3第三章 概率基础1.ppt

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1、张宝林张宝林 内蒙古师范大学化学与环境科学学院内蒙古师范大学化学与环境科学学院环境统计环境统计课程主要内容第一章第一章 绪论绪论第二章第二章 环境统计调查和数据整理环境统计调查和数据整理第三章第三章 环境统计的概率论基础环境统计的概率论基础第四章第四章 环境统计的描述性统计学环境统计的描述性统计学第五章第五章 环境统计的推断性统计学环境统计的推断性统计学第六章第六章 常用多元统计分析及其软件实现常用多元统计分析及其软件实现第七章第七章 地统计学简介地统计学简介主要参考书吴聿明(1991).环境统计学,中国环境科学出版社.李鸿杰,高见，环境统计学，西北农林科技大学出版社，2004程子峰，徐富春编

2、著，2006，环境数据统计分析基础，化学工业出版社主要参考书第三章第三章 环境统计的概率论基础环境统计的概率论基础街头的摸球中奖在黑布袋中有六个白乒乓球与六个黄乒乓球,玩家随便从黑布袋中摸出6 个球,摸出6 黄或6 白可得100 元钱;摸出5 黄1 白或5 白1 黄,可得10 元;摸出4 黄2 白或者4 白2 黄,可得1 元钱;摸出3 黄3 白则要花20 元钱买一瓶洗发水共有7 种情况,竟有6 种情况可获奖,而只有1 种情况要花钱买东西。按照概率,当玩家摸10 次球时,最大的可能为4 次3 黄3 白,共赔48 元;5 次为4 黄2 白或4 白2 黄,获得5 元;1 次为5 黄1 白或5 白1

3、黄,获得10 元.这样玩家一般都会损失30 元钱左右,平均一次损失3 元.当玩的次数不断增加时,玩家平均损失的钱数几乎总保持在此数额.第三章第三章 环境统计的概率论基础环境统计的概率论基础博弈成科学博弈成科学甲乙甲乙2人赌技相同，各出赌注人赌技相同，各出赌注500元。约定：谁先赢元。约定：谁先赢3局，则谁拿走全局，则谁拿走全部部1000元。现已经赌了元。现已经赌了3局，甲局，甲2胜胜1负，而因故要停止赌博，这负，而因故要停止赌博，这1000元如何分，才算公平？元如何分，才算公平？平均：对甲欠公平平均：对甲欠公平全归甲：对乙欠公平全归甲：对乙欠公平甲拿大头：甲拿大头：2/3:1/3?继续赌继续赌

4、2局，可能结果：局，可能结果：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙甲甲，甲乙，乙甲，乙乙第三章第三章 环境统计的概率论基础环境统计的概率论基础主要内容第一节 随机事件及其概率第二节 概率分布第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率主要内容：3.1.1事件3.1.2概率3.1.1事件主要内容：（一）必然现象与随机现象（二）随机试验与随机事件（三）样本空间（四）事件的图示3.1.1事件（一）必然现象与随机现象（一）必然现象与随机现象 在自然界与生产实践和科学试验中，人们会观察到各种各样的现象，把它们归纳起来，大体上分为两大类：一类是可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果总是确定的，

5、必然发生（或必然不发生）。例如，在标准大气压下，水加热到100必然沸腾；步行条件下必然不可能到达月球等。这类现象称为必然现象（必然现象（inevitable phenomena）或确）或确定性现象（定性现象（definite phenomena）。另一类是事前不可预言其结果的，即在保持条件不变的情况下，重复进行试验，其结果未必相同。例如，掷一枚质地均匀对称的硬币，其结果可能是出现正面，也可能出现反面；孵化6枚种蛋，可能“孵化出0只雏”，也可能“孵化出1只雏”，也可能“孵化出6 只雏”，事前不可能断言其孵化结果。这类在个别试验中其结果呈现偶然性、不确定性现象，称为随机现象（随机现象（random

6、 phenomena）或不确）或不确定性现象（定性现象（indefinite phenomena）。3.1.1事件（一）必然现象与随机现象 人们通过长期的观察和实践并深入研究之后，发现随机现象或不确定性现象，有如下特点：在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前在一定的条件实现时，有多种可能的结果发生，事前人们不能预言将出现哪种结果；人们不能预言将出现哪种结果；对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然对一次或少数几次观察或试验而言，其结果呈现偶然性、不确定性；性、不确定性；但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固有的特定

7、的规律性呈现出某种固有的特定的规律性频率的稳定性，通常频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计规律性。称之为随机现象的统计规律性。例如，生男生女。概率论就是研究和揭示随机现象统计规律的一门科学。3.1.1事件（二）随机试验与随机事件 为了研究随机现象,就要对客观事物进行观察。通常我们把根据某一研究目的，在一定条件下对自然现象所进行的观察或试验统称为试验（试验（trial）。3.1.1事件（二）随机试验与随机事件 如果一个试验满足下述三个特性，则称其为一个随机随机试验（试验（random trial），简称试验），简称试验：（1）试验可以在相同条件下多次重复进行；（2）每次试验的可能结果不止一个，

8、并且事先知道会有哪些可能的结果；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。概率论里所研究的试验有如上特点。概率论里所研究的试验有如上特点。如孵化种蛋观察出雏情况；观察妊娠母牛产犊的性别如孵化种蛋观察出雏情况；观察妊娠母牛产犊的性别情况具有随机试验的三个特征，因此都是随机试验。情况具有随机试验的三个特征，因此都是随机试验。3.1.1事件（二）随机试验与随机事件 随机试验的每一种可能结果，在一定条件下可能发生，也可能不发生，称为随机事件（随机事件（random event），简），简称事件（称事件（event），通常用A、B、C等来表示。1

9、 基本事件 2 必然事件 3 不可能事件 3.1.1事件（二）随机试验与随机事件1 基本事件 不能再分的事件称为不能再分的事件称为基本事件（基本事件（elementary event），也称为样本点（），也称为样本点（sample point）。例如，在编号为1、2、3、10的十头猪中随机抽取1头，有10种不同的可能结果：“取得一个编号是1”、“取得一个编号是2”、“取得一个编号是10”，这10个事件都是不可能再分的事件，它们都是基本事件。由若干个基本事件组合而成的事件称为复合事件复合事件（compound event）。如“取得一个编号是2的倍数”是一个复合事件，它由“取得一个编号是2”、“

10、是4”、“是6、“是8”、“是10”5个基本事件组合而成。3.1.1事件（二）随机试验与随机事件2 必然事件 在一定条件下必然会发生的事件称为必然事件必然事件（certain event），用表示。例如，在严格按妊娠期母猪饲养管理的要求饲养的条件下，妊娠正常的母猪经114天左右产仔，就是一个必然事件。3.1.1事件（二）随机试验与随机事件3 不可能事件 在一定条件下不可能发生的事件称为不可能事件不可能事件（impossible event），用表示。例如，在满足一定孵化条件下，从石头孵化出雏鸡，就是一个不可能事件。=.必然事件与不可能事件实际上是确定性现象，即它们不是随机事件，但是为了方便起见

11、，我们把它们看作为两个特殊的随机事件。3.1.1事件（三）样本空间 给定一个试验,所有可能的结果的全体构成一个集合,这个集合称作样本空间样本空间,用大写的希腊字母表示,这个样本空间中的每一个元素也称作此样本空间的一个样本点样本点,可以用小写的希腊字母表示.3.1.1事件（三）样本空间 样本空间样本空间3.1.1事件（三）样本空间掷一个骰子 3.1.1事件（三）样本空间掷一对骰子 3.1.1事件（三）样本空间1,掷一次硬币为一个试验,则有两个可能的试验结果,正面和反面,则 =正面,反面2,掷一次骰子为一个试验,则有六个可能的试验结果,1点,2点,3点,4点,5点和6点,因此样本空间为 =1点,2

12、点,3点,4点,5点,6点3,掷两次硬币作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有四种可能的结果:(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)因此样本空间 =(反,反),(反,正),(正,反),(正,正)3.1.1事件（三）样本空间4,掷两次骰子作为一次试验,将两次试验结果排序,则共有36种可能的结果:=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,

13、1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),=(x,y)|x,y=1,2,3,4,5,63.1.1事件（四）事件的图示 事件是样本空间的子集,或者说事件就是试验结果的集合,通常用大写英文字母A,B,C,等表示.掷两次硬币这个试验,事件A=至少一次正面朝上包括三个样本点(正,反),(反正),(正正).也可以表示为 A=(正,反),(反,正),(正正)掷两次骰子的试验,事件B=两次点数相同,则B=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)3.1.1事件（四）事件的图示（四）事件

14、的图示为了直观,经常使用图示来表示事件,一般地,用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件或者整个样本空间,其中的一个子区域表示一具体的事件3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算事件的包含事件的包含：如果事件A发生必然导致事件B发生,即属于A的每一个样本点都属于B,则称事件B包含事件A或称事件A含于事件B,记作BA或AB等价的说法是如果B不发生则A也不会发生.对于任何事件A有A3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算事件的相等事件的相等如果事件A包含事件B,事件B也包含事件A,称事件A与B相等.即A与B中的样本点完全相同.记作A=B3.1.1事件（四）事件的图示：事件

15、间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算事件的并事件的并(和和)两个事件A,B 中至少有一个发生,即A或B,是一个事件,称为事件A与B的并(和).它是属于A或B的所有样本点构成的集合.记作A+B 或 AB易知A+=A+=A3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算事件的并事件的并(和和)n个事件A1,A2,An中至少有一个发生是一个事件,称为事件的和,记作A1+A2+An 或 A1A2An可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生,记作3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算事

16、件的交事件的交(积积)两个事件A与B同时发生,即A且B,是一个事件,称为事件A与B的交.它是由既属于A又属于B的所有公共样本点构成的集合.记作AB或 AB易知A =AA =3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算对立事件对立事件事件“非A”称为A的对立事件(或逆事件).它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成的集合.记作3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算事件的差事件的差事件A发生而事件B不发生,是一个事件,称为事件A与B的差.它是由属于A但不属于B的那些样本点构成的集合.记作 AB3.1.

17、1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算互不相容事件互不相容事件如果事件A与B不能同时发生,即AB=,称事件A与B互不相容(或称互斥).互不相容事件A与B没有公共的样本点.显然,基本事件间是互不相容的基本事件间是互不相容的。对立事件一定互不相容,但互不相容事件未必对立3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算完备事件组完备事件组若事件A1,A2,An为两两互不相容事件,并且A1+A2+An=,称构成一个完备事件组或构成一个划分.最常用的完备事件组是某事件A与它的逆3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关

18、系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算运算规律：运算规律：交换律交换律集合律集合律分配律分配律对偶律对偶律3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算事件的图示：事件间的关系及其运算例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件A表示奇数点,事件B表示点数小于5,C表示小于5的偶数点.用集合的列举表示法表示下列事件:解:=1,2,3,4,5,6A=1,3,5B=1,2,3,4C=2,4A+B=1,2,3,4,5AB=5BA=2,4AB=1,3AC=CA=2,4例1 掷一颗骰子的试验，观察出现的点数事件A表示奇数点,事件B表示点数小于5,C表示小于5的偶数点.3.1.1事件（四）事

19、件的图示：事件间的关系及其运算例2从一批产品中每次取出一个产品进行检验(每次取出的产品不放回),事件Ai表示第i次取到合格品(i=1,2,3).试用事件的运算符号表示下列事件:三次都取到了合格品;三次中至少有一次取到合格品;三次中恰有两次取到合格品;三次中最多有一次取到合格品.解:三次全取到合格品:A1A2A3三次中至少有一次取到合格品:A1+A2+A3三次中恰有两次取到合格品:三次中至多有一次取到合格品:3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算例3 一名射手连续向某个目标射击三次事件Ai表示该射手第i次射击时击中目标(i=1,2,3).试用文

20、字叙述下列事件:解:3.1.1事件（四）事件的图示：事件间的关系及其运算（四）事件的图示：事件间的关系及其运算例4 如果x表示一个沿数轴做随机运动的质点的位置,试说明下列各事件的关系.A=x|x20 B=x|x3C=x|x9D=x|x3C=x|x9D=x|x O(I=1,2,n),则则P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(Bn)P(A/Bn)全概率公式的意义在于全概率公式的意义在于:对于一个复杂的事件对于一个复杂的事件A,若无法直接求出它的概率若无法直接求出它的概率P(A),则可将则可将A分解成分解成若干个简单的事件来求其概率。由此可见全概率若干个简单的事件来求其概

21、率。由此可见全概率公式可起到化整为零公式可起到化整为零,化难为易的作用。化难为易的作用。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率全概率公式全概率公式P(A)=P(B1)P(A/B1)+P(B2)P(A/B2)+P(Bn)P(A/Bn)例1 某商店有彩电10 台(其中次品有3 台),现已出售2 台,求从剩下的彩电中任取一台是正品的概率。3.1.2概率（六）全概率公式华南理工大学理学院应用数学系 教育部国家工科数学教学基地3.1.2概率（六）全概率公式作业：有外形相同的有外形相同的10只管纱放在一起，其只管纱放在一起，其中中5只是棉纱，只是棉纱，3只是人造纱，只是人造纱，2只是腈只是腈纶纱，

22、在无放回的情况下，每次取一只，纶纱，在无放回的情况下，每次取一只，求第二次抽到的是棉纱的概率。求第二次抽到的是棉纱的概率。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率贝叶斯公式由全概率公式可导出另一个重要公式贝叶斯公式,它是由英国数学家贝叶斯(Bayes Thomas)在1763 年发表的,其陈述如下:设随机试验E 的样本空间为S。A为E 的事件,B1,B2,Bn为S 的一个划分,且P(BI)0(i=1,2,n),则第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率贝叶斯公式贝叶斯公式的意义在于:设事件A已发生,我们需要判断引起A发生的“原因”。如果已知A发生的可能“原因”共有n个:B1,B2,

23、Bn且两两互不相容。那么我们希望知道其中某个“Bi”的概率,也就是条件概率P(Bi/A)。在实际应用中,我们往往要求出每一个P(Bi/A)(I=1,2,n),然后找出其中最大的一个P(Bi/A),则Bi就是引起事件A 发生的最可能的“原因”。贝叶斯公式在“风险决策”、“模式识别”等中有着广泛的应用。第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率贝叶斯公式贝叶斯公式的意义在于:设事件A已发生,我们需要判断引起A发生的“原因”。如果已知A发生的可能“原因”共有n个:B1,B2,Bn且两两互不相容。那么我们希望知道其中某个“Bi”的概率,也就是条件概率P(Bi/A)。在实际应用中,我们往往要求出每一

24、个P(Bi/A)(I=1,2,n),然后找出其中最大的一个P(Bi/A),则Bi就是引起事件A 发生的最可能的“原因”。3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（六）贝叶斯公式3.1.2概率（七）贝叶斯公式华南理工大学理学院应用数学系 教育部国家工科数学教学基地3.1.2概率（七）贝叶斯公式华南理工大学理学院应用数学系 教育部国家工科数学教学基地3.1.2概率（七）贝叶斯公式华南理工大学理学院应用数学系 教育部国家工科数学教学基地3.1.2概率（七）贝叶斯公式3.1.2概率（七）贝叶斯公式3.1.2概率（七）贝叶斯公式作业：作业：某卫生机构提供的资料表明：患肺癌的某卫生机构提供的资料表明：患肺癌的人中吸烟的占人中吸烟的占90%，没患肺癌的人中吸，没患肺癌的人中吸烟的占烟的占20%。设患肺癌的人占人群的。设患肺癌的人占人群的0.1%。求在吸烟的人中患肺癌的概率。求在吸烟的人中患肺癌的概率。3.1.2概率概率论简史3.1.2概率概率论简史3.1.2概率概率论简史