重积分及其应用第二节二重积分的计算.ppt

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1、第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算一一 利用直角坐标系计算二重积分利用直角坐标系计算二重积分如果区域如果区域D为：为：函数函数其中其中在区间在区间上连续，上连续，区域。区域。则称则称D为为 型型 型区域的特点型区域的特点：轴的直线轴的直线与区域边界相交不多于两个交点与区域边界相交不多于两个交点.穿过区域且平行于穿过区域且平行于型型区域区域D：DD设曲顶柱体的底是设曲顶柱体的底是型区域型区域D顶为连续函数顶为连续函数xzyD对于任意固定对于任意固定作与作与轴垂直的平面，轴垂直的平面，相应曲顶柱体所得的截面面积相应曲顶柱体所得的截面面积由于截面为曲边梯形，由于截面为曲边梯形，所以所以无论函

2、数无论函数符号如何，符号如何，只要积分区域只要积分区域D为为公式公式总成立。总成立。D先对先对后对后对的二次积分的二次积分积分区域积分区域D：D对于既不是对于既不是型区域，型区域，又不是又不是型区域，型区域，可以用可以用几条辅助线将区域分成若几条辅助线将区域分成若干个干个型区域，或型区域，或型区型区域的并来计算。域的并来计算。如图如图先对先对后对后对的二次积分的二次积分例例1.计算计算其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭区域所围的闭区域.解法解法1.将将D看作看作 型区域型区域,则则解法解法2.将将D看作看作区域区域,则则例例2.计算计算其中其中D 是抛物线是抛物线所围成的

3、闭区域所围成的闭区域.解解:为计算简便为计算简便,先对先对 x 后对后对 y 积分积分,及直线及直线则则 解法解法2例例3.计算计算其中其中D 是直线是直线 所围成的闭区域所围成的闭区域.解解:由被积函数可知由被积函数可知,因此取因此取D 为为先对先对 x 积分不行积分不行,说明说明:有些二次积分为了积分方便有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序还需交换积分顺序.型区域型区域:例例4.交换下列积分顺序交换下列积分顺序解解:积分域由两部分组成积分域由两部分组成:视为视为型区域型区域,则则解解 例例6 计算计算 二重积分二重积分其中其中为为解解用用分积分区域分积分区域例例7 计算计算其中其中D

4、 由由所围成所围成.解解由于由于为奇函数，为奇函数，积分区间是积分区间是所以所以说明说明如果函数如果函数为为的奇函数的奇函数积分区域积分区域关于关于轴对称轴对称则则如果函数如果函数为为的偶函数的偶函数积分区域积分区域关于关于轴对称，轴对称，则则其中其中例例8 计算计算其中其中D 由由所围成所围成.解解:令令(如图所示如图所示)例例9求由两直交圆柱面求由两直交圆柱面所围立体的体积。所围立体的体积。解解第一象限部分立体如图第一象限部分立体如图所示，所示，设其在设其在面投影为面投影为D由对称性得由对称性得二二 利用极坐标计算二重积分利用极坐标计算二重积分在极坐标在极坐标下如何计算下如何计算用同心圆用

5、同心圆常数，常数，半直线半直线常数划分积分常数划分积分区域区域D取取.极坐标下面积元素极坐标下面积元素设设则则特别特别极坐标下的二次积分极坐标下的二次积分解解例例11 计算二重积分计算二重积分其中其中为为解解例例12 将二重积分将二重积分化为极坐标化为极坐标下二次积分下二次积分1）是是围成。围成。解解例例12 将二重积分将二重积分化为极坐标化为极坐标下二次积分下二次积分2）解解例例1313 计算二重积分计算二重积分其中其中D为区域为区域解解由对称性得由对称性得例例14 计算二重积分计算二重积分其中其中解解例例15 计算广义积分计算广义积分解解设设则则其中其中记记所以所以所以所以由于由于所以所以

6、例例16 求求部分的体积。部分的体积。解解第一象限部分立体如图第一象限部分立体如图设其在设其在面投影为面投影为D由对称性得由对称性得三三 二重积分换元法二重积分换元法定积分换元法定积分换元法满足满足一阶导数连续一阶导数连续;雅可比行列式雅可比行列式(3)变换变换则则定理定理:变换变换:是一一对应的是一一对应的,证明略证明略例如例如,直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时,例例17 计算计算其中其中D 是是 x 轴轴 y 轴和直线轴和直线所围成的闭域所围成的闭域.解解:令令则则例例18 计算由计算由所围成的闭区域所围成的闭区域 D 的面积的面积 S.解解:令令则则例例19.试计算椭球体试计算椭球体解解:由对称性由对称性令令则则D 的原象为的原象为的体积的体积V.