电磁场与电磁波课件第一章矢量分析(包括绪论).ppt

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1、电磁场与电磁波电磁场与电磁波教教师姓名：姓名：谢 家家 兴授授课对象：象：2007级 电信信1、2、3、4班班2007级 电气气1、2、3、4班班学学 时：48学学时 联系方式：系方式：QQ：66824296公共公共邮箱：箱：密密码：diancibo学习建议课堂学堂学习课堂堂纪律律师生互生互动出勤率出勤率教学安排教学安排课前前预习熟悉教材内容熟悉教材内容复复习先修先修课程程课后复后复习复复习教材内容教材内容复复习考考试内容内容谢处方方 饶克克谨编电磁磁场与与电磁波磁波 焦其焦其详 王道王道东编电磁磁场理理论 毕德德显编电磁磁场理理论杨儒儒贵编电磁磁场与波与波郭郭辉萍萍 刘学刘学观编电磁磁场与与

2、电磁波磁波参考教材参考教材应用教材用教材王家礼王家礼 朱朱满座座 路宏敏路宏敏编电磁磁场与与电磁波磁波教 材参考网站参考网站课课程特点程特点理论体系严谨理论体系严谨抽象抽象-看不见、摸不着看不见、摸不着要求具有较深厚的要求具有较深厚的数学功底数学功底和较强的和较强的空间空间想象能力想象能力较好的逻辑推理能力较好的逻辑推理能力应用广泛应用广泛本本课课程与相关程与相关课课程的关系程的关系电磁场与电磁波电磁场与电磁波通信原理通信原理光光纤通信通信微波技微波技术与天与天线无无线通信通信信号与系信号与系统普通物理普通物理高等数学高等数学复复变函数函数线性代数性代数静静态场应用用应用时变场应用用阴极射线示

3、波器阴极射线示波器喷墨打印机喷墨打印机磁分离器磁分离器磁悬浮列车磁悬浮列车矿物的分选矿物的分选.变压器变压器蓝牙技术蓝牙技术卫星通信卫星通信微波炉微波炉/电磁炉电磁炉隐形飞机隐形飞机.电磁磁场与波的与波的应用用当今的当今的无无线通信通信、广播广播、雷达雷达、遥控遥遥控遥测、微波遥微波遥感感、无无线因特网因特网、无无线局域网局域网、卫星定位星定位以及以及光光纤通信通信等信息技等信息技术都是利用都是利用电磁波作磁波作为媒介媒介传输信息的。信息的。静静电复印复印、静静电除除尘以及以及静静电喷漆漆等技等技术都是基于都是基于静静电场对于于带电粒子具有力的作用。粒子具有力的作用。电磁磁铁、磁磁悬浮浮轴承承

4、以以及及磁磁悬浮浮列列车等等，都都是是利利用磁用磁场力的作用。力的作用。应用的各个领域应用的各个领域电磁理论电子子对抗抗无无线通信通信广播、广播、电视雷达、雷达、导航、遥感航、遥感工工业无无损探探伤射射电天文天文强电（变压器、器、电机）等机）等电磁兼容等磁兼容等电磁医磁医疗仪器、器、电磁医磁医疗探地雷达探地雷达磁磁悬浮技浮技术微波烘干、微波烘干、杀菌菌粒子偏转阴极射线示波器喷墨打印机喷墨打印机磁悬浮列车第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 场场的概念的概念1.2 标标量量场场的方向的方向导导数和梯度数和梯度1.3 矢量矢量场场的通量和散度的通量和散度1.4 矢量矢量场场的的环环量和旋度量和旋度

5、1.5 圆圆柱坐柱坐标标系与球坐系与球坐标标系系1.6 亥姆霍亥姆霍兹兹定理定理本章要点本章要点标量场的方向导数和梯度标量场的方向导数和梯度 矢量场的通量和散度矢量场的通量和散度 矢量场的环量和旋度矢量场的环量和旋度 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理1.1 场场的概念的概念本节要点本节要点标量和矢量的概念标量和矢量的概念 标量场和矢量场的概念标量场和矢量场的概念 矢量代数运算矢量代数运算 等值面和矢量线等值面和矢量线1.1 场场的概念的概念标量：标量：只有大小而没有方向的量。如电压只有大小而没有方向的量。如电压U U、电荷量、电荷量Q Q 等。等。矢量：矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁

6、场强具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。度矢量、作用力矢量、速度矢量等。常矢：常矢：若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力若某一矢量的模和方向都保持不变，如重力 变矢：变矢：若模和方向二者至少一个发生变化，如速度若模和方向二者至少一个发生变化，如速度矢量描述：矢量描述：矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量矢量可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。表示等多种方式来描述。矢性函数：矢性函数：设设t t是数性变量，是数性变量，为变矢，对于某区间为变矢，对于某区间GGa,ba,b 内的每一个数值内的每一个数值t t，都有一确定的矢量都有

7、一确定的矢量 与之对应，则与之对应，则称称 为数性变量为数性变量t t的矢性函数，记为：的矢性函数，记为：物理量：物理量：被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢被赋予物理单位并具有一定物理意义的矢量和标量。如电压量和标量。如电压U、电荷量、电荷量Q等。等。场：场：在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，在某一空间区域中，物理量数值的无穷集合，如温度场，电位场等。如温度场，电位场等。标量场：标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如量唯一地描述，则该标量函数定义一个标量场。如温度、密度等。温度、密度等。矢量场：矢量场

8、：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如量唯一地描述，则该矢量函数定义一个矢量场。如电场、磁场、流速场等。电场、磁场、流速场等。场的属性：场的属性：占有一定空间，且在该空间区域内，除占有一定空间，且在该空间区域内，除有限个点和表面外，其物理量处处连续有限个点和表面外，其物理量处处连续场的分类场的分类按与时间的关系分：按与时间的关系分：静态场静态场/时变场，各处物理量是时变场，各处物理量是否随时间变化否随时间变化按与方向关系分：按与方向关系分：标量场标量场/矢量场，各处物理量是标矢量场，各处物理量是标量还是矢量量还是矢

9、量矢量代数矢量代数空矢或零矢：空矢或零矢：一个大小为零的矢量一个大小为零的矢量单位矢量：单位矢量：一个大小为一个大小为1的矢量，在直角坐标系中，的矢量，在直角坐标系中，用单位矢量表征矢量分别沿用单位矢量表征矢量分别沿 x，y，z轴分量的方向。轴分量的方向。矢量的表示方法矢量的表示方法矢量一般表示：矢量一般表示：，A为矢量为矢量 的大小，的大小，为方向为方向 任一矢量可以表示为：任一矢量可以表示为：位置矢量：位置矢量：从原点指向空间任一点从原点指向空间任一点P的矢量的矢量 位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影位置矢量能够由它在三个相互垂直的轴线上的投影唯一地被确定。唯一地被确定。直角坐标

10、系中点直角坐标系中点P(X,Y,Z)的位置矢量表达式为：的位置矢量表达式为：结论：结论：若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直若两不为零矢量的点积为零，则两矢量互相垂直数学知数学知识补识补充充矢量的代数运算矢量的代数运算求和差求和差作图法：作图法：平行四边形法则平行四边形法则分量法：分量法：求点积求点积（标量积、内积）（标量积、内积）公式：公式：特点：特点：直角坐标系中：直角坐标系中：求叉积求叉积（矢量积、外积）（矢量积、外积）结论：结论：若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行若两不为零矢量的叉积为零，则两矢量互相平行公式：公式：其中：其中：符合右手螺旋法则符合右手螺旋法则特点：特点：

11、直角坐标系中：直角坐标系中：右手螺右手螺旋法则旋法则数学知数学知识补识补充充矩矩阵阵和行列式的和行列式的计计算算代数余子式：代数余子式：的余子式前添加符号的余子式前添加符号 ，称，称 的代数余子式，记为的代数余子式，记为 ，例：求例：求 中元素中元素 的余子式和代数余子式的余子式和代数余子式余子式：余子式：在在 n 阶行列式阶行列式 中去掉元素中去掉元素 所在所在的行和列，剩下的的行和列，剩下的 n-1 阶行列式称为元素阶行列式称为元素 的余子的余子式。记为式。记为n n阶行列式的计算：阶行列式的计算：等于它的等于它的任意一行（列）任意一行（列）的各元素与其对应代数余子式乘积的和，即的各元素与

12、其对应代数余子式乘积的和，即例：例：求求矩阵的乘法：矩阵的乘法：设设A=(aij)是是ms矩阵，矩阵，B=(bij)是是sn矩矩阵，作阵，作A的第的第i行与行与B的第的第j列的对应元素的乘积之和列的对应元素的乘积之和 ,则矩阵为矩阵则矩阵为矩阵A与与B的乘积的乘积例：例：已知：已知：求求AB解：解：方程组的矩阵表示方程组的矩阵表示设矩阵设矩阵可记为可记为Y=AX 则则 X=A-1Y，A-1为为A的逆矩阵，的逆矩阵，要求要求X，只需求只需求A-1，即求，即求A的逆矩阵的逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的求法其中其中为为A的的伴随矩阵伴随矩阵n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是|A|0

13、,且当且当A可逆时，可逆时，有有Aij是是|A|的元素的元素aij的代数余子式的代数余子式注意此矩阵行和注意此矩阵行和列的排列，转置矩阵列的排列，转置矩阵例：例：已知：已知：求求A-1解：解：1、计计算算 2、已知已知 求：求：课后练习：课后练习：标标量量场场的等的等值值面和矢量面和矢量场场的矢量的矢量线线场的场的 场图场图 表示表示 研究标量场和矢量场时，用研究标量场和矢量场时，用“场图场图”表示场变量在表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。空间逐点演变的情况具有很大的意义。对标量场对标量场 等值面图表示：等值面图表示：空间内标量值相等的点集合形成的空间内标量值相等的点集合形成的曲面

14、称等值面，如等温面等。等值面方程：曲面称等值面，如等温面等。等值面方程：等值线图表示：等值线图表示：等值面在二维空间称为等值线。如等值面在二维空间称为等值线。如等高线等。等值线方程：等高线等。等值线方程：等值面和等值线作用：等值面和等值线作用：帮助了解标量场在空间中的分帮助了解标量场在空间中的分布情况。布情况。等高线作用等高线作用1 1根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度根据等高线及其所标出的高度，了解该地区高度2 2根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上根据等高线的疏密程度可以判断该地区各个方向上地势的陡度地势的陡度A A点高点高300300B B点高点高300300A A点比点

15、比B B点陡点陡越密就越陡越密就越陡对矢量场对矢量场矢量线表示：矢量线表示：用一些有向矢量线来形象表示矢量在用一些有向矢量线来形象表示矢量在空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。空间的分布，称为矢量线。如静电场的电力线等。特点：特点：矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢矢量线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同量方向相同矢量线方程（直角坐标系）：矢量线方程（直角坐标系）：矢量线的作用矢量线的作用1 1根据矢量线确定矢量场中各点矢量的根据矢量线确定矢量场中各点矢量的方向方向2 2根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的根据各处矢量线的疏密程度，判别出各处矢量的大大小及变化趋势小及

16、变化趋势。A A点受到向下电场力点受到向下电场力B B点受到向下电场力点受到向下电场力A A点比点比B B点受到的力大点受到的力大越密矢量越大越密矢量越大例例1-1 求求数数量量场场=(x+y)2-z 通通过过点点 M(1,0,1)的的等等值值面面方方程。程。解解：点点M的的坐坐标标是是x0=1,y0=0,z0=1，则则该该点点的的数数量量场场值值为为=(x0+y0)2-z0=0。其等值面方程为。其等值面方程为 或或：例例1-2 求矢量场求矢量场 的矢量线方程的矢量线方程解：解：矢量线应满足的微分方程为矢量线应满足的微分方程为 从而有从而有 c1和和c2是积分常数。是积分常数。第一堂课结束矢量

17、线与矢径的关系式：矢量线与矢径的关系式：Adr=0力线图力线图补充内容：关于矢量线补充内容：关于矢量线第第1章章 矢量分析与场论矢量分析与场论 矢量场的表达式:矢性函数A=A(P)A=A(x,y,z)矢量线的表达式：直角坐标系中，矢径r的表达式：r=axx+ayy+azz (1)矢量线与矢径的关系式：Adr=0(2)微分方程：直角坐标系代入A=axAx(x,y,z)+ayAy(x,y,z)+azAz(x,y,z)求解1.2 标标量量场场的方向的方向导导数和梯度数和梯度1.2.1 1.2.1 标量场方向导数标量场方向导数(标量标量)Directional DerivativeDirectiona

18、l Derivative 设设M0是是标标量量场场=(M)中中的的一一个个已已知知点点，从从M0出出发发沿沿某某一一方方向向引引一一条条射射线线l,在在l上上M0的的邻邻近近取取一一点点M，MM0=，若当，若当M趋于趋于M0时时(即即趋于零时趋于零时)的极限存在，称此极限为函数的极限存在，称此极限为函数(M)在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数，记为方向的方向导数，记为 结论：结论：方向导数方向导数 是函数是函数 在点在点 处沿方向处沿方向 对对距离的变化率距离的变化率表明表明M0处函数处函数 沿沿l方向增加，反之减小方向增加，反之减小若函数若函数=(x,y,z)在点在点M0(x0,y0,z0

19、)处可微，处可微，cos、cos、cos为为l方向的方向余弦，则函数方向的方向余弦，则函数在点在点M0处沿处沿l方向的方向导数必定存在，且为方向的方向导数必定存在，且为证明：证明：M点的坐标为点的坐标为M(x0+x,y0+y,z0+z)，由于函，由于函数数在在M0处可微，故处可微，故 两边除以两边除以，可得，可得 当当趋于零时对上式取极限，可得趋于零时对上式取极限，可得 解：解：l方向的方向余弦为方向的方向余弦为而而 数量场在数量场在 l 方向的方向导数为方向的方向导数为 点点M处沿处沿l方向的方向导数方向的方向导数 例例1-3 求数量场求数量场 在点在点M(1,1,2)处沿处沿 方向的方向导

20、数方向的方向导数1.2.2 1.2.2 标量场的梯度标量场的梯度(矢量矢量)gradient gradient在直角坐标系中在直角坐标系中梯梯度度的的定定义义：在在标标量量场场 中中的的一一点点M处处，其其方方向向为为函函数数 在在M点点处处变变化化率率最最大大的的方方向向，其其模模又又恰恰好好等等于于最最大大变变化化率率的的矢矢量量 ，称称为为标标量量场场 在在M点点处处的的梯度，用梯度，用 表示。表示。方向：方向：函数函数 在在M点处变化率最大的方向点处变化率最大的方向大小：大小：最大变化率的矢量的模最大变化率的矢量的模哈米尔顿（哈米尔顿（Hamilton）算子）算子定义：定义：(读作读作

21、del)是一个是一个矢性微分算子矢性微分算子（是一个微分符号，（是一个微分符号，同时又要当作矢量看待）同时又要当作矢量看待）直角坐标系中，算子直角坐标系中，算子的表达式为：的表达式为：补充：补充：在直角坐标系中，令在直角坐标系中，令 已知：已知：证明：证明：标量场标量场 在任意方向在任意方向l上的方向导数为上的方向导数为 证明沿证明沿 方向的方向导数方向的方向导数 最大，且最大，且已知：已知：与与 方向一致，且方向一致，且梯度的性梯度的性质质：标标量量场场 中每一点中每一点M处处的梯度垂直于的梯度垂直于过该过该点的等点的等值值面，且指向函数面，且指向函数 的增大方向。即梯度的增大方向。即梯度为

22、该为该等等值值面的法向矢量。面的法向矢量。在某点在某点M处处沿任意方向的方向沿任意方向的方向导导数等于数等于该该点点处处的梯的梯度在此方向上的投影。度在此方向上的投影。任一点梯度的模等于任一点梯度的模等于该该点各方向上方向点各方向上方向导导数最大数最大值值梯度运算法梯度运算法则则设设c c为一常数，为一常数，u u(M M)和和v v(M M)为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。为数量场，很容易证明下面梯度运算法则的成立。例例1-4 设设标标量量函函数数r是是动动点点M(x,y,z)的的矢矢量量r=xex+yey+zez的的模模，即即 ，证明：证明：证明：证明：因为因为 所以所以 点点

23、M处的坐标为处的坐标为 x=1,y=0,z=1,且且r在在M点沿点沿l方向的方向导数为方向的方向导数为 解：解：r的梯度为的梯度为例例1-5 求求r在在M(1,0,1)处沿处沿 的方向导数的方向导数而而 所以所以 所以所以r在在M点的梯度为点的梯度为1.3 矢量矢量场场的通量和散度的通量和散度1.3.1 1.3.1 矢量场的通量（矢量场的通量（fluxflux）一、面元矢量：一、面元矢量：面积很小的有向曲面面积很小的有向曲面方向：方向：1 1、开曲面上的面元、开曲面上的面元 2 2、闭合面上的面元、闭合面上的面元确定绕行确定绕行l的方向后，的方向后，沿绕行方向按右手沿绕行方向按右手螺旋螺旋拇指

24、方向拇指方向闭合曲面的闭合曲面的外法线方向外法线方向二、通量（标量）二、通量（标量）1、穿穿过过面元面元的通量的通量 2、穿穿过过整个曲面整个曲面S的通量的通量3、穿穿过闭过闭合曲面合曲面S的通量的通量通量特性：通量特性：反映某一空间内场源总的特性反映某一空间内场源总的特性通过闭合面通过闭合面S S的通量的物理意义：的通量的物理意义：0，穿出多于穿入，穿出多于穿入，S S内有发出矢量线的内有发出矢量线的正源正源0 0，穿出穿出少于穿入，少于穿入，S S内有内有汇集矢量线的汇集矢量线的负源负源=0 0，穿出穿出等于穿入，等于穿入，S S内内无源无源，或，或正源负源代数和正源负源代数和为为0 0例

25、例1-8 在在坐坐标标原原点点处处点点电电荷荷产产生生电电场场，在在此此电电场场中中任任一一点点处处的的电电位移矢量为：位移矢量为：求穿过原点为球心、求穿过原点为球心、R为半径的球面的电通量为半径的球面的电通量(见图见图 1-4)。图1-4例1-8图解：解：由于球面的法线方向与D的方向一致，所以1.3.2 矢量矢量场场的散度的散度(标标量量)(divergence)散度的定散度的定义义：极限存在，此极限极限存在，此极限为为矢量矢量场场在某点的散度在某点的散度散度的定散度的定义义式：式：散度的物理意散度的物理意义义：散度表征矢量散度表征矢量场场的通量源的分布特性。的通量源的分布特性。散度值表征空

26、间中通量源的密度散度值表征空间中通量源的密度通量密度通量密度正源正源负源负源无源无源若散度处处为零若散度处处为零矢量场为无源场矢量场为无源场散度的计算：散度的计算：在直角坐在直角坐标标系下：系下：哈密尔顿算子哈密尔顿算子散度符合散度符合规则规则：例例1-9 原点处点电荷原点处点电荷q产生电位移矢量产生电位移矢量试求电位移矢量试求电位移矢量 的散度。的散度。解：解：r=0=0以外空间以外空间均为无源场均为无源场1.3.3 散度定理（高斯散度定理）散度定理（高斯散度定理）散度定理：散度定理：矢量矢量场场散度的体散度的体积积分等于分等于该该矢量穿矢量穿过过包包围该围该体体积积的封的封闭闭曲面的曲面的

27、总总通量。通量。应用：应用：将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个封闭面积分变成等价的体积分将一个体积分变成等价的封闭面积分将一个体积分变成等价的封闭面积分证证明：明：散度定理散度定理证证：将将闭闭合曲面合曲面S包包围围的体的体积积V分成分成许许多小体多小体积积元元dVi(i=1n)，计算每个体积元的小封闭曲面，计算每个体积元的小封闭曲面Si上的通量，上的通量，再叠加。由散度定义有：再叠加。由散度定义有：可得：可得：由于相由于相邻邻体体积积元有一个公共表面，两体元有一个公共表面，两体积积元在公共元在公共表面上的通量表面上的通量等等值值异号异号，求和，求和时时互相抵消。有部分表面互相抵消。有部分

28、表面在在S面上，面上，这这部分表面的通量没有被抵消，其部分表面的通量没有被抵消，其总总和和刚刚好好等于从封等于从封闭闭面面S穿出的通量。因此有：穿出的通量。因此有：例例 1-10 球面球面S上任意点的位置矢量为上任意点的位置矢量为求求 解：解：根据散度定理知根据散度定理知 而散度为而散度为 所以所以 R为球面半径为球面半径1.4.1 1.4.1 矢量矢量场场的的环环量量（标标量）量）(circulation)(circulation)环环量的定量的定义义：结论结论：矢量的矢量的环环量也是一个量也是一个标标量量矢量的矢量的环环量不等于零，量不等于零，则闭则闭合曲合曲线线内必有旋内必有旋涡涡源源矢

29、量的矢量的环环量等于零，量等于零，则闭则闭合曲合曲线线内没有旋内没有旋涡涡源源例如：例如：在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不在磁场中，在环绕电流的闭合曲线上的环量不等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源等于零，其电流就是产生磁场的旋涡源环量的性质：环量的性质：积分量，反映旋涡源总的分布特性积分量，反映旋涡源总的分布特性解：解：由于在曲线由于在曲线l上上z=0，所以，所以dz=0。例例1-11 求矢量求矢量 (c是常数是常数)沿曲线沿曲线(x-2)2+y2=R2,z=0的环量的环量 返回返回第二次课结束 矢量矢量场的旋度的旋度（矢量）（矢量）(rotation)一、一、环环量面密度的定量面密度

30、的定义义（标标量）量）若若极限存在极限存在此极限即为该点的环量面密度。此极限即为该点的环量面密度。面元的方向：面元的方向：面元的方向与面元的方向与闭闭合曲合曲线线c的的绕绕行方向成右手螺旋关系。行方向成右手螺旋关系。结论结论：面元矢量与面元矢量与旋涡面方向旋涡面方向垂直，垂直，环环量面密度等于零量面密度等于零面元矢量与旋涡面方向重合，环量面密度最大面元矢量与旋涡面方向重合，环量面密度最大面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最面元矢量与旋涡面方向有夹角，环量面密度总小于最大值大值二、旋度的定二、旋度的定义义（矢量）（矢量）旋度大小：旋度大小：最大最大环环量面密度的数量面密度的数值值旋度方

31、向：旋度方向：环环量面密度最大量面密度最大时时的面元的方向的面元的方向引入哈密引入哈密尔尔顿顿算子算子在直角坐标系中在直角坐标系中结论结论：旋度描述矢量旋度描述矢量 在在该该点的旋点的旋涡涡源源强强度。度。矢量矢量场场在在P点点处处沿任一方向沿任一方向 的的环环量面密度量面密度为为旋度旋度在在 方向上的投影。方向上的投影。若若 ，则为无旋场，反之为有旋场，则为无旋场，反之为有旋场旋度的运算旋度的运算规则规则直角坐直角坐标标系中系中2 2为拉普拉斯算子为拉普拉斯算子解：解：矢量场的旋度矢量场的旋度 例例1-12 求矢量场求矢量场 在点在点M(1，0，1)处的旋度以及沿处的旋度以及沿 方向的方向的

32、环量面密度。环量面密度。在点在点M(1，0，1)处的处的旋度旋度 环量面密度环量面密度 方向的单位矢量方向的单位矢量 例例1-13 在坐标原点处放置一点电荷在坐标原点处放置一点电荷q，在自由空间产生，在自由空间产生的电场强度为的电场强度为 求自由空间任意点求自由空间任意点(r0)电场强度的旋度电场强度的旋度解：解：说明点电荷产生说明点电荷产生的场为无旋场的场为无旋场1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理 旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线旋度代表单位面积的环量，因此矢量场在闭合曲线c上上的环量等于闭合曲线的环量等于闭合曲线c所包围曲面所包围曲面S上旋度的总和，上旋度的总和，即即 式中：

33、式中：S S是闭合路径是闭合路径l l所围成的面积。所围成的面积。的方向与的方向与 的方向成右手螺旋关系。的方向成右手螺旋关系。应用：应用：将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量旋度的面积分转换成该矢量的线积分；将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。将矢量的线积分转换为该矢量旋度的面积分。例例1-111-11的另一种解法的另一种解法由旋度的定由旋度的定义对于有限大面于有限大面积s，可，可将其按如将其按如图方式方式进行分割，行分割，对每一小面每一小面积元有元有:斯托克斯定理的斯托克斯定理的证明：明：得得证！P1919作业作业P19 16 17 1-111.5 圆圆柱坐柱坐标标系与球坐系

34、与球坐标标系系1.5.1 圆柱坐标系圆柱坐标系直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系与圆柱坐标系的转换关系直角坐标系直角坐标系圆柱坐标系圆柱坐标系 圆柱坐标系圆柱坐标系直角坐标系直角坐标系对任意增量对任意增量d、d、d dz，P点位点位置沿置沿、z方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数拉梅系数（各方向的长度增量各方向的长度增量与各自坐标增量之比与各自坐标增量之比）为：）为：面积元与体积元为：面积元与体积元为：1.5.1 球面坐球面坐标标系系直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系与球坐标系的转换关系直角坐标系直角坐标系球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系直角坐标系直角坐标系P点沿点沿r、

35、方向的方向的长度增量长度增量为：为：拉梅系数为：拉梅系数为：面积元与体积元为：面积元与体积元为：1.6 亥姆霍亥姆霍兹定理定理 一一、亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理的的简简单单表表达达是是：若若矢矢量量场场F在在无无限限空空间间中中处处处处单单值值，且且其其导导数数连连续续有有界界，而而源源分分布布在在有有限限空空间间区区域域中中，则则矢矢量量场场由由其其散散度度和和旋旋度度唯唯一一确确定定，并并且且可可以以表表示示为为一一个个标标量量函函数数的的梯梯度度和和一一个个矢矢量量函函数数的的旋旋度度之之和，和，即即 假假设设在在无无限限空空间间中中有有两两个个矢矢量量函函数数F和和G，它它们们具具有相同

36、的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令有相同的散度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令 简单证明：明：由由于于矢矢量量F和和矢矢量量G具具有有相相同同的的散散度度和和旋旋度度，根根据据矢矢量量场场由由其其散散度度和和旋旋度度唯唯一一确确定定，那那么么矢矢量量g应应该该为为零零矢矢量量，也也就就是是矢矢量量F与矢量与矢量G是同一个矢量。是同一个矢量。因为因为F=G，所以所以 同样由于同样由于 G=F，所以所以 由矢量恒等式由矢量恒等式 =0,可令可令 二二、亥亥姆姆霍霍兹兹定定理理的的意意义义：研研究究矢矢量量场场都都应应该该从从散散度度和和旋旋度度两两个个方方面面进进行行，或或者者从从矢矢量量

37、场场的的通通量量和和环环量量两两个方面去研究。个方面去研究。总结：总结：主要公式主要公式一、直角坐标系中一、直角坐标系中 散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：二、圆柱坐标系中二、圆柱坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：三、球坐标系中三、球坐标系中散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：公式归纳公式归纳直角坐标系：直角坐标系：圆柱坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：球坐标系：P P点用点用u1，u2，u3坐标表示，沿坐标增量方向的单位坐标表示，沿坐标增量方向的单位矢量为矢量为 ，拉梅系数为，拉梅系数为h1，h2，h3曲线正交坐标系中，统一公式：曲线正交坐标系中，统一公式：散度：散度：梯度：梯度：旋度：旋度：拉普拉斯：拉普拉斯：作业作业P201-18（1）