线性控制系统的能控性与能观测性修改.ppt

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1、第三章第三章线性控制系统的能控性与能观测性11.1.能控性定义能控性定义2.能控性能控性3.3.能观测性及其能观测性及其判据判据4.4.离散系统的能控性和能观测性离散系统的能控性和能观测性主要内容主要内容2能控性和能观测性的基本概念：能控性和能观测性的基本概念：20世纪世纪60年代初，由年代初，由卡尔曼卡尔曼提出，与状态空间提出，与状态空间描述相对应。描述相对应。能控性能控性能控性能控性：反映了控制输入对系统状态的制约能力。：反映了控制输入对系统状态的制约能力。输入能够控制状态输入能够控制状态（控制问题）（控制问题）能观测性：反映了输出对系统状态的判断能力。能观测性：反映了输出对系统状态的判断

2、能力。状态能否由输出反映状态能否由输出反映（估计问题）（估计问题）33.1 能控性定义能控性定义 指外输入指外输入u(t)对系统状态变量对系统状态变量x(t)和输出变量和输出变量y(t)的支配能力，它回答了的支配能力，它回答了u(t)能否使能否使x(t)和和y(t)作任意转作任意转移的问题。移的问题。有些状态分量能受输入有些状态分量能受输入u(t)的控制，有些则可能的控制，有些则可能不受不受u(t)的控制。的控制。受受u(t)控制的状态称为能控状态，不受控制的状态称为能控状态，不受u(t)控制控制的状态称不能控状态。的状态称不能控状态。4一、例子一、例子例例1 1：系统的结构图如下：系统的结构

3、图如下显然，显然，只能控制只能控制 而不能影响而不能影响 ，我们称，我们称状态变量状态变量 是可控的，而是可控的，而 是不可控的。只是不可控的。只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。统是状态不可控的。5+L例2:取 和 作为状态变量,u输入,y=-输出.-u(1)当状态可控(2)当u只能控制，状态不可控6二、能控性定义二、能控性定义如果存在一个分段连续的输入如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在，能在 的有的有限时间内使得系统的某一初始状态限时间内使得系统的某一初始状态 转移到任一转移到任一终端状态终端状态 ，则称此状态是能控的。

4、如果系统的，则称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。7几点说明几点说明几点说明几点说明：根据初始状态和终端状态的不同位置，：根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：可以分为：1 1、系统的状态能控性：、系统的状态能控性：、系统的状态能控性：、系统的状态能控性：（常用）（常用）（常用）（常用）初始状态为状态空间任意非零有限点；终端状态初始状态为状态空间任意非零有限点；终端状态为状态空间原点，即零态。为状态空间原点，即零态。如果存在一个分段连续的输入如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在，能在 的有的有限时间内

5、使得系统的某一初始状态限时间内使得系统的某一初始状态 转移到零态转移到零态 ，则称系统是状态能控的。，则称系统是状态能控的。82 2、系统的状态能达性、系统的状态能达性、系统的状态能达性、系统的状态能达性：初始状态为状态空间原点，即零态；终端状态为状初始状态为状态空间原点，即零态；终端状态为状态空间任意非零有限点。态空间任意非零有限点。如果存在一个分段连续的输入如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在，能在 的有的有限时间内使得系统从零态限时间内使得系统从零态 转移到任意非零转移到任意非零状态状态 ，则称系统是状态能达的。，则称系统是状态能达的。93.2 能控性判据能控性判据n n约当标准型判

6、据n n秩判据101、具有约当标准型的系统（1）系统特征根为单根状态方程为：，则系统状态完全能控的充要条件为：中没有任意一行的元素全为零。一、约当标准型判据一、约当标准型判据11（2）系统特征根有重根状态方程为：，则系统状态完全能控的充要条件为：阵中，对应于每一个约当块的最后一行元素不全为零。12132、具有一般形式的系统、具有一般形式的系统系统的线性变换不改变系统的能控性。系统的线性变换不改变系统的能控性。（1 1）设线性系统设线性系统 具有具有两两相异的特征两两相异的特征值值 则其状态完全能控的充分必则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线要条件是系统经线性非奇异变换

7、后的对角线标准型：标准型：中，中，不包含元素全为不包含元素全为0的行的行。141）例例例例：考察以下系统的能控性：考察以下系统的能控性：状态完全能控状态完全能控3）状态完全能控状态完全能控状态不完全能控状态不完全能控X2 状态不能控状态不能控2）15中，中，阵中与每个约当小块阵中与每个约当小块 最后一行所对应的元素不全为零最后一行所对应的元素不全为零。（2 2）：设线性系统：设线性系统 具有具有重特征值重特征值，且，且每个重特征值只对应一个独立的特征向量每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能控的充分必要条件是系统经则其状态完全能控的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型

8、：线性非奇异变换后的约当标准型：16推论推论推论推论1 1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MI系统，系统，其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一其能控性判据为同一个特征值对应的每个约当块的最后一行所对应的行所对应的B中的行向量是否是行线性无关，是则状态能中的行向量是否是行线性无关，是则状态能控，否则状态不能控。控，否则状态不能控。如果如果 行线性无关，则状态能控行线性无关，则状态能控含义：含义：含义：含义：对于：对于：17状态完全能控状态完全能控状态完全能控状态完全能控 例例例例：考察如下系统的状态能控性：考察如下系统的状态能控性：推论推

9、论推论推论2 2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SI系统，系系统，系统状态必不能控。统状态必不能控。18状态完全能控状态完全能控状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控状态不完全能控X2 状态不能控状态不能控19二、秩判据二、秩判据对于线性连续定常系统：对于线性连续定常系统：状态完全能控的状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：充分必要条件是其能控性判别矩阵：满秩满秩即：即：证明证明证明证明：证明目标证明目标：对系统的任意的初始状态对系统的任意的初始状态 ，能否找到输入，能否找到输入u(t)，使之在使之在 的有限时间内转移到零的有限时间内转移

10、到零 。则系。则系统状态能控。统状态能控。20已知：线性定常非齐次状态方程的解为：已知：线性定常非齐次状态方程的解为：（2）由（由（1）式得：）式得：将将 代入上式：代入上式：（1）由凯利哈密顿定理由凯利哈密顿定理 有：有：（3）21（4）将（将（3）式代入（）式代入（2）式得：）式得：（5）令：令：（6）将（将（5）式代入（）式代入（4）式得：）式得：22由以上可以看出式（由以上可以看出式（6）中各参数维数如下：）中各参数维数如下：说明说明说明说明：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：维数较大时，注意使用矩阵秩的性质：式（式（6）是关于）是关于U的非齐次方程组。由线性代数知识知道，的非齐次方程

11、组。由线性代数知识知道，其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：其有解的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相等，即：由于由于x(t0)任意，所以，必须有：任意，所以，必须有：证毕证毕证毕证毕 23 例例例例 判别如下系统的能控性判别如下系统的能控性 解解解解：1）构造能控性判别矩阵：）构造能控性判别矩阵：故系统的状态完全可控故系统的状态完全可控2）求能控性判别矩阵的秩：）求能控性判别矩阵的秩：24指由系统的输出指由系统的输出y(t)识别状态变量识别状态变量x(t)的能力，它回答的能力，它回答了状态变量能否由输出反映出来。了状态变量能否由输出反映出来。3.3 能观测性及其判据能观测性及其

12、判据有些状态能够通过输出有些状态能够通过输出y(t)确定下来，有些状态则不能确定下来，有些状态则不能能通过能通过y(t)确定下来的状态称为能观状态，不能通过确定下来的状态称为能观状态，不能通过y(t)确定下来的状态称为不能观状态。确定下来的状态称为不能观状态。251 1、举例、举例 系统结构图如下系统结构图如下显然输出显然输出 中只有中只有 ，而无，而无 ，所以从，所以从 中中不能确定不能确定 ，只能确定，只能确定 。我们称。我们称 是可观测是可观测的，的，是不可观测的。是不可观测的。一、能观测性的定义一、能观测性的定义26+L例2:取 和 作为状态变量,u输入,y=-输出.-u(1)当状态可

13、观测(2)当u只能控制，状态不可观测272、能观测性定义、能观测性定义 如果对任意给定的输入如果对任意给定的输入u(t)，存在一有限观测时，存在一有限观测时间间 ，使得根据，使得根据 期间的输出期间的输出 能唯一地能唯一地确定系统在确定系统在初始时刻的状态初始时刻的状态 ，则称状态，则称状态 是是能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，能观测的。如果系统的每一个状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。则称系统是状态能观测的。283.3 能观测性判据能观测性判据n n约当标准型判据n n秩判据29二、能观测性判据：二、能观测性判据：1约当标准型判据约当标准型判据 2.秩判据秩判据秩判据秩判

14、据前提条件前提条件前提条件前提条件：线性非奇异变换不改变系统的能观测性：线性非奇异变换不改变系统的能观测性1、约当标准型判据、约当标准型判据（1）线性系统）线性系统 具有具有两两相异的特征值两两相异的特征值 则其状态完全能观测的充分必要条件则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：是系统经线性非奇异变换后的对角线标准型：中，中，不包含元素全为不包含元素全为0的列。的列。30 例例例例：考察如下系统的能观测性：考察如下系统的能观测性：31中，中，阵中与每个约当小块阵中与每个约当小块 首列所对应的列，其元素不全为零。首列所对应的列，其元素不全为零。（2 2）：设线性系

15、统：设线性系统 具有具有重特征值重特征值，且且每个重特征值只对应一个独立的特征向量每个重特征值只对应一个独立的特征向量，则其状态完全能观测的充分必要条件是系统则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的约当标准型：经线性非奇异变换后的约当标准型：32推论推论推论推论1 1：如果某个特征值对应几个约当块，则对于：如果某个特征值对应几个约当块，则对于MO系统，同一系统，同一个特征值对应的每个约当块的首列所对应的个特征值对应的每个约当块的首列所对应的C中的列向量是否是中的列向量是否是列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。列线性无关的，是则状态能观测，否则状态不能观测。推论推论

16、推论推论2 2：如果某个特征值对应几个约当块，则对于：如果某个特征值对应几个约当块，则对于SO系统，系统，系统状态必不能观测。系统状态必不能观测。例如：例如：例如：例如：列线性无关，则状态能观测列线性无关，则状态能观测33 例例例例：考察如下系统考察如下系统的能观测性：的能观测性：342、秩判据、秩判据 对于线性连续定常系统：对于线性连续定常系统：状态状态完全能观测的充分必要条件是其能观测性判完全能观测的充分必要条件是其能观测性判别矩阵：别矩阵：满秩满秩即：即：35 例例例例 判别如下系统的能观测性判别如下系统的能观测性 解解解解：1）构造能观测性判别矩阵：）构造能观测性判别矩阵：故此系统不是

17、状态完全能观测的故此系统不是状态完全能观测的36 例例例例 判别如下系统的能观测性：判别如下系统的能观测性：故此系统是状态完全能观测的故此系统是状态完全能观测的 解解解解：构造能观测性判别矩阵，并判断其秩：构造能观测性判别矩阵，并判断其秩：371 1、离散系统的能控性定义、离散系统的能控性定义、离散系统的能控性定义、离散系统的能控性定义若存在若存在控制序列控制序列u(0)，u(1)，u(l-1)(l n)能将某个能将某个初始状态初始状态x(0)=x0在在第第l步步上到达零态，即上到达零态，即x(l)0，则称此，则称此状态是完全能控的。如果系统的所有状态都是能控的，状态是完全能控的。如果系统的所

18、有状态都是能控的，则称系统是状态能控的。则称系统是状态能控的。对于对于n阶线性定常离散系统：阶线性定常离散系统：一、离散系统的能控性一、离散系统的能控性3.4 离散系统的能控性与能观测性离散系统的能控性与能观测性38满秩满秩即：即：线性定常离散系统状态完全能控的充分必要线性定常离散系统状态完全能控的充分必要条件是其能控性判别矩阵：条件是其能控性判别矩阵：2、离散系统的能控性判据、离散系统的能控性判据39故系统状态完全能控。故系统状态完全能控。解解解解：首先构造能控判别阵：首先构造能控判别阵：所以能控性判别阵为：所以能控性判别阵为：求能控性判别阵的秩：求能控性判别阵的秩：例例例例：系统的状态方程

19、如下，试判定系统的状态能控性。系统的状态方程如下，试判定系统的状态能控性。40如果根据有限个采样周期内测量的如果根据有限个采样周期内测量的y(0)，y(1)，y(l)，可以唯一地确定出系统的任意初始状态，可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0，则，则称称x0为能观测状态。如果系统的所有状态都是能观为能观测状态。如果系统的所有状态都是能观测的，则称系统是状态能观测的。测的，则称系统是状态能观测的。二、离散系统的能观测性二、离散系统的能观测性对于对于n阶线性定常离散系统：阶线性定常离散系统：1、离散系统的能观测性定义、离散系统的能观测性定义412、离散系统的能观测性判别、离散系统的能观测性判别 对

20、于线性离散定常系统，其状态完全能观测的对于线性离散定常系统，其状态完全能观测的充要条件是其能观测性判别矩阵：充要条件是其能观测性判别矩阵：满秩满秩即：即：42 例例例例：设线性定常离散系统方程如下，试判断其能观测性：设线性定常离散系统方程如下，试判断其能观测性 解解解解：系统状态系统状态不完全能观测不完全能观测43互为对偶关系的系统之间的性质互为对偶关系的系统之间的性质1）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。）互为对偶的系统，其传递函数阵是互为转置的。2）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。）互为对偶的系统，其特征方程是相同的。44若若 能控，则能控性矩阵能控，则能控性矩阵 满秩。即满秩。即设设 和和 是互为对偶的两个系统，则是互为对偶的两个系统，则 的能控性等价于的能控性等价于 的能观测性；的能观测性；的能观的能观测性等价于测性等价于 的能控性。的能控性。二、对偶原理二、对偶原理 证明证明证明证明 ：的能观测性矩阵为：的能观测性矩阵为：45所以所以 能观测。能观测。*：利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为利用对偶原理，可以把对系统能控性分析转化为对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题对其对偶系统能观测性的分析。从而沟通了控制问题和估计问题之间的关系。和估计问题之间的关系。反之亦然。反之亦然。46