自考计算机应用管理信息系统开发.ppt
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1、无无 穷穷 级级 数数 从从18世纪以来,无穷级数就被认为是微积分的世纪以来,无穷级数就被认为是微积分的一个不可缺少的部分,是高等数学的重要内容,同一个不可缺少的部分,是高等数学的重要内容,同时也是有力的数学工具,在表示函数、研究函数性时也是有力的数学工具,在表示函数、研究函数性质等方面有巨大作用,在自然科学和工程技术领域质等方面有巨大作用,在自然科学和工程技术领域有着广泛的应用有着广泛的应用 本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函本章主要内容包括常数项级数和两类重要的函数项级数数项级数幂级数和三角级数,主要围绕三个问幂级数和三角级数,主要围绕三个问题展开讨论:题展开讨论:级数的收敛性判定问
2、题,级数的收敛性判定问题,把已知把已知函数表示成级数问题,函数表示成级数问题,级数求和问题。级数求和问题。一、问题的提出一、问题的提出1.1.计算圆的面积计算圆的面积正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积二、级数的概念二、级数的概念1.1.级数的定义级数的定义:一般项一般项(常数项常数项)无穷级数无穷级数级数的部分和级数的部分和部分和数列部分和数列2.2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散:余项余项无穷级数收敛性举例:无穷级数收敛性举例:KochKoch雪花雪花.做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对做法:先给定一个正三角形,然后在每条边上对称的产
3、生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作,我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉:第一次分叉:依次类推依次类推第第 次分叉:次分叉:周长为周长为面积为面积为于是有于是有雪花的面积存在极限(收敛)雪花的面积存在极限(收敛)结论:雪花的周长是无界的,而面积有界结论:雪花的周长是无界的,而面积有界解解 收敛收敛 发散发散 发散发散 发散发散 综上综上解解三、基本性质三、基本性质结论结论:级数的
4、每一项同乘一个不为零的常数级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变敛散性不变.结论结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减.证明证明 类似地可以证明在级数前面加上有限项不类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性影响级数的敛散性.证明证明注意注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.收敛收敛 发散发散事实上,对级数事实上,对级数任意加括号任意加括号若记若记则加括号后级数成为则加括号后级数成为记记的部分和为的部分和为的部分和记为的部分和记为则则由数列和子数列的关系知由数列和子数列的关系知存在,存在,必定存在必定存在存在存
5、在未必存在未必存在四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件:证明证明注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零,则级数发散则级数发散;发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分.讨论讨论2项项2项项4项项8项项 项项由性质由性质4 4推论推论,调和级数发散调和级数发散.由定积分的几何意义由定积分的几何意义这块面积显然大于定积分这块面积显然大于定积分以以 1 为底的的矩形面积为底的的矩形面积把每一项看成是以把每一项看成是以 为高为高就是图中就是图中 n 个矩形的面积之和个矩形的面积之和即即故调和级数发散故调和级数发散调和级数的部分和调和级数
6、的部分和常数项级数审敛法常数项级数审敛法正正 项项 级级 数数任意项级数任意项级数1.2.4.充要条件充要条件5.比较法比较法6.比值法比值法7.根值法根值法4.绝对收敛绝对收敛5.交错级数交错级数(莱布尼茨定理莱布尼茨定理)3.按基本性质按基本性质;一般项级数一般项级数4.绝对收敛绝对收敛2 2、正项级数及其审敛法、正项级数及其审敛法(1)(1)比较审敛法比较审敛法(2)(2)比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式是同阶无穷小是同阶无穷小特别特别 (等价无穷小)(等价无穷小)3 3、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法4 4、任意项级数及其审敛法、任意项级数及其审敛法Leibniz定理定
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- 自考 计算机 应用 管理信息系统 开发
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