线性代数课件3-2向量组的线性相关性.ppt

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1、第二节第二节 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 一一 向量的线性表示、线性组合向量的线性表示、线性组合 二二 线性相关性的概念线性相关性的概念 三三 线性相关性的判定线性相关性的判定 四四 线性相关性的性质线性相关性的性质 例如例如一一、向量的线性表示、向量向量的线性表示、向量的线性组合的线性组合对于一般的齐次线性方程组对于一般的齐次线性方程组则方程组可表示成则方程组可表示成若记未知量为若记未知量为线性方程组是否有解归结为上式是否有解。线性方程组是否有解归结为上式是否有解。即就是矩阵的列向量加权和等于零即就是矩阵的列向量加权和等于零.定义定义或称向量或称向量 可以由向量可以由向量 线性线性

2、表出。表出。使使如果存在一组常数如果存在一组常数的的线性组合线性组合.则称向量则称向量是向量组是向量组维向量维向量设设个个是是例例 1例 2 都可由该向量组都可由该向量组线性表示，即线性表示，即.一向量组一向量组中的每一个向量中的每一个向量例例 3任意一个任意一个 维向量维向量都可以由向量组都可以由向量组线性表出线性表出.显然，有显然，有.向量组向量组称为称为 维维单位坐标向量组.如果能，如何求表出系数呢？如果能，如何求表出系数呢？线性表出呢？线性表出呢？线性表出，即线性表出，即事实上，向量事实上，向量 能由向量组能由向量组维向量组维向量组线性表出呢？线性表出呢？线性表出呢？线性表出呢？如何判

3、断如何判断 维向量维向量 可否由可否由定理定理1 向量向量 可以由向量组可以由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组线性表示的充分必要条件是线性方程组 有解，且一个解就是一有解，且一个解就是一个组合系数个组合系数.方程组方程组有解，亦即线性方程组有解，亦即线性方程组 有解有解.定理定理1 向量向量 可以由向量组可以由向量组线性表示的充分必要条件是线性方程组线性表示的充分必要条件是线性方程组 有解，且一个解就是一有解，且一个解就是一个组合系数个组合系数.有解，亦即线性方程组有解，亦即线性方程组 有解有解.线性表出？若能，写出它的一种表示方式线性表出？若能，写出它的一种表示方式.例例 4 4 判

4、断向量判断向量 可否由向量可否由向量解解考虑以考虑以 为系数列向量，为系数列向量，为为常数项列向量的线性方程组常数项列向量的线性方程组 考虑以考虑以 为系数列向量，为系数列向量，为为常数项列向量的线性方程组常数项列向量的线性方程组 对方程组的增广阵施行初等行变换对方程组的增广阵施行初等行变换继续做行初等变换化为简化阶梯形继续做行初等变换化为简化阶梯形解向量可写成解向量可写成故故所以，所以，向量向量 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出.例例 5 5 减肥配方问题减肥配方问题设设三三种种食食物物每每100100克克中中蛋蛋白白质质、碳碳水水化化合合物物和和脂脂肪肪的的含含量量如如下下表表，表表

5、中中还还给给出出了了2020世世纪纪8080年年代代美美国国流流行行的的简简洁洁营营养养配配方方.如如果果用用这这三三种种食食物物作作为为每每天天的的主主要要食食物物，那那么么它它们们的的用用量量应应各各取取多多少少，才才能能全全面面准准确确地实现这个营养要求？地实现这个营养要求？营养营养成分成分每每 100g100g食食 物物 所所 含含 营营 养养（g g）减减肥肥所所要要求求的的每每日日营营养养量量脱脱脂脂牛牛奶奶大豆粉大豆粉乳清乳清蛋蛋白白 质质 3636 5151 1313 3333碳碳 水水 化化合物合物 52 52 3434 4545 4545脂肪脂肪 0 0 7 71.11.1

6、 3 3表格表格设脱脂牛奶、大豆粉和乳清用量设脱脂牛奶、大豆粉和乳清用量分别为分别为 个单位（个单位（100g100g）三种食物所含营养的列向量分别为三种食物所含营养的列向量分别为每日所需营养量的列向量为每日所需营养量的列向量为由题意由题意三种食物每日所需量的多少恰好为向量三种食物每日所需量的多少恰好为向量 由向量组由向量组 和和 线性表示的系数，所以，线性表示的系数，所以，即即三种食物每日所需量的多少恰好为向量三种食物每日所需量的多少恰好为向量 由向量组由向量组 和和 线性表示的系数，所以，线性表示的系数，所以，用用Matlab求解有求解有 由此可知每日所需三种食物的量分由此可知每日所需三种

7、食物的量分别为脱脂牛奶别为脱脂牛奶27.7227.72克，大豆粉克，大豆粉39.1939.19克，克，乳清乳清23.3223.32克克.二、线性相关性的概念二、线性相关性的概念我们将这种关系推广到 n 维向量之间.定义定义5 5如果存在不全为零的数如果存在不全为零的数使使则称向量组则称向量组 线性相关，否则线性相关，否则称它线性无关称它线性无关设设n维向量组维向量组注意注意2.2.向量组的线性相关和线性无关是一对相互对向量组的线性相关和线性无关是一对相互对立的概念，立的概念，解解例例6分析分析.,321133322211321线性无关线性无关试证试证线性无关线性无关已知向量组已知向量组bbbb

8、bba aa aa aa aa aa aa aa aa a+=+=+=例例7 7证证证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表出能由其余向量线性表出.即有即有三、线性相关性的判定线性相关性的判定定理定理1 1 维向量组维向量组 （）线性）线性相关的充分必要条件是相关的充分必要条件是 中至少有一中至少有一个向量可由其余个向量可由其余 个向量线性表出个向量线性表出 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表出能由其余向量线性表出.故故故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使

9、因因 这这 个数不全为个数不全为0，因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，证毕证毕.因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨设则有即即 能由其余向量线性表出能由其余向量线性表出.一般地，判断线性相关的方法一般地，判断线性相关的方法Ax=0的一组非零解的一组非零解.两个推论两个推论推论推论1.个个 维向量维向量 线性线性相关充要条件是相关充要条件是 ，或，或其中其中 。推论推论2 当当 时，任何时，任何 个个 维向量维向量 所组成的向量组必线性相关。所组成的向量组必线性相关。推论推论1.个个 维向量维向量 线性线性相关充要条件是相关充要条件是 ，或，或其中其中 。例例8解（解

10、（1 1）法）法1 1 构造矩阵构造矩阵 ，利用，利用初等行变换把它化为行阶梯形矩阵，有初等行变换把它化为行阶梯形矩阵，有解（解（1 1）法）法1 1 构造矩阵构造矩阵 ，利用，利用初等行变换把它化为行阶梯形矩阵，有初等行变换把它化为行阶梯形矩阵，有因为因为 ，所以向量组，所以向量组线性相关线性相关.若要找出一组若要找出一组不全为零的数不全为零的数 ，使得使得 可解齐次线性方程组的可解齐次线性方程组的同解方程同解方程 令令则得则得所以所以所以所以所以所以所以所以（2 2）构构造造矩矩阵阵 并并施施行行行行初初等等变变换有换有（2 2）构构造造矩矩阵阵 并并施施行行行行初初等等变变换有换有因为因

11、为 =未知量的个数，未知量的个数，所以方程组只有零解，所以方程组只有零解，故故 向量组线性无关向量组线性无关.向量组线性相关的性质向量组线性相关的性质性质性质1 1 向量组向量组 线性无关，而线性无关，而向量组向量组 ，线性相关，则线性相关，则 可可以由以由 线性表出，且表示法线性表出，且表示法惟一惟一.证证 因为因为 ，线性相关，则存线性相关，则存在不全为零的数在不全为零的数 使得使得证证 因为因为 ，线性相关，则存线性相关，则存在不全为零的数在不全为零的数 使得使得性质性质1 1 向量组向量组 线性无关，而线性无关，而向量组向量组 ，线性相关，则线性相关，则 可可以由以由 线性表出，且表示

12、法线性表出，且表示法惟一惟一.因此，因此，故故若若 则则 不全为零不全为零 线性相关矛盾，线性相关矛盾，因此，因此，故故这与这与这与这与线性无关矛盾，线性无关矛盾，这与这与即即所以所以故故 可由可由唯一线性表出唯一线性表出性质性质 2 2 若向量组的一部分向量线性相关，若向量组的一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关则整个向量组线性相关;也就是说，也就是说，线性无关的向量组的任何部分向量组必线性无关的向量组的任何部分向量组必线性无关线性无关.即即 可可 由线性表示由线性表示.即即 可可 由线性表示由线性表示.即即 可可 由线性表示由线性表示.设设 有两种表示式，有两种表示式，两式相减得两式相

13、减得线性无关线性无关因为因为因为系数因为系数 不全为零，所以，向不全为零，所以，向量组量组 线性相关线性相关.因为系数因为系数 不全为零，所以，向不全为零，所以，向量组量组 线性相关线性相关.证证 不失一般性，设向量组不失一般性，设向量组 则存在不全为零的数则存在不全为零的数 使得使得 证证 不失一般性，设向量组不失一般性，设向量组 则存在不全为零的数则存在不全为零的数 中部分向量组中部分向量组线性相关，线性相关，性质性质3 3 含有零向量的向量组一定线性相关含有零向量的向量组一定线性相关.性质性质4 4 如果如果 个个 维向量维向量 线性无关，那么在每一个向量上添加线性无关，那么在每一个向量

14、上添加 个分量后所得的个分量后所得的 个个 维向量维向量,也线性无关也线性无关.性质性质4 4 如果如果 个个 维向量维向量 线性无关，那么在每一个向量上添加线性无关，那么在每一个向量上添加 个分量后所得的个分量后所得的 个个 维向量维向量,证证 设设 而向量组而向量组所以所以故故显然显然线性无关线性无关而向量组而向量组所以所以又又所以所以线性无关线性无关故故逆否命题逆否命题：但不能由向量但不能由向量 线性表出线性表出，例例10 设向量设向量 可由向量组可由向量组线性表出，线性表出，试证向量试证向量 不能由不能由 线性表线性表 出，出，而可由向量组而可由向量组 ,线性表出线性表出.若向量组线性

15、相关，去掉几个分量后所得若向量组线性相关，去掉几个分量后所得的向量组仍然线性相关（留给读者自己证明的向量组仍然线性相关（留给读者自己证明）.证证 先证不能由线性表出先证不能由线性表出.先证先证 不能由不能由 线性表出线性表出.设存在数设存在数 ，使，使 又又 可由向量组可由向量组 线性表出线性表出 即存在数即存在数 ，使，使即即 可由向量组可由向量组 线性表示，矛盾线性表示，矛盾.代入代入 得得即即 可由向量组可由向量组 线性表示，矛盾线性表示，矛盾.即即 可由向量组可由向量组 线性表示，矛盾线性表示，矛盾.再证再证 能由向量组能由向量组 ，线性表出线性表出依题意，得依题意，得否则否则与与 不

16、能由不能由 线性表示矛盾线性表示矛盾.依题意，得依题意，得否则否则再证再证 能由向量组能由向量组 ，线性表出线性表出故故 能由向量组能由向量组 ，线性表出线性表出.例例 11 设矩阵设矩阵为满秩矩阵，为满秩矩阵，试判断两直线试判断两直线的关系的关系.为满秩矩阵，为满秩矩阵，解解显然显然 故故 直线直线 相交相交.向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；.线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性的性质；的性质；（重点重点）.线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结思考题证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性思考题解答必要性必要性