O1内切于点A，ADF内接于O，DBFA于B，交O1于C，连结AC并延长交O于E，求证： （1）AC=CE （2）AC=DBBC 分析：（1）易证 （2）由（1）我们可联想到相交弦

34、定理，延长DB交O于G：即ACCE=DCCG 由垂径定理可知DB=BG，问题就解决了。 证明：（1）连结OG，延长DB交O于G， OA为O1直径 OCAE 在O中 OCAE AC=CE （2）在O中， DG直径AF DB=GB 由相交弦定理：ACCE=DCCG=（DBBC）（BGBC） AC=CE ACDBBC 本题中主要应用了垂径定理，相交弦定理等知识，另外，证明过程中线段代换比较巧妙，应认真体会。 例4.如图：O1和O2相交于A、B两点，过A作O1切线交O2于点C，过点B作两圆割线交O1和O2于D、E，DE与AC相交于P点， 222222 （1）求证：PAPE=PCPD （2）当AD与O2

35、相切且PA=6，PC=2，PD=12时，求AD的长。 分析：（1）从图中我们看到有相交弦定理和切割线定理可用。 （2）求AD想到用切割线定理，但PB、PE均未知，利用相交弦定理也只能求出它们的乘积，我们连结公共弦得两个弦切角，再连结CE，可推出ADCE，这样，问题就解决了。 （1）证明：PA切O1于A，PBD为O1割线 在O2中 由相交弦定理 （2）连结AB、CE CA切O1于A AB为弦 CAB=D O2中CAB=E D=E ADCE BE=3+4=7 DB=123=9 由切割线定理 AD=DBDE=9(9+7) AD=12 2 解与两圆相交的有关问题时，作两圆的公共弦为辅助线，使不同的两个

36、圆的圆周角建立联系，沟通它们之间某些量的关系，同学们应注意它的应用。 例5.如图，已知：O与B相交于点M、N，点B在O上，NE为B的直径，点C在B上，CM交O于点A，连结AB并延长交NC于点D，求证：ADNC。 分析：要证ADNC，我们可证C+CAD=90或DBN+BND=90，这里可用到的是NE为直径，它对的圆周角是直角，因此我们连结EC，而ECM=ENM，又可利用圆内接四边形的性质得ENM=CAD，从而得证。 证明：连结EC EN为直径 ECM+ACD=90 四边形ABNM内接于O CAD=MNE ECM=MNE CAD+ACD=90 ADC=18090=90 ADNC 从证明中可见点B在

37、O上这一条件的重要性。 例6.如图：已知DEC中DE=DC，过DE作O1交EC、DC于B、A，过A、B、C作O2，过B作BFDC 于F，延长FB交O1于G，连DG交EC于H， （1）求证：BF过O2的圆心O2 （2）若EH=6，BC=4，CA=4.8，求DG的长。 分析：要证BF过O2圆心O2，只需证它所在弦对的圆周角是直角即可，故应延长BF交O2于M，连CM，去证MCA+ACB=90，而连AB后可得MCA转移到MBA，再由圆内接四边形的性质转移到CDG，而DHEC，于是可证。 （1）证明：延长BF交O2于M，连MC、AB 四边形ABGD内接于O1 ABM=ADG DGEC于H ADG+DCH=90 ABM=ACM ADG=ACM ACM+ACB=90 BM为O2直径 BF过O2的圆心O2。 （2）解：四边形ADEB内接于O1 CAB=E DE=DC E=DCB CAB=ACB AB=BC=4 等腰CBACDE 设CD=5k，EC=6k DHEC DE=DC EC=2EH=12=6k，k=2 CD=10 在RtDHE中，由勾股定理： BH=64=2 由相交弦定理：DHHG=EHHB DG=8+1.5=9.5 例7.如图：O1与O2外切于点P，AB是两圆外公切线，AB与O1O2延长线交于 （1）求证：ACEC （2）求证：PC=EC （1）证明：