讲课用弧长和扇形面积公式课件.ppt

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1、复习复习2、已知、已知 O半径为半径为R，O的面积的面积S是多是多少少?S=R2 C=2R1、已知、已知 O半径为半径为R，O的周长的周长C是多少？是多少？制造弯形管道时，经常要先按中心线计算制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度展直长度”(图中虚线的长度图中虚线的长度)，再下料，再下料，这就涉及到计算这就涉及到计算弧长弧长的问题的问题（1 1）半径为半径为R的的圆圆,周长是多少？周长是多少？C=2R（3 3）1 1圆心角所对弧长是多少？圆心角所对弧长是多少？（4 4）140140圆心角所对的圆心角所对的 弧长是多少？弧长是多少？（2 2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？）圆

2、的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧？nABO若设若设O O半径为半径为R R，n n的圆心角所对的弧长的圆心角所对的弧长为为 ，则，则 360结论结论：如果弧长为如果弧长为l l，圆心角度数为，圆心角度数为n，圆的半，圆的半径为径为R，那么，弧长的计算公式为：，那么，弧长的计算公式为：弧长公式弧长公式 若设若设O O半径为半径为R R，n n的圆心角所对的圆心角所对的弧长为的弧长为l l，则则 lABOn在在应应用用弧弧长长公公式式 进进行行计计算算时时,要要注注意意公公式式中中n n的的意意义义,n n表表示示1 1圆圆心心角角的的倍倍数数,它是不带单位的；它是不带单位的；公公式式中中l

3、 l、n n、R R，已已知知其其中中两两个个量量就就可可求第三个量求第三个量注意：注意：制制造造弯弯形形管管道道时时，要要先先按按中中心心线线计计算算“展展直直长长度度”，再再下下料料，试试计计算算图图所所示示管管道道的的展展直长度直长度L L(单位：单位：mmmm，精确到精确到1mm)1mm)解：由弧长公式，可得弧解：由弧长公式，可得弧AB AB 的长的长L L （mm）因此所要求的展直长度因此所要求的展直长度 L （mm）答：管道的展直长度为答：管道的展直长度为2970mm2970mm 例例1：已知圆弧的半径为已知圆弧的半径为5050厘米，圆心角为厘米，圆心角为6060，求此圆弧的长度，

4、求此圆弧的长度。=(cm)答：此圆弧的长度为答：此圆弧的长度为cm解：解：尝试练习尝试练习1 1已知弧所对的圆周角为已知弧所对的圆周角为9090,半径是半径是4,4,则弧长为多少？则弧长为多少？如下图，由组成圆心角的两条如下图，由组成圆心角的两条半径半径和和圆心角所对的圆心角所对的弧弧围成的图形叫做围成的图形叫做扇形扇形。半径半径半径半径OBA圆心角圆心角弧弧OBA扇形扇形扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？1.1.圆心角是圆心角是3603600 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？2.2.圆心角是圆心角是1801800 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？

5、3.3.圆心角是圆心角是90900 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？4.4.圆心角是圆心角是2702700 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少？(当圆半径一定时当圆半径一定时)扇形的面积随着圆扇形的面积随着圆心角的增大而增大。心角的增大而增大。1 1个圆面积个圆面积个圆面积个圆面积个圆面积个圆面积个圆面积个圆面积圆心角是圆心角是1 10 0的扇形面积是多少？的扇形面积是多少？圆心角为圆心角为n n0 0的扇形面积是多少的扇形面积是多少?圆心角是圆心角是10的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 3603601 1圆心角是圆心角是n0的扇形面积是圆面积的的扇形面积是圆面积的 360n如果用

6、字母如果用字母 S S 表示表示扇形的面积，扇形的面积，n n表示圆心角的度数，表示圆心角的度数，R R 表示圆半径，表示圆半径，那么扇形面积的计算公式那么扇形面积的计算公式是：是：S扇形扇形 S圆圆360n360n R2扇形面积公式扇形面积公式 若若设设O O半半径径为为R R，圆圆心心角角为为n n的的扇扇形形的的面积面积S S扇形扇形，则，则注意注意:（1 1）公公式式中中n n的的意意义义n n表表示示1 1圆圆心心角角的的倍数，它是倍数，它是不带单位不带单位的；的；（2 2）公式要）公式要理解记忆理解记忆（即按照上面推导（即按照上面推导过程记忆）过程记忆）.ABOO比较扇形面积与弧长

7、公式比较扇形面积与弧长公式,用弧长表示扇形面积用弧长表示扇形面积:S扇形扇形 S圆圆360n360n R2l弧弧 C圆圆360n .d360n R180n1=-2Rl例例2.如图、水平放置的圆柱形排水管道的如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是截面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.3cm，求，求截面上有水部分的面积。截面上有水部分的面积。0BACDS弓形弓形=S扇形扇形-S例题点评例题点评解：如图，连接解：如图，连接OAOA、OBOB，作弦，作弦ABAB的垂直平分线，垂的垂直平分线，垂足为足为D D，交弧，交弧ABAB于点于点C.C.OC=0.6OC=0.6，DC=0.3 DC=

8、0.3 在在RtOADRtOAD中，中，OA=0.6OA=0.6，利用勾股定理可得：，利用勾股定理可得：OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3OD=OC-DC=0.6-0.3=0.3AOD=60AOD=60，AOB=120AOB=120在在RtRt OAD OAD中，中，OD=0.5OAOD=0.5OA0.60.30 0B BA AC CD D OAD=30OAD=30有水部分的面积为有水部分的面积为=练习：练习：如图、水平放置的圆柱形排水管道如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是的截面半径是0.6cm，其中水面高，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。求截面上有水部分的面积。0

9、ABDCE变式训练变式训练S弓形弓形=S扇形扇形+S感悟：感悟：当弓形面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时S弓形弓形=S扇形扇形-S当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时S弓形弓形=S扇形扇形+S回顾反思回顾反思组合图形的面积：组合图形的面积：（1）割补法）割补法（2）组合法）组合法其中：其中：当弓形面积小于半圆时当弓形面积小于半圆时S弓形弓形=S扇形扇形-S当弓形面积大于半圆时当弓形面积大于半圆时S弓形弓形=S扇形扇形+S随堂训练随堂训练1、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为120，半径为，半径为2，则这个，则这个扇形的面积扇形的面积S扇形扇形=_.2、已知扇形面积为、已知扇形面积为 ，

10、圆心角为，圆心角为60，则这个，则这个扇形的半径扇形的半径R=_ 3 3、已知扇形的圆心角为、已知扇形的圆心角为1501500 0，弧长为，弧长为 ，则扇形的面积为，则扇形的面积为_做一做：做一做：4 4、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为3 3cm,cm,扇形的弧长扇形的弧长为为cmcm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2,已知扇形的半径为已知扇形的半径为3cm,3cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cmcm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2,回顾思考回顾思考 扇形扇形AOB的半径为的半径为12cm,AOB=120,求求AB的长和扇形的长和扇形AOB的面积的面积A

11、OB圆心角为圆心角为6060的扇形的半径为的扇形的半径为1010厘米，求这厘米，求这个扇形的面积和周长（个扇形的面积和周长（3.143.14）52.33(52.33(平方厘米平方厘米)；扇形的扇形的周长周长为为 30.47 30.47（厘米）。（厘米）。解解:因为因为n n6060，r r1010厘米，所以扇形厘米，所以扇形面积面积为为注：扇形的周长注：扇形的周长=两条半径两条半径+一条弧一条弧例例1求图中红色部分的面积求图中红色部分的面积.（单位：（单位：cm,取取3.14，得数保留整数，得数保留整数）S=r2360n=3.14152360288解二解二（间接求法）（间接求法）S扇形扇形S大

12、圆大圆S小扇形小扇形r=15cm,n=360o72o=288o565（cm2）解一解一(直接用扇形面积公式计算直接用扇形面积公式计算)2 2.(2006,.(2006,武汉武汉)如图如图,A,A、B B、C C、D D相互外离相互外离,它们的半径都是它们的半径都是1,1,顺次连接四个顺次连接四个圆心得到四边形圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形(空白部分空白部分)的面积之和是的面积之和是_._.点击中考点击中考点击中考点击中考3.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角（则此扇形的圆心角（）(A)300 (B)360

13、 (C)450 (D)600 181.扇形面积大小（扇形面积大小（）(A)只与半径长短有关只与半径长短有关 (B)只与圆心角大小有关只与圆心角大小有关 (C)与圆心角的大小、半径的长短有关与圆心角的大小、半径的长短有关2.如果半径为如果半径为r，圆心角为圆心角为n0的扇形的面积的扇形的面积是是S，那么那么n等于（等于（）(A)(B)(C)(D)360Sr360Sr2180Sr180Sr2CCB已知正三角形的边长为已知正三角形的边长为a，求它的内切求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积圆与外接圆组成的圆环的面积 A AC CB BA AC C例例2 2：如图，把如图，把RtABCRtABC的斜边放

14、在直线的斜边放在直线 上，按上，按顺时针方向转动一次顺时针方向转动一次,使它转到使它转到 的位置。的位置。若若BC=1,A=30BC=1,A=300 0。求点。求点A A运动到运动到A A位置时，点位置时，点A A经经过的路线长过的路线长。6、（、（2009年年长长春春）如如图图，方格，方格纸纸中中4个个小正方形的小正方形的边长边长均均为为1，则图则图中阴影部分三个中阴影部分三个小扇形的面小扇形的面积积和和为为 （结结果保留果保留）随堂训练随堂训练ABCD1.(08眉山眉山)如图，等边如图，等边ABC的边长为的边长为12cm，切切边边BC于于D点，点，则图中阴影部分的则图中阴影部分的内切内切

15、O面积为（面积为（）C当堂训练当堂训练当堂训练当堂训练O2.（08潍坊潍坊）如图，正六边形内接于圆）如图，正六边形内接于圆O,圆圆O的半径为的半径为10，则圆中阴影部分的面积为，则圆中阴影部分的面积为_效果检测效果检测3.已已知知等等边边三三角角形形ABC的的边边长长为为a，分分别别以以A、B、C为为圆圆心心，以以 为为半半径径的的圆圆相相切切于于点点D、E、F，求图中阴影部分的面积求图中阴影部分的面积S.2.2.扇形面积公式与弧长公式的区别：扇形面积公式与弧长公式的区别：S扇形扇形 S圆圆360nl弧弧 C圆圆360n1.1.扇形的面积大小与哪些因素有关？扇形的面积大小与哪些因素有关？（1

16、1）与圆心角的大小有关与圆心角的大小有关（2 2）与半径的长短有关与半径的长短有关3 3.扇形面积单位与弧长单位的区别：扇形面积单位与弧长单位的区别：（1 1）扇形面积单位有平方的扇形面积单位有平方的（2 2）弧长单位没有平方的弧长单位没有平方的.一块等边三角形的木板一块等边三角形的木板,边长为边长为1,1,现将木现将木板沿水平线翻滚板沿水平线翻滚(如图如图),),那么那么B B点从开始至点从开始至B B2 2结束所走过的路径长度结束所走过的路径长度_._.(0707年湖北年湖北)BB1B2FB1BAB CD EF B21.1.如图，已知扇形如图，已知扇形AOBAOB的半径为的半径为10cm1

17、0cm，AOB=60AOB=60，求弧，求弧ABAB的长的长和扇形和扇形AOBAOB的面积的面积(写过程）写过程）当堂测验当堂测验2.2.如果一个扇形面积是它所在圆的面积的如果一个扇形面积是它所在圆的面积的 ，则此扇形的圆心角是，则此扇形的圆心角是_3 3、已知扇形的半径为、已知扇形的半径为6cm,6cm,扇形的弧长为扇形的弧长为cmcm,则该扇形的面积是则该扇形的面积是_cm_cm2 2,扇形的圆心角扇形的圆心角为为_.45453030如图，两个同心圆中，大圆的半径如图，两个同心圆中，大圆的半径OA=4cmOA=4cm，AOB=BOC=60AOB=BOC=60，则图中阴影部分的面积是则图中阴

18、影部分的面积是_cm_cm2 2。BCAA A,B B,C C两两不相交两两不相交,且半径都是且半径都是1 1cmcm,则图中的三个扇形的面积之和为多则图中的三个扇形的面积之和为多少少?弧长的和为多少弧长的和为多少?（0707年北京）年北京）如图如图,A,A、B B、C C、D D相互外离相互外离,它们的它们的半径都是半径都是1,1,顺次连接四个圆心得到四边形顺次连接四个圆心得到四边形ABCD,ABCD,则图形中四个扇形则图形中四个扇形(阴影部分阴影部分)的面积之的面积之和是和是_._.1.1.扇形的面积是它所在圆的面积的扇形的面积是它所在圆的面积的 ,求这求这个扇形的圆心角的度数个扇形的圆心

19、角的度数;(;(0505陕西陕西)2.2.扇形的面积是扇形的面积是S S，它的半径是，它的半径是r r,求这个扇形求这个扇形的弧长的弧长;(;(0505年太原年太原)3.3.扇形所在圆的圆心角度数为扇形所在圆的圆心角度数为150,150,L L=20cm,=20cm,求求:(1).:(1).扇形所在圆的半径扇形所在圆的半径;(2).(2).扇形的面积扇形的面积;（0505年台州年台州）中考连接中考连接钟表的轴心到分针针端的长为钟表的轴心到分针针端的长为5cm5cm，那么经过那么经过4040分钟，分针针端转过的弧长分钟，分针针端转过的弧长为为_。如图，从如图，从P P点引点引O O的两切线的两切

20、线PAPA、PAPA、PBPB，A A、B B为切点，已知为切点，已知O O的半径为的半径为2 2，P P6060，则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为 。如图水平放置的圆形油桶的截面半径为如图水平放置的圆形油桶的截面半径为R R，油面高为油面高为 则阴影部分的面积为则阴影部分的面积为 。（0505重庆重庆）8 8、如图，在、如图，在RtABCRtABC中，中，C=90C=900 0，AC=2AC=2，AB=4AB=4，分别以，分别以ACAC，BCBC为直径作圆，则图中阴为直径作圆，则图中阴影部分面积为影部分面积为 （0505武汉武汉）CAB A是半径为是半径为1的圆的圆O外一点，且外

21、一点，且OA=2，AB是是 O的切线，的切线，BC/OA，连结，连结AC，则阴影部分，则阴影部分面积等于面积等于 。如图，如图，矩形矩形ABCDABCD是一厚土墙截面，墙长是一厚土墙截面，墙长1515米，米，宽宽1 1米。在距米。在距D D点点5 5米处有一木桩米处有一木桩E E，木桩上拴木桩上拴一根绳子，绳子长一根绳子，绳子长7 7米，另一端拴着一只小狗，米，另一端拴着一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多少？请问小狗的活动范围最大是多少？ADBC.E如图，如图，矩形矩形ABCDABCD是一厚土墙截面，墙长是一厚土墙截面，墙长1515米，米，宽宽1 1米。在距米。在距D D点点5 5米处有一木桩米处有一木桩E E，木桩上拴木桩上拴一根绳子，绳子长一根绳子，绳子长7 7米，另一端拴着一只小狗，米，另一端拴着一只小狗，请问小狗的活动范围最大是多少？请问小狗的活动范围最大是多少？