组合变形及连接部分的计算.ppt

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1、组合变形及连接部分的计算组合变形及连接部分的计算第八章第八章 两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲 拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲 扭转与弯曲扭转与弯曲 概述概述 连接件的实用计算连接件的实用计算 铆钉连接的计算铆钉连接的计算 一、一、组合变形概念组合变形概念:构件在荷载作用下发生两种或两种构件在荷载作用下发生两种或两种 以上的基本变形以上的基本变形,则构件的变形称为组合变形。则构件的变形称为组合变形。二、二、解决组合变形问题的基本方法解决组合变形问题的基本方法:叠加法叠加法8-1 概述概述叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等与叠加原理的成立要求：内力，应力，应变，变形等

2、与外力之间成外力之间成 线性关系线性关系。叠加法叠加法-处理组合变形的基本方法处理组合变形的基本方法一、将组合变形一、将组合变形 分解分解 为基本变形为基本变形将外力简化或分解，将外力简化或分解，使之每个力使之每个力(或力偶或力偶)对应一种基本变形；对应一种基本变形；三、利用三、利用 叠加原理叠加原理 将基本变形下的应力和变形叠加。将基本变形下的应力和变形叠加。二、分别二、分别计算计算在每一种在每一种基本变形基本变形下构件的的应力和变形；下构件的的应力和变形；四、叠加原理应用举例四、叠加原理应用举例l/2Fl/2右端支座截面的转角为右端支座截面的转角为例如：简支梁的跨中点作用集中力例如：简支梁

3、的跨中点作用集中力 F转角转角与荷载与荷载 F 的关系就是线性的的关系就是线性的.是一个系数，只要明确是一个系数，只要明确 F 垂直于轴线垂直于轴线,且作用于跨中点且作用于跨中点,则则这一系数与这一系数与 F 的大小无关的大小无关.叠加原理的成立，要求位移，应力，应变和内力叠加原理的成立，要求位移，应力，应变和内力叠加原理的成立，要求位移，应力，应变和内力叠加原理的成立，要求位移，应力，应变和内力等与外力成线性关系。当不能保证上述线性关系等与外力成线性关系。当不能保证上述线性关系等与外力成线性关系。当不能保证上述线性关系等与外力成线性关系。当不能保证上述线性关系时，叠加原理不能使用。时，叠加原

4、理不能使用。时，叠加原理不能使用。时，叠加原理不能使用。三、工程实例三、工程实例:三、工程实例三、工程实例:烟 囱 雨 篷=+=+两相互垂直平面内的弯曲也称两相互垂直平面内的弯曲也称 斜弯曲斜弯曲。双对称截面梁双对称截面梁 在水平和垂直两纵向对称面内同时受在水平和垂直两纵向对称面内同时受横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向横向外力作用，分别在水平纵向对称面和垂直纵向对称面内发生对称弯曲。对称面内发生对称弯曲。8-2 两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲梁在垂直纵对梁在垂直纵对称面称面 xyxy 面内发面内发生平面弯曲生平面弯曲。Z Z 轴为中性轴轴为中性轴yxz挠曲线挠曲线梁的

5、轴线梁的轴线对称轴对称轴垂直纵向对称面垂直纵向对称面xyz 梁的轴线梁的轴线对称轴对称轴水平纵向对称面水平纵向对称面梁在水平纵向对梁在水平纵向对称面称面 xz 平面内弯曲，平面内弯曲，y 轴为中性轴。轴为中性轴。挠曲线挠曲线yzxP1P2a 一、一、梁任意横截面上的内力分析梁任意横截面上的内力分析P1 使梁在使梁在 XZXZ 平面内弯曲（平面内弯曲（y 轴为中性轴）轴为中性轴）P2 使梁在使梁在 XYXY 平面内弯曲（平面内弯曲（z 轴为中性轴）轴为中性轴）mmyxzyzxmmxP1P2aMyMy=P1 x （使梁在（使梁在 XZ 平面内弯曲，平面内弯曲，y 为中性轴）为中性轴）P1 在在 m

6、m 面内产生的弯矩为面内产生的弯矩为mmyxzyzxmmxP1P2aMyMZ=P2(x-a)（使梁在（使梁在 XY 平面内弯曲，平面内弯曲，z 为中性轴）为中性轴）MZP2 在在 mm 面内产生的弯矩为面内产生的弯矩为mmyxz 二二、梁横截面上的应力分析梁横截面上的应力分析 （任意点（任意点 C(y,z)的正应力）的正应力）C(y,z)mmyMyMZMyxzMZ mmymmyMZMy与与 My 相应的正应力为相应的正应力为与与 Mz 相应的正应力为相应的正应力为mmyC(y,z)MZ MyC(y,z)C(y,z)xzxzxzC 点处的正应力为点处的正应力为mmyC(y,z)MZ MymmyC

7、(y,z)MZMyxzxz三、三、横截面上中性轴的位置横截面上中性轴的位置 该点该点的正应力等于的正应力等于 零零假设点假设点 e(z0,y0)为中性轴上任意一点为中性轴上任意一点mmye(z0,y0)xz三、三、横截面上中性轴的位置横截面上中性轴的位置 中性轴方程为中性轴方程为中性轴是一条通过横截面形心的直线中性轴是一条通过横截面形心的直线。mmye(z0,y0)中性轴中性轴xz中性轴的位置由中性轴的位置由 它与它与 y 轴的轴的夹角夹角 确定。确定。mmy中性轴中性轴Z0y0 xze mmy中性轴中性轴Z0y0 xze MyMZ 角度角度 是是横截面上合成弯矩横截面上合成弯矩矢量矢量 M

8、与与 y 轴的夹角。轴的夹角。Mmmy中性轴中性轴xz MyMZ M横截面上合成弯矩横截面上合成弯矩 M 为为y中性轴中性轴xz MyMZ M合成弯矩平面合成弯矩平面（1 1）一般情况下，截面一般情况下，截面的的 Iz Iy,故合成弯矩故合成弯矩 M所在平面与中性轴不垂直，所在平面与中性轴不垂直，此为斜弯曲的受力特征。此为斜弯曲的受力特征。讨论：讨论：y中性轴中性轴xz MyMZ M因为截面的挠度垂直于因为截面的挠度垂直于中性轴，所以挠曲线不中性轴，所以挠曲线不在合成弯矩所在的平面在合成弯矩所在的平面内。内。这种弯曲称为这种弯曲称为斜弯曲斜弯曲斜弯曲斜弯曲合成弯矩平面合成弯矩平面（2）对于圆形

9、、正方形等截面对于圆形、正方形等截面 Iy=Iz ，所以有，所以有 =。yz中性轴中性轴 Myz中性轴中性轴 M梁发生梁发生平面弯曲平面弯曲，正应力可用合成弯矩，正应力可用合成弯矩 M 按正应力计算公式计算按正应力计算公式计算yz中性轴中性轴 M梁的挠曲线一般仍是一条梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线空间曲线，故梁的扰曲线方程仍应分别，故梁的扰曲线方程仍应分别按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。按两垂直面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。zyo中性轴四、四、强度分析强度分析作平行于中性轴的两直线分别与作平行于中性轴的两直线分别与横截面周边相切于横截面周边相切于 D1、D

10、2两点两点，D1、D2 两点分别为横截面上两点分别为横截面上最大拉应力点和最大压应力点。最大拉应力点和最大压应力点。zyozyo中性轴中性轴中性轴中性轴对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面梁横截面的对于矩形、工字形等有两个相互垂直的对称轴的截面梁横截面的最大正应力发生在截面的棱角处。最大正应力发生在截面的棱角处。可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉，压应力点的可根据梁的变形情况，直接确定截面上最大拉，压应力点的位置，位置，无需定出中性轴无需定出中性轴。五，强度条件五，强度条件斜弯曲的危险点处于单轴应力状态，所以强度条件为斜弯曲的危险点处于单轴应力状态，所以强度条件为 xA B C

11、zyP2=2kNP1=1kN 0.5m 0.5m 4080zyo a d b c例题例题:矩形截面的悬臂梁承受荷载矩形截面的悬臂梁承受荷载 如图所示。试如图所示。试 确定确定危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。危险截面、危险点所在位置，计算梁内最大正应力的值。P1=1kNP2=2kNA B Czy 0.5m 0.5m x解解:(1)外力分析外力分析在在 P2 力作用下将在力作用下将在 XOZ 平面内发生平面弯曲平面内发生平面弯曲（y 为中性轴）为中性轴）故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合故此梁的变形为两个相互垂直平面弯曲的组合-斜弯曲斜弯曲梁在梁在 P1力作用下将在力作用下

12、将在XOY平面内发生平面弯曲平面内发生平面弯曲（z为中性轴）为中性轴）A B CP1=1KNzy 0.5m 0.5m x(2)绘制弯矩图绘制弯矩图绘出绘出 MZ(x)图图绘出绘出 MY(x)图，图，A 截面为梁的危险截面。截面为梁的危险截面。其值为其值为 MZ=1 kN.m MY=1 kN.mP2=2kN M(z)图图1kN.m M(y)图图1kN.mzyxMz 使使 A 截面上部受拉，下部截面上部受拉，下部受压。受压。My 使使 A 截面前部受拉，后部截面前部受拉，后部受压。受压。A B CP1=1kNzy 0.5m 0.5m xP2=2kN M(z)图图1kN.m M(y)图图1kN.mz

13、yx（3）应力分析应力分析zyxzyxD1 是最大拉应力点是最大拉应力点D2 是最大压应力点是最大压应力点两点正应力的绝对值相等两点正应力的绝对值相等拉拉压压拉拉压压zyxzyx8040zyzyx MZ=1 kN.m MY=1 kN.m8040zyMZoz d xa b cy（4）中性轴的位置）中性轴的位置oz d xa b cyoz d xa b cyMZMYMYMYoMZz d xa b cy8040zy中性轴中性轴（5）绘制总应力分布图）绘制总应力分布图8040zy中性轴中性轴 D1D2+-D1=70.2 D2=-70.2拉拉压压例题例题：20a 号工字钢悬臂梁受集度为号工字钢悬臂梁受集

14、度为 q 的均布荷载和集中力的均布荷载和集中力P=ga/2 作用。已知钢的许用应力作用。已知钢的许用应力 =160MPa，a=1m。试求此试求此梁的许可荷载集度梁的许可荷载集度 q。400PqaaACByz400PqaaACByz解：将力解：将力P向向 y 轴和轴和 z 轴分解轴分解PyPzPy=Pcos400=0.383qaPz=Psin400=0.321qa400PqaaACByzPyPzPy 与均布荷载与均布荷载 q 在在 xy平面产生平面弯曲（平面产生平面弯曲（z为中性轴）。为中性轴）。Pz 在在 xz平面产生平面弯曲（平面产生平面弯曲（y为中性轴）。为中性轴）。x400PqaaACB

15、yzPyPzx(1)画弯矩图画弯矩图qPyACBxy面面PzACBxz面面qPyACBxy面面PzACBxz面面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz图图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图图0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz图图adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My图图A，D 两截面可能是危险截面两截面可能是危险截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A 截面：截面：D 截面：截面：MzA=0.266qa2Mz

16、D=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A 截面：截面：D 截面：截面：（2）计算应力）计算应力查工字钢表查工字钢表 20a 号号A 截面：截面：D 截面：截面：梁的危险点在梁的危险点在 A 截面棱角处截面棱角处例题例题：分布荷载分布荷载 q=1.2KN/m，采用矩形截面，采用矩形截面 h:b=3:2，跨距，跨距 l=3.6m。容许应力。容许应力 =10MPa。试设计截面尺寸。试设计截面尺寸。bhZyq300qbhZyq300qqyqz解：解：q将向轴将向轴 x，y 分解分解qybhZyq300qyqzqz该梁为斜弯曲该梁为斜弯曲qyqzbhZyq300qyqz梁中

17、间截面有最大弯矩梁中间截面有最大弯矩最大正应力发生在角点上最大正应力发生在角点上qyqzbhZyq300qyqzqyqzb=87.6mmh=131mm 矩形截面梁斜弯曲矩形截面梁斜弯曲 圆形截面梁斜弯曲圆形截面梁斜弯曲8-3 拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲 杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸(压缩压缩)与弯曲组合变形。与弯曲组合变形。作用在杆件上的作用在杆件上的 外力既有外力既有轴向拉轴向拉(压压)力力，还有，还有横向力横向力。一、横向力与轴向力共同作用一、横向力与轴向力共同作用PSSP 产生弯曲变形产生弯曲变形S 产生拉伸变形产生拉伸变形P PyPxPy 产生弯曲变形产生弯曲变形Px 产生拉

18、伸变形产生拉伸变形1.拉拉(压压)与弯曲内力分析与弯曲内力分析xzy0MZFNMy杆件横截面上内力杆件横截面上内力弯曲弯曲 拉拉(压压)：轴力：轴力FN弯矩弯矩 MZ 或或 My (或二者皆有或二者皆有)剪力剪力因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。横截面上任意一点横截面上任意一点(z,y)处的处的正应力计算公式为正应力计算公式为2.应力分析应力分析xzy0MZFNMy(z,y)拉伸正应力拉伸正应力 N弯曲正应力弯曲正应力 Mz，My轴力轴力跨中截面是杆的危险截面跨中截面是杆的危险截面PSS与轴力对应的拉伸正应力与轴力对应的拉伸正应力与弯矩对应的最大弯曲正应力

19、与弯矩对应的最大弯曲正应力 PSS-杆危险截面杆危险截面下边缘各点下边缘各点处的上的拉应力为处的上的拉应力为 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、杆件的抗拉、压强度条件。压强度条件。3.强度条件强度条件由于危险点处的应力状态仍为单轴应力状态，故其为由于危险点处的应力状态仍为单轴应力状态，故其为例题例题:一折杆由两根无缝钢管焊接一折杆由两根无缝钢管焊接 而成而成,已知两根钢管的外径都已知两根钢管的外径都 是是140mm,壁厚都是壁厚都是10 mm。试求折杆危险截面上的最大试求折杆危险截面上的最大 拉应力和最大压应力。拉应

20、力和最大压应力。1.6 m1.2 m1.6 mAB10 kNCA1.6 m1.2 m1.6 mAB10 kNCAHAFAFB解解：（：（1）首先求支反力。首先求支反力。由静力平衡方程可求得由静力平衡方程可求得 FA=FB=5 kNHA=01.6 m1.2 m1.6 mAB10 kNCAHAFAFB 由于折杆本身和它所受的由于折杆本身和它所受的 力都是左右对称的，故只力都是左右对称的，故只 需分析它的一半即需分析它的一半即 AC杆杆 任一横截面任一横截面 x 上的内力上的内力。（2）用截面法分析内力）用截面法分析内力 由图示尺寸可求得由图示尺寸可求得10 kNCABFA将将 RA 沿沿 AC 的

21、轴线和垂直的轴线和垂直AC 轴线的方向分解为轴线的方向分解为xA 产生轴向压缩产生轴向压缩yA 产生平面弯曲产生平面弯曲任任 一一 横截面横截面 x 上的内力上的内力轴力轴力 FN=xA弯矩弯矩 M(x)=yA x剪力剪力 Fs=yA （略）（略）10 kNCABFAx 轴力轴力 FN=XA 弯矩弯矩 M(x)=YA x危险截面为危险截面为 11 截面截面轴力轴力 FN=xA=3 kN弯矩弯矩 M =yA 2=8 kN.m其内力为其内力为10 kNCABFAx1110 kNCABFAx11(3)AC 杆危险截面杆危险截面 上的上的 最大拉应力和最大压应力最大拉应力和最大压应力f 点为最大拉应力

22、点。点为最大拉应力点。gfg 点为最大压应力点，点为最大压应力点，例题例题：悬臂吊车如图所示。横梁用：悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。其抗弯工字钢制成。其抗弯刚度刚度Wz=237cm3,横截面面积横截面面积A=35.5cm2，总荷载，总荷载F=34kN，横梁材料的许用应力为横梁材料的许用应力为=12.5MPa。校核横梁。校核横梁AB的强度。的强度。ABCD1.2m1.2m300F解：分析解：分析AB的受力的受力DABFRSFNBC300ABCD1.2m1.2m300FABDFNABRS300FN,BC=FRA=0.5FHA=0.866FRAHAAB为平面弯曲与压缩组合变形。为平面弯曲

23、与压缩组合变形。中间截面为危险截面。最大压应力中间截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的发生在该截面的 上边缘上边缘。ABCD1.2m1.2m300F压缩正应力压缩正应力最大弯曲正应力最大弯曲正应力ABDFNABRS300RAHAABCD1.2m1.2m300F安全安全二、偏心拉（压）截面核心 定义：当外力作用线与杆的轴线平行但不重合时，将引起 轴向拉伸（压缩）和弯曲的两种基本变形。1.偏心拉（压）（1）单向偏心拉（压）外力F 的作用点位于截面的一个形心主轴(对称轴)上。单层工业厂房中的牛腿柱偏心压缩的工程实例zFey将力向截面形心简化得Fzy轴向力 F力矩 Me=PeMe（1）力系等效?单

24、向偏心拉（压）的应力与强度zFeyFzyMeF 使杆件发生轴向拉伸Me 使杆件发生平面弯曲单向偏心拉（压）为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲的组合变形zFeyFzyMe横截面上任一点的正应力拉伸正应力弯曲正应力拉弯组合变形的正应力：？FzyMe 拉拉,max拉弯组合变形的正应力：得：强度条件：yzFezeyx（2）双向偏心拉（压）外力 F 的作用点不在截面的任何一个形心主轴,而是位于到z,y 轴的距离分别为 ey 和 ez 某点处.yzFezeyxyzFx解:将力向形心简化得轴向力 F(轴向拉伸)力矩 Mz=Fey (xy 面内弯曲,z为中性轴)MzMy力矩 My=Fez (xz 面内弯曲,y为中性

25、轴)yzFx轴向力F(轴向拉伸)力矩 Mz=Fey (xy 面内弯曲)MzMy力矩 My=Fez (xz 面内弯曲)双向偏心拉（压）为轴向拉伸和两个平面内弯曲的组合变形轴向拉伸截面上任一点的正应力yzyzFxMzMyMz=Fey 引起同一点的正应力My=Fez 引起同一点的正应力该点的正应力yzyzFxMzMyMz=FeyMy=Fez对于具有棱角的截面对于具有棱角的截面,危险点危险点一定在截面的棱角处一定在截面的棱角处,按最大按最大正应力作强度计算。正应力作强度计算。yzyzFxMzMy 边缘光滑的无棱边缘光滑的无棱角截面如何计算最角截面如何计算最大正应力？大正应力？yzo1F以横截面具有两对

26、称轴的等直杆承受偏心拉力以横截面具有两对称轴的等直杆承受偏心拉力 F 为例为例yzo1FxyzFeF（1）将外力向截面形心简化，使每个力）将外力向截面形心简化，使每个力(或力偶或力偶)只产生一种只产生一种 基本变形形式基本变形形式。轴向拉力：轴向拉力：F力偶矩力偶矩:m=F eyzo1FxyzFeF yzo1FxyzFeF 将将 m 分解为两力偶分解为两力偶 my、mzmymzyz轴向拉力：轴向拉力：FxyzFmymzxFF 使杆发生拉伸变形使杆发生拉伸变形My 使杆发生使杆发生 xz 平面内的平面平面内的平面弯曲变形（弯曲变形（y 为中性轴）为中性轴）Mz 使杆发生使杆发生 xy 平面内的平

27、面平面内的平面弯曲变形（弯曲变形（z 为中性轴）为中性轴）yzxFyzFnnMyMz轴力轴力 FN=F,弯矩弯矩 My=my=F Zp ,Mz=mz=Fyp（2）任意横截面）任意横截面 n-n 上的内力分析上的内力分析FNyzFnn（3）任意横截面）任意横截面 n-n 上上 C 点的应力分析点的应力分析y,zMyMzFN弯矩：弯矩：My=my=F ZF ,Mz=mz=FyF由由 FN 产生的正应力产生的正应力yzMyMzy,zFN由由 My 产生的正应力产生的正应力由由 Mz 产生的正应力产生的正应力轴力轴力 FN=F由叠加原理，即得由叠加原理，即得 C点处的正应力为点处的正应力为式中：式中：

28、A 为横截面面积；为横截面面积；Iy,Iz 分别为横截面对分别为横截面对 y 轴和轴和 z 轴的惯性矩；轴的惯性矩；（ZF，yF ）分别为）分别为外力外力 F 作用点的坐标；作用点的坐标；（Z，y ）分别为所）分别为所求应力点的坐标。求应力点的坐标。上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规律上式是一个平面方程。表明正应力在横截面上按线性规律变化。应力平面与横截面的交线（直线变化。应力平面与横截面的交线（直线 =0）就是中性轴。）就是中性轴。2.中性轴的确定中性轴的确定令令 y0,z0 代表中性轴上任一点的坐标，即得代表中性轴上任一点的坐标，即得 中性轴方程中性轴方程中性轴方程中性轴方程

29、y0z中性轴中性轴讨论讨论讨论讨论:（1）在偏心拉伸在偏心拉伸 (压缩压缩)情情 况下，中性轴是一条不通过况下，中性轴是一条不通过 截面形心的直线。截面形心的直线。yz中性轴中性轴o（2）用用 ay 和和 az 记中性轴在记中性轴在 y,z 两轴上的截距，则有两轴上的截距，则有yF ,zF讨论讨论:y0z中性轴中性轴外力作用点外力作用点（3）中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧。中性轴与外力作用点分别处于截面形心的相对两侧。讨论讨论:y0z中性轴中性轴外力作用点外力作用点yz中性轴中性轴（4）中性轴将横截面上的应力区域分为拉应力区域和压应力区域）中性轴将横截面上的应力区域分为拉应力区域

30、和压应力区域。横截面上最大拉应力和最大压应力分别为横截面上最大拉应力和最大压应力分别为D1,D2 两切点。两切点。(a)(b)(c)yzD1D2yyzz（5）对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，）对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定。并可根据杆件的变形来确定。yzD1D2中中性性轴轴最大拉应力最大拉应力 t max 和最大压应力和最大压应力 c min 分分别在截面的棱角别在截面的棱角 D1、D2 处处.无需先确定中性轴的位置无需先确定中性轴的位置,直接观察确定危险点的位置即可。直接观察确定危险点的位置即可。yzD1D2中中性性轴轴3.强

31、度条件强度条件由于危险点处仍为单轴应力状态，因此，求得最大正应由于危险点处仍为单轴应力状态，因此，求得最大正应力后，建立的强度条件为力后，建立的强度条件为例题例题：小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用：小型压力机的铸铁框架如图所示。已知材料的许用拉应力拉应力 t=30MPa，许用压应力许用压应力 C=160MPa。试按立试按立柱的强度确定压力机的最大许可压力柱的强度确定压力机的最大许可压力 P。5050150150350PPz5050150150350PPyzz0z1解：解：(1)确定形心位置确定形心位置A=15 10-3 m2Z0=7.5cmIy=5310cm4计算截面对中性轴计算截

32、面对中性轴 y 的惯性矩的惯性矩350PPPnnFNMy(2)分析立柱横截面上的内力和应力分析立柱横截面上的内力和应力5050150150yzz0z1nn立柱受力为偏心拉伸立柱受力为偏心拉伸在在 nn 面上有轴力面上有轴力 FN及弯矩及弯矩 My。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nnFN=PMy=(35+7.5)10-2 P=（42.5 10-2）P kN.mFN 产生轴向拉伸。产生轴向拉伸。My 产生平面弯曲。产生平面弯曲。350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn由轴力由轴力 FN 产生的拉伸正应力为产生的拉伸正应力为350PPPnnFNMy505

33、0150150yzz0z1nn由弯矩由弯矩 My 产生的最大弯曲正应力为产生的最大弯曲正应力为拉拉压压350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉拉压压（3）叠加）叠加在截面内侧有最大拉应力在截面内侧有最大拉应力P 45.1 kN350PPPnnFNMy5050150150yzz0z1nn拉拉压压在截面外侧有最大压应力在截面外侧有最大压应力P 171.3 kNP 45.1 kN所以取所以取zyPABCDCD 线上各点处为最大压应力线上各点处为最大压应力AB 线上各点处为最大拉应力线上各点处为最大拉应力例题例题：指出图示拉杆上最大拉应力和最大压应力点的位置。：指出图示拉杆上最大

34、拉应力和最大压应力点的位置。FmZmy例题例题：矩形截面柱如图所示。：矩形截面柱如图所示。P1的作用线与杆轴线重合，的作用线与杆轴线重合，P2作用在作用在 y 轴上。已知，轴上。已知，P1=P2=80kN，b=24cm,h=30cm。如。如要使柱的要使柱的 mm 截面只出现压应力，求截面只出现压应力，求 P2 的偏心距的偏心距 e。yzebhP1P2mm解：解：（1）将力）将力 P2 向截面形心简化后，梁向截面形心简化后，梁 上的外力有上的外力有轴向压力轴向压力力偶矩力偶矩yzebhP1mmP2mzP2(2)mm 横截面上的内力有横截面上的内力有轴力轴力 FN=P弯矩弯矩 Mz=P2e轴力产生

35、压应力轴力产生压应力弯矩产生的最大正应力弯矩产生的最大正应力yzebhP1mmP2mzP2(3)横截面上不产生拉应力的条件为横截面上不产生拉应力的条件为解得：解得：e=10cmyzebhP1mmP2mzP2例题例题：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面：正方形截面立柱的中间处开一个槽，使截面面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的的最面积为原来截面面积的一半。求：开槽后立柱的的最大压应力是原来不开槽的几倍。大压应力是原来不开槽的几倍。aaFFaa未开槽前立柱为未开槽前立柱为轴向压缩轴向压缩解：解：aaFFaa开槽后开槽后11是危险截面是危险截面11FFa/2aaF11危险截面为偏心压缩危险

36、截面为偏心压缩将力将力 P 向向11形心简化形心简化未开槽前立柱的最大压应力未开槽前立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力开槽后立柱的最大压应力aaFFaayz二、二、截面核心截面核心中性轴中性轴（yF，zF）为外力作用点的坐标）为外力作用点的坐标（ay，az）为中性轴的截距）为中性轴的截距yz中性轴中性轴yz中性轴中性轴中性轴中性轴yzyz中性轴中性轴中性轴中性轴当中性轴与图形相切或远离图形时，整个图形上将当中性轴与图形相切或远离图形时，整个图形上将只有拉应力只有拉应力或或只有压应力只有压应力。yz截面核心截面核心1 1.定义定义定义定义 ：当外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可当

37、外力作用点位于包括截面形心的一个区域内时，就可以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力）以保证中性轴不穿过横截面（整个截面上只有拉应力或压应力），这个区域就称为这个区域就称为 截面核心截面核心yz截面核心截面核心中性轴中性轴外力作用点外力作用点当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与当外力作用在截面核心的边界上时，与此相应的中性轴正好与截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。截面的周边相切。截面核心的边界就由此关系确定。2.截面核心的绘制截面核心的绘制yz截面核心截面核心1122334455作切线作切线 为中性轴为中性轴,在两个形心主惯性轴上的截距分别为在两个

38、形心主惯性轴上的截距分别为（1）圆形截面的截面核心确定圆形截面的截面核心确定yz0d1（1）圆形截面的截面核心确定圆形截面的截面核心确定yz0d1圆截面的惯性半径为圆截面的惯性半径为1yz0d11由于圆截面对于圆心由于圆截面对于圆心 o 是对称的是对称的，因而截面核心的边界对于，因而截面核心的边界对于圆心也应是极对称的。从而可知，截面核心边界是一个以圆心也应是极对称的。从而可知，截面核心边界是一个以 o 为圆心、以为圆心、以 d/8 为半径的圆。为半径的圆。hbABCDyz0(2)矩形截面的截面核心确定矩形截面的截面核心确定 作切线作切线 为中性轴，为中性轴，得两截距分别为得两截距分别为1hb

39、ABCDyz01 矩形截面的矩形截面的hbABCDyz01234 同理同理,分别作切线分别作切线、，可求得对应的核心边界上，可求得对应的核心边界上点的坐标依次为点的坐标依次为2hbABCDyz01234直线直线 绕顶点绕顶点 B 旋转到直线旋转到直线 时，将得到一系列通过时，将得到一系列通过 B点点但斜率不同的中性轴，而但斜率不同的中性轴，而 B点坐标点坐标 yB,zB 是这一系列是这一系列中性轴上所共有的。中性轴上所共有的。矩形截面核心形状分析矩形截面核心形状分析3hbABCDyz02341 这些中性轴方程为这些中性轴方程为hbABCDyz02341上式可以看作是表示外力作用点上式可以看作是

40、表示外力作用点坐标间关系的直线方程坐标间关系的直线方程。故外力作用点移动的轨迹是直线。故外力作用点移动的轨迹是直线。常见图形的截面核心常见图形的截面核心（1）对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。对于具有棱角的截面，均可按上述方法确定截面核心。（2）对于周边有凹进对于周边有凹进 部分的截面（如部分的截面（如T字形截面），字形截面），不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，不能取与凹进部分的周边相切的直线作为中性轴，因为这种直线穿过因为这种直线穿过 横截面。横截面。4.讨论：讨论：矩形截面梁偏心拉伸矩形截面梁偏心拉伸8-4 扭转与弯曲扭转与弯曲研究对象：研究对象：圆截面杆圆截面杆受

41、力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。ABLaP设一直径为设一直径为 d 的等直圆杆的等直圆杆 AB,B 端具有与端具有与 AB 成直角的刚臂。成直角的刚臂。研究研究 AB 杆的内力。杆的内力。ABLaPB横向力：横向力：P（引起平面弯曲）（引起平面弯曲）力偶矩：力偶矩：m=Pa （引起扭转）（引起扭转）将力将力 P 向向 AB 杆右端截面的杆右端截面的形心形心 B 简化简化得得AB 杆为弯扭组合变形杆为弯扭组合变形APmx一、一、内力分析内力分析画内力图确定危险截面画内力图确定

42、危险截面固定端为危险截面固定端为危险截面AAPmPlm危险截面上的内力有：危险截面上的内力有：弯矩：弯矩：M=Pl扭矩：扭矩：T=mA截面截面 C3C4T C3C4 C2C1二、二、应力分析应力分析危险点为危险点为危险点为危险点为 C C1 1 和和和和 C C2 2 最大扭转切应力最大扭转切应力 发生在截面发生在截面周边上的各点处。周边上的各点处。C2C1危险截面上的最大弯曲危险截面上的最大弯曲正应力正应力 发生在发生在C C1 1 、C C2 2 处处C1C2C3C4TMA截面截面 C3C4 C2C1C1C2C3C4T对于许用拉、压应力相等的对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆这两点的

43、塑性材料制成的杆这两点的危险程度是相同的。危险程度是相同的。可取任可取任一点一点C1 来研究。来研究。C1 点点处于平面应力状态处于平面应力状态C1 三、强度分析三、强度分析1.主应力计算主应力计算C1 第三强度理论第三强度理论,计算相当力计算相当力2.相当应力计算相当应力计算 第四强度理论第四强度理论,计算相当应力计算相当应力3.强强 度计算度计算 C1 1该公式适用于图示的平面应力状态。该公式适用于图示的平面应力状态。是危险点的正应力，是危险点的正应力，是危险点的剪应力。是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。且横截面不限于圆形截面。C1 讨讨 论论 可以是可以是弯扭组合弯扭组合弯扭组合

44、弯扭组合变形中由弯曲产生的正应力；变形中由弯曲产生的正应力；是由扭转变形引起的切应力。是由扭转变形引起的切应力。C1 还可以是还可以是弯曲弯曲弯曲弯曲，拉拉拉拉（压压压压）与）与扭转扭转扭转扭转组合变形中由弯曲与拉（压）组合变形中由弯曲与拉（压）产生的正应力。产生的正应力。也可以是也可以是 拉拉拉拉（压压压压）与）与扭转扭转扭转扭转组合变形中由拉（压）产生的正应力；组合变形中由拉（压）产生的正应力；C1 该公式适用于该公式适用于 弯弯弯弯，扭扭扭扭 组合变形；组合变形；拉拉拉拉（压压压压）与）与扭转扭转扭转扭转 的组合变形；的组合变形；以及以及 拉拉拉拉（压压压压），），扭转扭转扭转扭转 与与

45、 弯曲弯曲弯曲弯曲 的组合变形。的组合变形。弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为对于圆形截面杆有对于圆形截面杆有2上两式只适用于上两式只适用于 弯，扭弯，扭弯，扭弯，扭 组合变形下的组合变形下的 圆截面杆。圆截面杆。圆截面杆。圆截面杆。式中式中WW为杆的抗弯截面系数。为杆的抗弯截面系数。M M，T T 分别为危险截面的弯矩分别为危险截面的弯矩和扭矩。和扭矩。例题例题1：图图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有上作用有铅垂切向力铅垂切向力 5 kN,径向力径向力 1.82 kN;齿轮齿轮 D上作用有水平切

46、向力上作用有水平切向力10 kN,径向力径向力 3.64 kN。齿轮。齿轮 C 的节圆直径的节圆直径 dc=400 mm,齿轮齿轮 D 的节圆直径的节圆直径 dD=200 mm。设许用应力。设许用应力=100 MPa,试按第四强度理论求轴的直径。试按第四强度理论求轴的直径。BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1.82kN3.64kN解：解：1.外力的简化外力的简化xyzACBD5kN1kN.m1.82kN3.64kN10kN1kN.m将每个齿轮上的外力将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心向该轴的截面形心简化，简化，BACDyz5kN10kN300mm300mm100mmx1

47、.82kN3.64kN1 kN.m1 kN.m 使轴产生扭转使轴产生扭转5kN5kN，3.64kN3.64kN 使轴在使轴在 xzxz 纵对称面内产生弯曲。纵对称面内产生弯曲。1.82kN1.82kN，10kN 10kN 使轴在使轴在 xyxy 纵对称面内产生弯曲。纵对称面内产生弯曲。2.轴的变形分析轴的变形分析xyzACBD5kN3.64kN1.82kN10kN1kN.m1kN.mxyzACBD5kN3.64kN3.绘制轴的内力图绘制轴的内力图MyCMyB0.57kN.m0.36kN.mCBMy图图xyzACBD1.82kN10kN0.2271CBMz图图MZCMZB=1kN.m(kN.m)

48、xyzACBDT=1kN.m1kN.m1kN.m1kN.mCT图图-圆杆发生的是斜圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组弯曲与扭转的组合变形合变形xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82kN10kN0.2271CBMz图图(kN.m)轴在轴在 xz 和和 xy 两平面两平面 内弯曲的合成结果内弯曲的合成结果仍为平面弯曲。仍为平面弯曲。xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82kN10kN0.2271CBMz图图通过圆轴轴线的任一通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面都是纵向对称平面，平面，可用可用 总弯矩总弯矩 来计算来计算该截面正应力。该截面正应力

49、。(kN.m)B 截面是危险截面截面是危险截面MyC=0.57kN.mMZC=0.227kN.mMyB=0.36kN.mMZB=1kN.m4.危险截面上的危险截面上的内力计算内力计算xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82kN10kN0.2271CBMz图图(kN.m)xzyyzxyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82kN10kN0.2271CBMz图图(kN.m)B 截面的总弯矩为截面的总弯矩为yzxyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82kN10kN0.2271CBMz图图(kN.m)B 截面的扭矩值为截面的

50、扭矩值为xyzACBD5kN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82kN10kN0.2271CBMz图图1CT图图(kN.m)5.由强度条件求轴的直径由强度条件求轴的直径轴需要的直径为轴需要的直径为例题例题：传动轴如图所示。在：传动轴如图所示。在A处作用一个外力偶矩处作用一个外力偶矩 m=1KN.m，皮带轮直径皮带轮直径 D=300mm，皮带轮紧边拉力为，皮带轮紧边拉力为N1，松边拉力为，松边拉力为N2。且且N1=2 N2，L=200mm，轴的许用应力，轴的许用应力=160MPa。试用第三。试用第三强度理论设计轴的直径强度理论设计轴的直径ZN1N2dxyABcL/2L/2mm解：将力向