线性系统的可控性与可观性.ppt

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1、第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性.可控性的概念可控性的概念.线性定常系统的线性定常系统的可可控性判据控性判据.线性定常系统的线性定常系统的可可观测性观测性.离散系统的离散系统的可可控性与控性与可可观测性观测性.时变系统的可控性与可观测性时变系统的可控性与可观测性.系统的可控性与可观测性的对偶原理系统的可控性与可观测性的对偶原理.可控规范型和可观测规范型可控规范型和可观测规范型.8 .8 线性系统的线性系统的结构分解结构分解.9 .9 传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现.10.10 传递函数中零极点对消与传递函数中零极点对消与可可控性与控性与可可观观

2、 测性的关系测性的关系第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性3.5时变系统的可控性与可观测性时变系统的可控性与可观测性时变系统动态方程中的的元素均为时间函数，时变系统动态方程中的的元素均为时间函数，定常系统中关于由常数矩阵定常系统中关于由常数矩阵构成的可控性、可构成的可控性、可观测性判据不适用了，这里首先遇到如何定义观测性判据不适用了，这里首先遇到如何定义时变列向量的线性无关性问题。时变列向量的线性无关性问题。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性一一.格兰姆（格兰姆（Gram）矩阵及其在时变系统中的应用）矩阵及其在时

3、变系统中的应用给定（给定（mn）矩阵）矩阵F且表示成列向量组：且表示成列向量组：其转置矩阵其转置矩阵第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性则格兰姆阵则格兰姆阵G定义为：定义为：G为为nn维矩阵，且记为：维矩阵，且记为：式中元素式中元素第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性利用格兰姆行列式利用格兰姆行列式det FTF 或格兰姆矩阵或格兰姆矩阵FTF能能表示出给定矩阵表示出给定矩阵F的列向量是否相关的条件。的列向量是否相关的条件。设非齐次线性方程组设非齐次线性方程组Fx=y，据解的存在定理，当，据解的存在定理，当rank

4、F=rankFy 时，有解：当时，有解：当y任意时，使任意时，使x有解的充要条件有解的充要条件是是rankF=n。由于。由于，即，即，于是有：，于是有：其中其中乃是乃是m个平方项之和，恒大于零，故个平方项之和，恒大于零，故第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性上式表示出上式表示出为正定二次型函数，为正定二次型函数，G为正定为正定矩阵。已知正定矩阵存在矩阵。已知正定矩阵存在，于是矩阵，于是矩阵F的的n个列向量线性无关的充要条件可表示为：个列向量线性无关的充要条件可表示为：格兰姆阵格兰姆阵 是正定的，是正定的，或格兰姆行列式不为零或格兰姆行列式不为零 ，或格兰

5、姆阵是非奇异的。或格兰姆阵是非奇异的。同理，可根据同理，可根据的正定或非奇异来确定的正定或非奇异来确定F的的m个行向量无关。个行向量无关。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性在时变系统情况下，在时变系统情况下，F(t)各元素均为时间函数，各元素均为时间函数，如果在某时刻系统可控，在另一时刻则可能是如果在某时刻系统可控，在另一时刻则可能是不可控的。因此，想判断不可控的。因此，想判断t0,tf时间间隔内诸时间间隔内诸时变列向量的线性无关性，应考虑在时变列向量的线性无关性，应考虑在t0,tf区区间内由如下积分所构成的格兰姆阵是否正定或间内由如下积分所构成的格兰

6、姆阵是否正定或非奇异来确定：非奇异来确定：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性式中元素式中元素当当G正定或非奇异时，表示正定或非奇异时，表示F(t)的的n个列向无关。个列向无关。正定或非奇异来确定正定或非奇异来确定F(t)的的m个量线性行向量线个量线性行向量线性无关性无关同理可由同理可由正定或非奇异来确定正定或非奇异来确定第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性二二.线性时变系统的可控性线性时变系统的可控性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可

7、观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性三三.线性时变系统的可观测性线性时变系统的可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统

8、式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性3.6可控性与可观测性的对偶原理可控性与可观测性的对偶原理线性系统的可控性与可观测性不是两个相互独线性系统的可控性与可观测性不是两个相互独立的概念，它们之间存在着一种内在的联系。立的概念，它们之间存在着一种内在的联系。能控性和能观性，无论在概念上还是在判据的能控性和能观性，无论在概念上还是在判据的形式上都存在着内在关系。这种关系是由卡尔形式上都存在着内在关系。这种关系是由卡尔曼提出的对偶原理确定的。曼提出的对偶原理确定的。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性一

9、一.线性定常系统的对偶关系线性定常系统的对偶关系设两个设两个n维系统维系统S S1 1(A1 B1 CI)、S S2 2(A2 B2 C2)S S1 1(A1 B1 CI)S S2 2(A2 B2 C2)第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性两个两个n维系统维系统S S1 1(A1 B1 CI)、S S2 2(A2 B2 C2)若满足下列关系若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T则称则称S S1 1与与S S2 2是对偶系统是对偶系统.系统矩阵系统矩阵；式中式中n维维状状态态矢量；矢量；各为各为r维维与与m维维控制矢量；控制矢量；各为各为

10、m维维与与r维输维输出矢量；出矢量；各为各为nr维维与与nm维维控制矩控制矩阵阵；各为各为nm维维与与nr维输维输出矩出矩阵阵；第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性若若满满足下列条件，足下列条件，则则称称与与是互是互为对为对偶的。偶的。系统矩阵系统矩阵；式中式中n维维状状态态矢量；矢量；各为各为r维维与与m维维控制矢量；控制矢量；各为各为m维维与与r维输维输出矢量；出矢量；各为各为nr维维与与nm维维控制矩控制矩阵阵；各为各为nm维维与与nr维输维输出矩出矩阵阵；第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性如果如果1和和2

11、互为对偶系统，那么：互为对偶系统，那么：1如果将如果将1模拟结构图中将信号线反向；输入模拟结构图中将信号线反向；输入端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成的就是的就是2的模拟结构图，如下图所示。的模拟结构图，如下图所示。对偶系统结构图对偶系统结构图第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性2对偶系统的传递函数阵互为转置。对偶系统的传递函数阵互为转置。所以若所以若1，2为单入单出（为单入单出（SISO）系统，那）系统，那么有么有3.对

12、偶系统特征方程式相同。对偶系统特征方程式相同。即即和和是等价的。是等价的。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性由下述状态空间表达式描述的系统由下述状态空间表达式描述的系统S1：式中，式中，。以及由下述状以及由下述状态态空空间间表达式定表达式定义义的的对对偶系偶系统统S2：式中，式中，。对偶原理：当且仅当系统对偶原理：当且仅当系统S2状态能观测（状态能控）状态能观测（状态能控）时，系统时，系统S1才是状态能控（状态能观测）的。才是状态能控（状态能观测）的。二二.对偶原理：对偶原理：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性

13、对于系统对于系统S1：1.状态能控的充要条件是状态能控的充要条件是nnr维能控性矩阵维能控性矩阵的秩的秩为为n。2.状状态态能能观测观测的充要条件是的充要条件是nnm维维能能观测观测性矩性矩阵阵的秩的秩为为n。对对于系于系统统S2:1.状状态态能控的充要条件是能控的充要条件是nnm维维能控性矩能控性矩阵阵的秩的秩为为n。2.状状态态能能观测观测的充要条件是的充要条件是nnr维维能能观测观测性矩性矩阵阵的秩的秩为为n。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性对对比比这这些条件，可以很明些条件，可以很明显显地看出地看出对对偶原理的偶原理的正确性。利用此原理，一个

14、正确性。利用此原理，一个给给定系定系统统的能的能观测观测性可用其性可用其对对偶系偶系统统的状的状态态能控性来能控性来检检检检和判断。和判断。简单简单地地说说，对对偶性有如下关系：偶性有如下关系：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性二二.时变系统对偶原理：时变系统对偶原理：1.定义定义设两个设两个时变时变系统系统S S1 1A1(t)B1(t)CI(t)、S S2 2A2(t)B2(t)C2(t)若满足下列关系若满足下列关系 A2(t)=-A1T(t)B2(t)=C1T(t)C2(t)=B1T(t)则称则称S S1 1与与S S2 2是对偶系统是对偶系统第

15、第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性2.状态转移矩阵互为转置逆状态转移矩阵互为转置逆3.对偶原理对偶原理 S S1 1的能控性等价于的能控性等价于S S2 2的能观性的能观性;S S1 1的能观性等价于的能观性等价于S S2 2的能控性。的能控性。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性如果如果能控，必有能控，必有n维线性定常系统维线性定常系统一、问题的提法一、问题的提法3.7能控规范型和能观测规范型能控规范型和能观测规范型第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性有且仅有有且仅有n个线

16、性无关列向量，从而也是可导出个线性无关列向量，从而也是可导出一组一组n维线性无关的基底，能观测对（维线性无关的基底，能观测对（A,C）在）在这组基底下的表现，称为能观测规范型。这组基底下的表现，称为能观测规范型。同样：如果同样：如果完全能观测，必有完全能观测，必有上述能控判据矩阵中，有且仅有上述能控判据矩阵中，有且仅有n维列向量是线维列向量是线性无关的，可取性无关的，可取n个线性无关的列向量构成状态个线性无关的列向量构成状态空间的一组基底，所谓能控规范型，就是指能控空间的一组基底，所谓能控规范型，就是指能控对（对（A,B)在上述基底下所具有的标准形式。在上述基底下所具有的标准形式。第第三章三章

17、线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性 由于状由于状态变态变量量选择选择的非唯一性，系的非唯一性，系统统的状的状态态空空间间表达也不是唯一的。在表达也不是唯一的。在实际应实际应用中，常常根据用中，常常根据所研究所研究问题问题的需要，将状的需要，将状态态空空间间表达式化成相表达式化成相应应的几种的几种标标准形式：准形式：约旦标准型约旦标准型：对对于状于状态转态转移矩移矩阵阵的的计计算，能控性算，能控性和能和能观观性分析十分方便。性分析十分方便。能控标准型能控标准型：对对于状于状态态反反馈馈来来说说比比较较方便，方便，能观标准型能观标准型：对对于状于状态观测态观测器的器的

18、设计设计及系及系统辩识统辩识比比较较方便。方便。无无论选论选用哪种用哪种标标准形，其准形，其实质实质都是都是对对系系统统状状态态空空间间表达式表达式进进行非奇异行非奇异线线性性变换变换，而且关，而且关键键在于在于寻寻找相找相应应的的变换变换矩矩阵阵 。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性非奇异非奇异变换变换不改不改变变系系统统的自然模的自然模态态及能控性，及能控性，能能观观性，而且只有系性，而且只有系统统完全能控（能完全能控（能观观）才能）才能化成能控（能化成能控（能观观）标标准型，准型，对对于一个于一个传递传递函数函数为为 的系统，可以证明，当其无相消

19、的零极点时，系的系统，可以证明，当其无相消的零极点时，系统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能统一定能控能观，则可直接由传递函数写出其能控、能观标准型。控、能观标准型。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性二、单输入二、单输入单输出系统的能控规范形单输出系统的能控规范形1）能控）能控标标准型准型第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性

20、和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性2）化能控系）化能控系统为统为能控能控标标准型准型 定理：定理：若若n维单输入线性定常系统的状态完全能维单输入线性定常系统的状态完全能控，则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及控控，则可以通过非奇异变换将其系统矩阵及控制矩阵变换为能控标准形。制矩阵变换为能控标准形。若系若系统统是完全能控的，是完全能控的，则则存在存在线线性非奇异性非奇异变换变换第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性其中其中为为系系统统特征多特征多项项式中式中对应项对应项系数。系数。使其状使其状态态空空间间表达式化表达式化为为：其中：其中：第第三章三章线

21、性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性【例】【例】试试将下列系将下列系统变换为统变换为能控能控标标准型。准型。解解 （1）先判）先判别别系系统统的能控性的能控性 ，所以系，所以系统统是能控的。是能控的。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性（2）计算系统的特征多项式）计算系统的特征多项式即即则则第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性由由得得第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性由可控规范型求系统传递函数是非常方便的，因为：由可控规范型求系统传递函数是非常方便

22、的，因为：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性上式可知，根据系统的传递函数上式可知，根据系统的传递函数W（S）可直）可直接写出系统的可控标准型，反之亦然接写出系统的可控标准型，反之亦然写出系写出系统统的的传递传递函数函数 第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性因为传递函数没有零极点对消，系统可控，可以因为传递函数没有零极点对消，系统可控，可以化为可控标准型。从化为可控标准型。从W(s)表达式可知：表达式可知：解：解：由传递函数直接写出系统的可控标准型由传递函数直接写出系统的可控标准型第第三章三章线性控制系统式的可控性

23、和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性三、单输入三、单输入单输出系统的能观规范形单输出系统的能观规范形第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性2）化能）化能观观系系统为统为能能观标观标准型准型当给定的能观系统是用状态空间表达式描述的，当给定的能观系统是用状态空间表达式描述的，且并不是能观标准型，同样可用下面的方法将其且并不是能观标准型，同样可用下面的方法将其变换为能观标准型。变换为能观标准型。设设系系统统的状的状态态空空间间表达式表达式为为若系若系统统是完全能是完全能观观的，的，则则存在存在线线性非奇异性非奇异变换变换 第第三章三章线性控制系统式的可控性

24、和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性其中其中为为系系统统特征多特征多项项式中式中对应项对应项系数。系数。使其状态空间表达式化为使其状态空间表达式化为第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性其中其中 第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性【例】【例】试试将下列系将下列系统变换为统变换为能能观标观标准型。准型。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性详细详细解法解法见见教材教材P117。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性.可控性的概念可控性的

25、概念.线性定常系统的线性定常系统的可可控性判据控性判据.线性定常系统的线性定常系统的可可观测性观测性.离散系统的离散系统的可可控性与控性与可可观测性观测性.时变系统的可控性与可观测性时变系统的可控性与可观测性.系统的可控性与可观测性的对偶原理系统的可控性与可观测性的对偶原理.可控规范型和可观测规范型可控规范型和可观测规范型.8线性系统的结构分解线性系统的结构分解.9传递函数矩阵的实现传递函数矩阵的实现.10传递函数中零极点对消与可控性与可观传递函数中零极点对消与可控性与可观测性的关系测性的关系第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性3.8线性系统的规范分解线

26、性系统的规范分解第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性引例引例研究下列系统动态方程的各状态变量的能研究下列系统动态方程的各状态变量的能控性、能观测性及传递函数：控性、能观测性及传递函数：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性解：解：按按A阵对角化后的能控性、能观测性判据可知：阵对角化后的能控性、能观测性判据可知：x x1 1：能控，不能观测；：能控，不能观测；x x2 2：能控，能观测；：能控，能观测；x x3 3：不能控，能观测；：不能控，能观测；x x4 4：不能控，不能观测。：不能控，不能观测。计算传递函数计算传

27、递函数第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性一一.系统按可控性的结构分解系统按可控性的结构分解第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性 将将变换变换后的后的动态动态方程展开，有方程展开，有 即即 可控子系可控子系统动态统动态方程方程为为：不可控子系不可控子系统动态统动态方程方程为为：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性可控部分不可控

28、部分按可控性进行结构分解示意图由上图可看出系统的传递函数完全由图中上半部分由上图可看出系统的传递函数完全由图中上半部分所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。所决定，即传递函数未能反映系统的不可控部分。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性【例】【例】设线设线性定常系性定常系统统 ，判判别别可控性。若系可控性。若系统统不可控，将系不可控，将系统统按可控性按可控性进进行行规规范分解。范分解。解：（解：（1

29、）判别可控性）判别可控性，系系统统不完全可控。不完全可控。，第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性（2）构造按可控性）构造按可控性进进行行规规范分解的非奇异范分解的非奇异变换阵变换阵。，故，故 变换变换后系后系统统的的动态动态方程方程为为：，式中：式中：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性 第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性可控子系可控子系统动态统动态方程：方程：，不可控子系不可控子系统动态统动态方程：方程：，第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性

30、和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性二、系统按可观测性的结构分解二、系统按可观测性的结构分解第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性非奇异非奇异线线性性变换阵变换阵可可这样这样构造：构造：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性按可观测性进行结构分解示意图按可观测性进行结构分解示意图可观测部分不可观测部分由图上可以看出传递函

31、数完全由图中上半部分所决定，由图上可以看出传递函数完全由图中上半部分所决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性【例】【例】设线设线性定常系性定常系统统 ，判判别别可可观测观测性。若系性。若系统统不可不可观测观测，将系，将系统统按可按可观测观测性性进进行行规规范分解。范分解。解：解：（1）判别可观测性）判别可观测性，系系统统不可不可观测观测第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性（2）构造非奇异）构造非奇异变换阵变换阵。取。取,在保在保证证

32、非奇异的条件下，任取非奇异的条件下，任取，第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性于是于是，即即可可观测观测子系子系统为统为：，不可不可观测观测子系子系统为统为：第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性三、按可控性和可观测性分解三、按可控性和可观测性分解若若线线性定常系性定常系统统不完全可控、不完全可不完全可控、不完全可观测观测，则则存在非奇异存在非奇异变换变换，其状态，其状态将原状将原状态态空空间间表达式表达式变换为变换为：，其中：其中：，第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性 ，即

33、即 第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性 上述系统的结构图如下图示：上述系统的结构图如下图示：从结构图可以清楚看出四个子系统传递信息的情况。在系统的输入从结构图可以清楚看出四个子系统传递信息的情况。在系统的输入u和输出和输出y之间，只存在一条唯一的单向控制通道，即之间，只存在一条唯一的单向控制通道，即u B1 S1 C1 y。显然，反。显然，反映系统输入输出特性的传递函数阵映系统输入输出特性的传递函数阵W(S)只能反映系统中只能反映系统中能控且能观能控且能观的那个的那个子系统的动力学行为。即子系统的动力学行为。即传递函数降只是对系统的一种不完全的描述传递

34、函数降只是对系统的一种不完全的描述，如，如果在系统中添加果在系统中添加(或去掉或去掉)不能控或不能观的子系统，并不影响系统的传递不能控或不能观的子系统，并不影响系统的传递函数。因而根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有无穷函数。因而根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解将有无穷多个。但是其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的，这就是多个。但是其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的，这就是最小最小实现实现问题。问题。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性 可可见见，只要确定了，只要确定了变换变换矩矩阵阵变换变换便可便可对对系系统统

35、同同时时按可控性和可按可控性和可观测观测性性进进行行念，比念，比较较麻麻烦烦，可用如下步，可用如下步骤骤分解：分解：，只需，只需经过经过一次一次结结构分解。但构分解。但 的构造涉及的构造涉及较较多多线线性空性空间间的概的概第一步：将系第一步：将系统统按可控性分解按可控性分解;第二步：把可控子系第二步：把可控子系统统按可按可观测观测性分解性分解;第三步：把不可控子系第三步：把不可控子系统统按可按可观测观测性分解性分解;第四步：综合上述三次变换，导出系统同时按第四步：综合上述三次变换，导出系统同时按可控性和可观测性进行结构分解的表达式。可控性和可观测性进行结构分解的表达式。第第三章三章线性控制系统

36、式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性3.9传递函数矩阵的实现（不讲）传递函数矩阵的实现（不讲）给给定一定一传递传递函数矩函数矩阵阵，若有一状，若有一状态态空空间间表达式表达式 使使成立，成立，则则称此状称此状态态空空间间表达式表达式为传递为传递函数矩函数矩阵阵的一个的一个实现实现。说说 明：明：（1）并并不不是是任任意意一一个个传传递递函函数数矩矩阵阵G(s)都都可可以以找找到到其其实实现现，通常它必须满足物理可实现条件。即：通常它必须满足物理可实现条件。即：传传递递函函数数矩矩阵阵中中的的每每一一个个元元 （，k=1,2,rk=1,2,r）的分子分母多项式系数均为实常数。的分

37、子分母多项式系数均为实常数。传传递递函函数数矩矩阵阵G(s)G(s)中中的的每每一一个个元元 均均为为s s的的有有理理真真分式函数。分式函数。（2 2）对应某一传递函数矩阵的实现是不唯一的。）对应某一传递函数矩阵的实现是不唯一的。由由于于传传递递函函数数矩矩阵阵只只能能反反映映系系统统中中可可控控且且可可观观测测的的子子系系统统的的动动力力学学行行为为。因因而而，对对于于某某一一传传递递函函数数矩矩阵阵有有任任意维数的状态空间表达式与之对应。意维数的状态空间表达式与之对应。由由于于状状态态变变量量选选择择的的非非唯唯一一性性，选选择择不不同同的的状状态态变变量量时，其状态空间表达式也随之不同

38、。时，其状态空间表达式也随之不同。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同既然系统的能控且能观性与其传递函数阵的最小实现是同义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的义的，那么能否通过系统传递函数阵的特征来判别其状态的能控性和能观性呢能控性和能观性呢?可以证明，对于单输入系统、单输出系可以证明，对于单输入系统、单输出系统或者单输入单输出系统，使系统能控并能观的充分必要条统或者单输入单输出系统，使系统能控并能观的充分必要条件是

39、其传递函数的分子分母间没有零极点对消。件是其传递函数的分子分母间没有零极点对消。可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对可是对于多输入多输出系统来说，传递函数阵没有零极点对消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零消，只是系统最小实现的充分条件，也就是说，即使出现零极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。鉴于这个原极点对消，这种系统仍有可能是能控和能观的。鉴于这个原因，本节只限于讨论单输入单输出系统的传递函数中零极点因，本节只限于讨论单输入单输出系统的传递函数中零极点对消与状态能控且能观之间的关系。对消与状态能控且能观之间的关系。3.10传递函数中零极点对消与可控性传递

40、函数中零极点对消与可控性与可观测性的关系与可观测性的关系第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性SISO系统可控且可观测的充分必要条件是：由系统可控且可观测的充分必要条件是：由动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即动态方程导出的传递函数不存在零极点对消（即传递函数不可约）。传递函数不可约）。一一.SISO系统系统SISOSISO系系统统可控的充分必要条件是：可控的充分必要条件是：不存在零极点对消。不存在零极点对消。SISOSISO系系统统可可观测观测的充分必要条件是：的充分必要条件是：不存在零极点不存在零极点对对消。消。第第三章三章线性控制系统式的可控性

41、和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性【例】【例】试试分析下列系分析下列系统统的可控性、可的可控性、可观测观测性与性与传传递递函数的关系。函数的关系。，（1）（2 2），（3 3），解：三个系解：三个系统统的的传递传递函数均函数均为为显然存在零极点对消。显然存在零极点对消。（1）A、B为可控标准型，故此系统可控不可观测。为可控标准型，故此系统可控不可观测。（2）A、C为可观测标准型，故此系统可观测不可控。为可观测标准型，故此系统可观测不可控。（3）系统不可控、不可观测。）系统不可控、不可观测。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性【例】【例】设设二二阶

42、阶系系统统如下如下图图。试试用状用状态态空空间间及及传传递递函数描述判函数描述判别别系系统统的可控性和可的可控性和可观测观测性，并性，并说说明明传递传递函数描述的不完全性。函数描述的不完全性。-_uyx1x2解：由解：由结结构构图图有有整理后，有：整理后，有：，第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性显然，都出现零极点对消，故系统不可控、不显然，都出现零极点对消，故系统不可控、不可观测。可观测。分析：系分析：系统统的特征多的特征多项项式式为为二二阶阶系系统统的特征多的特征多项项式式应应是二次多是二次多项项式，但式，但对对消消的的结结果是使二果是使二阶阶系系统

43、统降降为为一一阶阶。，第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性原系原系统统是不是不稳稳定的，含有一个右特征定的，含有一个右特征值值。闭环传递函数零极点末对消时，系统是二阶的不稳定闭环传递函数零极点末对消时，系统是二阶的不稳定系统；对消后则成了一阶稳定系统。零极点对消主要系统；对消后则成了一阶稳定系统。零极点对消主要后果是使系统阶次降低。从古典控制理论知道，闭环后果是使系统阶次降低。从古典控制理论知道，闭环传递函数每个极点都对应自由运动一个分量，零极点传递函数每个极点都对应自由运动一个分量，零极点对消后，在整个系统的模型中，对这个极点的相应分对消后，在整个系统

44、的模型中，对这个极点的相应分量也就不能控制了，因为控制量量也就不能控制了，因为控制量(或输入量或输入量)跟这个分跟这个分量的联系已经因零极对消而割断了。量的联系已经因零极对消而割断了。因此因此说传递说传递函数描述是不完全的。函数描述是不完全的。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性多多输输入系入系统统可控的充要条件是：可控的充要条件是：二二.MIMO系统系统多输出系统可观测的充要条件是：多输出系统可观测的充要条件是：的的n行线性无关。行线性无关。的的n列线性无关。列线性无关。第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性本章小

45、结本章小结1、线性定常系统的能控性、线性定常系统的能控性离散系统的状态可控性离散系统的状态可控性连续系统的状态能控性连续系统的状态能控性A为对角阵、约当阵的能控性判据为对角阵、约当阵的能控性判据能控标准形问题能控标准形问题输出能控性输出能控性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性2、线性定常系统的能观测性、线性定常系统的能观测性离散系统的能观测性离散系统的能观测性连续系统的能观测性连续系统的能观测性为对角阵、约当阵的能观测性判据为对角阵、约当阵的能观测性判据能观测标准形问题能观测标准形问题线性变换的特性线性变换的特性3、线性时变系统的能控性和能观测性、线性时变系统的能控性和能观测性格兰姆（格兰姆（Gram）矩阵及其在时变系统中的应用）矩阵及其在时变系统中的应用时变系统的能控性时变系统的能控性时变系统的能观测性时变系统的能观测性第第三章三章线性控制系统式的可控性和可观测性线性控制系统式的可控性和可观测性4、对偶原理、对偶原理5、线性定常系统的典范分解线性定常系统的典范分解能控状态的分离能控状态的分离能观测状态的分离能观测状态的分离标准分解定理标准分解定理