隐函数和参数式函数的求导法.pptx

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1、一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法三、参数式函数的求导法三、参数式函数的求导法函数的求导法函数的求导法定义定义1.隐函数的定义隐函数的定义所确定的函数所确定的函数称为称为隐函数隐函数(implicit function).的形式称为的形式称为显函数显函数.隐函数的隐函数的可确定显函数可确定显函数例例开普勒方程开普勒方程开普勒开普勒(J.Kepler)1571-1630)1571-1630德国数学家德国数学家,天文学家天文学家.的隐函数客观存在的隐函数客观存在,但无法将但无法将表达成表达成的的显式显式表达式表达式.显化显化.一、隐函数的求导法一、隐函数的求导法2.隐函数求导法隐函数求导法隐函数

2、求导法则隐函数求导法则 用用复合函数求导法则复合函数求导法则,并注意到其中并注意到其中将方程两边对将方程两边对x求导求导.变量变量y是是x的函数的函数.隐函数不易显化或不能显化隐函数不易显化或不能显化 如何求导如何求导例例解解则得恒等式则得恒等式代入方程代入方程,将此恒等式两边同时对将此恒等式两边同时对x求导求导,得得因为因为y是是x的函数的函数,是是x的复合函数的复合函数,所以所以求导时要用复合函数求导法求导时要用复合函数求导法,例例解解 法一法一 利用利用隐函数求导法隐函数求导法.将恒等式两边对将恒等式两边对x求导求导,得得解出解出得得法二法二 从原方程中解出从原方程中解出得得先求先求x对

3、对y的导数的导数,得得再利用再利用反函数求导法则反函数求导法则,得得例例解解切线方程切线方程法线方程法线方程通过原点通过原点.利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题利用隐函数求导法来证明曲线族的正交问题.如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直如果两条曲线在它们的交点处的切线互相垂直,正交轨线正交轨线.称这两条曲线是称这两条曲线是正交的正交的.如果一个曲线如果一个曲线族族中的每条曲线与另一个曲线中的每条曲线与另一个曲线族族中的所有与它相交的曲线均正交中的所有与它相交的曲线均正交,称这称这是正交的是正交的两个曲线族两个曲线族或互为或互为正交曲线族在很多物理现象中出现正交曲线族在很多物理现象中出现

4、,例如例如,静电场中的电力线与等电位线正交静电场中的电力线与等电位线正交,热力学中的热力学中的等温线与热流线正交等温线与热流线正交,等等等等.证证即证即证.两条曲线在该点的两条曲线在该点的现只须证明现只须证明切线斜率互为负倒数切线斜率互为负倒数.作为隐函数求导法的一个简单应用作为隐函数求导法的一个简单应用,介绍介绍(1)许多因子相乘除、乘方、开方的函数许多因子相乘除、乘方、开方的函数.对数求导法对数求导法,它可以利用对数性质使某些函数的它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单求导变得更为简单.适适用用于于方方方方 法法法法先在方程两边取对数先在方程两边取对数,-对数求导法对数求导法 然后

5、利用隐函数的然后利用隐函数的求导法求出导数求导法求出导数.二、对数求导法二、对数求导法例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得 隐函数隐函数例例解解 等式两边取对数得等式两边取对数得注注复合函数复合函数改写成改写成如上例如上例则则只要将只要将幂指函数也可以利用对数性质化为幂指函数也可以利用对数性质化为:再求导再求导,有些显函数用对数求导法很方便有些显函数用对数求导法很方便.例如例如,两边取对数两边取对数两边对两边对x求导求导解答解答 等式两边取对数等式两边取对数解答解答三、参数式函数的求导法三、参数式函数的求导法例如例如消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如

6、何求导?所以所以,单调连续的单调连续的反函数反函数由由复合函数及反函数的求导法则复合函数及反函数的求导法则得得例例解解 所求切线方程为所求切线方程为设由方程设由方程确定函数确定函数求求方程组两边对方程组两边对t 求导求导,得得故故例例解解若曲线由极坐标方程若曲线由极坐标方程给出给出,利用利用可化为极角可化为极角 参数方程参数方程,因此曲线因此曲线切线的斜率为切线的斜率为例例解解 将曲线的极坐标方程转换成将曲线的极坐标方程转换成则曲线的切线斜率为则曲线的切线斜率为所以法线斜率为所以法线斜率为又切点为又切点为故法线方程为故法线方程为即即参数方程参数方程 这种将极坐标方程化为参数方程这种将极坐标方程化为参数方程,借助借助参数方程处理问题的方法参数方程处理问题的方法,在高等数学中将在高等数学中将多次遇到多次遇到.为两可导函数为两可导函数之间有联系之间有联系之间也有联系之间也有联系称为称为相关变化率解法三步骤相关变化率解法三步骤找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对t 求导求导相关变化率相关变化率求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率四、相关变化率四、相关变化率相关变化率相关变化率之间的关系式之间的关系式 代入指定时刻的变量值及已知变化率代入指定时刻的变量值及已知变化率,(1)(2)(3)例例解解(1)(2)仰角增加率仰角增加率(3)