重积分及其应用第四节重积分的应用.ppt
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1、第四节第四节 重积分的应用重积分的应用1.能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法(元素法元素法)分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3.解题解题要点要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法 已经学过的利用重积分解决的问题已经学过的利用重积分解决的问题1 平面区域平面区域的面积的面积2 曲顶柱体的体积
2、曲顶柱体的体积3 平面薄片平面薄片的质量的质量4 空间物体空间物体的体积的体积5 空间物体空间物体的质量的质量例例1 求物体求物体的体积。的体积。解解在球坐标系下空间立体在球坐标系下空间立体所占区域为所占区域为则立体体积为则立体体积为一一 曲面面积曲面面积设光滑曲面设光滑曲面则面积则面积 A 可看成曲面上各点可看成曲面上各点处小切平面的面积处小切平面的面积 d A 无限积累无限积累设它在设它在 D 上的投影为上的投影为 d ,则则而成而成.(称为称为面积元素面积元素)故有曲面面积公式故有曲面面积公式即即若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为则有则有若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 则有则有例例2 求
3、球面求球面为平面为平面所夹部分的曲面面积。所夹部分的曲面面积。解解该曲面可以看成该曲面可以看成球面球面落落在在部部分,分,例例3 求圆锥面求圆锥面夹在两圆柱面夹在两圆柱面之间的那部分面积之间的那部分面积解解落在落在内的那部分面积内的那部分面积例例4 求球面求球面的面积。的面积。解法一解法一球面的面积为上半球面球面的面积为上半球面的两倍,的两倍,由于由于其在其在无界,无界,所以取所以取解法二解法二设球面方程为设球面方程为 球面面积元素为球面面积元素为利用球坐标方程利用球坐标方程.二二 物理应用物理应用1 物体的质心物体的质心设平面有设平面有n个质点个质点,其质量分别其质量分别由力学知由力学知,该
4、质点系对该质点系对y,x 的静矩的静矩分别位于分别位于为为为为如果把质点组的质量集中在一点如果把质点组的质量集中在一点使得质点组使得质点组对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对相同的轴的静矩,相同的轴的静矩,那么该点就称为该质点组的质心,那么该点就称为该质点组的质心,因此因此如果如果xoy面薄片面薄片D,面密度函数为面密度函数为则在则在D上任上任取含有点取含有点的面积元素的面积元素则其对则其对y,x的静矩分别的静矩分别为为薄片薄片D 对对y,x的静矩为的静矩为薄片薄片D的总质量为的总质量为其中其中A 为为 D 的面积的面积得得D 的的形心坐
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- 积分 及其 应用 第四
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