直线平面的相对位置.ppt
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1、 第三章 直线、平面的相对位置南南昌昌理理工工学学院院 机机械械制制图图教教研研室室 概述概述 本章小结本章小结结束放映目 录 3.1 3.1 平行关系平行关系 3.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行 3.1.2 3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行 3.2 3.2 相交关系相交关系 3.2.1 3.2.1 直线与平面相交直线与平面相交 3.2.2 3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交 3.2.3 3.2.3 两平面相交两平面相交 3.3 3.3 综合举例综合举例 举例一举例一 举例二举例二 举例三举例三 举例四举例四 本章讨论直线与平面、
2、平面与平面的本章讨论直线与平面、平面与平面的相对位置关系及其投影,包括以下内容:相对位置关系及其投影,包括以下内容:1)1)平行关系:平行关系:直线与平面平行,直线与平面平行,两平面平行。两平面平行。2)2)相交关系:相交关系:直线与平面相交,直线与平面相交,两平面相交。两平面相交。概 述 本章主要学习直线与平面和两平面间的相本章主要学习直线与平面和两平面间的相对位置的投影特点及作图,是学习后续内容的对位置的投影特点及作图,是学习后续内容的基础。本章总的要求是:掌握特殊位置的直线基础。本章总的要求是:掌握特殊位置的直线于平面之间和两平面之间各种相对位置的投影于平面之间和两平面之间各种相对位置的
3、投影特点及其作图方法特点及其作图方法3.1.1 3.1.1 直线与平面平行直线与平面平行定理定理:若一直线平行于平面上的某一直线,则若一直线平行于平面上的某一直线,则该直线与此平面必相互平行。该直线与此平面必相互平行。3.1 3.1 平行关系平行关系 由于由于efad,e f a d ,即即EFAD,且,且AD是是ABC平面上的一直线,平面上的一直线,所所以,以,直线直线EF平行于平行于ABC平面。平面。例例11过已知点过已知点k,作一条水平线平行于,作一条水平线平行于ABC平面。平面。步骤:步骤:1 1)在)在ABC平面内平面内作一水平线作一水平线AD;2 2)过点)过点K作作 KLAD;3
4、 3)直线)直线KL 即为所求。即为所求。ddllkkaabebcX 例例22 试判断试判断:已知直线已知直线AB是否平行于四棱锥的侧表是否平行于四棱锥的侧表面面SCF。作图步骤:作图步骤:1 1)作)作c m a b ;2 2)根据)根据CM在平面在平面SCF内,作出内,作出cm;3 3)由于)由于cm不平不平行于行于ab,即在该,即在该平面内作不出与平面内作不出与AB平行的直线,平行的直线,所以,所以,直线直线AB不不平行于四平行于四棱棱锥侧锥侧表面表面SCF。3.1.2 3.1.2 平面与平面平行平面与平面平行 两平面相平行的条件是:如果一平面上的两两平面相平行的条件是:如果一平面上的两
5、条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直条相交直线分别平行于另一平面上的两条相交直线,则此线,则此两平面平行两平面平行。因为:因为:ABDE,BCEF ,所以:平面所以:平面ABC 和平面和平面DEF 相平行。相平行。例例3 3过点过点K作一平面,是其与平面作一平面,是其与平面ABC平行。平行。解:解:只要过只要过K点作两条相交直线分别平行于点作两条相交直线分别平行于 ABC的两条的两条边,则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。边,则这两条相交直线所确定的平面就是所求平面。作图步骤作图步骤:2 2)作)作KDAC(k d a c,kdac);a cac bb k kl ld dX1 1)
6、作)作KLBC(k l b c,klbc);3 3)平面)平面KDL即为所求。即为所求。3.2.1 3.2.1 直线与平面相交直线与平面相交 3.2 3.2 相交关系相交关系 1 1 利用利用积聚性积聚性求交点求交点 当平面或直线的投影有当平面或直线的投影有积聚性积聚性时,交点的两个投影中有一个可直时,交点的两个投影中有一个可直接确定,另一个投影可用在直线上接确定,另一个投影可用在直线上或平面上取点的方法求出。或平面上取点的方法求出。平面为特殊位置平面为特殊位置 例例 求直线求直线MN与平面与平面ABC的交点的交点K并判别可见性。并判别可见性。空间及投影分析空间及投影分析 平面平面ABC 是一
7、正垂面,是一正垂面,其其V 投影积聚成一条直线,投影积聚成一条直线,该直线与该直线与m n 的交点即的交点即为为K点的点的V 投影。投影。1)1)求交点。求交点。2)2)判别可见性。判别可见性。由由V投影可知,投影可知,k m 段段在平面上方,故在平面上方,故H投影上投影上km为可见。为可见。还可通过还可通过重影点重影点判别可见性。判别可见性。作作 图图直线直线EF为正垂线时为正垂线时例例1 1求直线求直线MN 与铅垂面与铅垂面P 的交点。的交点。解解:平面平面P为铅垂为铅垂面,面,PH有积聚性有积聚性,故故mn与与PH的交点的交点k 即为交点即为交点K 的的H 投投影。影。k 由于交点由于交
8、点K必在直必在直线线MN上,故可用上,故可用在直线上取点在直线上取点的方的方法,由法,由k求出求出k。规定:规定:在求在求用迹线表用迹线表示示的平面的交点和交线的平面的交点和交线时,时,不必分辨可见性不必分辨可见性。k例例2 2求直线求直线MN与四棱柱表面与四棱柱表面ABCD和和ABEF的交点。的交点。解:解:ABCD为为水平面水平面,其,其V投影有积聚性;投影有积聚性;ABEF为为铅铅垂面垂面,其,其H投影有积聚性,投影有积聚性,故本题可用平面的故本题可用平面的积聚性求积聚性求解解。作图步骤:作图步骤:1 1)求求m n 与与a b c d 的的交点交点k ;2 2)根据根据k,在,在mn上
9、上求求得点得点k,则点则点K(k,k )就是就是MN与与ABCD 的交点;的交点;3 3)求求mn与与abef的的交点交点l;4 4)根据根据l,在,在m n 上上求求得点得点l,则点,则点L(l,l )就是就是MN与与ABEF的交点;的交点;5 5)因直线因直线MN穿通四棱柱,所穿通四棱柱,所以线段以线段KL之间部分的投影均为之间部分的投影均为不可见。不可见。一般位置直线与一般位置平面相交,一般位置直线与一般位置平面相交,其投影都没积聚性,则采用换面法:其投影都没积聚性,则采用换面法:将一般位置直线或平面变成投影面的将一般位置直线或平面变成投影面的垂直线或垂直面,在新的投影体系中利用垂直线或
10、垂直面,在新的投影体系中利用积聚性直接求得交点的投影。然后利用所积聚性直接求得交点的投影。然后利用所得交点的投影返回到原体系当中,即可求得交点的投影返回到原体系当中,即可求的平面与直线的交点。的平面与直线的交点。3.2.2 3.2.2 一般位置直线与一般位置平面相交一般位置直线与一般位置平面相交例例3 3求一般位置直线求一般位置直线MN与一般位置平面与一般位置平面ABC的交点。的交点。解:解:根据上述分析,应采根据上述分析,应采用用换面法换面法将平面将平面ABC变换变换成投影面成投影面垂直面垂直面,这样就,这样就可以在新的投影体系中直可以在新的投影体系中直接求得交点的投影。接求得交点的投影。作
11、图步骤:作图步骤:1 1)在平面在平面ABC上上作水平作水平线线AD(ad,a d );2 2)作作X1轴垂直于轴垂直于ad;3 3)求出求出直线直线MN和平面和平面ABC在在V1投影面上的新投影面上的新投影投影m1 n1 和和a1 b1 c1 ;4 4)求求出出m1 n1 和和a1 b1 c1 的交点的交点k1 ;5 5)根据根据k1 求出求出k,再由,再由k求出求出k,则点,则点K(k,k )就是直线就是直线MN与平面与平面ABC的交点;的交点;6 6)取取H面的面的重影点重影点1、2判断判断直线直线MN 的的H 投影投影的的可见性。可见性。7 7)取取V面的面的重影点重影点3、4 判断判
12、断直线直线MN 的的V 投投影的可见性。影的可见性。3.2.3 3.2.3 两平面相交两平面相交1 1 一般位置平面与特殊位置平面相交一般位置平面与特殊位置平面相交 在两平面之一有在两平面之一有积聚性积聚性的情况下,的情况下,可以在没有积聚性的那个平面上取两可以在没有积聚性的那个平面上取两条直线,分别求这两条直线与有积聚条直线,分别求这两条直线与有积聚性的那个平面的交点,则这两个交点性的那个平面的交点,则这两个交点的连线就是两平面的交线。的连线就是两平面的交线。例例4 4求一般位置平面求一般位置平面ABC与铅垂面与铅垂面DEF的交线。的交线。解:解:由图可见,由图可见,只要求出只要求出 ABC
13、上的两条直线上的两条直线AB、AC和和 DEF 的的交点交点M、N,就可以求得两平面的,就可以求得两平面的交线交线。作图步骤:作图步骤:1)1)利用利用积聚性求积聚性求AB与与 DEF的的交点交点M(m,m );2)2)利用利用积聚性求积聚性求AC与与 DEF的的交点交点N(n,n );3)3)连接连接MN(mn,m n )就可得到两平面的交线;就可得到两平面的交线;4)4)取直线取直线AB和和DF在在V面上的重影点面上的重影点1 (2),分辨可见性:分辨可见性:由图可见,点由图可见,点1在点在点2的前面,故的前面,故b m 为为可见,为可见,为m l 不可见。由于过重影点的两线不可见。由于过
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- 直线 平面 相对 位置
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