线性代数第四章齐次线性方程组.ppt

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1、第五节齐次线性方程组第五节齐次线性方程组第五节齐次线性方程组第五节齐次线性方程组齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件齐次线性方程组解的性质基础解系解的结构练习题1.齐次线性方程组齐次线性方程组(4.2)有非零解的充要条件有非零解的充要条件或或向量形式向量形式定理定理8 以下命题等价以下命题等价(即互为充要条件即互为充要条件):(1)AX=0(4.2)有非零解有非零解;(4)秩秩 An.推论推论：齐次线性方程组齐次线性方程组 (4.2)只有零解只有零解证明证明 由矩阵、向量的运算、由矩阵、向量的运算、于是于是,以上以上4个命题相互等价个命题相互等价.(2)-3)-(4)-(3)-(2)-(

2、1)线性相关定义线性相关定义,得得(1)推推(2),2.齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（可推广至有限多个解）（可推广至有限多个解）(解向量的和解向量的和,数乘仍是数乘仍是 解解)性质性质1 证明证明 由题设知由题设知 上页上页下页下页返回返回齐次线性方程组的解的集合齐次线性方程组的解的集合V称为齐次线方称为齐次线方程组的解空间程组的解空间(space of solution)。3.基础解系基础解系(1)向量组向量组线性无关线性无关;(2)(3)AX=0 的任一解都可以由的任一解都可以由线性表示。线性表示。则称向量组则称向量组(I)是齐次线性方程组是齐次线性方程组的一个的一个基础解

3、系。基础解系。定义定义12 设设A是一个是一个sn矩阵矩阵,如果如果:都是都是AX=0的解；的解；上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回证明分几步证明分几步:1.用初等行变换将系数阵用初等行变换将系数阵A化为阶梯形矩阵化为阶梯形矩阵;个解。个解。3.证明这证明这 个解线性无关个解线性无关;4.证明任一解都可由这证明任一解都可由这个解线性表示个解线性表示.(1)基础解系不是唯一的。基础解系不是唯一的。(2)当当时，解集合时，解集合(解空间解空间)是是2.以某种方法找以某种方法找 个解个解;定理定理9 假设假设A是一个是一个则齐次线性方程组

4、则齐次线性方程组AX=0 存在存在基础解系基础解系,且基础解系且基础解系注：注：上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回定义定义：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间：齐次线性方程组的基础解系又称为解空间的基。的基。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回试试求齐次线性方程组求齐次线性方程组例例 设设A=秩秩A=3,基础解系含基础解系含 53=2个向量个向量,是原方程组的一个基础解系是原方程组的一个基础解系,解解AX=0的一个的一个基础解系基础解系与通解与通解.解：解：所以只有所以只有零解零解。例例