保险精算学课件.ppt

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1、保险精算 南通大学理学院主讲教师：陆志峰教材n指定教材n王晓军等，保险精算原理与实务（第二版），中国人民大学出版社，2010。n参考资料nKellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991.nBowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997.课程结构n基础利息理论基础 生命表基础n核心n保费计算 n责任准备金计算n多重损失模型n保单的现金价值与红利n拓展n特殊年金与保险n寿险定价与负债评估n偿付能力与监管2022/12/154第一章 导论精算科学(ActuarialScience)

2、n精算科学是以概率论与数理统计为基础的，与经济学、金融学及保险理论相结合的应用与交叉性的学科。在保险和社会保障领域，精算科学通过对风险事件及其损失的预先评价，实现科学的风险管理，为保险和社会保障事业的财务稳健发展提供基本保障。保险精算学的基本原理(1)要素n未来事件n不确定性n财务收支n预先评估(2)模型和方法n模型：各因素相互关系的数学公式n方法：借助精算模型实现预先评估(3)精算假设n对未来风险发生规律的假设n在过去经验的基础上，根据对未来的判断预先做出基本精算原理-例n按照收支对等原则如果1人投保1年期100,000元寿险，假设1年内死亡概率4.3%，在不考虑保险公司的费用、投资收益、利

3、润的情况下：保费=期望损失=100,0000.0043=430元（忽略利息）精算师n精算师被称为金融、保险、投资和风险管理的工程师n通过对风险和损失的预先评价，对风险事件做出预先的财务安排，保证风险经营的财务稳健性。精算师的主要职业领域n保险公司（寿险、非寿险、健康保险）n养老金计划n社会保障n银行、投资、公司财务、金融工程n法律法规n教育精算管理控制系统环境因素（法律、社会、人口、税收等）风险分析产品设计定价监测和分析经验数据偿付能力评估资产负债管理资产评估利润分析负债评估怎样成为精算师n考试制度：英国精算学会、北美寿险精算学、北美非寿险精算学会、美国养老金精算师学会、加拿大精算学会。n教育

4、认可制度：澳大利亚：初级课程认可，高级课程考试；德国、意大利、法国、瑞士、西班牙、荷兰、巴西、墨西哥等国家主要采取学历认可制度。n国际精算协会的精算师后续教育制度精算职业发展n1775年，英国的公平人寿社团最早将精算师引入保险领域。n1848年，英国在世界上最早成立了精算学会n1889年，美国精算学会n1892年，法国精算学会n1895年，国际精算协会n2006年，中国精算师协会第二章利息理论基础利息理论要点n利息的度量n利息问题求解的原则n年金n收益率n分期偿还表与偿债基金第一节利息的度量第一节汉英名词对照n积累值n现实值n实质利率n单利n复利n名义利率n贴现率n利息效力nAccumulat

5、ed valuenPresent valuenEffective annual ratenSimple interestnCompound interestnNominal interestnDiscount ratenForce of interest 一、利息的定义n定义：n利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实质是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。n影响利息大小的三要素：n本金n利率n时期长度二、利息的度量积累函数金额函数贴现函数第N期利息0t1-K-1累积函数n累积函数是单位本金的累计额，以表示。n其中，。累积函数a

6、(t)01ta(t)01ta(t)01t图2-1图2-2图2-3na(t)通常为t的连续函数，在坐标平面上表现为通过（0，1）点的曲线，如图2-1和图2-2所示na(t)为增函数时才能保证总额函数的递增性和存在正的利息。n有时，当利息定期结算时，也表现为不连续的阶梯函数，在定期内，为常数，定期结算后，上一个台阶，如图2-3所示。利息度量一计息时刻不同n期末计息利率n第N期实质利率n期初计息贴现率n第N期实质贴现率利息率n利息率l1年内1单位本金的利息就是实际年利息率以表示第n个基本计息时间单位的实际利率现值和贴现率现值和贴现率n在复利下，现值和贴现率n在单利下，现值和贴现率n贴现率：单位货币在

7、单位时间内的贴现额，单位时间以年度衡量时，成为实际贴现率。d表示一年的贴现率:dn表示第n年贴现率:可见，d6.036%,选择A。n否则选择B。利息的再投资问题（一）例2.30:某人一次性投资10万元进基金A。该基金每年年末按7%的年实质利率返还利息，假如利息可按5%实质利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？0 01 12 21010例2.30的积累过程-利息再投利息再投资帐户资帐户基金帐户基金帐户例2.31答案利息的再投资问题（二）n例2.32（例2.31续）n假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实质利率计息，而利息可按5%实质利率再投资，那么第10年

8、末该这10万本金的积累金额又等于多少？0 01 12 21010例2.32的积累过程-基金帐户基金帐户利息再投利息再投资帐户资帐户基金收益率计算n基本符号nA=初始资金nB=期末资金nI=投资期内利息nCt=t时期的净投入（可正可负）nC=n 在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息币值加权方法时间加权方法n原理时间 012-m-1m投资C1C2C3Cm-1金额B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm基本公式例2.32n某投资基金n1月1日，投资100000元n5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元n11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回

9、投资42000元。n次年1月1日，该资金总额为100000元。n请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。例2.32答案币值加权和时间加权的比较n都是计算单位时期投资收益率的方法n币值加权方法重点考察的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。n时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。第五节分期支付与偿债基金第五节中英文单词对照n分期偿还方法n分期偿还表n偿债基金n偿债基金表nAmortization methodnAmortization schedulenSinking fundnSinking

10、 fund schedule债务偿还方式n分期偿还：n借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。n偿债基金：n借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。分期偿还n常见分期偿还类型n等额分期偿还n不等额分期偿还n递增分期偿还n递减分期偿还n分期偿还五要素n时期 n每次还款额 n每次偿还利息n每次偿还本金n未偿还贷款余额等额分期偿还n等额分期偿还债务的方法是在规定的还款期内每次偿还相等数额的还款方式。n每次偿还金额为n第k期末的未偿还本金余额贷款本金是B0，是Bk,还款期限为n年，每年末还款，年实

11、际利率为i等额分期偿还表 时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 01RR(1-vn)RvnkRR(1-vn-k+1)Rvn-k+1nRR(1-v)Rv0 总计总计 nR变额分期偿还n变额分期偿还指每期偿还的金额不等的还款方式。原始贷款金额为B0，第k期偿还的金额为Rk（k=1，2，,n）例2.26一笔金额为nR元的贷款，年利率为i，期限为n年，每年偿还R元本金，其分期偿还表如下：时期时期 付款金额付款金额 支付利息支付利息 偿还本金偿还本金 未偿还贷款未偿还贷款余额余额 0nR1R(1+in)inRR(n-1)RkR1+i(n-k+1)i

12、(n-k+1)RR(n-k)RnR(1+i)iRR0 总计总计 nR+in(n+1)/2in(n+1)/2nR分期偿还表（等额贷款为例）时期每次还款额每次偿还利息每次偿还本金贷款余额0-11k1n10总计n-例2.33n某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？例2.33答案偿债基金n常见偿债基金类型n等额偿债基金n不等额偿债基金n偿债基金六要素n时期 n每期偿还利息n每次

13、存入偿债基金金额n每期偿债基金所得利息n偿债基金积累额n未偿还贷款余额偿债基金n偿债基金的还款方法是借款人在贷款期间分期偿还贷款的利息，同时为了能够在贷款期末一次性偿还贷款的本金，定期向一个“基金”供款，使该“基金”在贷款期末的积累值正好等于贷款本金。这一基金称为偿债基金，其基金累计的利率与贷款利率可能相等，也可能不等。等额偿债基金n等额偿债基金方法下借款人每期向偿债基金的储蓄金额相等，设为D，如果该偿债基金每期的利率恒为j，n为贷款期限，当期支付的利息设为I，则借款人每期支付总金额为：n假设偿债基金的利率与贷款利率相等，即j=i，则借款人每期支付总金额为，变额偿债基金n设原始贷款本金为B0，

14、贷款利率为i，偿债基金利率为j，借款人在第k期末支付的总金额为Rk（k=1，2，n），则，第k期末向偿债基金的储蓄额为(RkiB0)，偿债基金在第n期末的累积值等于原始贷款本金B0，即，n当i=j时，偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）时期支付贷款利息每期偿债基金储蓄每期偿债基金利息偿债基金积累值未偿还贷款余额0-1102Kn10偿债基金利息本金分析n对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：n第次付款的实际偿还本金为：例2.34nA曾借款1万元,实质利率为10%.A积累一笔实质利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为15

15、00元,问n1500中又多少是当前支付给贷款的利息?n1500中有多少进入偿债基金?n1500中又多少应被认为是利息?n1500中有多少应被视为本金?n第11年末的偿债基金余额为多少?例2.34答案例2.35n(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实质利率为5%的贷款,其付款方式为:第一年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L.n(2)假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实质利率为6%的利息,并以实质利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.例2.

16、35答案债券价值n按利息的支付方式，债券可分为零息债券和附息债券两种。零息债券在债券到期前不支付利息，而是在债券到期时随本金一次性支付所累计的利息。附息债券由发行人在到期日前定期支付利息，投资者可定期获得固定的息票收入。n债券定价原理：债券定价原理：债券的理论价格就是债券未来息票收入的现值和到期偿还值的现值之和。n基本符号和概念：基本符号和概念：P债券的理论价格；i投资者要求的收益率或市场利率；F债券的面值；C债券的偿还值；r债券的息票率；rF每期的息票收入；g债券的修正息票率；n息票的偿还次数；K偿还值按收益率i计算的现值；G债券的基价，债券价值n基本公式：基本公式：n溢价公式：溢价公式：n

17、基价公式：基价公式：nMakeham公式：公式：债券的账面价值n整数息票支付周期的债券价格和账面值整数息票支付周期的债券价格和账面值第k期末的账面值为：n任意时点的账面值任意时点的账面值第三章生命表函数与生命表构造本章重点n生命表函数n生存函数n剩余寿命n死亡效力n生命表的构造n有关寿命分布的参数模型n生命表的起源n生命表的构造n选择与终极生命表n有关分数年龄的三种假定本章中英文单词对照n死亡年龄n生命表n剩余寿命n整数剩余寿命n死亡效力n极限年龄n选择与终极生命表nAge-at-deathnLife tablenTime-until-deathnCurtate-future-lifetime

18、nForce of mortalitynLimiting atenSelect-and-ultimate tables第一节生命表函数生命表相关定义n生命表：反映在封闭人口的条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。n封闭人口：指所观察的一批人只有死亡变动，没有因出生的新增人口和迁入或迁出人口。生命表基本函数nlx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,-1。nndx：在xx+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxnnqx：x岁的人在xx+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx生存分布n一、新生儿的生存函数n二、x岁余寿的生存函数n三、死亡力n四、整值平均余寿与中值余寿nF(

19、x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。ns(x)：生存函数，它是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。新生儿在xz岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：新生儿的生存函数新生儿的生存函数生命表函数中的存活人数lx正是生命表基数l0与x岁生存函数之积，lx=l0s(x)而s(x)曲线形状如下图所示，x岁余寿的生存函数以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示nx岁的人在t时间内存活的概率tpx当x=0时，T(0)=X，正是新生儿未来余寿随机变量。nx岁的人在t时间内死亡的概率tqxx岁余寿的生存函数n考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁，tqx

20、实际是一个条件概率nx岁的人在x+tx+t+u的死亡概率，以概率的方式表示为：x岁余寿的生存函数整值剩余寿命n定义：未来存活的完整年数，简记n概率函数生存函数n定义n意义：新生儿能活到 岁的概率。n与分布函数的关系：n与密度函数的关系：n新生儿将在x岁至z岁之间死亡的概率：剩余寿命n定义：已经活到x岁的人（简记(x)），还能继续存活的时间，称为剩余寿命，记作T(x)。n分布函数 ：剩余寿命n剩余寿命的生存函数 ：n特别：剩余寿命n ：x岁的人至少能活到x+1岁的概率n ：x岁的人将在1年内去世的概率n ：X岁的人将在x+t岁至x+t+u岁之间去世的概率 生命表基本函数：表示x岁的人存活n年并在

21、第n+1年死亡的概率，或x岁的人在x+nx+n+1岁死亡的概率。：表示x岁的人在x+nx+n+m岁之间死亡的概率。整值剩余寿命n定义：未来存活的完整年数，简记n概率函数剩余寿命的期望与方差n期望剩余寿命：剩余寿命的期望值(均值),简记n剩余寿命的方差整值剩余寿命的期望与方差n期望整值剩余寿命：整值剩余寿命的期望值(均值),简记n整值剩余寿命的方差生命表基本函数(1)(2)(3)生命表基本函数npx：xx+n岁的存活概率,与nqx相对的一个函数。当n=1，简记为px。生命表基本函数nLx：x岁的人在xx+n生存的人年数。人年数是表示人群存活时间的复合单位，1个人存活了1年是1人年，2个人每人存活

22、半年也是1人年，在死亡均匀分布假设下，xx+n岁的死亡人数ndx平均来说存活了n/2年，而活到lx+n岁的人存活了n年，故当n=1时，n：x岁人群的平均余寿，表明未来平均存活的时间。当x为0时，表示出生时平均余寿，即出生同批人从出生到死亡平均每人存活的年数。生命表基本函数nTx：x岁的人群未来累积生存人年数。在均匀分布假设下，死亡力n定义：的瞬时死亡率，简记n死亡力与生存函数的关系死亡力实际上生命表x岁平均余寿正是T(x)随机变量的期望值死亡力死亡力n生命表x岁死亡人数dx正是生存人数函数lx+t与死亡力之积在01上的积分n生命表x岁生存人年数Lx正是生存人数函数lx+t在01上的积分n生命表

23、x岁累积生存人年数Tx正是生存人数函数lx+t在0上的积分 死亡力对于x岁期望剩余寿命，可以证明：死亡效力n定义：的瞬时死亡率，简记n死亡效力与生存函数的关系死亡效力n死亡效力与密度函数的关系n死亡效力表示剩余寿命的密度函数整值平均余寿与中值余寿 nx岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，整值平均余寿与中值余寿 由于，所以整值平均余寿与中值余寿 由于故，在死亡均匀分布假设下，故，整值平均余寿与中值余寿 中值余寿是(x)的余寿T(x)的中值，（x）在这一年龄之前死亡和之后死亡的概率均等于50%，以m(x)表示x

24、岁的中值余寿，则即，非整数年龄存活函数的估计n死亡均匀分布假设n死亡力恒定假设n巴尔杜奇(Balducci)假设有关非整数年龄的假设 n使用背景:n生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况n基本原理:插值法n常用方法n均匀分布假定(线性插值)n常数死亡力假定(几何插值)nBalducci假定(调和插值)死亡均匀分布假设假设死亡在整数年龄之间均匀发生，此时存活函数是线性的。死亡均匀分布假设(0t,0y,0t+y)当假设死亡力在xx+1上恒定时，(x为整数，0t1)，死亡力恒定

25、假设 由死亡力的定义，死亡力恒定假设若以表示，有此时，巴尔杜奇(Balducci)假设以意大利精算师巴尔杜奇的名字命名，这一假设是当x为整数，0t1时，生存函数的倒数是t的线性函数，即巴尔杜奇(Balducci)假设 （其中，0t1,0y1,0t+y1）此时，三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci第二节生命表的构造生命表的编制n一、生命表编制的一般方法n二、选择生命表生命表编制的一般方法 n时期生命表(假设同批人生命表)：采用假设同批人方法编制，描述某一时期处于不同年龄人群的死亡水平，反映了假定一批人按这一时期各年龄死亡水平度过一生时的生命过程。Dx：某年龄x岁的死亡人数

26、；：x岁的平均人数，即年初x岁人数与年末x岁人数的平均数，有时也用年中人数代替。nx岁的中心死亡率（分年龄死亡率）为，生命表编制的一般方法 n生命表分年龄中心死亡率：生命表分年龄死亡人数在分年龄生存人年数中的比例。生命表编制的一般方法在死亡均匀分布假设下，有，变换后，通常与非常接近，实际中常用近似选择生命表n选择生命表构造的原因n需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。n需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失n选择生命表的使用选择生命表函数关系有关寿命分布的参数模型 nDe Moivre模型(1729)nGompertze模型(18

27、25)有关寿命分布的参数模型 nMakeham模型(1860)nWeibull模型(1939)参数模型的问题n至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。n使用这些参数模型推测未来的寿命状况会产生很大的误差n寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。n在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。生命表起源n生命表的定义n根据已往一定时期内各种年龄的死亡统计资料编制成的由每个年龄死亡率所组成的汇总表.n生命表的发展历史n1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察

28、。这是生命表的最早起源。n1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。n生命表的特点n构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）生命表的构造n原理n在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）n常用符号n新生生命组个体数：n年龄：n极限年龄：生命表的构造n 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：n 个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作生命表的构造n 个新生生

29、命在年龄x至x+t区间共存活年数：n 个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：生命表实例（美国全体人口生命表）年龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009

30、172.89例2.1：n已知 n计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。（3）该人群平均寿命。例2.1答案选择-终极生命表n选择-终极生命表构造的原因n需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。n需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失n选择-终极生命表的使用选择-终极表实例x选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.0545 7571.0191.0272.0342.0424.0518.0596 7672.0209.0297.0374.0463.0566.0652 7773.0228.032

31、4.0409.0507.0620.0714 7874.0249.0354.0447.0554.0678.0781 7975.0273.0387.0489.0607.0742.0855 8076.0298.0424.0535.0664.0812.0936 8177.0326.0464.0586.0727.0889.1024 82第三节有关分数年龄的假设 有关分数年龄的假设 n使用背景:n生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况n基本原理:插值法n常用方法n均匀分布假定(线性插

32、值)n常数死亡力假定(几何插值)nBalducci假定(调和插值)三种假定n均匀分布假定(线性插值)n常数死亡力假定(几何插值)nBalducci假定(调和插值)三种假定下的生命表函数函数均匀分布常数死亡力Ballucci例2.2：n已知n分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：例2.2答案例2.2答案例2.2答案第三章人寿保险趸缴纯保费的厘定本章结构n人寿保险趸缴纯保费厘定原理n死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定n死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定n递归方程n计算基数第三章中英文单词对照一n趸缴纯保费n精算现时值n死亡即刻赔付保险n死亡年末给付保险n定额受益保险nNet single premi

33、umnActuarial present valuenInsurances payable at the moment of death nInsurances payable at the end of the year of deathnLevel benefit insurance第三章中英文单词对照二n定期人寿保险n终身人寿保险n两全保险n生存保险n延期保险n变额受益保险nTerm life insurancenWhole life insurancenEndowment insurancenPure endowment insurancenDeferred insurancenVar

34、ying benefit insurance第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理 人寿保险简介n什么是人寿保险n狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。n广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。人寿保险的分类n受益金额是否恒定定额受益保险 变额受益保险n保单签约日和保障期期始日是否同时进行n非延期保险n延期保险 n保障标的的不同n人寿保险（狭义）n生存保险n两全保险 n保障期是否有限n 定期寿险 n 终身寿险人寿保险的性质n保障的长期性n这使得从投保到赔

35、付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。n保险赔付金额和赔付时间的不确定性n人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。被保险人的死亡时间是一个随机变量。这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。n被保障人群的大数性n这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。趸缴纯保费的厘定n假定条件:n假定一：同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。n假定二：被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合。n假定三：保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。纯保费厘定原理n原则n保费净均衡原则n解释n所谓

36、净均衡原则，即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值。它的实质是在统计意义上的收支平衡。是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值 基本符号n 投保年龄 的人。n 人的极限年龄n 保险金给付函数。n 贴现函数。n 保险给付金在保单生效时的现时值趸缴纯保费的厘定n趸缴纯保费的定义n在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值 n趸缴纯保费的厘定n按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于第二节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定死亡即刻赔付n死亡即刻赔付的含义n死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。它是在实际应

37、用场合，保险公司通常采用的理赔方式。n由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。主要险种的趸缴纯保费的厘定nn年期定期寿险n终身寿险n延期m年的终身寿险nn年期生存保险nn年期两全保险n延期m年的n年期的两全保险n递增终身寿险n递减n年定期寿险1、n年定期寿险n定义n保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险。n假定：岁的人，保额1元n年定期寿险n基本函数关系趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：现值随机变量的方差n方差公式n记（相当于利息力翻倍以

38、后求n年期寿险的趸缴保费）n所以方差等价为 例3.1n设n计算例3.1答案2、终身寿险n定义n保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定：岁的人，保额1元终身寿险n基本函数关系趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：现值随机变量的方差 n方差公式n记n所以方差等价为 例3.2n设(x)投保终身寿险，保险金额为1元n保险金在死亡即刻赔付n签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为n计算例3.2答案例3.2答案3、延期终身寿险n定义n保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种。n假定：岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险n基本函数关系死亡即

39、付定期寿险趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：现值随机变量的方差 n方差公式n记n所以方差等价于例3.3n假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。n保险金在死亡即刻赔付。n已知n求：例3.3答案4、n 年定期生存保险n定义n被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险。n假定：岁的人，保额1元，n年定期生存保险n基本函数关系趸缴纯保费的厘定n符号：n趸缴纯保费厘定n现值随机变量的方差：5、n年定期两全保险n定义n被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。它等价于n年生存保险加上

40、n年定期寿险的组合。n假定：岁的人，保额1元，n年定期两全保险n基本函数关系趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定记：n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则现值随机变量方差因为所以例3.4（例3.1续）n设n计算例3.4答案6、延期m年n年定期两全保险n定义n被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险n假定：岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险n基本函数关系趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定现值随机变量的方差n记：m年延期n年定期寿险现值随机变量为 m年延期n年定期生存险现值随机变量为m年延期n年定期两全险现值

41、随机变量为已知则7、递增终身寿险n定义：递增终身寿险是变额受益保险的一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递增函数n特别：n一年递增一次n一年递增m次n一年递增无穷次（连续递增）一年递增一次n现值随机变量n趸缴保费厘定一年递增m次n现值随机变量n趸缴保费厘定一年递增无穷次（连续递增）n现值随机变量n趸缴保费厘定8、递减定期寿险n定义：递减定期寿险是变额受益保险的另一种特殊情况。假定受益金额为剩余寿命的线性递减函数n特别：n一年递增一次n一年递增m次n一年递增无穷次（连续递增）一年递减一次n现值随机变量n趸缴保费厘定一年递减m次n现值随机变量n趸缴保费厘定一年递减无穷次（连续递减）n现值随机

42、变量n趸缴保费厘定第三节死亡年末赔付趸缴纯保费的厘定死亡年末赔付n死亡年末赔付的含义n 死亡年末陪付是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生的当年年末给予保险赔付。n由于赔付时刻都发生在死亡事件发生的当年年末，所以死亡年末陪付时刻是一个离散随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的整值剩余寿命加一。这正好可以使用以整值年龄为刻度的生命表所提供的生命表函数。所以死亡年末赔付方式是保险精算师在厘定趸缴保费时通常先假定的理赔方式。基本符号n 岁投保的人整值剩余寿命n 保险金在死亡年末给付函数n 贴现函数。n 保险赔付金在签单时的现时值。n 趸缴纯保费

43、。定期寿险死亡年末赔付场合n基本函数关系n记k为被保险人整值剩余寿命，则趸缴纯保费的厘定n符号：n厘定：现值随机变量的方差n公式n记n等价方差为死亡年末给付趸缴纯保费公式归纳终身寿险延期m年的n年定期寿险延期m年的终身寿险n年期两全保险延期m年的n年期两全保险递增终身寿险递减n年定期寿险例3.5n（x）岁的人投保5年期的定期寿险，保险金额为1万元，保险金死亡年末给付，按附录2示例生命表计算（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。（3）20岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。

44、例3.5答案死亡即刻赔付与死亡年末赔付的关系（剩余寿命在分数时期均匀分布假定）n以终身寿险为例，有剩余寿命等于整值剩余寿命加死亡之年分数生存寿命：n则有 死亡年末给付与死亡即刻给付趸缴纯保费之间的关系(UDD)n在满足如下两个条件的情况下，死亡即刻赔付净趸缴纯保费是死亡年末赔付净趸缴纯保费的 倍。条件1：条件2：只依赖于剩余寿命的整数部分，即 例3.6n（x）岁的人投保5年期的两全保险，保险金额为1万元，保险金死亡即刻给付，按附录2示例生命表计算n（1）20岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。n（2）60岁的人按实质利率为2.5%计算的趸缴纯保费。n（3）20岁的人按实质利率为6%计算

45、的趸缴纯保费。n（4）60岁的人按实质利率为6%计算的趸缴纯保费。例3.6答案例3.7n对（50）岁的男性第一年死亡即刻给付5000元，第二年死亡即刻给付4000元，以此按年递减5年期人寿保险，根据附录2生命表，以及死亡均匀分布假定，按年实质利率6%计算趸缴纯保费。例3.7答案第四节递归公式趸缴纯保费递推公式n公式一：n理解(x)的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于(x)在第一年死亡的情况下1单位的赔付额,或生存满一年的情况下净趸缴保费 。趸缴纯保费递推公式n公式二：n解释：n 个x岁的被保险人所缴的趸缴保费之和经过一年的积累，当年年末可为所有的被保险人提供次年的净趸缴保费 ，还可以为所有在

46、当年去世的被保险人提供额外的 。趸缴纯保费递推公式n公式三：n解释：n年龄为x的被保险人在活到x+1岁时的净趸缴保费与当初岁时的净趸缴保费之差等于保费的一年利息减去提供一年的保险成本。趸缴纯保费递推公式n公式四：n解释n(y)的趸缴纯保费等于其未来所有年份的保险成本的现时值之和。第五节计算基数常用计算基数n计算基数引进的目的：简化计算n常用基数：用计算基数表示常见险种的趸缴纯保费例3.8n考虑第1年死亡即刻赔付10000，第2年死亡即刻赔付9000元并以此类推递减人寿保险。按附录2生命表及i=0.06计算（30）的人趸缴纯保费。n（1）保障期至第10年底n（2）保障期至第5年底例3.8答案第四

47、章生存年金本章结构n生存年金简介n与生存相联的一次性支付n连续生存年金n离散生存年金n年h次支付生存年金n等额年金的计算基数公式第四章中英文单词对照n生存年金n初付年金n延付年金n确定性年金n当期支付技巧n综合支付技巧nLife annuitynAnnuities-duenAnnuities-immediatenAnnuities-certainnCurrent payment techniquenAggregate payment technique第一节生存年金简介生存年金n生存年金的定义：n以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金的保险类型n分类n初付年金/

48、延付年金n连续年金/离散年金n定期年金/终身年金n非延期年金/延期年金生存年金与确定性年金的关系n确定性年金n支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）n生存年金与确定性年金的联系n都是间隔一段时间支付一次的系列付款n生存年金与确定性年金的区别n确定性年金的支付期数确定n生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）生存年金的用途n被保险人保费交付常使用生存年金的方式n某些场合保险人保险理赔的保险金采用生存年金的方式，特别在：n养老保险n伤残保险n抚恤保险n失业保险 第二节与生存相关联的一次性支付定义n现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末获得生存赔付的保险。n也就是我们在第三章讲

49、到的n年期纯生存保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯保费为n在生存年金研究中习惯用 表示该保险的精算现值例4.1n计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸缴纯保费。已知n假定i6n假定i2.5相关公式及意义 年龄xx+tx+n现时值11S1第三节连续生存保险简介n连续生存年金的定义n在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付年金的保险n连续生存年金的种类n终身连续生存年金/定期连续生存年金n连续生存年金精算现值的估计方法n综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的总值n当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和终身连续生存年金精算现值的估计一综合支付技巧n步骤一：计算到死亡发生时间T为止

50、的所有已支付的年金的现值之和n步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，相关公式终身连续生存年金精算现值的估计二当期支付技巧n步骤一：计算时间T所支付的当期年金的现值n步骤二：计算该当期年金现值按照可能支付的时间积分，得到期望年金现值例4.2n在死亡力为常数0.04，利息力为常数0.06的假定下，求（1）（2）的标准差（3）超过 的概率。例4.2答案n综合支付技巧n当期支付技巧例4.2答案例4.2答案例4.3n在De Moivre假定下，n计算：终身连续生存年金精算现值及方差例4.3答案例4.3答案定期连续生存年金精算现值估计n综合支付技巧n当期支付技巧