自由度系统的振动.ppt

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1、第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 西北工业大学西北工业大学第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 飞飞行行器器结结 构构 动动 力力 学学 第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 2.3 2.3 单自由度系统的工程应用单自由度系统的工程应用 第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动正正如如第第一一章章

2、所所述述，振振动动系系统统可可分分为为离离散散模模型型和和连连续续模模型型两两种种不不同同的的类类型型。离离散散模模型型具具有有有有限限个个自自由由度度，而连续模型则具有无限个自由度。而连续模型则具有无限个自由度。系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐标个数。的独立的坐标个数。在离散模型中，最简单的是在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统单自由度线性系统，它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常用来作为较复杂系统的初步近似描述。用来作为较复杂系统的初步近似描述。第2章 单自由度系统的振

3、动弹弹性性元元件件最最典典型型的的例例子子是是弹弹簧簧，通通常常假假定定弹弹簧簧为为无无质质量量元元件件。如如图图2-1(a)所所示示，弹弹簧簧力力Fs 与与其其相相对对变变形形x2-x1的的典典型型函函数数关关系如下图系如下图2-1（b）所示。所示。构构成成离离散散模模型型的的元元素素有有三三个个，弹弹性性元元件件、阻阻尼尼元元件件和和惯惯性元件性元件。构成离散模型的元素构成离散模型的元素弹性元件弹性元件图图2-1 2-1 弹簧模型弹簧模型2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动当当x2-x1比比较较小小时时，可可以以认认为为弹弹簧簧力力与与弹弹簧簧变变形形量量成成正正比比，比比例

4、例系系数数为为图图中中曲曲线线的的斜斜率率k，如如果果弹弹簧簧工工作作于于弹弹簧簧力力与与其其相相对对变变形形成成正正比比的的范范围围内内，则则称称弹弹簧簧为为线线性性弹弹簧簧，常常数数称称为为弹弹簧簧常常数数k，或或弹弹簧簧刚刚度度。一一般般用用k表示。单位为（表示。单位为（N/m）。）。图图2-1 2-1 弹簧模型弹簧模型2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动阻尼元件阻尼元件通常称为通常称为阻尼器阻尼器，一般也假设为无质量。，一般也假设为无质量。常见的阻尼模型三种形式常见的阻尼模型三种形式:图图2-22-2阻尼模型阻尼模型 阻尼元件阻尼元件由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致

5、的粘滞阻尼。由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。内摩擦所致的滞后阻尼。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动在在本本书书中中，如如无无特特别别说说明明，所所说说的的阻阻尼尼均均指指粘粘滞滞阻阻尼尼，其其阻阻尼尼力力Fd 与与阻阻尼尼器器两两端端的的相相对对速速度度成成正正比比，如如图图2

6、-2（b），比比例例系系数数c称称为为粘粘性性阻阻尼尼系系数数，它它的的单单位位为为牛牛顿顿-秒秒/米米（N-s/m），阻阻尼尼器器通通常常用用c表示。表示。图图2-22-2阻尼模型阻尼模型 2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动惯性元件惯性元件就是离散系统的就是离散系统的质量元件质量元件，惯性力惯性力Fm与与质量元件的加速度质量元件的加速度成正比，如图成正比，如图2-3所示，比例系所示，比例系数就是质量数就是质量m。m的单位为千克（的单位为千克（kg）。）。图图2-3 2-3 质量模型质量模型 惯性元件惯性元件2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 并联时弹簧的等效刚

7、度并联时弹簧的等效刚度在在实实际际工工程程系系统统中中，常常常常会会有有多多个个弹弹性性元元件件以以各各种种形形式式组组合合在在一一起起的的情情况况，其其中中最最典典型型的的是是并并联联和和串串联联两两种种形形式式，分别如图分别如图2-4（a）和和2-4（b）所示。所示。图图2-4 2-4 弹簧的组合弹簧的组合 弹性元件的组合弹性元件的组合2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1）所以等效弹簧刚度为所以等效弹簧刚度为（2-2）串串联时弹簧的等效刚度联时弹簧的等效刚度2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动在图在图2-42-4（b b）所示的串联情况下，可以得到如下关

8、系所示的串联情况下，可以得到如下关系将将x0消掉，可得消掉，可得（2-6）（2-5）（2-4）（2-3）如果有如果有n个弹簧串联时，可以证明有以下结论个弹簧串联时，可以证明有以下结论单自由度系统的运动方程单自由度系统的运动方程 图图2-5 2-5 单自由度模型单自由度模型 单单自自由由度度弹弹簧簧-阻阻尼尼器器-质质量量系系统统可可由由图图2-5（a）表表示示，下下面面用用牛牛顿顿定定律律来来建建立立系系统统的的运运动动方方程程。绘绘系系统的分离体图如图统的分离体图如图2-5（b）。运动微分方程运动微分方程2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-8）由于由于，方程（方程（2-7

9、）变为）变为:（2-8）式式是是一一个个二二阶阶常常系系数数常常微微分分方方程程。常常数数m，c，k是是描描述述系系统统的的系系统统参参数数。方方程程（2-8）的的求求解解在在振振动动理理论论中中是是十十分分重重要的。要的。用用F(t)表示作用于系统上的外力，用表示作用于系统上的外力，用x(t)表示质量表示质量m相对相对于平衡位置的位移，可得于平衡位置的位移，可得:（2 -7）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动n称为系统的无阻尼自然角频率。可以证明（称为系统的无阻尼自然角频率。可以证明（2-9）式具有如）式具有如下形式的通解下形式的通解:（2-9）（2-10）2.1.2无阻尼自

10、由振动无阻尼自由振动 本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况下，下，F(t)恒等于零。在（恒等于零。在（2-8）式中令，）式中令，F(t)=0，c=0则有则有:其中其中A1和和A2为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始位移位移x(0)和初始速度和初始速度决定。决定。运动方程运动方程2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动若引入若引入 （2-11）可得可得:蒋蒋(2-11)代入代入(2-10)可导得可导得:（2-12）（2-13）A和和也也是是积积分分常常数数，同同样样由由x(0

11、)和和决决定定。方方程程（2-13）表表明明系系统统以以为为n频频率率的的简简谐谐振振动动，这这样样的的系系统统又又称称为为简简谐谐振振荡荡器器。（2-13）式式描描述述的的是是最最简简单的一类振动。单的一类振动。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动在在简简谐谐振振动动中中，完完成成一一个个完完整整的的运运动动周周期期所所需需的的时时间间定定义义为为周期周期T周期周期从物理概念上讲，从物理概念上讲，T代表完成一个完整的振荡所需的时间，代表完成一个完整的振荡所需的时间，事实上事实上T等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时间差

12、，其单位为间差，其单位为秒秒。自然频率自然频率自然频率的单位为自然频率的单位为赫兹赫兹(HZ)。自然频率自然频率通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为:2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-14）（2-15）（2-16）下下面面给给出出用用初初始始条条件件表表示示的的积积分分常常数数A和和的的表表达达式式。引引入入符符号号，利利用用方方程程（2-10）不不难难证明简谐振子对初始条件证明简谐振子对初始条件x0和和v0的响应为的响应为比较方程（比较方程（2-11）和（）和（2-16），并利用（），并利用（2-12）式的）式的关系，可以

13、导出振幅关系，可以导出振幅A与相角与相角有如下形式有如下形式积分常数积分常数A和和的表达式的表达式2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-17）例例2-1如图如图2-6，一个半径为，一个半径为R的半圆形薄壳，在的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计算动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子，计算振子的自然振动频率。振子的自然振动频率。图图2-6 2-6 例例2-12-1题图题图 2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（a）分分析析:本本例例运运动动方方程

14、程的的建建立立过过程程要要比比弹弹簧簧质质量量系系统统复复杂杂一一些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。设设壳壳体体倾倾斜斜角角为为（如如图图2-6），设设c为为壳壳体体与与粗粗糙糙表表面面的的接接触触点点，在在无无滑滑动动的的情情况况下下，壳壳体体瞬瞬时时在在绕绕c点点作作转转动动。对对c点取矩，可得系统的运动微分方程。点取矩，可得系统的运动微分方程。解：解：2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（b）其其中中，IC为为绕绕点点C的的转转动动惯惯量量，MC为为重重力力作作用用下下的的恢恢复复力力矩矩。为为方

15、方便便起起见见，设设壳壳体体的的长长度度为为单单位位长长度度，由由图图2-6，对对于于给给定定的的，对对C点点的的恢恢复复力力矩矩MC有有如如下下形式：形式：（a）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（b）（c）壳体对壳体对C 点的转动惯量为点的转动惯量为:其中其中，dw是给定角是给定角位置的微元体重量，位置的微元体重量，是壳体单位面积的是壳体单位面积的质量。质量。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动当当壳壳体体作作小小幅幅振振动动时时，即即很很小小时时，引引入入近近似似表表达达式式sin，cos1，并并将将（b）、（c）两两式式代代入入（a）中中，得得到到:（d）

16、（e）（f）整理可得整理可得:（e）式表明，当）式表明，当很小时，系统运动的确象很小时，系统运动的确象简谐振子简谐振子，其，其自然频率自然频率为为:（a）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-18b）（2-19）(2-20)2.1.3有阻尼自由振动有阻尼自由振动 有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程:其中，其中，称为粘性阻尼因子。设（称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如下形）式的解有如下形式式:将（将（2-19）代入（）代入（2-18b）中，可得代数方程）中，可得代数方程 有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程 2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1

17、8a）写成写成:(2-20)这就是系统的特征方程，它是这就是系统的特征方程，它是s的二次方程，有两个解：的二次方程，有两个解：很明显很明显，s1、s2的性质取决于的性质取决于阻尼因子阻尼因子，其相互关系可以从，其相互关系可以从s平面，即复平面上得到反映（如平面，即复平面上得到反映（如图图2-7）。）。（2-21）图图2-7s1、s2的复平面表示的复平面表示2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-20）式式的的根根s1 、s2作作为为阻阻尼尼因因子子的的函函数数在在复复平平面面上上描描绘绘出出一一条条曲曲线线，图图中中可可直直观观地地了了解解参参数数对对系系统统运运动动行行为为的

18、的影影响响，或或者者说说对对系系统统响应的影响。响应的影响。参数参数对系统响应的影响。对系统响应的影响。(2-20)2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动当当=0时，得到两个复根时，得到两个复根in，此时系，此时系统就是简谐振子。统就是简谐振子。当当01时，时，为复共轭，在图中对称为复共轭，在图中对称地位于实轴的两侧，并位于半径为地位于实轴的两侧，并位于半径为n的的圆上。圆上。当当=1时，特征方程的根时，特征方程的根s1、s2为为n，落在实轴上。，落在实轴上。当当1时，特征方程的根始终在实轴上时，特征方程的根始终在实轴上,且随着且随着，s10、s2（2-21）2.1单自由度系统的自

19、由振动单自由度系统的自由振动将特征方程的根（将特征方程的根（2-21）代入（）代入（2-19）式，可得系统的）式，可得系统的通解通解:（2-22）（2-19）（2-21）系统的通解系统的通解2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动式式（2-22），对对应应于于1的的情情况况，此此时时系系统统的的运运动动是是非非振振荡荡的的，并并且且随随时时间间按按指指数数规规律律衰衰减减，x(t)的的确确切切形形状状取取决决于于A1和和A2，也也即即取取决决于于初初始始位位移移x0和初速度和初速度v0。1的情况称为的情况称为大阻尼大阻尼或或过阻尼过阻尼。大阻尼大阻尼(1)（2-22）2.1单自由度系

20、统的自由振动单自由度系统的自由振动这也代表一指数衰减的响应，这也代表一指数衰减的响应，=1的情况称为临界阻尼。的情况称为临界阻尼。在在特特殊殊情情况况=1,方方程程（2-20）有有一一个个重重根根，s1=s2=n，不难证明在这种情况下，系统有如下形式的解不难证明在这种情况下，系统有如下形式的解:（2-23）由表达式由表达式可见当可见当=1时，临界粘性阻尼时，临界粘性阻尼临界阻尼（临界阻尼（=1）临界阻尼是临界阻尼是1和和1的一个分界点，应该注意到，的一个分界点，应该注意到，=1时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的。时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的。=1也是系统振动与非振动运动的

21、临界点。也是系统振动与非振动运动的临界点。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-20）图图2-81时时x(t)曲线曲线1、=1时系统的自由振动如图时系统的自由振动如图2-8-图图2-9。图图2-9=1时时x(t)曲线曲线2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动其中，其中，通常称为有阻尼自由振动频率。，通常称为有阻尼自由振动频率。由于由于:（2-25）01时，解（时，解（2-22）可改写成如下形式：）可改写成如下形式：（2-24）小阻尼（小阻尼（01）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动方程（方程（2-24）简化成）简化成（2-27）可可见见上上式式表表

22、示示的的运运动动为为振振动动，频频率率为为常常值值，相相角角为为，而而幅幅值值为为，以以指指数数形形式式衰衰减减。常常数数、由由初初始始条条件决定。件决定。称为称为小阻尼小阻尼或或欠阻尼欠阻尼情况。情况。并设并设（2-26）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动小阻尼情况的典型响应曲线如图小阻尼情况的典型响应曲线如图2-10所示，曲线所示，曲线为响应曲线的为响应曲线的包络线包络线。很明显，当。很明显，当t，x(t)0，因，因此响应最终趋于消失。此响应最终趋于消失。图图2-10 01时时x(t)曲线曲线2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动2.1单自由度系统的自由振动单自

23、由度系统的自由振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动欠阻尼是一种振幅逐渐衰减的振动时间时间位置位置例例2-2对于图对于图2-5所示的单自由度系统，计算系统分别在所示的单自由度系统，计算系统分别在，和和时，对于初始条件时，对于初始条件，的响应。的响应。解解:对于对于，用（，用（2-22）式有）式有，所以，所以（a）因此因此,系统响应应有如下形式系统响应应有如下形式（b）因此，系统响应对（因此，系统响应对（b）式求导，并代入初始条件）式求导，并代入初始条件可得可得 （c）可得可得时，系统的响应时，系统的响应（d）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动对于对于，从（，从（2-23）式中容易导

24、出）式中容易导出和和，所以此时的，所以此时的响应为响应为:（e）对于对于，在（，在（2-27）式中用初始条件）式中用初始条件得得，幅值，幅值则与初始速度有关，则与初始速度有关，因此（，因此（2-27）简化为）简化为:（f）表达式（表达式（d）、（）、（e）、（）、（f）分别对应于大阻尼、临界阻尼和）分别对应于大阻尼、临界阻尼和小阻尼的情况，其图形分别见图小阻尼的情况，其图形分别见图2-82-10。图中将。图中将、作为作为参数，给出了响应参数，给出了响应随这些参数的变化规律。随这些参数的变化规律。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动2.1.4对数衰减率对数衰减率如前所述，在小阻尼情

25、况下粘性阻尼使振动按指数规律衰减，如前所述，在小阻尼情况下粘性阻尼使振动按指数规律衰减，而指数本身又是阻尼因子而指数本身又是阻尼因子的线性函数。下面来寻求通过衰减响应的线性函数。下面来寻求通过衰减响应确定阻尼因子确定阻尼因子的途径。的途径。图图2-112-111时时x(t t)的一般规律的一般规律 在在图图2-11中中，设设t1和和t2表表示示两两相相邻邻周周期期中中相相距距一一个个完完整整周周期期T的的两对应点的时间。两对应点的时间。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动由（由（2-27）式，可得）式，可得（2-28）（2-27）由于由于，是有阻尼振动的周期，所以是有阻尼振动的周

26、期，所以（2-29）这样（这样（2-28）式可化为）式可化为:2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动观察（观察（2-29）式的指数关系，可以自然地引入以下）式的指数关系，可以自然地引入以下关系式关系式:（2-30）要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的对应点对应点x1和和x2，计算对数衰减率，计算对数衰减率（2-31）此处，此处，称为称为对数衰减率对数衰减率。从而得到从而得到2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动对于微小阻尼情况，（对于微小阻尼情况，（2-31）式可近似为）式可近似为（2-32）值得注意的是，值得注意的是，可

27、以通过测量相隔任意周期的两对可以通过测量相隔任意周期的两对应点的位移应点的位移，来确定。设来确定。设、为为、对应的对应的时间，时间，为整数，则为整数，则（2-33）由（由（2-33）可导得）可导得（2-34）2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动例例2-3实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个个完整的周期后衰减了完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。阻尼因子。解解:设设，则，则由（由（2-31）、（）、（2-32）式分别得到：）式分别得到：2.1单自由度系统的自由振

28、动单自由度系统的自由振动2.1.5 2.1.5 弹簧的等效质量弹簧的等效质量在图在图2-12中，设弹簧中，设弹簧具有质量，其单位长度的质量具有质量，其单位长度的质量为为，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。就来讨论这个问题。图图2-12 2-12 弹簧等效质量系统示意图弹簧等效质量系统示意图设质量设质量的位移用的位移用表示，弹簧的长度为表示，弹簧的长度为，那么距，那么距左端为左端为的质量为的质量为的微单元的位移则可假设为的微单元的位移则可假设为，设设为常数。为常数。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-3

29、5）（2-36）根据能量守恒原理根据能量守恒原理（2-37）则系统的动能和势能可分别表示为则系统的动能和势能可分别表示为2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动可得可得（2-38）此处此处称为称为等效质量等效质量。可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到（2-39）（2-39）式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的）式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量，当然，前提是假设弹簧按等效质量，当然，前提是假设弹簧按规律变形的。规律变形的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同

30、。2.1单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强强迫振动迫振动，这是本节要讨论的内容。，这是本节要讨论的内容。对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再对于初始条件的响

31、应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。合成为系统的总响应。系统对于简谐激励的响应系统对于简谐激励的响应对于图对于图2-5所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为（2-40）首先考虑最简单的情况，即首先考虑最简单的情况，即简谐激励简谐激励情况，设情况，设F(t)有如下形式有如下形式图图2-5 2-5 单自由度模型单自由度模型 （2-41）运动方程运动方程2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动（2-41）将（将（2-41）代入（）代入（2-40），两边同除以），两边同除以m有有 （2-42）当当A为为零零时时，系系统统为为齐齐次次方方程程

32、，其其解解就就是是系系统统的的自自由由振振动动响响应应，自自由由振振动动响响应应随随时时间间衰衰减减，最最后后消消失失，所所以以自自由由振振动动响应也叫响应也叫瞬态响应瞬态响应。式（式（2-42）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所以称为以称为稳态响应稳态响应。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动（2-43）将（将（2-43）代入方程（）代入方程（2-42），可得），可得（2-44）利用三角函数关系利用三角函数关系 根据（根据（2-44）式中）式中的系数相等可得的系数相等可得（2-45）设系统（设系统（2-42）的稳态响应有如下形

33、式）的稳态响应有如下形式稳态响应稳态响应2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动（2-46）（2-47）将（将（2-46）、（）、（2-47）代入（）代入（2-43）得到系统的）得到系统的稳态解稳态解。解（解（2-45）式可得）式可得 2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动典型的激励与响应关系曲线如图典型的激励与响应关系曲线如图2-13所示。所示。将将f(t)用复数形式表示用复数形式表示:图图2-13简谐激励简谐激励f(t)与响应与响应x(t)曲线曲线（2-48）f(t)的的这这种种表表示示只只是是一一种种数数学学上上的的处处理理，是是为为了了求求解解方方便便，不不言言而

34、而喻喻地地隐隐含含着着激激振振力力仅仅由由f(t)的的实实部部表表示示，当当然然，响响应应也也应应由由x(t)的实部表示。式中的实部表示。式中A一般为复数。一般为复数。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动特性：特性：总振动响应总振动响应=阻尼自由振阻尼自由振动响应的通解动响应的通解+简谐振动简谐振动的特解的特解 通解：瞬态振动；通解：瞬态振动；特解：稳态振动特解：稳态振动 过渡过程过渡过程 稳态过程稳态过程 结论：结论：结论：结论：具有粘性阻尼的系统受到简谐激振力作用时具有粘性阻尼的系统受到简谐激振力作用时,受迫振受迫振动也是一个

35、简谐振动动也是一个简谐振动,其频率和激振频率相同其频率和激振频率相同,振幅、相位角取决振幅、相位角取决于系统本身的性质和激振力的性质，而与初始条件无关。于系统本身的性质和激振力的性质，而与初始条件无关。系统的稳态响应系统的稳态响应（2-50）由上式可见，系统稳态响应由上式可见，系统稳态响应x(t)与激振力与激振力f(t)成正比，且比例因子成正比，且比例因子为为（2-51）这称为这称为复频响应复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系（2-49）2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动由（由（2-51）式，可见）式，可见的模的模等于响应幅

36、值和激等于响应幅值和激励幅值励幅值的无量纲比，即的无量纲比，即 常称为常称为幅值因子幅值因子。（2-53）（2-52）这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励的无量的无量纲比。这里纲比。这里中的中的是由静平衡位置算起的。是由静平衡位置算起的。由（由（2-50）、（）、（2-51）式可得）式可得 2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动图图2-14简谐激励的响应简谐激励的响应图图2-14给出了在不同阻尼比给出了在不同阻尼比下下与与的关系曲线。的关系曲线。从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于于的

37、位置左移。的位置左移。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动（2-54）当当=0时，在时，在=n处处H()不连续。不连续。对（对（2-53）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的值值 当当=0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是程就是简谐振子简谐振子。当当激激励励频频率率趋趋近近于于系系统统的的自自然然频频率率n时时，简简谐谐振振子子的的响响应趋于无穷，这种状态称为应趋于无穷，这种状态称为共振共振，系统会发生剧烈振动。，系统会发生剧烈振动。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系

38、统的强迫振动在在微微小小阻阻尼尼情情况况下下，如如0.05，H()的的极极大大值值的的位位置置几几乎乎与与/n=1相相差差无无几几，引引入入符符号号H()max=Q，在在微微小阻尼情况下，有小阻尼情况下，有（2-55）品质因子品质因子Q（2-42）Q通常称为通常称为品质因子品质因子。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动另外，在工程上另外，在工程上H()常将取值为常将取值为的两点的两点P1和和P2称为称为半半功率点功率点。半功率点所对应频率之差称为。半功率点所对应频率之差称为半功率点带宽半功率点带宽，在小阻尼，在小阻尼情况下，不难证明，半功率点带宽情况下，不难证明，半功率点带宽取如

39、下值取如下值（2-56）比较（比较（2-55）和（）和（2-56）式，可得）式，可得（2-57）（2-57）式给出了一种快速估计）式给出了一种快速估计Q和和值的方法。值的方法。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动下面将注意力转到相角上来，由（下面将注意力转到相角上来，由（2-51）和（）和（2-53）式，不）式，不难得到难得到（2-58）这里这里（2-59）这与（这与（2-472-47）式的结果相同。根据（）式的结果相同。根据（2-582-58）式和（）式和（2-592-59）式，）式，（2-502-50）式可写为）式可写为 （2-60）相角相角2.2单自由度系统的强迫振动单自由

40、度系统的强迫振动从（从（2-602-60）式和图）式和图2-152-15可以看出可以看出:对对应应于于不不同同值值的的所所有有曲曲线线均均在在/n=1处通过共同点处通过共同点。对于对于=0，随，随/n的变化曲线在的变化曲线在/n=1处间断。从处间断。从的的=0 跳到跳到/n1时的时的=。这可以通过。这可以通过=0时的时的x(t)解来解释。解来解释。对对于于/n1情情况况随随/n减减小小，相角趋于零。相角趋于零。对对于于/n1情情况况，随随/n增增大大，相角趋于相角趋于。图图2-15 2-15 简谐激励的相位简谐激励的相位 即即/n1时响应同相，时响应同相，/n1时响应反相。时响应反相。2.2单

41、自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动方程方程（2-612-61）也清楚地表明简谐振子在激励频率也清楚地表明简谐振子在激励频率趋近于自然频率趋近于自然频率n时，响应变为无穷大。时，响应变为无穷大。下面讨论简谐振子的共振响应，此时系统的运动方下面讨论简谐振子的共振响应，此时系统的运动方程变为程变为:（2-62）（2-61）简谐振子的共振响应简谐振子的共振响应2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动不难证明系统有如下特解不难证明系统有如下特解（2-63）此式表明，解是一幅值随时间线性增加的振荡响应，这隐含了此式表明，解是一幅值随时间线性增加的振荡响应，这隐含了随着时间的增大，解将趋于

42、无穷。因此在工程上讲，共振是很危险随着时间的增大，解将趋于无穷。因此在工程上讲，共振是很危险的状态，一定要避免。上式所描述的共振响应特性示于下图。的状态，一定要避免。上式所描述的共振响应特性示于下图。图图2-16简谐振子的共振响应简谐振子的共振响应有阻尼单自由度系统的总响应可由其自由响应与强迫响应叠加而成。有阻尼单自由度系统的总响应可由其自由响应与强迫响应叠加而成。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动例例2-4如图如图2-17所示，有两个带有偏心的质量所示，有两个带有偏心的质量反向旋转，旋反向旋转，旋转角速度为常数转角速度为常数，不平衡质量的垂直位移为，不平衡质量的垂直位移为，由

43、静平衡由静平衡算起。求算起。求。图图2-17 例例2-4题图题图解解:由题意不难得到系统的运动方程由题意不难得到系统的运动方程:简化为简化为:2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动系统的响应为系统的响应为:相角相角由（由（2-38）式给出。将上改写为）式给出。将上改写为可得可得:在这一例子中，可将无量纲比写为在这一例子中，可将无量纲比写为的图形与的图形与的图形完全不同，这将于稍后叙述。的图形完全不同，这将于稍后叙述。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动例例2-5 2-5 研究一种基础激振的情况。如图研究一种基础激振的情况。如图2-182-18所示所示:解解:系统的运动

44、微分方程有如下形式系统的运动微分方程有如下形式:图图2-18例例2-5题图题图简化为简化为:设基础的运动为简谐运动，有如下形式设基础的运动为简谐运动，有如下形式则系统的响应为则系统的响应为2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动将将简写成简写成那么那么无量纲比可写为无量纲比可写为2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 振动的隔离振动的隔离振动的隔离振动的隔离隔隔隔隔振振振振隔力：通过弹性支承来隔力：通过弹性支承来隔离振动源传到基础的力隔离振动源传到基础的力。隔幅：通过弹性支承隔幅：通过弹性支承减少基础传到设备的振动副值减少

45、基础传到设备的振动副值。隔离振动就是研究物体之间振动的传递关系，减少相互间隔离振动就是研究物体之间振动的传递关系，减少相互间所传递的振动量。所传递的振动量。结构系统结构系统安装在基础上一般都垫以安装在基础上一般都垫以弹簧和阻尼器（减振弹簧和阻尼器（减振器）器）以减少传给基础的力或减少由于基础激励而传给系统的以减少传给基础的力或减少由于基础激励而传给系统的响应，这种措施叫响应，这种措施叫“隔振隔振”。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动(1)(1)(1)(1)第一类隔振（隔力）第一类隔振（隔力）第一类隔振（隔力）第一类隔振（隔力）隔力力学模型隔力力学模型隔力力学模型隔力力学模型 在

46、简谐力作用下，根据单自由度系统稳态位在简谐力作用下，根据单自由度系统稳态位移解，隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别有：移解，隔振器传到基础的弹性力和阻尼力分别有：传递力幅值：传递力幅值：力传递率：力传递率：令令：2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动(2)(2)(2)(2)第二类隔振（隔幅）第二类隔振（隔幅）第二类隔振（隔幅）第二类隔振（隔幅）基础作简谐运动时，系统的绝对运动基础作简谐运动时，系统的绝对运动传递率为：传递率为：隔幅力学模型隔幅力学模型隔幅力学模型隔幅力学模型位移传递率与力传递率具有完全相同的形式。位移传递率与力传递率具有完全相同的形式。另外另外 以后，增加阻尼以后，

47、增加阻尼反而使隔振效果变坏。反而使隔振效果变坏。，T 1，才隔振，且才隔振，且值越值越大，大，T越小，隔振效果越好。越小，隔振效果越好。常选常选 为为2.5-52.5-5之间。之间。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和为了取得较好的隔振效果，系统应当具有较低的固有频率和较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共较小的阻尼。不过阻尼也不能太小，否则振动系统在通过共振区时会产生较大的振动。振区时会产生较大的振动。当当 时，阻尼越小传递率越低，隔振效果越好。为了减时，阻尼越小传递率越低，隔振效果越好。为了减少系统通过共振区时

48、的振幅，必须为隔振器配置适当的阻尼。少系统通过共振区时的振幅，必须为隔振器配置适当的阻尼。由于阻尼一般很小，由于阻尼一般很小，Tf 和和Td在高频段近似为：在高频段近似为：简谐振动的复指数描述简谐振动的复指数描述 有有阻阻尼尼系系统统的的简简谐谐激激振振力力和和在在激激振振力力作作用用下下的的响响应应的的复复指指数数描描述述，可可以以通通过过在在复复平平面面上上的的几几何何图图形形来来说说明明，将将（2-602-60）式两边对求导得式两边对求导得（2-64）所以振动速度超前位移所以振动速度超前位移 /2/2相角，加速度超前位移相角，加速度超前位移相角，并相角，并且分别放大且分别放大和和2 2的

49、因子。的因子。据据上上所所述述，可可以以将将方方程程（2-422-42）在在复复平平面面上上绘绘图图如如图图2-192-19，不失一般性地设不失一般性地设A为实数。为实数。我们知道我们知道2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动,图图2-192-19说明复向量说明复向量 ，与与 的和与的和与 平衡，这正是方程（平衡，这正是方程（2-422-42）所必须满足的。）所必须满足的。图图2-19 2-19 简谐振子的复平面表示简谐振子的复平面表示 注注意意，整整个个图图形形绕绕着着复复平平面面以以角角速速度度旋旋转转。从从图图中中也也可可以以看看出出，由由于于整整个个图图形形是是封封闭闭的的

50、，成成为为一一个个平平衡衡系系统统，所所以以仅仅考考虑虑实实部部就就相相当当于于将将图图中中各各分分量量投投影影于于实实轴轴上上。理理论论上上讲讲，投投影影于于任何轴上都不改变系统各向量之间的关系。任何轴上都不改变系统各向量之间的关系。2.2单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动叠加原理叠加原理这里重新考虑图这里重新考虑图2-52-5所示的二阶线性系统。上节已经所示的二阶线性系统。上节已经导出了系统受任意激励导出了系统受任意激励的微分方程的微分方程（2-652-65）在工程上，经常又将在工程上，经常又将和和分别称为系统的输出和输入。分别称为系统的输出和输入。为了分析方便，引入线性微分算子