线性变换二阶矩阵及其乘法.ppt

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1、知识点知识点考纲下载考纲下载考情上考情上线线线线性性变变换换、二、二阶阶矩矩阵阵及其乘及其乘法法1.了解二阶矩阵的概念了解二阶矩阵的概念2.二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形二阶矩阵与平面向量的乘法、平面图形 的变换的变换(1)了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与了解矩阵与向量的乘法的意义，会用映射与 变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法变换的观点看待二阶矩阵与平面向量的乘法(2)理解矩阵变换把平面上的直线变成直线理解矩阵变换把平面上的直线变成直线(或点或点)，即即A(12)1A2A.(3)了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变了解几种常见的平面变换：恒等变换、伸缩变 换、反射变换、旋转

2、变换、投影变换、切变变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变 换换3.变换的复合变换的复合二阶矩阵的乘法二阶矩阵的乘法(1)了解矩阵与矩阵的乘法的意义了解矩阵与矩阵的乘法的意义(2)理解矩阵乘法不满足交换律理解矩阵乘法不满足交换律(3)会验证二阶矩阵乘法满足结合律会验证二阶矩阵乘法满足结合律.(4)理解矩阵理解矩阵 乘法不满足消去律乘法不满足消去律.选考内选考内容在高容在高考中将考中将以解答以解答题的形题的形式出现，式出现，难度不难度不大，二大，二阶矩阵阶矩阵及其乘及其乘法是高法是高考的热考的热点点知识点知识点考纲下载考纲下载考情上考情上线线逆逆变换变换与逆矩与逆矩阵阵、矩、矩阵阵的特的特征

3、向量征向量1.逆矩阵与二阶行列式逆矩阵与二阶行列式(1)理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在理解逆矩阵的意义，懂得逆矩阵可能不存在(2)理解逆矩阵的唯一性和理解逆矩阵的唯一性和(AB)1B1A1等简单等简单 性质，了解其在变换中的意义性质，了解其在变换中的意义(3)(3)了解二了解二阶阶行列式的定行列式的定义义，会用二，会用二阶阶行列式求逆行列式求逆 矩矩阵阵2.二二阶阶矩矩阵阵与二元一次方程与二元一次方程组组(1)能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意能用变换与映射的观点认识解线性方程组的意 义义(2)会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组会用系数矩阵的逆矩阵解线性方程组(3)理解线性方程组解

4、的存在性、唯一性理解线性方程组解的存在性、唯一性3.变换变换的不的不变变量量(1)掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向掌握矩阵特征值与特征向量的定义，理解特征向 量的意义量的意义4.利用矩阵利用矩阵A的特征值、特征向量给出的特征值、特征向量给出An简单的表简单的表 示，并能用来解决问题示，并能用来解决问题.本部分本部分内容将内容将以考以考查查矩矩阵阵的的运算及运算及解解线线性性方程方程组组，如求逆如求逆矩矩阵阵，另外特另外特征征值值与与特征向特征向量的求量的求法也是法也是常考知常考知识识点点.一、二一、二阶阶矩矩阵阵的定的定义义1由由4个数个数a，b，c，d排成的正方形数表排成的正方形数

5、表_ 称称为为 二二阶阶矩矩阵阵2元素全元素全为为0的二的二阶阶矩矩阵阵_称称为为零矩零矩阵阵，简记为简记为 _ 矩矩阵阵 称称为为二二阶单阶单位矩位矩阵阵，记为记为.二、几种特殊二、几种特殊线线性性变换变换1旋转变换旋转变换 直直线线坐坐标标系系xOy内的每个点内的每个点绕绕原点原点O按逆按逆时针时针方向旋方向旋 转转角的旋角的旋转变换转变换的坐的坐标变换标变换公式是公式是 对应对应的二的二阶阶矩矩阵为阵为 2反射变换反射变换 平面上任意一点平面上任意一点P对应到它关于直线对应到它关于直线l的对称点的对称点P的线的线 性变换叫做关于直线性变换叫做关于直线l的反射的反射3伸缩变换伸缩变换 在直

6、角坐标系在直角坐标系xOy内将每个点的横坐标变为原来的内将每个点的横坐标变为原来的k1 倍，纵坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的k2倍，其中倍，其中k1，k2为非零常数，为非零常数，这样的几何变换为伸缩变换这样的几何变换为伸缩变换4投影变换投影变换设设l是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点是平面内一条给定的直线，对平面内的任意一点P 作直线作直线l的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点P，则称点，则称点P为点为点P在直在直线线l上的投影，将平面上每一点上的投影，将平面上每一点P对应到它在直线对应到它在直线l上的上的投影投影P，这个变换称为关于直线，这个变换称为关于直线l的投影变换的投影变换5切

7、变变换切变变换平行于平行于x轴的切变变换对应的二阶矩阵为轴的切变变换对应的二阶矩阵为_，平行于平行于y轴的切变变换对应的二阶矩阵为轴的切变变换对应的二阶矩阵为_三、变换、矩阵的相等三、变换、矩阵的相等1设设，是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果是同一直角坐标平面内的两个线性变换，如果对平面内的任意一点对平面内的任意一点P，都有，都有，则称这，则称这两个线性变换相等两个线性变换相等（P）=（P）2对于两个二阶矩阵对于两个二阶矩阵A与与B，如果它们的，如果它们的_都分都分别相等，则称矩阵别相等，则称矩阵A与矩阵与矩阵B相等，记作相等，记作AB.对应元素对应元素四、矩阵与向量的乘法四、矩阵与向量

8、的乘法设设A规定二阶矩阵规定二阶矩阵A与向量与向量的乘的乘积为向量积为向量_，记为，记为或或，即，即这是矩阵这是矩阵与向量与向量的乘法的乘法Aa五、线性变换的基本性质五、线性变换的基本性质性质性质1.设设A是一个二阶矩阵，是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个是平面上的任意两个向量，向量，是一个任意实数，则是一个任意实数，则(1)A()；(2)A().性质性质2.二阶矩阵对应的变换二阶矩阵对应的变换(线性变换线性变换)把平面上的直线把平面上的直线变成变成_定理：设定理：设A是一个二阶矩阵，是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个是平面上的任意两个向量，向量，1，2是任意两个实数，则是任意两个实数，则 A

9、(12)1A2A.AAA直线（或一点）直线（或一点）六、二阶矩阵的乘法六、二阶矩阵的乘法1设设A则则 AB2对直角坐标系对直角坐标系xOy内的任意向量内的任意向量，有，有A(B).3二阶矩阵的乘法满足结合律，即二阶矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C.4AkAl_，(Ak)lAkl.(AB)a(AB)CAk+l l1已知矩阵已知矩阵M向量向量，试判，试判断断(MN)与与M(N)的关系，的关系，MN与与NM的关系的关系解：解：(MN)M(N)所以所以(MN)M(N)又因为又因为MNNM ，所以，所以MNNM.2求圆求圆C：x2y24在矩阵在矩阵A对应变换作用下的对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线

10、的类型曲线方程，并判断曲线的类型解：解：设设P(x，y)是圆是圆C：x2y24上的任一点，上的任一点，P1(x，y)是是P(x，y)在矩阵在矩阵A对应变换作用下新曲线上的对应点，则对应变换作用下新曲线上的对应点，则将将代入代入x2y24，得，得y24，方程方程1表示的曲线是焦点为表示的曲线是焦点为(2，0)，长轴长为，长轴长为8的椭圆的椭圆3设设a，b R，若，若M所定义的线性变换把直线所定义的线性变换把直线l：2xy70变换成另一直线变换成另一直线l：xy70，求，求a，b 的值的值解：解：取直线取直线l：2xy70上任一点上任一点(x0,72x0)，则它在对，则它在对应的变换作用下有应的变

11、换作用下有而点而点(ax0，x07b2bx0)在直线在直线l：xy70上，上，即即ax0 x07b2bx07.由由x0的任意性得的任意性得4.运用旋运用旋转转矩矩阵阵，求直，求直线线2xy10绕绕原点逆原点逆时针时针旋旋转转 45后所得的直后所得的直线线方程方程解：解：旋转矩阵旋转矩阵直线直线2xy10上任意一点上任意一点(x0，y0)旋转变换后为旋转变换后为(x0，y0)，直线直线2xy10绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转45后所得的直线后所得的直线 方程是方程是即即1二阶方阵的运算关键是记熟运算法则二阶方阵的运算关键是记熟运算法则2注意运算时运算律的应用，它满足结合律即注意运算时运算律的应

12、用，它满足结合律即(MN)P M(NP)(MP)N.已知已知M，求二阶，求二阶矩阵矩阵X，使，使MXN.求二阶矩阵可先设出二阶矩阵求二阶矩阵可先设出二阶矩阵X，根据矩阵乘法法，根据矩阵乘法法则，应用待定系数法求解则，应用待定系数法求解.解：解：设设X，按题意有，按题意有根据矩阵乘法法则有根据矩阵乘法法则有解之得解之得1若若 ，试试求求x的的值值解：解：伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变看出，矩

13、阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合在直角坐标系中，已知在直角坐标系中，已知 ABC的顶点坐标为的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2)，求，求 ABC在矩阵在矩阵MN作用下变换所得到的图作用下变换所得到的图形的面积这里形的面积这里M因为矩阵因为矩阵M表示反射变换，矩阵表示反射变换，矩阵N表示旋转变换，表示旋转变换，所以变换后所得图形与原图形全等所以变换后所得图形与原图形全等.解：解：在矩阵在矩阵N的作用下，一个图形变换为其的作用下，一个图形变换为其绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转90得到

14、的图形，在矩阵得到的图形，在矩阵M的作用下，一个图形变换为与之关于直线的作用下，一个图形变换为与之关于直线yx对称的图对称的图形因此形因此 ABC在矩阵在矩阵MN作用下变换所得到的图形与作用下变换所得到的图形与 ABC全等，从而其面积等于全等，从而其面积等于 ABC的面积，即为的面积，即为1.2直角坐标系直角坐标系xOy中，点中，点(2，2)在矩阵在矩阵M对应对应变换作用下得到点变换作用下得到点(2,4)，曲线，曲线C：x2y21在矩阵在矩阵M 对应变换作用下得到曲线对应变换作用下得到曲线C，求曲线，求曲线C的方程的方程解：解：根据题意根据题意，即，即2a4，解得，解得a2，设曲线，设曲线C变

15、换前后对应点的坐标分别为变换前后对应点的坐标分别为(x，y)，(x，y)，则，则代入曲线代入曲线C的方程的方程x2y21，整理得整理得y2x21，即曲线即曲线C的方程为的方程为x2y21.在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可在解决通过矩阵进行平面曲线的变换时，变换矩阵可以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量以通过待定系数法解决，在变换时一定要把变换前后的变量区别清楚，防止混淆区别清楚，防止混淆已知曲线已知曲线C：xy1.(1)将曲线将曲线C绕坐标原点逆时针旋转绕坐标原点逆时针旋转45后，求得到的曲线后，求得到的曲线C的方程；的方程；(2)求曲线求曲线C的焦点坐标和渐近线

16、方程的焦点坐标和渐近线方程首先要确定能够实施变换的矩阵，求出变换后的曲线首先要确定能够实施变换的矩阵，求出变换后的曲线C的方程，再研究曲线的方程，再研究曲线C的几何性的几何性.解：解：(1)由题设条件，由题设条件，变换：变换：即有即有解得解得代入曲线代入曲线C的方程为的方程为y2x22，所以将曲线所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转绕坐标原点逆时针旋转45后，得到的曲线后，得到的曲线C的的方程是方程是y2x22.(2)由由(1)知，只需求曲线知，只需求曲线y2x22的焦点及渐近线，由于的焦点及渐近线，由于a2b22，故，故c2，又焦点在，又焦点在y轴上，从而其焦点为轴上，从而其焦点为(0,2)，(

17、0，2)，渐近线方程为，渐近线方程为yx.3已知在一个二阶矩阵已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点的变换作用下，点A(1,2)变成了变成了点点A(4,5)，点，点B(3，1)变成了点变成了点B(5,1)(1)求矩阵求矩阵M；(2)若在矩阵若在矩阵M的变换作用下，点的变换作用下，点C(x,0)变成了点变成了点C(4，y)，求，求x，y.解：解：(1)设该二阶矩阵为设该二阶矩阵为由题意得由题意得所以解得所以解得故故M(2)因为因为解得解得x2，y2.矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多矩阵变换与二阶矩阵的乘法运算是高考新增内容，多考查求平面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，考查求平

18、面图形在矩阵的对应变换作用下得到的新图形，从而研究新图形的性质，难度不大，属中档题，如从而研究新图形的性质，难度不大，属中档题，如2008江苏高考江苏高考21题题.(2008江苏高考江苏高考)在平面直角坐标系在平面直角坐标系xOy中，设椭圆中，设椭圆4x2y21在矩阵在矩阵A对应的变换下得到曲线对应的变换下得到曲线F，求，求F的的方程方程解解设设P(x0，y0)是椭圆上任意一点，点是椭圆上任意一点，点P(x0，y0)在矩阵在矩阵A对应的变换下变为点对应的变换下变为点P(x0，y0)，则有，则有即即又因为点又因为点P在椭圆上，故在椭圆上，故从而从而(x0)2(y0)21.所以，曲线所以，曲线F的方程为的方程为x2y21.利用矩阵变换这一工具，建立变换前后任一点坐标间的关利用矩阵变换这一工具，建立变换前后任一点坐标间的关系，从而代入变换前的平面图形对应的方程，求出变换后系，从而代入变换前的平面图形对应的方程，求出变换后的图形对应的方程，其实质是解析几何中相关动点的图形对应的方程，其实质是解析几何中相关动点(即代入即代入法法)求曲线方程的思想，本题若改为求曲线方程的思想，本题若改为“将椭圆将椭圆4x2y21绕原绕原点逆时针旋转点逆时针旋转30后得到曲线后得到曲线F，试求，试求F的方程的方程”