线性代数第八讲向量组的线性相关性.ppt

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1、第第 四四 章章 向量组的线性相关性向量组的线性相关性 第一节第一节 向量组及其线性组合向量组及其线性组合向量及向量组的定义向量及向量组的定义向量及向量组的定义向量及向量组的定义主要内容主要内容向量组等价向量组等价向量组等价向量组等价向量组等价的条件向量组等价的条件向量组等价的条件向量组等价的条件定理的比较定理的比较定理的比较定理的比较定义定义1 n n 个有次序的数个有次序的数个有次序的数个有次序的数 a a1 1,a a2 2,.,.,a an n 所所所所组组组组成的数组称为成的数组称为成的数组称为成的数组称为 n 维向量维向量,这这这这 n n 个数称为该向量的个数称为该向量的个数称为

2、该向量的个数称为该向量的n n 个分量个分量个分量个分量,第第第第 i i 个数个数个数个数 a ai i 称为第称为第称为第称为第 i i 个分量个分量个分量个分量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量实向量实向量,分量为复数分量为复数的向量称为的向量称为复向量复向量复向量复向量.在这里我们只讨论实向量在这里我们只讨论实向量.一、向量及向量组的定义一、向量及向量组的定义1.向量的定义向量的定义n 维列维列向向 量量n 维行维行向向 量量n 维向量可写成一行维向量可写成一行,也可写成一列也可写成一列.为为行向量行向量和和列向量列向量,也就是行矩阵和列矩阵也就是行矩阵和列矩阵

3、,并规并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算.因此因此,n 维列向量维列向量 与与 n 维行向量维行向量 T 是两个不同是两个不同的向量的向量.分别称分别称在解析几何中在解析几何中,我们把我们把“既有大小又有方向的既有大小又有方向的量量”叫做向量叫做向量,并把可随意平行移动的有向线并把可随意平行移动的有向线段段作作为向量的几何形象为向量的几何形象.在引进坐标系以后在引进坐标系以后,这种向量这种向量就有了坐标表示式就有了坐标表示式 三个有次序的实数三个有次序的实数,就就因此因此,当当 n 3 时时,n 维向量可以把有维向量可以把有是是 3 维向量

4、维向量.向线段作为几何形象向线段作为几何形象,但当但当 n 3 时时,n 维向量就不维向量就不再有这种几何形象只是沿用一些术语罢了再有这种几何形象只是沿用一些术语罢了.几何中几何中,“空间空间”通常是作为点的集合通常是作为点的集合,即作为即作为“空间空间”的元素是点的元素是点,这样的空间叫做这样的空间叫做点空点空点空点空间间间间.我们把我们把 3 维向量的全体所组成的集合维向量的全体所组成的集合R3=r=(x,y,z)T|x,y,z R叫做叫做三维向量空间三维向量空间.在点空间取定坐标以后在点空间取定坐标以后,空空间中的点间中的点 P(x,y,z)与与 3 维向量维向量 r=(x,y,z)T

5、之之间间有一一对应的关系有一一对应的关系,因此因此,向量空间可以类比为取向量空间可以类比为取向量的集合向量的集合定了坐标的点空间定了坐标的点空间.=r=(x,y,z)T|ax+by+cz=d 也叫做也叫做向量空间向量空间 R3 中的平面中的平面.类似地类似地,n 维向量的全体所组成的集合维向量的全体所组成的集合Rn=x=(x1,x2,.,xn)T|x1,x2,.,xn R 叫做叫做 n 维向量空间维向量空间.n 维向量的集合维向量的集合 =x=(x1,x2,.,xn)T|a1x1+a2x2+.+anxn=b 叫做叫做 n 维向量空间维向量空间 Rn 中的中的 n-1 维超平面维超平面.2.向量

6、组的定义向量组的定义合叫做合叫做向量组向量组.就是一个由就是一个由 4 个个 3 维列向量维列向量 1,2,3,4 构成的构成的定义定义 若干个同维数的列（行）向量组成的集若干个同维数的列（行）向量组成的集若干个同维数的列（行）向量组成的集若干个同维数的列（行）向量组成的集向量组向量组.例如例如 3.矩阵与向量组的关系矩阵与向量组的关系 对于一个对于一个 mn 矩阵矩阵 A=(aij):若令若令则矩阵则矩阵 A 有有 n 个个 m 维列向量维列向量.A=(1,2,.,n).n 构成一个构成一个 mn 矩阵矩阵 n 个个 m 维列向量所组成的向量组维列向量所组成的向量组 1,2,.,成一个矩阵成

7、一个矩阵.例如例如 反之反之,由有限个向量所组成的向量组可以构由有限个向量所组成的向量组可以构 1T,2T,.,mT 称为矩阵称为矩阵 A 的的行向量组行向量组.则矩阵则矩阵 A 有有 m 个个 n 维行向量维行向量,它们组成的向量组它们组成的向量组 iT=(ai1,ai2,.,ain),(i=1,2,.,m),n 称为矩阵称为矩阵 A 的的列向量组列向量组.若令若令向量组向量组 1,2,.,同理同理,m 个个 n 维行向量所组成的向量组维行向量所组成的向量组 1T,综上所述综上所述,一个矩阵与一个行向量组一个矩阵与一个行向量组一个矩阵与一个行向量组一个矩阵与一个行向量组(或列向或列向或列向或

8、列向 2T,.,mT 构成一个构成一个 mn 矩矩阵阵量组量组量组量组)一一对应一一对应一一对应一一对应.前两章中常把前两章中常把 m 个方程个方程 n 个未知量的线性方个未知量的线性方 x1a1+x2a2+.+xnan=b,阵阵 B 的行向量组对应的行向量组对应.若把方程组写成向量形式若把方程组写成向量形式一个方程对应一个行向量一个方程对应一个行向量,则方程组即与增广矩则方程组即与增广矩增广矩阵增广矩阵 B=(A,b)一一对应一一对应.这种对应看成这种对应看成程组写成矩阵形式程组写成矩阵形式 Ax =b,从而方程组可以与从而方程组可以与 4.线性方程组与向量组的关系线性方程组与向量组的关系则

9、则可可见见方方程程组组与与 B 的的列列向向量量组组 a1,a2,.,an,b 之之组与一个向量组一一对应组与一个向量组一一对应组与一个向量组一一对应组与一个向量组一一对应.间也有一一对应的关系间也有一一对应的关系.综上所述综上所述,一个线性方程一个线性方程一个线性方程一个线性方程1.线性组合的定义线性组合的定义为这个线性组合的系数为这个线性组合的系数为这个线性组合的系数为这个线性组合的系数.称为向量组称为向量组称为向量组称为向量组 A A 的一个的一个的一个的一个线性组合线性组合,k k1 1,k k2 2,.,.,k kmm 称称称称 k k1 1a a1 1+k k2 2a a2 2+.

10、+.+k kmma amm,何一组实数何一组实数何一组实数何一组实数 k k1 1,k k2 2,.,.,k kmm,表表表表达式达式达式达式定义定义2 给定向量组给定向量组给定向量组给定向量组 A A:a a1 1,a a2 2 ,.,.,a amm,对于对于对于对于任任任任二、向量组等价二、向量组等价给定向量组给定向量组 A:a1,a2,.,am 和向量和向量 b,如如果存果存有解有解.x1a1+x2a2+.+xmam=b向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示,也就是方程组也就是方程组能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示.则称向量则称向量 b 是向量组是向量组 A

11、的线性组合的线性组合,这时称这时称向量向量 b b=1a1+2a2+.+mam,在一组数在一组数 1,2,.,m,使使由上章由上章可得可得定理定理 1 向量向量向量向量 b b 能由向量组能由向量组能由向量组能由向量组 A A 线性表示的充分线性表示的充分线性表示的充分线性表示的充分B B=(=(a a1 1,a a2 2,.,.,a amm,b b)的的的的秩秩秩秩.必要条件是矩阵必要条件是矩阵必要条件是矩阵必要条件是矩阵 A A=(=(a a1 1,a a2 2,.,.,a amm)的秩等于矩的秩等于矩的秩等于矩的秩等于矩阵阵阵阵2.向量能由向量组表示的充要条件向量能由向量组表示的充要条件

12、定义定义 3 设有两个向量组设有两个向量组设有两个向量组设有两个向量组 A A:a a1 1,a a2 2 ,.,.,a amm 及及及及则称这两个向量组则称这两个向量组则称这两个向量组则称这两个向量组等价等价.性表示性表示.若向量组若向量组若向量组若向量组 A A 与向量组与向量组与向量组与向量组 B B 能相互线性表示能相互线性表示能相互线性表示能相互线性表示,组组组组 A A 线性表示线性表示线性表示线性表示,则称则称则称则称向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线线B B:b b1 1,b b2 2 ,.,.,b bs s,若若若若 B B 组中的每个向量都能由向组中的每个向量都

13、能由向组中的每个向量都能由向组中的每个向量都能由向量量量量 3.向量组等价的概念向量组等价的概念把向量组把向量组 A 和和 B 所构成的矩阵依次记作所构成的矩阵依次记作存在数存在数 k1j,k2j,.,kmj,使使能由能由A 组线性表示组线性表示,即对每个向量即对每个向量 bj(j=1,2,.,s),A=(a1,a2,.,am)和和 B=(b1,b2,.,bs),B 组组从而从而这里这里,矩阵矩阵 Kms=(kij)称为这一线性表示的称为这一线性表示的系数系数矩阵矩阵.为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵:的列向量组能由矩阵的列向量组能由矩阵 A 的列向量组线性表示的列向量组线性表示,B

14、由此可知由此可知,若若 Cmn=Ams Bsn,则矩阵则矩阵 C 同时同时,C 的行向量组能由的行向量组能由 B 的行向量组线性表示的行向量组线性表示,A 为这一表示的系数矩阵为这一表示的系数矩阵:设矩阵设矩阵 A 经初等行变换变成矩阵经初等行变换变成矩阵 B,则则 B 的的阵阵 B,则则 A 的列向量组与的列向量组与 B 的列向量组等价的列向量组等价.类似地可知类似地可知,若矩阵若矩阵 A 经初等列变换变成矩经初等列变换变成矩于是于是 A 的行向量组与的行向量组与 B 的行向量组等价的行向量组等价.从而从而 A 的行向量组也能由的行向量组也能由 B 的行向量组线性表示的行向量组线性表示.等变

15、换可逆等变换可逆,知矩阵知矩阵 B 亦可经初等行变换变为亦可经初等行变换变为 A,的行向量组能由的行向量组能由 A 的行向量组线性表示的行向量组线性表示.由于初由于初每个行向量都是每个行向量都是 A 的行向量组的线性组合的行向量组的线性组合,即即 B向量组的线性组合、线性表示及等价等概念，向量组的线性组合、线性表示及等价等概念，两个方程组等价两个方程组等价,等价的线性方程组一定同解等价的线性方程组一定同解.若方程组若方程组 A 与方程组与方程组 B 能相互线性表示能相互线性表示,就称这就称这性表示性表示,这时方程组这时方程组 A 的解一定是方程组的解一定是方程组 B 的解的解;组组 A 的线性

16、组合的线性组合,就称方程组就称方程组 B 能由方程组能由方程组 A 线线一个线性组合一个线性组合;程作线性运算所得的一个方程就称为方程组程作线性运算所得的一个方程就称为方程组 A 的的也可移用于线性方程组也可移用于线性方程组:对方程组对方程组 A 的各个方的各个方若方程组若方程组 B 的每个方程都是方程的每个方程都是方程三、向量组等价的条件三、向量组等价的条件按按向量组向量组 B：b1,b2,bl 能由能由向向量组量组 A：a1,a2,am 线性表示，线性表示，其涵义是存在其涵义是存在矩阵矩阵 Km l，使，使(b1,bl)=(a1,am)K，也就也就是矩阵方程是矩阵方程(a1,a2,am)X

17、=(b1,b2,bl)有解有解.由上章由上章可得可得定理定理 2 向量组向量组向量组向量组 B B：b b1 1,b b2 2,b bl l 能由向能由向能由向能由向量量量量组组组组 A A：a a1 1,a a2 2,a am m 线性表示的充分必要条件线性表示的充分必要条件线性表示的充分必要条件线性表示的充分必要条件是是是是矩阵矩阵矩阵矩阵 A=A=(a a1 1,a a2 2,a am m)的秩等于矩的秩等于矩的秩等于矩的秩等于矩阵阵阵阵(A A,B B)=(a a1 1,a am m,b b1 1,b bl l)的秩，即的秩，即的秩，即的秩，即R R(A A)=R=R(A A,B B)

18、.推论推论 向量组向量组向量组向量组 A A：a a1 1,a a2 2,a am m 与向量组与向量组与向量组与向量组B B：b b1 1,b b2 2,b bl l 等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是等价的充分必要条件是R R(A A)=R=R(B B)=R=R(A A,B B).其中其中其中其中 A A 和和和和 B B 是向量组是向量组是向量组是向量组 A A 和和和和 B B 所构成的矩阵所构成的矩阵所构成的矩阵所构成的矩阵.例例 1 设设证明向量证明向量 b 能由向量组能由向量组 1,2,3 线性表示，线性表示，并并求出表示式求出表示式.例例 2 设设证明

19、向量组证明向量组 a1,a2 与向量组与向量组 b1,b2,b3 等价等价.定理定理 3 设向量组设向量组设向量组设向量组 B B：b b1 1,b b2 2,b bl l 能由能由能由能由向向向向量组量组量组量组 A A：a a1 1,a a2 2,a am m 线性表示，则线性表示，则线性表示，则线性表示，则R R(b b1 1,b b2 2,b bl l)R R(a a1 1,a a2 2,a am m).).四、定理的比较四、定理的比较本节定理本节定理 1 向量向量向量向量 b b 能由向量组能由向量组能由向量组能由向量组 A A 线性表示的线性表示的线性表示的线性表示的矩阵矩阵矩阵矩

20、阵 B B=(=(a a1 1,a a2 2,.,.,a amm,b b)的秩的秩的秩的秩.充分必要条件是矩阵充分必要条件是矩阵充分必要条件是矩阵充分必要条件是矩阵 A A=(=(a a1 1,a a2 2,.,.,a amm)的秩等的秩等的秩等的秩等于于于于上章定理上章定理 5 线性方程组线性方程组线性方程组线性方程组 AxAx=b b 有解的充分有解的充分有解的充分有解的充分必要条件是必要条件是必要条件是必要条件是 R R(A A)=)=R R(A A,b b).).本节定理本节定理 2 向量组向量组向量组向量组 B B：b b1 1,b b2 2,b bl l 能能能能由由由由向量组向量

21、组向量组向量组 A A：a a1 1,a a2 2,a am m 线性表示的充分必要线性表示的充分必要线性表示的充分必要线性表示的充分必要条条条条件是矩阵件是矩阵件是矩阵件是矩阵 A=A=(a a1 1,a a2 2,a am m)的秩等于矩的秩等于矩的秩等于矩的秩等于矩阵阵阵阵(A A,B B)=(a a1 1,a am m,b b1 1,b bl l)的秩，即的秩，即的秩，即的秩，即R R(A A)=R=R(A A,B B).上章定理上章定理 6 矩阵方程矩阵方程矩阵方程矩阵方程 AXAX=B B 有解的充分有解的充分有解的充分有解的充分必要条件是必要条件是必要条件是必要条件是 R R(A

22、 A)=)=R R(A A,B B).).本节定理本节定理 3 设向量组设向量组设向量组设向量组 B B：b b1 1,b b2 2,b bl l 能能能能由向量组由向量组由向量组由向量组 A A：a a1 1,a a2 2,a am m 线性表示，则线性表示，则线性表示，则线性表示，则R R(b b1 1,b b2 2,b bl l)R R(a a1 1,a a2 2,a am m).).上章定理上章定理 7 设设设设 ABAB=C C，则，则，则，则R R(C C)min min R R(A A),),R R(B B).上述各定理之间的对应，其基础是向量组与上述各定理之间的对应，其基础是向

23、量组与矩阵的对应，从而有下述对应：矩阵的对应，从而有下述对应：向量组向量组向量组向量组 B B：b b1 1,b b2 2,b bl l 能由能由能由能由向量组向量组向量组向量组 A A：a a1 1,a a2 2,a am m 线性表示线性表示线性表示线性表示有矩阵有矩阵有矩阵有矩阵 K K，使，使，使，使 B B=AKAK方程方程方程方程 AXAX=B B 有解有解有解有解上述对应的三种叙述都可对应到充分必要条上述对应的三种叙述都可对应到充分必要条件：件：R(A)=R(A,B)，并都有必要条件：，并都有必要条件：R(A)R(B).这里，第一种可称为几何语言，后两种这里，第一种可称为几何语言

24、，后两种以及充分必要条件和必要条件则都是矩阵语言以及充分必要条件和必要条件则都是矩阵语言.我们要掌握用矩阵语言表术几何问题，还要掌我们要掌握用矩阵语言表术几何问题，还要掌握用几何语言来解释矩阵表述的结论握用几何语言来解释矩阵表述的结论.上一章中把线性方程组写成矩阵形式，通过上一章中把线性方程组写成矩阵形式，通过矩阵的运算求得它的解，还用矩阵语言给出了线矩阵的运算求得它的解，还用矩阵语言给出了线性方程组有解，有惟一解的充分必要条件；性方程组有解，有惟一解的充分必要条件；本章本章中将向量组的问题表述成矩阵形式，通过矩阵的中将向量组的问题表述成矩阵形式，通过矩阵的运算得出结果，然后把矩阵形式的结果运

25、算得出结果，然后把矩阵形式的结果 “翻译翻译”成几何问题的结论成几何问题的结论.这种用矩阵来表述问题，并这种用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决问题的方法，通常叫做矩阵通过矩阵的运算解决问题的方法，通常叫做矩阵方法，这正是线性代数的基本方法方法，这正是线性代数的基本方法.例例 3 设设 n 维向量组维向量组 A：a1,a2,am 构成构成n m 矩阵矩阵 A=(a1,a2,am)，n 阶单位矩阶单位矩阵阵E=(e1,e2,en)的列向量叫做的列向量叫做 n 维单位维单位坐坐标向量标向量.证明：证明：n 维单位坐标向量组维单位坐标向量组 e1,e2,en 能由向量组能由向量组 A 线性表示的充分必要条件是线性表示的充分必要条件是R(A)=n.