4.1不定积分的概念.ppt

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1、不定积分不定积分不定积分不定积分分的几分的几何意义，熟练掌握不定积分的何意义，熟练掌握不定积分的性质何基本积性质何基本积分公式，并能用公式来分公式，并能用公式来【目的要求目的要求】理解不定积分的概念，了解不定积理解不定积分的概念，了解不定积【重点、难点重点、难点】不定积分的概念，基本积分公式不定积分的概念，基本积分公式计算不定积分计算不定积分基本导数公式基本导数公式例例一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念定义定义 若在若在 I 上恒有上恒有 F(x)=f(x)（即即 dF(x)=f(x)dx），），称称 F(x)为为 f(x)在在 I 上的一个上的一个原函数原函数。积积分分常常

2、数数积积分分号号被被积积函函数数不定积分的定义：不定积分的定义：被被积积表表达达式式积积分分变变量量称为称为的不定积分的不定积分的所有原函数的所有原函数(是任意常数是任意常数)1、已知函数、已知函数找出导函数等于找出导函数等于函数函数的全体原的全体原 可表可表示为：示为：不定积分不定积分不定积分不定积分说明说明2、并非所有函数都有原函数，但、并非所有函数都有原函数，但函数一定存在函数一定存在闭区间上的连续闭区间上的连续3、初等函数在其定义区间内一定、初等函数在其定义区间内一定有原函数有原函数.原函数原函数.因此，求已知函数的不定积分，因此，求已知函数的不定积分，就是求出它的一个原函数，再加上就

3、是求出它的一个原函数，再加上任意常数任意常数C.不定积分不定积分不定积分不定积分例例1求求 的不定积分的不定积分.解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分是是 的一个原函数的一个原函数.即即例例2求求 的不定积分的不定积分.解：解：当当 时，时，当当时，时，不定积分不定积分不定积分不定积分从而有：从而有：函数函数 的不定积分的不定积分 的图形是的图形是一族平行的曲线，一族平行的曲线，所有曲线可通过所有曲线可通过沿沿 上下平移而得到这一族上下平移而得到这一族不定积分不定积分不定积分不定积分二、不定积分几何意义二、不定积分几何意义曲线曲线.这一族曲线在同一点这一族曲线在同一点处的切线平行处的切线平

4、行.三、不定积分的性质及公式三、不定积分的性质及公式不定积分不定积分不定积分不定积分性质性质1 不定积分与微分的关系不定积分与微分的关系 1、不定积分的导数、不定积分的导数(或微分或微分)等于等于被积函数被积函数(或被积式或被积式)即：即：被积函数被积函数先积先积后导后导后微后微或或被积表达式被积表达式先积先积 2、任一函数的导数、任一函数的导数(或微分或微分)的不的不定积分等于这个函数加上任意定积分等于这个函数加上任意常数。即常数。即或或不定积分不定积分不定积分不定积分如：如：不定积分不定积分不定积分不定积分解：解：即即不定积分不定积分不定积分不定积分已知：已知：求求:例例3解：解：不定积分

5、不定积分不定积分不定积分已知：已知：且且 求求:例例4即即即即不为零的常数因子，可以提到不为零的常数因子，可以提到积分号前积分号前.性质性质2不定积分不定积分不定积分不定积分两个函数的代数和的积分等两个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和于函数积分的代数和.性质性质3说明：说明：有限个函数的代数和的积分等于有限个函数的代数和的积分等于函数积分的代数和函数积分的代数和.不定积分不定积分不定积分不定积分基本公式基本公式不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分 被积函数经过适当的恒等变形被积函数经过适当的恒等变形(包包括代数或三角的恒等变形或

6、分式拆项括代数或三角的恒等变形或分式拆项)再利用基本法则，然后由基本公式求再利用基本法则，然后由基本公式求出结果的积分方法出结果的积分方法.四、直接积分法四、直接积分法不定积分不定积分不定积分不定积分例例5求求解：解：例例6求求解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分练习练习不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分例例7求求解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分例例8求求解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分练习练习不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分

7、不定积分不定积分例例9求求解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分解：解：例例10求求不定积分不定积分不定积分不定积分练习练习不定积分不定积分不定积分不定积分解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分例例11求求解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分解：解：例例12求求不定积分不定积分不定积分不定积分练习练习不定积分不定积分不定积分不定积分解：解：不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分不定积分【小结小结】本节主要讲解了不定积分的概念、本节主要讲解了不定积分的概念、性质和基本性质和基本积分公式，在判断积分结积分公式，在判断积分结果是否正确时，只要对果是否正确时，只要对结果求导，看结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等它的导数是否等于被积函数，相等结结不定积分不定积分不定积分不定积分果正确，否则结果是错误的果正确，否则结果是错误的.