4.1 数学归纳法 课件(人教A选修4-5)53174.ppt

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1、读教材读教材填要点填要点 1数学归纳法的概念数学归纳法的概念 当要证明一个命题对于不小于某正整数当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：都成立时，可以用以下两个步骤：(1)证明当证明当 时命题成立；时命题成立；(2)假设当假设当 时命题成立，证明时命题成立，证明 时命题也成立时命题也成立 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法nn0nk1nk(kN，且，且kn0)2数学归纳法的基本过程数学归纳

2、法的基本过程小问题小问题大思维大思维1在数学归纳法中，在数学归纳法中，n0一定等于一定等于1吗？吗？提示：提示：不一定不一定n0是适合命题的正整数中的最小值，有是适合命题的正整数中的最小值，有时是时是n01或或n02，有时，有时n0值也比较大，而不一定是从值也比较大，而不一定是从1开始取值开始取值2数学归纳法的适用范围是什么？数学归纳法的适用范围是什么？提示：提示：数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数数学归纳法的适用范围仅限于与正整数有关的数学命题的证明学命题的证明3数学归纳法中的两步的作用是什么？数学归纳法中的两步的作用是什么？提示：提示：在数学归纳法中的第一步在数学归纳法中的第一步“

3、验证验证nn0时，命题时，命题成立成立”，是归纳奠基、是推理证明的基础第二步是归，是归纳奠基、是推理证明的基础第二步是归纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可纳递推，保证了推理的延续性，证明了这一步，就可以断定这个命题对于以断定这个命题对于n取第一个值取第一个值n0后面的所有正整数后面的所有正整数也都成立也都成立研一题研一题 精讲详析精讲详析本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应本题考查数学归纳法在证明恒等式中的应用，解答本题需要注意等式的左边有用，解答本题需要注意等式的左边有2n项，右边有项，右边有n项，由项，由k到到k1时，左边增加两项，右边增加一项，而且左、右两时，左边增加两项，右

4、边增加一项，而且左、右两边的首项不同，因此由边的首项不同，因此由“nk”到到“nk1”时，要注意项的时，要注意项的合并合并悟一法悟一法 (1)用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准用数学归纳法证明代数恒等式的关键有两点：一是准确表述确表述nn0时命题的形式，二是准确把握由时命题的形式，二是准确把握由nk到到nk1时，命题结构的变化特点时，命题结构的变化特点 (2)应用数学归纳法时的常见问题应用数学归纳法时的常见问题 第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证有时需验证n2，n3.对对nk1时式子的项数以及时式子的项数以及nk与与nk

5、1的关系的的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障 “假设假设nk时命题成立，利用这一假设证明时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范严谨、规范通一类通一类1证明证明12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN)证明：证明：(1)当当n1时，左边时，左边12223，右边右边1(211)3，当当n1时，等式成立时，等式成立(2)假设

6、当假设当nk时等式成立，就是时等式成立，就是12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)当当nk1时，时，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k1)22(k1)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，当当nk1时，等式也成立时，等式也成立根据根据(1)和和(2)可知，等式对任何可知，等式对任何nN都成立都成立例例2求证：二项式求证：二项式x2ny2n(nN)能被能被xy整除整除 精讲详析精讲详析本题考查数学归纳法在证明整除问题中本题考查数学归纳法在证明整除问题中的应用，解答本题需要设法将的应用，解答本题需要设法将x2ny2n

7、进行分解因式得出进行分解因式得出xy，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明，由于直接分解有困难，故采用数学归纳法证明 (1)当当n1时，时，x2y2(xy)(xy)，能被能被xy整除整除 (2)假设假设nk(k1，且，且kN)时，时，x2ky2k能被能被xy整除，整除，当当nk1时，时，即即x2k2y2k2x2x2kx2y2kx2y2ky2y2kx2(x2ky2k)y2k(x2y2)x2ky2k与与x2y2都能被都能被xy整除，整除，x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被能被xy整除整除即即nk1时，时，x2k2y2k2能被能被xy整除整除由由(1)(2)可知，对任意的正整数可知，对任

8、意的正整数n命题均成立命题均成立悟一法悟一法 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项添项”与与“减减项项”等变形技巧，例如，在本例中，对等变形技巧，例如，在本例中，对x2k2y2k2进行拼进行拼凑，即减去凑，即减去x2y2k再加上再加上x2y2k，然后重新组合，目的是拼凑，然后重新组合，目的是拼凑出出nk时的归纳假设，剩余部分仍能被时的归纳假设，剩余部分仍能被xy整除整除通一类通一类2求证：求证：n3(n1)3(n2)3能被能被9整除整除证明：证明：(1)

9、当当n1时，时，13(11)3(12)336，能被，能被9整整除，命题成立除，命题成立(2)假设假设nk时，命题成立，即时，命题成立，即k3(k1)3(k2)3能被能被9整除整除当当nk1时，时，(k1)3(k2)3(k3)3(k1)3(k2)3k33k233k3233k3(k1)3(k2)39(k23k3)由归纳假设，上式中由归纳假设，上式中k3(k1)3(k2)3能被能被9整除，又整除，又9(k23k3)也能被也能被9整除整除故故nk1时命题也成立时命题也成立由由(1)(2)可知，对任意可知，对任意nN*命题成立命题成立.研一题研一题 悟一法悟一法 对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳

10、出一个变对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也化的过程，或者说体会出是怎么变化的，然后再去证明，也可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关可以采用递推的办法，利用数学归纳法证明几何问题时，关键是正确分析由键是正确分析由nk到到nk1时几何图形的变化规律时几何图形的变化规律 通一类通一类 本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的本课时考点常与数列问题相结合考查数学归纳法的应用，应用，2012年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解年天津高考将数列、数学归纳法相结合，以解答题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点答

11、题的形式进行了考查，是高考模拟命题的一个新亮点考题印证考题印证 (2012天津高考天津高考)已知已知an是等差数列，其前是等差数列，其前n项和为项和为Sn，bn是等比数列，且是等比数列，且a1b12，a4b427，S4b410.(1)求数列求数列an与与bn的通项公式；的通项公式；(2)记记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明，证明Tn122an10bn(nN*.)命题立意命题立意本题考查数学归纳法在证明数列问题中的本题考查数学归纳法在证明数列问题中的应用应用 法二：法二：(1)当当n1时，时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；，故等式成立；(2)假设当假设当nk时等式成立，即时等式成立，即Tk122ak10bk，则，则当当nk1时有：时有：Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1 ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTk ak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112.即即Tk1122ak110bk1.因此因此nk1时等式也成立时等式也成立由由(1)和和(2)，可知对任意，可知对任意nN*，Tn122an10bn成立成立点击下图片点击下图片进入进入: