4.1不定积分(1).ppt

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1、第第 章章4 4 定定 积积 分分微分法:积分法:互逆运算 不定积分的概念与性质不定积分的概念与性质 换元积分法换元积分法 分部积分法分部积分法 有理函数和可化为有理函数的积分有理函数和可化为有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 不不14.1 不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质4.1.1 原函数的概念原函数的概念4.1.2 不定积分的概念不定积分的概念4.1.3 基本积分表基本积分表4.1.4 不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则机动 目录 上页 下页 返回 结束 24.1.1 原函数的概念原函数的概念定义定义4.1.1.若在区间若在区间I I上上,可导函数可导函数F

2、(x)的导函数为的导函数为f(x),则称则称 F(x)为为f(x)在区间在区间 I 上的上的一个一个原函数原函数 .问题问题:1.1.在什么条件下在什么条件下,一个函数的原函数存在一个函数的原函数存在?2.2.若原函数存在若原函数存在,原函数的结构如何原函数的结构如何?3.3.若原函数存在若原函数存在,应如何求原函数应如何求原函数?例如例如机动 目录 上页 下页 返回 结束 3定理定理1(原函数的存在定理原函数的存在定理)(下章证明下章证明)初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上连续初等函数在定义区间上有原函数初等函数在定义区间上有原函数连续连续，定理定理2(原函数的性质原函数的性质)(

3、1)(1)若若F(x)是是f(x)的一个原函数的一个原函数,则则f(x)的所有原函的所有原函数数 都在函数族都在函数族F(x)+C内内,C 为任意常数为任意常数.(2)(2)f(x)的任意两个原函数之间只相差一个常数的任意两个原函数之间只相差一个常数.证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 4又知又知故故即即属于函数族属于函数族机动 目录 上页 下页 返回 结束 即上的不定积分上的不定积分,其中其中 积分号积分号 被积函数被积函数 被积表达式被积表达式 积分变量积分变量记作记作4.1.2 不定积分的概念不定积分的概念定义定义4.1.2f(x)在区间在区间 I 上的上的原函数全体原函数全体称为

4、称为5若若则则(C 为任意常数为任意常数)C 称称为为积分积分常数常数不可丢不可丢 !例如例如,机动 目录 上页 下页 返回 结束 一般地一般地,6例例1 求求解解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 7例例2 2 设曲线通过点设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的切线且其上任一点处的切线斜率等于该点横坐标的斜率等于该点横坐标的2倍倍,求此曲线的方程求此曲线的方程.解解 所求曲线过点所求曲线过点(1,2),(1,2),故有故有因此所求曲线为因此所求曲线为机动 目录 上页 下页 返回 结束 81.1.不定积分的几何意义不定积分的几何意义:的原函数的图形称为的原函数的图形称为的图形的图形的所有积

5、分曲线组成的所有积分曲线组成的平行曲线族的平行曲线族.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的的积分曲线积分曲线.相同横坐标下，相同横坐标下，切线相互平行切线相互平行93.3.四个等价说法四个等价说法2.2.微分与积分之间的关系微分与积分之间的关系:或或或或机动 目录 上页 下页 返回 结束(1)f(x)是是F(x)的导函数；的导函数；(2)F(x)是是f(x)的原函数；的原函数；10例例3 设设 arctan x是是f(x)的一个原函数的一个原函数,求求解解 因为因为 arctan x是是f(x)的一个原函数的一个原函数,故故从而从而,机动 目录 上页 下页 返回 结束 114.1.3 基本积

6、分表（一基本积分表（一)(k 为常数为常数)机动 目录 上页 下页 返回 结束 或或或或12机动 目录 上页 下页 返回 结束 13机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注 基本积分表的重要性（书基本积分表的重要性（书 P134）:是求不定积分的依据是求不定积分的依据;是学好高数后续内容是学好高数后续内容(定积分、重积分、线积分、定积分、重积分、线积分、面积分、微分方程面积分、微分方程)的基础的基础.144.1.4 不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则定理定理4.1.1 设设 f(x),g(x)的原函数存在的原函数存在,k,l是常数是常数,则则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4

7、 求求解解 原式原式=15解解 原式原式=机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 求求例例6 6 求求解解 原式原式16例例7.7.求求解解(1)(1)原式原式 =机动 目录 上页 下页 返回 结束(2)(2)原式原式 或或(2)(2)原式原式=注注 同一个函数的不定积分，可以通过不同的形式同一个函数的不定积分，可以通过不同的形式表达，但经过恒等变形可以相互转化表达，但经过恒等变形可以相互转化.17内容小结内容小结1.1.不定积分的概念不定积分的概念 原函数与不定积分的定义原函数与不定积分的定义 不定积分的性质不定积分的性质 基本积分表基本积分表(见见 P134P134)2.2.直接积分法直接积分法:利用利用恒等变形恒等变形,及及基本积分公式基本积分公式进行积分进行积分.常用恒等变形方法常用恒等变形方法分项积分分项积分加项减项加项减项利用三角公式利用三角公式,代数公式代数公式 ,积分性质积分性质机动 目录 上页 下页 返回 结束 18思考与练习思考与练习1 若若提示提示:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 若若是的原函数的原函数,则则提示提示:已知已知193 求不定积分求不定积分解解机动 目录 上页 下页 返回 结束 20