非线性物理1-2(单摆、庞加莱映射).ppt

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1、第一章第一章 非线性振动初步非线性振动初步第三节第三节 受迫振荡受迫振荡1 1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动2.2.庞加莱截面庞加莱截面3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动 驱动单摆方程驱动单摆方程驱动力写成指数驱动力写成指数这是非齐次线性微分方程这是非齐次线性微分方程,其通解是它的齐次线性方程的通解和其通解是它的齐次线性方程的通解和它的一个特解的和它的一个特解的和1.齐次方程的通解齐次方程的通解:类似线性阻尼单摆，得：类似线性阻尼单摆，得：小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆小驱动力的单摆)2.非非齐次方程的特解齐次方程

2、的特解:设求导：消去公因子 代入小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆小驱动力的单摆)代入r、j 以后特解为：非齐次线性微分方程的通解非齐次线性微分方程的通解第一项随时间衰减，经一段时间后第一项将衰减到零，最后仅剩下第二部分衰减过程常称为过渡过程。过渡过程。小摆角驱动单摆的通解小摆角驱动单摆的通解1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆小驱动力的单摆)谐振特性谐振特性研究幅频特性幅频特性：将分母根号下对频率求导并令其等于零：共振频率共振频率n nr小于系统自振频率小于系统自振频率w w，共振时的最大振幅共振时的最大振幅为：共

3、振时最大振幅与阻尼有关共振共振频率频率1线性单摆的受迫振动线性单摆的受迫振动(小驱动力的单摆小驱动力的单摆)庞加莱截面与庞加莱映射庞加莱截面与庞加莱映射 相相图图可可把把非非线线性性系系统统的的状状态态形形象象地地描描绘绘出出来来，但但是是随随阻阻尼尼力力与与驱驱动动力力的的加加入入，其其相相图图也也会会变变得得越越来来越越复复杂杂。例例如如，即即使是弱驱动力与弱阻尼单摆使是弱驱动力与弱阻尼单摆-杜芬方程，相图已复杂多了。杜芬方程，相图已复杂多了。庞庞加加莱莱在在相相空空间间里里取取一一常常数数坐坐标标截截面面，称称为为庞庞加加莱莱截截面面，研研究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。

4、究相轨线与该截面的交点，用以分析系统的复杂行为。在在n 维维相相空空间间里里取取一一个个n-1维维面面。相相轨轨线线通通过过截截面面时时留留下下点点的的一幅图象反映了轨线运行情况。一幅图象反映了轨线运行情况。人们将这种把时间上的连续运动人们将这种把时间上的连续运动转变为离散的图象处理方法称为转变为离散的图象处理方法称为庞加莱映射庞加莱映射。2.庞加莱映射庞加莱映射 单周期运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每，每个周期内相轨线两

5、在不同位置穿过，截面上留下两个点；个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期四周期运动运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上就留下四个点；推广到个点；推广到无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。，截面上将出现留下无穷多点。2.庞加莱映射庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动2.庞加莱映射庞加莱映射庞加莱截面与轨线庞加莱截面与轨线运动运动单周期运动单周期运动，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置，轨线每次重复地运行在原有轨道上，它总是在截面的同一位置穿过，截面上只留下一个点。穿过，

6、截面上只留下一个点。两倍周期运动两倍周期运动，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；，每个周期内相轨线两在不同位置穿过，截面上留下两个点；四周期运动四周期运动，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点，每个周期内相轨线四次在不同位置穿过，截面上留下四个点;无周期运动无周期运动，截面上将出现留下无穷多点。，截面上将出现留下无穷多点。单摆的三维相空间单摆的三维相空间2.庞加莱映射庞加莱映射阻尼单摆的运动方程阻尼单摆的运动方程引入新变量引入新变量,即相位即相位 ：可可得得到到描描述述单单摆摆运运动动的的三三维维相相空空间间 ,相相角角 有有周周期期性性，把把2 np p 和

7、和2(n+1)p p 平平面面连连接接起起来来，相相空空间间扩扩展展为为圆圆环环。原原来来圆圆形形轨轨线线成成了了在在圆圆环环面面的的环环线线。取取某某常常数数位位相相，即即在在该该位位相相处处截截取一平面，环线在穿过时留下了一个点。取一平面，环线在穿过时留下了一个点。单摆的三维相空间单摆的三维相空间2.庞加莱映射庞加莱映射 它它的的相相图图有有一一个个奇奇怪怪吸吸引引子子(无无周周期期运运动动)。相相轨轨线线绕绕着着该该吸吸引引子子一一圈圈又又一一圈圈地地不不停停地地转转动动，结结果果相相空空间间的的轨轨线线越越来来越越复复杂杂。图图中中那那一一团团相相轨轨线线就就是是在在绕绕了了1000圈

8、圈后在该吸引子附近的形状。后在该吸引子附近的形状。右右下下角角是是庞庞加加莱莱截截面面图图，图图形形不不仅仅简简单单得得多多，而而且且显显示示出出某某种种结结构构。由由庞庞加加莱莱截截面面图图可可见见，转转子子的的相相轨轨线线尽尽管管极极其其复复杂杂，但但它它不不是是毫毫无无规规律律的的，而而是是具具有有某某种种内在的规律性在内。内在的规律性在内。受驱转子的运动受驱转子的运动2.庞加莱映射庞加莱映射3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动小驱动力单摆小驱动力单摆阻尼单摆方程为：阻尼单摆方程为：小驱动力作用小驱动力作用 作小幅度振动作小幅度振动 3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动小

9、驱动力单摆小驱动力单摆3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动小驱动力单摆的相轨线方程小驱动力单摆的相轨线方程是椭圆方程。说明：是椭圆方程。说明：1.在小驱动力下在小驱动力下单摆的相轨线是闭合椭圆曲线单摆的相轨线是闭合椭圆曲线2.说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。说明小驱动力受驱阻尼单摆存在一个周期吸引子。3.驱驱动动频频率率及及阻阻尼尼力力系系数数为为定定值值时时，椭椭圆圆的的半半径径驱驱动动力力矩矩 F 增增大而增大大而增大，(即摆角在增大即摆角在增大)。小驱动力单摆小驱动力单摆3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动随随着着驱驱动动力力的的增增大大，相相轨轨线线的的半半

10、径径也也增增大大，这这就就意意味味着着摆摆角角的的增增大大，使使得得sinsin的的小小摆摆角角近近似似已已不不再再适适用用,相相轨轨线线的的表表达达式式将将无无法法得得到到，此此时时相相轨轨线线只只能能根根据据单单摆摆的的运运动动方方程程，用用数数值值计计算来求得。算来求得。数值计算结果数值计算结果下下面面将将给给出出当当 1/41/4，v v2/32/3为为定定值值时时，F F 由由小小到到大大取取一一系系列列数值时的数值计算结果。数值时的数值计算结果。3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动1.附近出现对称性破缺附近出现对称性破缺 a.a.小小摆摆角角的的对对称称椭椭圆圆在在 附附近

11、近变变为为蛋蛋形形，说说明明这这里里发发生生了对称性破缺；了对称性破缺；b.b.蛋形的朝向与相角的取值有关；蛋形的朝向与相角的取值有关；c.c.这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。这时单摆仍作单周期运动，在庞加莱截面上是一个单点。数值计算结果数值计算结果3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果2 F=1.093 附近做附近做准周期运动准周期运动：a.当当驱驱动动力力继继续续上上升升时时,相相轨轨线线偏偏离离闭闭合的单周

12、期轨道，复杂化起来。合的单周期轨道，复杂化起来。b.在在F=1.093时时相相图图上上，相相轨轨线线虽虽在在-p,pp,p 的的单单摆摆势势谷谷来来回回环环绕绕，但但始始终终无无法达到周期重复状态。法达到周期重复状态。c.在在庞庞加加莱莱截截面面上上，相相点点处处于于一一条条曲曲线线上上，可可以以认认定定系系统统处处于于准准周周期期状状态态（接近正确的周期运动）。（接近正确的周期运动）。d.庞庞加加莱莱截截面面上上的的图图形形与与所所取取截截面面的的位置位置(即相角即相角)有关。有关。3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运

13、动数值计算结果数值计算结果3.F=1.15 附近进入混沌状态附近进入混沌状态 a.运动已扩展到势谷运动已扩展到势谷()两侧的势谷内。两侧的势谷内。b.运运动动会会在在一一个个势势谷谷内内绕绕上上几几圈圈，然然后后随随机机地地进进入入到到相相邻邻的的势谷内再绕上几圈，往复不已。势谷内再绕上几圈，往复不已。c.在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。在庞加莱截面上，相点已离开曲线扩散开来。3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.3.

14、初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动数值计算结果数值计算结果3.3.初识单摆的复杂运动初识单摆的复杂运动结论结论 综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点综上所述，受驱单摆的运动状态有如下特点：(1)在在小小驱驱动动力力下下，单单摆摆作作规规则则的的周周期期运运动动。当当驱驱动动力力矩矩增增加加到到某某临临界界值值时时，单单摆摆从从周周期期的的运运动动状状态态进进入入随随机机运运动动状状态态，这种状态常被称为这种状态常被称为混沌混沌。(2)混混沌沌状状态态并并不不是是混混乱乱一一片片。从从相相图图上上看看，相相轨轨线线的的分分布布虽虽然然弥弥散散开开来来，但但并并不不均均匀匀地地分分布布到到整整个个区区间间，而而是是有有疏疏有有密密地地分分布布着着。在在庞庞加加来来截截面面上上，起起始始时时相相点点虽虽然然随随机机地地分分布布着着，然然而而在在足足够够长长的的时时间间以以后后，一一种种由由相相点点描描绘绘的的内内部部结结构构逐逐步步地地显显露出来。露出来。(3)这些情况说明，这些情况说明，混沌具有非常丰富的内部结构层次混沌具有非常丰富的内部结构层次。公转轨道：距土星公转轨道：距土星 1481100 千米千米直径直径：286 千米千米(410 260 220)质量质量：1.77 1019 千克千克混沌运动的其它例子混沌运动的其它例子土卫七的复杂运动土卫七的复杂运动