阶可分离变量型微分方程.ppt

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1、第二节第二节一阶可分离变量型微分方程一阶可分离变量型微分方程一、可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.解法解法为微分方程的通解为微分方程的通解.分离变量法分离变量法例例1 1 求解微分方程求解微分方程解解分离变量分离变量两端积分两端积分例题又又两端积分两端积分通解为通解为解解解解由题设条件由题设条件衰变规律衰变规律例例 4 有高为有高为1米的半球形容器米的半球形容器,水从它的底部小水从它的底部小孔流出孔流出,小孔横截面积为小孔横截面积为1平方厘米平方厘米(如图如图).开开始时容器内盛满了水始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容求水从小孔流出过程中容器里水面的高度器里

2、水面的高度h(水面与孔口中心间的距离水面与孔口中心间的距离)随随时间时间t的变化规律的变化规律.解解 由力学知识得由力学知识得,水从孔口水从孔口流出的流量为流出的流量为流量系数流量系数孔口截面面积孔口截面面积重力加速度重力加速度设在微小的时间间隔设在微小的时间间隔水面的高度由水面的高度由h降至降至 ,比较比较(1)和和(2)得得:即为未知函数的微分方程即为未知函数的微分方程.可分离变量可分离变量所求规律为所求规律为思考题思考题为所求通解为所求通解.求解微分方程求解微分方程也是解也是解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案1 1、齐次方程、齐次方程 P230P230的微分方程称为的微分方程称为齐

3、次方程齐次方程.2.解法解法 作变量代换作变量代换代入原式代入原式可分离变量的方程可分离变量的方程1.1.定义定义可化为分离变量的微分方程-齐次方程齐次方程例例 1 1 求解微分方程求解微分方程微分方程的解为微分方程的解为解解例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解微分方程的解为微分方程的解为例例 3 3 抛物线的光学性质抛物线的光学性质实例实例:车灯的反射镜面车灯的反射镜面-旋转抛物面旋转抛物面解解 如图如图A入射角余角入射角余角=反射角余角反射角余角由夹角正切公式由夹角正切公式分离变量分离变量积分得积分得得微分方程得微分方程平方化简得平方化简得抛物线抛物线2 2、可化为齐次的方程、可化为

4、齐次的方程为齐次方程为齐次方程.（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程.2.解法解法1.1.定义定义(2)有唯一一组解有唯一一组解(h,k).(1)(2)求通解可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程.可分离变量可分离变量.求通解,代回z=ax+by解解代入原方程得代入原方程得分离变量、积分得分离变量、积分得得原方程的通解得原方程的通解方程变为方程变为通解为通解为解解利用变量代换求微分方程的解利用变量代换求微分方程的解解解代入原方程代入原方程原方程的通解为原方程的通解为思考题思考题方程方程是否为齐次方程是否为齐次方程?思考题解答思考题解答方程两边同时对方程两边同时对 求导求导:原方程原方程是是齐次方程齐次方程.练练 习习 题题练习题答案练习题答案