线性代数第三章矩阵初等变换与线性方程组.ppt

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1、线性方程组的解线性方程组的解 设一般线性方程组为设一般线性方程组为 线性方程组有解，我们称它们是线性方程组有解，我们称它们是相容相容的；如果无解，则的；如果无解，则称它们是称它们是不相容不相容的。的。方程（方程（1）对应的矩阵方程为）对应的矩阵方程为其中：其中：1称为方程组称为方程组(1)的的增广矩阵。增广矩阵。其中其中为方程组为方程组(1)的的系数矩阵。系数矩阵。2称为方程组（称为方程组（1）的）的导出组，导出组，或称为（或称为（1）对应的齐次线性方程组。对应的齐次线性方程组。当当时时,齐次线性方程组齐次线性方程组齐次与非齐次线性方程组齐次与非齐次线性方程组非齐次线性方程组非齐次线性方程组3

2、 定义：定义：线性方程组的初等变换线性方程组的初等变换（1）用一非零的数乘某一方程用一非零的数乘某一方程（2）把一个方程的倍数加到另一个方程把一个方程的倍数加到另一个方程（3）互换两个方程的位置互换两个方程的位置 可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得可以证明一个线性方程组经过若干次初等变换，所得到的新的线性方程组与原方程组同解。到的新的线性方程组与原方程组同解。对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩对一个方程组进行初等变换，实际上就是对它的增广矩阵；做初等行变换阵；做初等行变换初等行变换初等行变换4化为行阶化为行阶梯形矩阵梯形矩阵5则以矩阵（则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组

3、与方程组（）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。）同解。化为行最化为行最简形矩阵简形矩阵6由矩阵（由矩阵（3）可讨论方程组（）可讨论方程组（1）的解的情况）的解的情况 有唯一解。有唯一解。有无穷多解。有无穷多解。3)特别地，方程组特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组的导出组，即对应的齐次线性方程组4)一定有解。一定有解。当当有唯一的零解。有唯一的零解。有无穷多解，即有非零解。有无穷多解，即有非零解。1)若若 ，即，即 则方程组无解。则方程组无解。2)若若则方程组有解，则方程组有解，当当时，时，7举例说明消元法具体步骤：举例说明消元法具体步骤：例：解线性方程组例：解线性方程组解

4、：解：最后一行有最后一行有可知方程组无解。可知方程组无解。8例：解线性方程组例：解线性方程组解：解：9对应的方程组为对应的方程组为即即所以一般解为所以一般解为（k为任意常数）为任意常数）10齐次线性方程组齐次线性方程组1.齐次线性方程组（齐次线性方程组（2）有解的条件）有解的条件定理定理1:齐次线性方程组齐次线性方程组 有非零解有非零解定理定理2:齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解 推论推论:齐次线性方程组齐次线性方程组 只有零解只有零解即即即即系数矩阵系数矩阵A可逆可逆。11例例:求齐次方程组的通解。求齐次方程组的通解。解：解：初等行变换初等行变换12行最简形矩阵对应的方程组为行

5、最简形矩阵对应的方程组为求通解求通解即即是自由是自由未知量。未知量。令令则则即即为任意常数。为任意常数。13解：解：初等行变换初等行变换所以只有零解。所以只有零解。14三三.非齐次性线性方程组非齐次性线性方程组有解的条件有解的条件 定理定理3：非齐次线性方程组非齐次线性方程组有解有解并且，当并且，当时，有唯一解；时，有唯一解；当当时，有无穷多解。时，有无穷多解。15求解非齐次方程组求解非齐次方程组解：解：16令令则则为任意常数）为任意常数）17例例k取何值时有唯一解取何值时有唯一解,无穷多解或无解，无穷多解或无解，有无穷多解时求出通解有无穷多解时求出通解.解：解：法法1：1819法法2：利用利

6、用Cramer法则法则有无穷多解，有无穷多解，即即当当 时，时，当当 时，即时，即 且且 时，方程组有唯一解。时，方程组有唯一解。20所以方程组无解。所以方程组无解。21线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题取何值时，取何值时，（1 1）有唯一解；（）有唯一解；（2 2）无解；）无解；（3 3）有无穷多组解）有无穷多组解解：解：当当 时；时；22线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题(2)当当 时；时；23线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题(3)当当 时；时；原方程组有唯一解原方程组有唯一解 当当 时；时；显然此时方程显然此时方程有无限多组解有无限多组解显然此时方程显然此时方程有无限多组解有无限

7、多组解24线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题(4)当当 时；时；原方程组无解原方程组无解 当当 时；时；原方程组有唯一解原方程组有唯一解 当当 时时,原方程组无解原方程组无解 当当 时；时；方程有无限多组解方程有无限多组解25线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题取何值时取何值时有解，并求出它的解有解，并求出它的解解：解：时，无解时，无解 26线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题时：时：线性方程的解为：线性方程的解为：得：得：27线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题 时：时：线性方程的解为：线性方程的解为：得：得：28线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题解：解：时时 为何值时，为何值时，有唯一

8、解、无解有唯一解、无解或有无限多解？并在有无限多解或有无限多解？并在有无限多解解求通解。解求通解。29线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题时，无解时，无解、1时，唯一解时，唯一解时，无穷多解时，无穷多解30线性方程组讨论例题线性方程组讨论例题时时31设矩阵A=求矩阵A的秩32设有矩阵方程其中A=，B=，C=，求矩阵3334是否有非零解方程组只有零解3536解线性方程组 37则方程组的解为38解线性方程组 39若齐次方程组有非零解，则的值为 即当 或-1-1时，方程组有非零解40有无穷多组解，求41作业作业P121 P121 习题习题3-6 3-6 No.1 No.1、解齐次线性方程组解齐次线性方程组No.6 No.6、求非齐次线性方程组解求非齐次线性方程组解42