4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数39629.ppt

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1、要点梳理要点梳理1.1.任意角任意角 （1 1）角的概念的推广）角的概念的推广 按旋转方向不同分为按旋转方向不同分为 、.按终边位置不同分为按终边位置不同分为 和和 .（2 2）终边相同的角）终边相同的角 终边与角终边与角 相同的角可写成相同的角可写成 .第四编 三角函数、解三角形4.1 4.1 任意角和弧度制及任意角的三任意角和弧度制及任意角的三 角函数角函数正角正角负角负角零角零角象限角象限角轴线角轴线角(k kZ Z)基础知识基础知识 自主学习自主学习（3 3）弧度制）弧度制11弧度的角：弧度的角：_叫做叫做1 1弧度的角弧度的角.规定：正角的弧度数为规定：正角的弧度数为 ,负角的弧度数

2、为负角的弧度数为 ，零角的弧度数为，零角的弧度数为 ,l l是以角是以角 作为圆心角时所对圆弧的长，作为圆心角时所对圆弧的长，r r为半径为半径.用用“弧度弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制做单位来度量角的制度叫做弧度制.比比值值 与所取的与所取的r r的大小的大小 ,仅与仅与 .弧度与角度的换算：弧度与角度的换算：360360=弧度；弧度；180180=弧度弧度.弧长公式：弧长公式：,扇形面积公式：扇形面积公式：S S扇形扇形=.把长度等于半径长的弧所对的圆心角把长度等于半径长的弧所对的圆心角无关无关角的大小有关角的大小有关正数正数负数负数零零2.2.任意角的三角函数任意角的三角函数 (1

3、)(1)任意角的三角函数定义任意角的三角函数定义 设设 是一个任意角，角是一个任意角，角 的终边上任意一点的终边上任意一点 P P(x x,y y),),它与原点的距离为它与原点的距离为r r(r r00）,那么角那么角 的正弦、余弦、正切分别是：的正弦、余弦、正切分别是：它们都是以角为自它们都是以角为自 ，以比值为，以比值为 的函数的函数.(2)(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：三角函数在各象限内的符号口诀是：.,变量变量函数值函数值一全一全正、二正弦、三正切、四余弦正、二正弦、三正切、四余弦3.3.三角函数线三角函数线 设角设角 的顶点在坐标原点的顶点在坐标原点,始边与始边与x x轴正

4、半轴重轴正半轴重 合合,终边与单位圆相交于点终边与单位圆相交于点P P，过，过P P作作PMPM垂直于垂直于x x 轴于轴于MM,则点则点MM是点是点P P在在x x轴上的轴上的 .由三角由三角 函数的定义知，点函数的定义知，点P P的坐标为的坐标为 ,即即 ,其中其中 =,单位圆与单位圆与x x轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点A A,单位圆在单位圆在A A点点 的切线与的切线与 的终边或其反向延长线相交于点的终边或其反向延长线相交于点 T T，则，则 .我们把有向线段我们把有向线段OMOM、MPMP、ATAT叫做叫做 的的 、.OMOM ,MPMPATAT余弦线余弦线正弦线正弦线正切线正切线

5、正射影正射影4.4.同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系(1)(1)平方关系：平方关系：.(2)(2)商数关系商数关系:.三角函三角函数线数线有向线段有向线段为正弦线为正弦线有向线段有向线段为余弦线为余弦线有向线段有向线段为正切线为正切线MPMPOMOMATAT基础自测基础自测1.1.若若 =k k180180+45+45(k kZ Z)，则，则 在（在（）A.A.第一或第三象限第一或第三象限 B.B.第一或第二象限第一或第二象限 C.C.第二或第四象限第二或第四象限 D.D.第三或第四象限第三或第四象限 解析解析 当当k k=2=2m m+1(+1(m mZ Z)时，时，=2 =2m

6、 m180180+225+225=m m360360+225+225,故故 为为 第三象限角；当第三象限角；当k k=2=2m m(m mZ Z)时，时，=m m360360+45+45,故故 为第一象限角为第一象限角.A2.2.角角 终边过点终边过点(-1,2),(-1,2),则则cos cos 等于（等于（）解析解析C3.3.已知角已知角 的终边经过点的终边经过点(，-1),-1),则角则角 的最的最 小正值是（小正值是（）解析解析B4.4.已知扇形的周长是已知扇形的周长是6 cm6 cm，面积是，面积是2 cm2 cm2 2，则扇形，则扇形 的圆心角的弧度数是（的圆心角的弧度数是（）A.

7、1 B.4 C.1 A.1 B.4 C.1或或4 D.24 D.2或或4 4 解析解析 设此扇形的半径为设此扇形的半径为r r，弧长为，弧长为l l，C5.5.已知已知 为第四象限角，且为第四象限角，且 解解 为第四象限角，且为第四象限角，且 题型一题型一 三角函数的定义三角函数的定义 已知角已知角 的终边在直线的终边在直线3 3x x+4+4y y=0=0上上,求求 的值的值.本题求本题求 的三角函数值的三角函数值.依据三角函依据三角函 数的定义数的定义,可在角可在角 的终边上任取一点的终边上任取一点P P(4(4t t,-3,-3t t)(t t0),0),求出求出r r,由定义得出结论由

8、定义得出结论.思维启迪思维启迪【例例1 1】解解题型分类题型分类 深度剖析深度剖析 某角的三角函数值只与该角终边所在某角的三角函数值只与该角终边所在 位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定位置有关，当终边确定时三角函数值就相应确定.但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有但若终边落在某条直线上时，这时终边实际上有 两个，因此对应的函数值有两组要分别求解两个，因此对应的函数值有两组要分别求解.知能迁移知能迁移1 1 设设 为第四象限角为第四象限角,其终边上的一个其终边上的一个 点是点是P P（x x，-），且），且 解解 为第四象限角，为第四象限角，x x00，且，且 题型二题型二 三角函

9、数值的符号及判定三角函数值的符号及判定 (1)(1)如果点如果点P P(sin (sin cos cos ，2cos )2cos )位位 于第三象限，试判断角于第三象限，试判断角 所在的象限所在的象限.(2)(2)若若 是第二象限角，试判断是第二象限角，试判断 的符的符 号号.(1)(1)由点由点P P所在的象限可知所在的象限可知 的符号，进而判断的符号，进而判断 所在的象限所在的象限.(2)(2)由由 可判断可判断 的范围的范围,把把 看作一个角，再判断看作一个角，再判断 的符号的符号.解解 (1)(1)熟练掌握三角函数的符号法则是熟练掌握三角函数的符号法则是 解决此类问题的关键解决此类问题

10、的关键.(2)(2)由三角函数符号判断角所在象限由三角函数符号判断角所在象限,在写角的在写角的 集合时集合时,注意终边相同的角注意终边相同的角.知能迁移知能迁移2 2 若若 则则 角角 的终边落在的终边落在 （）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 C题型三题型三 三角函数线及其应用三角函数线及其应用 在单位圆中画出适合下列条件的角在单位圆中画出适合下列条件的角 的的 终边的范围终边的范围,并由此写出角并由此写出角 的集合的集合:作出满足作出满足 的角的终边的角的终边,然后根据已知条件确定角然后根据已知条件确定角 终边

11、的终边的 范围范围.解解(1)(1)作直线作直线 交单位圆于交单位圆于A A、B B两点两点,连结连结OAOA、OBOB，则，则OAOA与与OBOB围围成的区域即为角成的区域即为角 的终边的范围的终边的范围,故满足条件的角故满足条件的角 的集合为的集合为(2)(2)作直线作直线 交单位圆于交单位圆于C C、D D两点两点,连结连结OCOC、ODOD,则则OCOC与与ODOD围成的区域围成的区域(图中阴影部分图中阴影部分)即为角即为角 终边的范围终边的范围.故满足条件的角故满足条件的角 的集合为的集合为 本题的实质是解三角不等式的问题：本题的实质是解三角不等式的问题：（1 1）可以运用单位圆及三

12、角函数线；）可以运用单位圆及三角函数线；（2 2）也可以用三角函数图象）也可以用三角函数图象.体现了数形结合的数学思想方法体现了数形结合的数学思想方法.知能迁移知能迁移3 3 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：解解 由三角函数线画出由三角函数线画出x x满足条件的终边满足条件的终边范围范围(如图阴影所示如图阴影所示).).利用三角函数线画出利用三角函数线画出x x满足条件的终边满足条件的终边范围范围(如右图阴影如右图阴影),),题型四题型四 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 （1212分）已知分）已知 是三角形的内角，且是三角形的内角，且 （1 1）求）求tan tan

13、的值；的值；（2 2）用用tan tan 表示出来，并求其值表示出来，并求其值.（1 1）由）由 解解 (1)(1)方法一方法一2 2分分3 3分分6 6分分方法二方法二3 3分分6 6分分 (1)(1)对于对于这三个式子这三个式子,已知其中一个式子的值已知其中一个式子的值,其余二式的其余二式的值可求值可求.转化的公式为转化的公式为(2)(2)关于关于sin sin x x,cos,cos x x的齐次式的齐次式,往往化为关于往往化为关于tan tan x x的式子的式子.1010分分1212分分知能迁移知能迁移4 4 分别求分别求 的值：的值：解解思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法与技巧

14、方法与技巧1.1.在利用三角函数定义时在利用三角函数定义时,点点P P可取终边上任一点可取终边上任一点,如有可能则取终边与单位圆的交点如有可能则取终边与单位圆的交点.|.|OPOP|=|=r r一定一定 是正值是正值.2.2.在解决在解决 的问题时的问题时,常常 常用到常用到3.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角 函数线是一个小技巧函数线是一个小技巧.失误与防范失误与防范1.1.注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小 于于9090的角是概念不同的三类角的角是概念不同的三类角.第一类是象第一类是象 限角，

15、第二、第三类是区间角限角，第二、第三类是区间角.2.2.角度制与弧度制可利用角度制与弧度制可利用180180=rad=rad进行互化进行互化,在同一个式子中，采用的度量制度必须一致在同一个式子中，采用的度量制度必须一致,不可混用不可混用.3.3.注意熟记注意熟记0 0360360间特殊角的弧度表示间特殊角的弧度表示.一、选择题一、选择题1.1.若角若角 和角和角 的终边关于的终边关于x x轴对称轴对称,则角则角 可以用可以用 角角 表示为表示为 （）A.(A.(k kZ Z)B.()B.(k kZ Z)C.(C.(k kZ Z)D.()D.(k kZ Z)解析解析 因为角因为角 和角和角 的终

16、边关于的终边关于x x轴对称轴对称,所所 以以 (k kZ Z).).所以所以 (k kZ Z).).定时检测定时检测B2.2.已知点已知点P P 在第三象限在第三象限,则角则角 的终边在的终边在 第几象限第几象限 （）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限 解析解析 P P 在第三象限，在第三象限，由由tan 0tan 0，得，得 在第二、四象限，在第二、四象限，由由cos 0,cos 0,得得 在第二、三象限，在第二、三象限，在第二象限在第二象限.B3.3.若扇形圆心角的弧度数为若扇形圆心角的弧度数为2,2,且扇形弧所对的弦长

17、且扇形弧所对的弦长 也是也是2,2,则这个扇形的面积为则这个扇形的面积为 （）解析解析 由题意得扇形的半径为由题意得扇形的半径为 又由扇形面又由扇形面 积公式得，该扇形的面积为积公式得，该扇形的面积为A4.4.已知角已知角 的终边过点的终边过点P P（-8-8m m，-6sin 30-6sin 30）,且且 则则m m的值为的值为 （）解析解析B5.5.已知角已知角 是第二象限角，且是第二象限角，且 （）A.A.第一象限角第一象限角 B.B.第二象限角第二象限角 C.C.第三象限角第三象限角 D.D.第四象限角第四象限角 解析解析 由由 是第二象限角知是第二象限角知,是第一或第三是第一或第三

18、象限角象限角.C6.6.已知已知 是第一象限角是第一象限角,等于（等于（）解析解析B二、填空题二、填空题7.7.若点若点P P(m m,n n)()(n n0)0)为角为角600600终边上一点，则终边上一点，则 等于等于 .解析解析 由三角函数的定义知由三角函数的定义知8.8.已知已知P P在在1 1秒钟内转过的角度为秒钟内转过的角度为（0 0 180180），），经过经过2 2秒钟达到第三象限，经过秒钟达到第三象限，经过1414秒钟后又恰好回到秒钟后又恰好回到 出发点，则出发点，则 =.解析解析 00 180180且且 k k360360+180+18022 k k360360+270+2

19、70(k kZ Z),),则必有则必有k k=0=0，于是，于是9090 135135,又又1414=n n360360(n nZ Z)，9.9.若角若角 的终边落在直线的终边落在直线y y=-=-x x上上,则则 的值等于的值等于 .解析解析 角角 的终边落在直线的终边落在直线y y=-=-x x上，上，角角 是第二或第四象限角是第二或第四象限角.0 0三、解答题三、解答题10.10.角角 终边上的点终边上的点P P与与A A(a a,2,2a a)关于关于x x轴对称轴对称(a a0),0),角角 终边上的点终边上的点Q Q与与A A关于直线关于直线y y=x x 对称对称,求求 的值的值.解解 由题意得，点由题意得，点P P的坐标为（的坐标为（a a,-2,-2a a)，点点Q Q的坐标为的坐标为(2(2a a,a a).).11.11.设设 为第三象限角为第三象限角,试判断试判断 解解 12.12.求下列各式的值求下列各式的值:解解 由已知得由已知得 返回返回