相似三角形期末复习.ppt

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1、相似三角形期末复习相似三角形期末复习知识要点知识要点+练习提高练习提高-万州德澳中学初三数学备课万州德澳中学初三数学备课组组 像这样，对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如 （或abcd），那么，这四条线段叫做成比例线段成比例线段，简称比例线段此时也称这四条线段成比例要判断线段是否是成比例要判断线段是否是成比例要判断线段是否是成比例要判断线段是否是成比例线段关键在于：线段关键在于：线段关键在于：线段关键在于：它们的比值是否相等！它们的比值是否相等！它们的比值是否相等！它们的比值是否相等！本章主要知识要点本章主要知识要点 1.基本形式为：基本形式为：或或b

2、 b、C C叫比例内项叫比例内项叫比例内项叫比例内项，a a、d d叫比例的外项叫比例的外项叫比例的外项叫比例的外项，d d叫做叫做叫做叫做a a、b b、C C的第四比例项的第四比例项的第四比例项的第四比例项*比例的比例的比例的比例的有序性有序性有序性有序性*即按大小大小，或小大小即按大小大小，或小大小即按大小大小，或小大小即按大小大小，或小大小大排列大排列大排列大排列2.比例中项：比例中项：当两个当两个比例内项相等比例内项相等时，时，即即a bb c=，(或或 a：b=b：c)，那么线段那么线段 b 叫做叫做a 和和 c 的的比例中项比例中项.2acb=即：即：如图如图,点点 C C 把线

3、段把线段 AB AB 分成两条线段分成两条线段 AC AC 和和 BC,BC,如果如果ACABACBC=那么称线段那么称线段 AB AB 被点被点 C C 黄金分割黄金分割(golden section),(golden section),点点 C C 叫做叫做线段线段 AB AB 的黄金分割点的黄金分割点,AC AC 与与 AB AB 的比叫做黄金比的比叫做黄金比.CAB5 1 2 0.618ACABACBC=ACABACBC=AC2=AB BC3.黄金分割：黄金分割：3.黄金分割：黄金分割：ACB1若m是5和4的比例中项，则m=,2（2008 河北）如图：等腰ABC顶角A360，B的平分线

4、BD交 AC于D，则下列结论不成立的是（）A、BCAD B、点D是AC的黄金分割点。C、D、D 判定方法判定方法 相似形相似形 相似多边形相似多边形 相似三角形相似三角形 应用应用 性质性质 知识点知识点1定义：定义：对应角相等、对应角相等、对应边成比例对应边成比例的三角形叫做相似三角形。的三角形叫做相似三角形。相似比：相似比：相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。ABC ABC,如果如果BC=3,BC=1.5,那么那么 ABC与与 ABC的相似比为的相似比为_.二相似三角形二相似三角形相似三角形的常见判定方法有：相似三角形的常见判定方

5、法有：（1）、）、利用两组对应角相等证明相似利用两组对应角相等证明相似 （2）、）、利用两边夹一角证明相似利用两边夹一角证明相似 （3）、）、利用三边对应成比例证明相似利用三边对应成比例证明相似 （1）对应角相等对应角相等,对应边成比例对应边成比例（2）相似三角形对应高、中线的比等于相似比相似三角形对应高、中线的比等于相似比（3）相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相相似三角形周长之比等于相似比，面积比等于相似比的平方似比的平方 知识点知识点2 知识点知识点3预备定理预备定理三角形相似的判定方法有哪几种三角形相似的判定方法有哪几种?预备定理预备定理ABCDEDEABCDEBC,DEBC,A

6、DEABCADEABC 知识点知识点2相似三角形判定定理相似三角形判定定理1 1：两个角对应相等的两个三角：两个角对应相等的两个三角形相似形相似A AB BC CD DE EF F 知识点知识点2相似三角形判定定理相似三角形判定定理2 2：两边对应成比例且夹角相等：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似的两个三角形相似.ABCDEFA AB BC CD DE EF F 知识点知识点2相似三角形判定定理相似三角形判定定理3 3：三边对应成比例的两：三边对应成比例的两个三角形相似个三角形相似.ABCDEFABCDEF 知识点知识点2ADEBACBABCDADE绕点A旋转DCADEBCABCDEB

7、CADE点E移到与C点重合ACB=RtCDAB*相似三角形基本图形的回顾：相似三角形基本图形的回顾：1 1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例、相似三角形的对应角相等，对应边成比例2 2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比、相似三角形的周长比等于相似比，对应高的比等于相似比等于相似比3 3、相似三角形的面积比等于相似比的平方、相似三角形的面积比等于相似比的平方 知识点知识点31,相似比：相似比：相似三角形的相似三角形的对应边的比对应边的比对应边的比对应边的比，叫做相似三角形的相似比。，叫做相似三角形的相似比。练习练习:ABC ABC,如果如果BC=4,BC=14,那么那么 ABC与与

8、ABC的相似比为的相似比为_.27A AP PB BC C1 1、若若 ACPABC ACPABC，AP=4AP=4，BP=5BP=5，则，则AC=_AC=_，ACPACP与与ABCABC的相似比是的相似比是_，周长之比是，周长之比是_，面积之比是面积之比是_。6 62 2:3:32 2:3:3练一练练一练4:94:92 2、如图：已知、如图：已知ABCABCCDBCDB9090，ACAC5cm5cm，BC=3cmBC=3cm，当，当BDBD取多少取多少cmcm时时 ABCABC和和BDCBDC相似？相似？4 4D DA AB BC C5 53 3知识点一：知识点一：测量不能直接到达顶部的物体

9、的高度，通常使用在测量不能直接到达顶部的物体的高度，通常使用在“同一时刻物同一时刻物体的物体的高度和影长成正比体的物体的高度和影长成正比”来解决。来解决。例例1:古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒，先竖一根已知长度的木棒OB，比较棒子的，比较棒子的影长影长AB与金字塔的影长与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度，即可近似算出金字塔的高度OB，如果，如果OB1，AB2，AB274，求金字塔的高度求金字塔的高度OB。知识点二：知识点二：测量不能直接到达的测量不能直接到达的

10、测量不能直接到达的测量不能直接到达的两点之间的距离两点之间的距离两点之间的距离两点之间的距离，常构造相似三角形求解。，常构造相似三角形求解。，常构造相似三角形求解。，常构造相似三角形求解。例例2我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，我军一小分队到达某河岸，为了测量河宽，只用简单的工具，就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点就可以很快计算河的宽度，在河对岸选定一个目标作为点A，再在，再在河的这一岸上选点河的这一岸上选点B和和C，使，使ABBC，然后选点，然后选点E，使，使ECBC，用眼睛测视确定用眼睛测视确定BC和和AE的交点的交点D，此时如果测得，此时如果测得BD1

11、20米，米，DC60米，米，EC50米，就能算出两岸间距离米，就能算出两岸间距离AB。知知识识点三：点三：证证明比例式或等明比例式或等积积式式例例3：如如图图已已知知D、E是是ABC的的边边AB、AC上上的的点点，且且ADEC求求证证：ADABAEAC证明证明:ADE=C,A=A:ADE=C,A=AAEDABCAEDABC(两角对应相等两角对应相等,两三角形相似两三角形相似)=AD AEAC AB ADABAEAC作业作业:如图如图,正方形正方形ABCDABCD中中,E,E是是DCDC中点中点,FC=BC.,FC=BC.求证求证:ADEFAEEC证明证明:四边形四边形ABCDABCD是正方形是

12、正方形BC=CD=ADBC=CD=AD，D=C=90D=C=90EE是是BCBC中点，中点，FC=BCFC=BCADEECFADEECF（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）（两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似）A AB BC CD DE EF F =AD AEEC EF ADEFAEEC例题：例题：如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，E为为BC上一点，上一点，DFAE于于F.(1)ABE与与ADF相似吗？请说明理由相似吗？请说明理由.(2)若若AB=6，AD=12，BE=8，求，求DF的长的长.(3)若若AE=x,BE=y,AF=6，AD=12,y与与x之间有怎样的之间有怎样的函数关

13、系？函数关系？例题教学例题教学:如图如图,在等腰在等腰ABCABC中中,BAC=90,AB=AC=1,BAC=90,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点(不与不与B B、C C重合），在重合），在ACAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45（1 1）求证：）求证：ABDDCEABDDCEADCADC是是ABDABD的外角的外角ADC=ADE+2=B+1ADC=ADE+2=B+1）2 21 1证明：证明：AB=ACAB=AC，BAC=90BAC=90B=C=45B=C=45又又ADE=45ADE=45ADE=BADE=B1=21=2 ABDDCE

14、ABDDCE（两角相等，两三角形相似）（两角相等，两三角形相似）A AB BC CD DE E拓展提高拓展提高（2 2）设）设BD=xBD=x，AE=yAE=y，求，求y y关于关于x x的函数关系式及自变量的函数关系式及自变量x x的取值范围，并求出当的取值范围，并求出当BDBD为何值时为何值时AEAE取得最小值取得最小值解：解：ABDDCEABDDCE1 1当当时时A AB BC CD DE E 如图如图,在等腰在等腰ABCABC中中,BAC=90,AB=AC=1,BAC=90,AB=AC=1,点点D D是是BCBC边上的一边上的一个动点个动点(不与不与B B、C C重合），在重合），在A

15、CAC上取一点上取一点E E，使，使ADE=45ADE=45拓展提高拓展提高B BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒例例4 4、在、在 ABCABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,AB=8cm,BC=16cm,点点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边边向向B B点以点以2cm/2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC向点向点C C以以4cm/4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P P、Q Q分别从分别从A A、B B同时出发，经同时出发，经几秒钟几秒钟 BPQBPQ与与 BACBAC相似？相似？拓展提高拓展提高 9

16、、如图，在、如图，在ABC中，中，AB=8厘米，厘米，BC=16厘米，点厘米，点P从点从点A开始沿开始沿AB边向点边向点B以以2厘米厘米/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开始开始沿沿BC边向点边向点C以以4厘米厘米/秒的速度移动，若秒的速度移动，若P,Q分别从分别从A,B同时出发，则经多少秒时同时出发，则经多少秒时PBQ可与可与ABC相似？相似？BPCAQ例例5 5、如图、如图,DEBC,EFAB,DEBC,EFAB,且且S SADEADE=25,S=25,SCEFCEF=36.=36.求求ABCABC的面积的面积.A AB BC CD DE EF F25253636解：解：DEBCDEBC，EFABEFABA=CEFA=CEF，AED=CAED=CADEEFCADEEFCDEBCDEBCADEABCADEABC S SADEADE=25=25S S ABCABC=121=121拓展：拓展：如图，点如图，点D 是是Rt ABC的斜边的斜边AB上的点，上的点，DEBC于于E，DF AC于于F，若，若AF=15,BE=10,求四边形求四边形DECF的面积。的面积。ACBDEF练习：如图，练习：如图，ABC中，中，BD平分平分 ABC，且，且D为为AC的中点，的中点，DEBC交交AB于于 点点E，若，若BC=4，求，求EB长长ADECB