误差原理第一章基本概念.ppt

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1、人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然人类为了认识自然与改造自然，需要不断地对自然界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实界的各种现象进行测量和研究，由于实验方法和实验设备的不完善、周围环境的影响，以及受人们认验设备的不完善、周围环境的影响，以及受人们认识能力所限等，测量和实验所得数据与被测量的真识能力所限等，测量和实验所得数据与被测量的真值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上表现值之间，不可避免地存在着差异，这在数值上表现为误差。为误差。随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断随着科学技术的日益发展和人们认识水平的不断提高，虽可将误差控制得越来起小，但终究不能完提高，虽可将误差

2、控制得越来起小，但终究不能完全消除它。误差存在的必然性和普遍性已为大量全消除它。误差存在的必然性和普遍性已为大量实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，实践所证明，为了充分认识并进而减小或消除误差，必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进必须对测量过程和科学实验中始终存在着的误差进行研究。行研究。第一章 基本概念一、意义研究误差的意义研究误差的意义(1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差。消除或减小误差。(2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于

3、真值的数据。以便在一定条件下得到更接近于真值的数据。(3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。测量方法，以便在最经济的条件下，得到理想的结果。二、基本概念测量是研究误差的前提，研究误差的目的就是设法测量是研究误差的前提，研究误差的目的就是设法评价测量结果的可信程度。评价测量结果的可信程度。测量的定义测量的定义 测量就是人们借助专门设备，通过实验的方法，测量就是人们借助专门设备，通过实验的方法，对客观事物取得测量结果的认识过程。对客观事物取得测量结果的认识过程。三种形式：三种形式：带有单位的数值；带有

4、单位的数值；在固定坐标系中给出的曲线；在固定坐标系中给出的曲线；按一定比例给出的图形。按一定比例给出的图形。根据实际需要根据实际需要,测量结果不外乎下面三种形式测量结果不外乎下面三种形式:(1)带有带有单位单位的数值的数值;(2)在固定的坐标系中给出曲线在固定的坐标系中给出曲线;(3)按一定的比例给出的图形按一定的比例给出的图形.以上任一形式的测量结果都可以用下式表示以上任一形式的测量结果都可以用下式表示:测量测量结果结果=数值数值(被测量与标准的比值被测量与标准的比值)单位单位(量纲量纲)测量测量直接测量直接测量间接测量间接测量数值数值单位单位二二.测量方法的分类测量方法的分类1.按对测量结

5、果精确度要求的不同按对测量结果精确度要求的不同,可把测量分为可把测量分为:(1)工程测量工程测量 工程测量是一般工作中所进行的测量工程测量是一般工作中所进行的测量,对测量结果只对测量结果只要求取得测量值就能满足对测量的要求要求取得测量值就能满足对测量的要求,不需要考虑测量不需要考虑测量误差的大小或估计测量值的可信程度误差的大小或估计测量值的可信程度.(2)精密测量精密测量 凡是经过测量取得测量结果后，还要求估计出测量凡是经过测量取得测量结果后，还要求估计出测量结果的误差确切值，则为精确测量。结果的误差确切值，则为精确测量。2.根据取得测量结果的方法不同，可把测量分为：根据取得测量结果的方法不同

6、，可把测量分为：(1)直接测量直接测量 把被测量与作为测量标准的量直接进行比较把被测量与作为测量标准的量直接进行比较,或用预或用预先按标准校对好的测量仪器对被测量进行测量先按标准校对好的测量仪器对被测量进行测量,通过测量通过测量能直接得到被测量数量大小的测量结果能直接得到被测量数量大小的测量结果,称此为直接测量称此为直接测量.例如：用米尺测量桌子的长度例如：用米尺测量桌子的长度.(2)间接测量间接测量 被测量不能直接用测量的方法得到被测量不能直接用测量的方法得到,而必须通过一而必须通过一个或多个直接测量值个或多个直接测量值,利用一定的函数关系运算才能得利用一定的函数关系运算才能得到到,此种测量

7、称为间接测量此种测量称为间接测量.例如：测物体的运动速率例如：测物体的运动速率;牛顿测风速牛顿测风速 精密测量 得到的测量结果精度较高，但它所用的测量设备精度也高，测量设备对其工作环境的要求也比较严格，因此所付出的代价也大。工程测量 得到的测量结果精度较低，所用的测量设备简单，价格便宜，操作也比较简便，故所付出的代价也比较小。间接测量可以用下面的一般公式来表示，即(3)组合测量组合测量 被测量不能通过直接测量或者间接测量得到被测量不能通过直接测量或者间接测量得到,而必须而必须通过直接测量的测量值或者间接测量的测量值建立联立方通过直接测量的测量值或者间接测量的测量值建立联立方程组程组,才能得到最

8、后的测量结果才能得到最后的测量结果.这样的测量称为组合测量这样的测量称为组合测量.3.根据测量条件不同根据测量条件不同,把测量分为把测量分为:(1)等精度测量等精度测量 对某一固定被测量进行重复测量对某一固定被测量进行重复测量,所取得的测量数所取得的测量数据可以认为是在相同的测量精度条件下得到的据可以认为是在相同的测量精度条件下得到的,这种测这种测量称为等精度测量量称为等精度测量.(2)不等精度测量不等精度测量 对一被测量进行测量得到的数据对一被测量进行测量得到的数据,其精度可以判定其精度可以判定是不等的是不等的,这种测量称为不等精度测量这种测量称为不等精度测量.1.3 误差误差(error)

9、的基本概念的基本概念一一.误差的定义及表示方法误差的定义及表示方法 所谓误差就是测量值与被测量的真值之间的的差所谓误差就是测量值与被测量的真值之间的的差,可表示为可表示为 误差误差=测量值真值测量值真值1.绝对误差绝对误差 误差定义为该量的给出值与其客观真值之差误差定义为该量的给出值与其客观真值之差.真值真值 在某一时刻或某一位置状态下在某一时刻或某一位置状态下,某量本身体现某量本身体现出的客观值或实际值出的客观值或实际值.误差误差=给出值真值给出值真值 由于误差与给出值有相同的量纲由于误差与给出值有相同的量纲,故该误差又称为故该误差又称为绝对误差绝对误差.实际值实际值 满足规定准确度的用来代

10、替真值使用的满足规定准确度的用来代替真值使用的量值量值.2.相对误差相对误差 相对误差相对误差=误差误差/真值真值3.引用误差引用误差 仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或者量仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或者量程之比值程之比值,以百分数表示以百分数表示.真值真值 在某一时刻和某一位置或状态下，某量本身体现出的在某一时刻和某一位置或状态下，某量本身体现出的客观值或实际值。客观值或实际值。一般说来，真值是未知的，因此误差也就未知，但绝不意一般说来，真值是未知的，因此误差也就未知，但绝不意味真值一定不知道，有些情况下真值是可以知道的，又有些味真值一定不知道，有些情况下真值是可以知道的，又有些情

11、况下从相对的意义上来说也是知道的。真值可知的情况有情况下从相对的意义上来说也是知道的。真值可知的情况有如下几种：如下几种：理论真值理论真值 例如，平面三角形三内角之和恒为例如，平面三角形三内角之和恒为180180，同一，同一量值自身之差为零，而自身之比为量值自身之差为零，而自身之比为1 1；理想电容和电感上，；理想电容和电感上，其电压与电流的相位差为其电压与电流的相位差为9090；此外，还有理论设计值和理；此外，还有理论设计值和理论公式表达式等等。论公式表达式等等。计量学约定真值计量学约定真值 国际计量大会决议，例如：国际计量大会决议，例如：(A)(A)长度单位长度单位米是光在真空中，在米是光

12、在真空中，在1/299792458 s1/299792458 s的时间间隔内行程的时间间隔内行程的长度。的长度。(B)(B)质量单位质量单位保存在法国巴黎国际计量局的铂保存在法国巴黎国际计量局的铂铱合金圆柱体的质量是铱合金圆柱体的质量是1kg1kg。(c)(c)时间单位时间单位铯铯133133原原子处于特定的状态子处于特定的状态(原子基态的两个超精细能级之间的跃迁原子基态的两个超精细能级之间的跃迁)时，辐射出时，辐射出91926317709192631770个周期的电磁波。它所持续的时间个周期的电磁波。它所持续的时间为为1s1s。满足以上条件复现出的量值都是真值。满足以上条件复现出的量值都是真

13、值。2、误差的特点、误差的特点普遍性普遍性-所有的测量数据都存在误差所有的测量数据都存在误差-不可避免的不可避免的最高基准的测量传递手段（测量仪器最高基准的测量传递手段（测量仪器/测量方法）测量方法）-不绝对准确不绝对准确“米制米制”建议（建议（18世纪末法国科学院）世纪末法国科学院）-“米米”定义定义（1791年法国国会法国国会）-通过巴黎的地球子午线长度的四千分之一通过巴黎的地球子午线长度的四千分之一-铂杆铂杆“档案尺档案尺”（1799年）年）-两端之间的距离两端之间的距离-第一个实物基准第一个实物基准长度：长度：“档案尺档案尺”变形变形-较大误差较大误差-废弃（废弃（1872年米制国际会

14、议）年米制国际会议）铂铱合金的铂铱合金的X形尺形尺-米原器（米原器（1889年第一次国际计量大会）年第一次国际计量大会）-中性面上两端的二条刻线在中性面上两端的二条刻线在0 C时的长度时的长度-（12）10-7（复现精（复现精度）度）自然基准（自然基准（1960年第十一次国际计量大会）年第十一次国际计量大会）-废弃米原器废弃米原器-Kr-86的的2p10-5d5能级间跃迁在真空中的辐射波长的能级间跃迁在真空中的辐射波长的1650763.73倍。倍。-（0.51）10-8（复现精度）（复现精度）“米米”新定义（新定义（1983年第十七届国际计量大会）年第十七届国际计量大会）-光在真空中光在真空中

15、1s时间内传播距离的时间内传播距离的1/299792485-1.3 10-10（复现精度）（复现精度）减小误差的影响，提高测量精度减小误差的影响，提高测量精度测量精度测量精度-测量技术水平的主要标志之一测量技术水平的主要标志之一精度提高受到限制精度提高受到限制-测量误差的影响作出评测量误差的影响作出评定定 对测量结果的可靠性给出评定（精确度的估计）对测量结果的可靠性给出评定（精确度的估计）标准器相对真值标准器相对真值 高一级标准器的误差与低一级标准高一级标准器的误差与低一级标准器或普通计量仪器的误差相比，为其器或普通计量仪器的误差相比，为其1 15(5(或或1 131/20)31/20)时，则

16、可以认为前者是后者的相对真值。时，则可以认为前者是后者的相对真值。由此引出一个实际值的概念。由此引出一个实际值的概念。实际值实际值 满足规定准确度的用来代替真值使用的满足规定准确度的用来代替真值使用的量值。量值。例例1-1 1-1 测得某平面三角块的三内角之和为测得某平面三角块的三内角之和为18000031800003，则该内角之和的误差为，则该内角之和的误差为+3+3。例例1-2 1-2 今用一普通压力计测量某压力，得其值为今用一普通压力计测量某压力，得其值为9797968MPa968MPa。用更准确的方法测得值为。用更准确的方法测得值为9898168MPa168MPa，则普通压力计测得值的

17、误差为，则普通压力计测得值的误差为0.20 0.20 MPaMPa，所以，误差这个量值已成为评定测量过程或，所以，误差这个量值已成为评定测量过程或汁量仪器的准确度不可缺少的尺度。汁量仪器的准确度不可缺少的尺度。引进一个新的定义 修正值-误差=真值-结出值 真值给出值+修正值给出值-误差 这说明，含有误差的给出值加上修正值后就可消除误差的影响，而加上修正值的作用如同扣除误差的作用一样，这非常符合人们的逻辑思维过程。相对误差相对误差 例例1-3 1-3 用尺子测量用尺子测量100 m100 m的准确距离，得值的准确距离，得值101m101m，则误差为，则误差为l ml m。又用钢尺测量准确距离为。

18、又用钢尺测量准确距离为1000m1000m的的长度，得值长度，得值1001m1001m，则误差亦为，则误差亦为1m1m。从误差的绝对。从误差的绝对值来说，它们都一样，但是由于所测距离的不同，值来说，它们都一样，但是由于所测距离的不同，它们的准确程度是不一样的，前者测量它们的准确程度是不一样的，前者测量100 m100 m差了差了1m1m，后者是测量了，后者是测量了1000m1000m差了差了1m1m。为了描述测量。为了描述测量的准确程度而引出相对误差的定义。的准确程度而引出相对误差的定义。相对误差误差相对误差误差/真值真值当误差较小时，有当误差较小时，有 相对误差误差相对误差误差/给出值给出值

19、2）相对误差）相对误差测量的绝对误差与被测量的真值之比测量的绝对误差与被测量的真值之比绝对误差很小绝对误差很小定义：定义：表示：百分数（表示：百分数（%）-分子分母量纲相同分子分母量纲相同相对误差相对误差=100%绝对误差绝对误差真值真值 =100%xx0相对误差相对误差=100%绝对误差绝对误差测得值测得值 =100%xx例：质量例：质量G1=50g，误差，误差 1=2g；质量；质量G2=2kg，误差，误差 2=50g 1=100%=100%=4%1G1G1的相对误差为的相对误差为250 2=100%=100%=2.5%G2G2的相对误差为的相对误差为502000 2-G2的测量效果较好的测

20、量效果较好确切反映测量效果：被测量的大小不同确切反映测量效果：被测量的大小不同-允许的测量误差不同允许的测量误差不同被测量的量值小被测量的量值小-允许的测量绝对误差也越小允许的测量绝对误差也越小相对误差=(0.0002/0.2175)100=0.092%相对误差=(0.0002/2.1750)100%=0.0092%=0.092%。由此可知，绝对误差相等，而相对误差可能差异很大，称取的物质量越大，相对误差越小。用相对误差能更好、更确切地反映测定结果的准确度。例例.用分析天平称取两物体的重量各为用分析天平称取两物体的重量各为2.1750g2.1750g和和0.2175g0.2175g，分析天平的

21、误差为，分析天平的误差为 0.1mg,0.1mg,计算两次结果计算两次结果的相对误差各为多少？的相对误差各为多少？引用误差引用误差引用误差引用误差 引用误差常常在多挡和连续分度的仪器中引用误差常常在多挡和连续分度的仪器中引用误差常常在多挡和连续分度的仪器中引用误差常常在多挡和连续分度的仪器中应用，这类仪器可测范围不是一个点而是一个量程，应用，这类仪器可测范围不是一个点而是一个量程，应用，这类仪器可测范围不是一个点而是一个量程，应用，这类仪器可测范围不是一个点而是一个量程，为了便于计算和划分准确度等级，引出引用误差定为了便于计算和划分准确度等级，引出引用误差定为了便于计算和划分准确度等级，引出引

22、用误差定为了便于计算和划分准确度等级，引出引用误差定义：义：义：义：引用误差引用误差引用误差引用误差 仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或仪器示值的绝对误差与测量范围上限值或量程之比值，以百分数表示。量程之比值，以百分数表示。量程之比值，以百分数表示。量程之比值，以百分数表示。例例例例1-4 1-4 测量上限为测量上限为测量上限为测量上限为19613.3N19613.3N的工作测力计的工作测力计的工作测力计的工作测力计(拉力表拉力表拉力表拉力表)，在标定值，在标定值，在标定值，在标定值(示值示值示值示值)为为为为14710

23、N14710N的实际作用力为的实际作用力为的实际作用力为的实际作用力为14788N14788N，则此测力计在这一点的引用误差为，则此测力计在这一点的引用误差为，则此测力计在这一点的引用误差为，则此测力计在这一点的引用误差为(14710-14788)(14710-14788)19613.319613.3-0.4%-0.4%。例例1-5 1-5 某待测的电压约为某待测的电压约为1V1V，现有，现有0.50.5级级0300V0300V和和1.01.0级级0-100V0-100V两个电压表，问用哪一个电压表测量两个电压表，问用哪一个电压表测量较好较好?解解 用用0.50.5级电压表测时，最大相对误差为

24、级电压表测时，最大相对误差为用用1.01.0级电压表测时，最大相对误差为级电压表测时，最大相对误差为此例说明，如果量程选择恰当，用此例说明，如果量程选择恰当，用1.01.0级仪表进行测级仪表进行测量也会比用量也会比用0.50.5级仪表测量时的最大相对误差还要小。级仪表测量时的最大相对误差还要小。因此，在选用仪表时，要纠正单纯追求难确度等级因此，在选用仪表时，要纠正单纯追求难确度等级“越高越好越高越好”的倾向，而应根据被测量的大小，兼的倾向，而应根据被测量的大小，兼顾仪表的等级和测量上限或量程来合理地选择仪表。顾仪表的等级和测量上限或量程来合理地选择仪表。二二.误差的来源误差的来源1.测量装置误

25、差测量装置误差其中包括其中包括(1)标准量具误差标准量具误差;(2)仪器误差仪器误差;(3)附件误差附件误差.2.环境误差环境误差 由于各种环境因素与规定的标准状况不一致而引由于各种环境因素与规定的标准状况不一致而引起的误差起的误差,常常成为新的重要的误差源常常成为新的重要的误差源.3.方法误差方法误差 由于测量方法或计算方法不完善所引起的误差由于测量方法或计算方法不完善所引起的误差.4.人员误差人员误差三三.误差的表现及分类误差的表现及分类1.系统误差系统误差(systematic errors,determinate error)定义定义 在相同的条件下在相同的条件下,多次测量同一量值时多

26、次测量同一量值时,绝对绝对值和符号保持不变值和符号保持不变,或在条件改变时或在条件改变时,按一定规律变按一定规律变化的误差称为系统误差化的误差称为系统误差.2.随机误差随机误差(accidental error,indeterminate error):定义定义 在同一测量条件下在同一测量条件下,多次测量同一量值时多次测量同一量值时,绝绝对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误对值和符号以不可预定方式变化着的误差称为随机误差差.随机误差的大小用随机误差的大小用标准偏差标准偏差表示表示.3.粗大误差粗大误差定义定义 超出在规定条件下预期的误差超出在规定条件下预期的误差,或称为或称为“寄寄生

27、误差生误差”.1.4 准确度、精密度和精确度准确度、精密度和精确度不同场合不同场合-检测精度要求不同检测精度要求不同例：服装裁剪（身长例：服装裁剪（身长/胸围）胸围）-半厘米；发动机活塞直径半厘米；发动机活塞直径-微米微米级级精度高精度高-系统复杂系统复杂-造价高造价高例：例：坐标原点坐标原点-真值点的位置点真值点的位置点-多次测量结果多次测量结果(1)准确度准确度Accuracy 表示测量结果中系统误差的影响程度表示测量结果中系统误差的影响程度.表征测量结果表征测量结果接接 近真值的程度近真值的程度(2)精密度精密度 Precision 表示测量结果中随机误差的影响程度表示测量结果中随机误差

28、的影响程度.反映测量结果反映测量结果的分散程度（针对重复测量而言）的分散程度（针对重复测量而言）(3)精确度精确度 表示测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度表示测量结果中系统误差和随机误差综合的影响程度.表征测表征测量结果与真值之间的一致程度量结果与真值之间的一致程度1.5 误差与数据的表达误差与数据的表达一一.有效数字有效数字含有误差的任何近似数含有误差的任何近似数,如果其绝对误差是最如果其绝对误差是最末位的半个单位末位的半个单位,那么从这个近似数左方起的那么从这个近似数左方起的第一个非零的数字第一个非零的数字,称为第一位有效数字称为第一位有效数字.从从第一位有效数字起到最末一位数字上

29、的所有第一位有效数字起到最末一位数字上的所有数字数字,不论是零或者是非零的数字不论是零或者是非零的数字,都叫有效都叫有效数字。数字。.二二.数字舍入规则数字舍入规则 对于位数很多的近似数对于位数很多的近似数,当有效数字的位数确定后当有效数字的位数确定后,其后面的多余的数字应予以舍去其后面的多余的数字应予以舍去,而保留的有效数字最末而保留的有效数字最末一位数字应按下面的舍入规则进行凑整一位数字应按下面的舍入规则进行凑整:(1)若舍去部分的数值大于保留部分的末位的半个单位若舍去部分的数值大于保留部分的末位的半个单位,则末位为则末位为1;(2)若舍去部分的数值小于保留部分的末位的半个单若舍去部分的数

30、值小于保留部分的末位的半个单位位,则末位不变则末位不变;(3)若舍去部分的数值等于保留部分的末位的半个单位若舍去部分的数值等于保留部分的末位的半个单位,则末位凑成偶则末位凑成偶,即当末位为偶数时末位不变即当末位为偶数时末位不变,当末位为当末位为奇数时则末位加奇数时则末位加1.总结：图形+口诀(49舍，51入，50凑成偶)例例例例1.9 1.9 按上述舍入规则，将下面各个数据保留四位按上述舍入规则，将下面各个数据保留四位按上述舍入规则，将下面各个数据保留四位按上述舍入规则，将下面各个数据保留四位有效数字进行凑整。有效数字进行凑整。有效数字进行凑整。有效数字进行凑整。原有数据原有数据原有数据原有数

31、据 舍人后数据舍人后数据舍人后数据舍人后数据 3.14159 3.142 3.14159 3.142 2.71729 2.717 2.71729 2.717 4.510 4.5105050 4.510 4.510 3.215 3.21550 50 3.216 3.216 6.378501 6.378 6.378501 6.378 7.691499 7.69l 7.691499 7.69l 5.43460 5.435 5.43460 5.435三三.数据运算规则数据运算规则 在近似运算中在近似运算中,为了保证最后结果有尽可能高的精为了保证最后结果有尽可能高的精度度,所有参与运算的数据在有效数字后

32、可保留一位数字所有参与运算的数据在有效数字后可保留一位数字作为参考数字作为参考数字,或者称为安全数字或者称为安全数字.(1)在近似数加减运算时在近似数加减运算时,各运算数据以小数位数最少各运算数据以小数位数最少的数据位数为准的数据位数为准,其余各数据可多取一位小数其余各数据可多取一位小数,但最后但最后结果应与小数位数最少的数据小数位相同结果应与小数位数最少的数据小数位相同.(2)在近似数乘除法运算时在近似数乘除法运算时,各运算数据以有效位数各运算数据以有效位数最少的数据位数为准最少的数据位数为准,其余各数据要比有效位数最少其余各数据要比有效位数最少的数据位数多取一位数字的数据位数多取一位数字,

33、而最后结果应与有效位数而最后结果应与有效位数最少的数据位数相同最少的数据位数相同.(3)在近似数平方或开方运算时在近似数平方或开方运算时,平方相当于乘法运平方相当于乘法运算算,开方是平方的逆运算开方是平方的逆运算,故可按乘除运算处理故可按乘除运算处理.(4)在对数运算时在对数运算时,n位有效数字的数据应该用位有效数字的数据应该用n位对位对数表数表,或用或用(n+1)位对数表位对数表,以免损失精度以免损失精度.(5)在三角函数运算中在三角函数运算中,所取函数值的位数应随角度所取函数值的位数应随角度误差的减小而增多误差的减小而增多.2643.0+987.7+4.187+0.23542643.0+9

34、87.7+4.187+0.2354=3635.13=3635.133635.13635.1=62.3356 62.3=62.3356 62.3 记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数记录数据时，不可随便增（减）零。对测量数据而言，尽管它们在数字上相等，据而言，尽管它们在数字上相等，8.605cm8.6050cm8.605cm8.6050cm。要特别强调的是：。要特别强调的是：记录原始测量数据时，一定要反映出测量器具的测记录原始测量数据时，一定要反映出测量器具的测量精度。量精度。总结：数据的有效数字及舍入规则总结：数据的有效数字及舍入规则1 1）数据有效数字）数据有效数字-位数：位数：不确定度

35、不确定度-一位到二位一位到二位2 2）数字的舍入规则）数字的舍入规则 如：测量结果如：测量结果 l=4.2958mm，极限误差，极限误差 lim=0.015mm一般数据一般数据-按有效数字取舍数据的位数按有效数字取舍数据的位数l=4.296mm-“-“四舍六入五凑双四舍六入五凑双”加减运算加减运算-小数点后位数最少的数据小数点后位数最少的数据一般数据一般数据精度数据（标准差、极限误差）精度数据（标准差、极限误差）数据：最末一位取与不确定度末位同一量级数据：最末一位取与不确定度末位同一量级按书写数字按书写数字-数据误差（半个单位以内）数据误差（半个单位以内）如：如：2.38（0.005），），0.082（0.0005）-“-“只入不舍只入不舍”如：极限误差如：极限误差0.220.3（一位有效数字）（一位有效数字）3 3）数字运算规则）数字运算规则乘除运算乘除运算-有效数字位数最少的数据有效数字位数最少的数据4.286+1.32-0.4563=5.14974.286+1.32-0.4563=5.14975.155.15462.80.64 462.80.64 1.22=242.78033 1.22=242.780332.42.4102