计算机数学04说课材料.ppt

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1、第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页计算机数学04第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页基本要求基本要求掌握切线、变速直线运动的速度抽象出的导数概念。掌握切线、变速直线运动的速度抽象出的导数概念。了解变量的了解变量的“变化率变化率”问题。问题。了解一元微积分的一元函数积分学。了解一元微积分的一元函数积分学。掌握积分学在物理、天文、工程、地质、化学，以及生物学中的应用。掌握积分学在物理、天文、工程、地质、化学，以及生物学中的应用。掌握微分与积分之间联系的重要结果掌握微分与积分之间联系的重要结果微积分基本定理，以及常用的积微积分基本定理，以及常用的积分方法和无穷积分的概念。分方法和无

2、穷积分的概念。第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页重点难点重点难点重点：重点：一元函数积分的法则。一元函数积分的法则。微积分基本定理的使用。微积分基本定理的使用。难点：难点：定积分概念与性质、基本积分与无穷区间上的反常积分。定积分概念与性质、基本积分与无穷区间上的反常积分。定积分的定义、定积分的计算和应用。定积分的定义、定积分的计算和应用。第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.1定积分的概念与性质定积分的概念与性质4.1.1引例引例1.1.曲边梯形的面积曲边梯形的面积后页后页第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页返回返回设设yf(x)是定义在是定义在a，b上的非负连续函

3、数。我们称曲线上的非负连续函数。我们称曲线yf(x)与直线与直线y0、xa、xb围成的平面区域为曲边梯形，其中曲线围成的平面区域为曲边梯形，其中曲线yf(x)为曲边为曲边(如图所如图所示示)。(1)分割区间分割区间在区间在区间a，b内插入内插入n1个分点个分点x1，x2，xn1使使 x0ax1x2xn1xnb。这些分点将区间这些分点将区间a，b分成分成n个子区间个子区间xi1，xi(i1，2，n)，记，记它们的长度为它们的长度为xi(i1，2，n)，用，用表示这些子区间的最大长度。显然，表示这些子区间的最大长度。显然，的大小反映了对区间分割的粗细程度的大小反映了对区间分割的粗细程度.通过此分割

4、我们得到了通过此分割我们得到了n个个“窄曲边梯形窄曲边梯形”Si(i1，2，n)，因此有，因此有SSi(如图如图(a)。ni1第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页(2)近似代替近似代替(以直代曲以直代曲)，求和，求和 在在xi1，xi上任取一点上任取一点i，用高为，用高为f(i)，宽为，宽为xi的矩形面积近似代替的矩形面积近似代替“窄窄曲边梯形曲边梯形”面积面积Si(i1，2，n)。于是得曲边梯形的面积的近似值：。于是得曲边梯形的面积的近似值：f(i)xiSn如图如图(b)所示所示返回返回第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页(3)取极限，求得面积精确值取极限，求得面积精确值可以

5、看出，随着分割的越来越细，即可以看出，随着分割的越来越细，即0，Sn对对S的逼近程度越来越好，于的逼近程度越来越好，于是有是有 返回返回第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页2.2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程前页前页后页后页第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页(1)分割区间分割区间在时间区间在时间区间a，b内插入内插入n1个分点个分点t1，t2，tn1使使t0at1t2tn1tnb。这些点将这些点将a，b分成了分成了n个子区间个子区间ti1，ti(i1，2，n)。若记物体。若记物体在在ti1，ti上运动的路程为上运动的路程为si，则物体在整个时间区间，则物体在整个时间区

6、间a，b上运动的路上运动的路程为程为s Si。ni1返回返回第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页(2)近似代替、求和近似代替、求和 由于速度函数是连续函数，所以时间区间很小时速度的变化也很小。在由于速度函数是连续函数，所以时间区间很小时速度的变化也很小。在ti1，ti内任取一点内任取一点i，可近似看作物体在，可近似看作物体在ti1，ti内作速度为内作速度为v(i)的匀速的匀速运动，走过的路程为运动，走过的路程为v(i)ti。这样，得到物体在。这样，得到物体在a，b上运动的路程的近上运动的路程的近似值似值s v(i)ti，并且分割越细越接近精确值。，并且分割越细越接近精确值。ni1(3)

7、取极限，得路程之精确值取极限，得路程之精确值令令ti，则，则就是物体在时间区间就是物体在时间区间a，b内走过的路程内走过的路程的精确值。的精确值。max1i n返回返回第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.1.2定积分的定义定积分的定义定义定义4.1设设f(x)是定义在闭区间是定义在闭区间a，b上的连续或分段连续函数，在上的连续或分段连续函数，在a，b内插入内插入n1个分点个分点x1，x2，xn1，使得，使得ax0 x1x2xn1xnb，记记xixixi1(i1，2，n)，max1inxi。如果不论对。如果不论对a，b怎么分，对任意选取的怎么分，对任意选取的i xi1，xi(i1，2

8、，n)，当，当0时，和式时，和式ni1f(i)xi总趋于确定的常数总趋于确定的常数A，即，即则称则称f(x)在在a，b上可积，并称极限上可积，并称极限A为为f(x)在在a，b上的定积分，上的定积分，记作记作 f(x)dx，同时称，同时称f(x)为为被积函数被积函数，x为为积分变量积分变量，数，数a和和b为为积分下限和积分下限和上限上限，区间，区间a，b为为积分区间积分区间，为，为 积分号积分号。baba前页前页第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页对定积分的定义作几点说明：对定积分的定义作几点说明：第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.1.3定积分的基本性质定积分的基本性质第四

9、章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.2微积分基本定理微积分基本定理4.2.1微积分第一基本定理微积分第一基本定理 由定积分的定义知道，定积分是一个仅与被积函数和积分限有关的确定的由定积分的定义知道，定积分是一个仅与被积函数和积分限有关的确定的数。当我们固定被积函数与积分下限时，定积分随着积分上限的变化而变化，数。当我们固定被积函数与积分下限时，定积分随着积分上限的变化而变化，它是积分上限的函数，我们把它记作它是积分上限的函数，我们把它记作S(x)，即，即 从几何意义上看，从几何意义上看，S(x)表示区间表示区间a，x所对应的曲边梯形的面积，它随所对应的曲边梯形的面积，它随x的变化而变化

10、的变化而变化(如图如图)。定理定理4.1(微积分第一基本定理微积分第一基本定理)若函数若函数f(x)在在a，b上连续，则积分上限上连续，则积分上限函数函数g(x)f(t)dt在在a，b上可导，且有上可导，且有g(x)f(x)。其中。其中xa，b，x0为为a，b内内任意取定的一点。任意取定的一点。xx0第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.2.2原函数和不定积分原函数和不定积分定义定义4.2如果在某区间上可导函数如果在某区间上可导函数F(x)的导数是的导数是f(x)，即对该区间上的每一点，即对该区间上的每一点x，都，都有有 F(x)f(x)，或，或dF(x)f(x)dx，那么称那么称F

11、(x)为为f(x)在该区间上的原函数。在该区间上的原函数。1.原函数和不定积分概念原函数和不定积分概念定义定义4.3在区间在区间I上函数上函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为在区间的带有任意常数项的原函数称为在区间I上函数上函数f(x)的的不定积分。记作：不定积分。记作：f(x)dx，其中记号，其中记号“I”称为积分号，称为积分号，f(x)称为被积函数，称为被积函数，f(x)dx称为被积表达式，称为被积表达式，x称为积分变量。称为积分变量。第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页2.基本积分表基本积分表第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.2.3微积分第二基本定理微积分第二基

12、本定理(牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式)1.原函数和不定积分概念原函数和不定积分概念定理定理4.2设函数设函数f(x)在区间在区间a，b上连续，上连续，F(x)是是f(x)在在a，b上的一个原函数，上的一个原函数，则则f(x)dxF(b)F(a)F(x)。baba第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.3基本积分法基本积分法 4.3.1第一换元法第一换元法如果被积函数的形式是如果被积函数的形式是f(x)(x)(或可以化为这种形式或可以化为这种形式)，且，且u(x)在某区间上可导，在某区间上可导，f(u)具有原函数具有原函数F(u)，则可以在，则可以在f(x)(x)dx的被积的被积函数

13、中将函数中将(x)dx凑成微分凑成微分d(x)，然后对新变量，然后对新变量u求不定积分，就得到下面的换求不定积分，就得到下面的换元公式：元公式：第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.3.2第二换元法第二换元法在第一换元法中，用新积分变量在第一换元法中，用新积分变量u代换被积函数中的可微函数，从而使代换被积函数中的可微函数，从而使f(x)(x)dx化成容易计算的积分化成容易计算的积分f(u)du。我们也常常遇到与此。我们也常常遇到与此相反的情形，即相反的情形，即f(x)dx不易求出，引入新的积分变量不易求出，引入新的积分变量t使使x(t)(t)单调单调可微，且可微，且(t)0)，把原积

14、分化为容易计算的形式，即，把原积分化为容易计算的形式，即这种积分法叫做这种积分法叫做第二换元法第二换元法。4.3.3分部积分法分部积分法不定积分的分部积分公式：不定积分的分部积分公式：f(x)dg(x)f(x)g(x)g(x)df(x)，定积分的分部积分公式：定积分的分部积分公式：f(x)dg(x)f(x)g(x)g(x)df(x)。bababa第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.4无穷区间上的反常积分无穷区间上的反常积分定义定义4.4设函数设函数f(x)在无穷区间在无穷区间a,+)上连续，取上连续，取ba，如果极限，如果极限f(x)dx存在，那么称此极限值为存在，那么称此极限值为

15、f(x)在在a,+)上的反常积分，记作上的反常积分，记作f(x)dx，即，即这时也称反常积分这时也称反常积分f(x)dx收敛；否则，就称收敛；否则，就称f(x)dx发散。发散。limbab+a+a+a第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.5演示与实验四演示与实验四 4.5.1实验目的实验目的1.加深对微积分第一基本定理的理解；加深对微积分第一基本定理的理解；2.验证牛顿莱布尼茨公式；验证牛顿莱布尼茨公式；3.学用学用Mathematica求积分。求积分。4.5.2原理与方法原理与方法由微积分第一基本定理知，变上限的定积分由微积分第一基本定理知，变上限的定积分S(x)f(t)dt对上限

16、对上限x的导数的导数就是被积函数就是被积函数f(x)，即当，即当x0时函数时函数f(x)在区间在区间x,x+x的平均值的平均值f(t)dt趋向于趋向于f(x)。我们可以从数值上或图形上来观察这种变化趋向。我们可以从数值上或图形上来观察这种变化趋向。用用Mathematica系统可以求不定积分系统可以求不定积分(原函数原函数)和定积分，从而我们可以验证牛和定积分，从而我们可以验证牛顿莱布尼茨公式。顿莱布尼茨公式。xa S(x)x xx xx第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页4.5.3内容与步骤内容与步骤1.用用Mathematica求不定积分求不定积分命令格式：命令格式：Integra

17、tef,x或直接从模板上选取相应模块。或直接从模板上选取相应模块。2.用用Mathematica求定积分求定积分 命令格式：命令格式：Integratef,x,a,b或直接从模板上选取相应模块。或直接从模板上选取相应模块。3.用用Mathematica演示微积分第一基本定理演示微积分第一基本定理(1)数值演示数值演示(2)图形演示图形演示4.用用Mathematica验证牛顿莱布尼茨公式验证牛顿莱布尼茨公式后页后页首页首页前页前页第四章积分第四章积分后页后页首页首页前页前页此此课课件下件下载载可自行可自行编辑编辑修改，修改，仅仅供参考！供参考！感感谢谢您的支持，我您的支持，我们们努力做得更好！努力做得更好！谢谢谢谢