胡海岩机械振动基础第二章课件培训讲学.ppt

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1、胡海岩机械振动基础第二章课件多自由度系统，其运动需要多个独立坐标描述。多自由度系统，其运动需要多个独立坐标描述。多自由度系统，其运动需要多个独立坐标描述。多自由度系统，其运动需要多个独立坐标描述。如如图图是是一一汽汽车车的的简简化化模模型型，车车轮轮及及悬悬架架简简化化成成刚刚度度为为 k1 和和 k2 的的两两个个弹弹簧簧，车车体体简简化化成成为为刚刚性性杆杆。车车体体相相对对于于随随体体坐坐标标系系的的振振动动有有沿沿 u 方方向向的的上上下下运运动动，也也有有沿沿 方方向向的的俯俯仰仰运运动动，一一般般这这两两种种运运动动同同时时发发生生。这这样样，系系统统的的运运动动就就要要用用两两个

2、个独独立立坐坐标标 u 和和 来来描描述述，这这就就是是一一个个二二自自由由度度系系统统。若若考考虑虑车车体体左左右右不不等等幅幅颠颠簸簸，就就变变为为三三自由度系统自由度系统。平平 面面 内内 刚刚性性 杆杆 的的 运运动动 描描 述述 需需两两 个个 自自 由由度度2无限自由度简化为多自由度E IKK简化为带有集中质量的弹性梁简化为带有集中质量的弹性梁有有限限元元32.1 2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程 变量耦合的变量耦合的运动方程组运动方程组考察图示的二考察图示的二自由度系统自由度系统:4矩阵描述：质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵；矩阵描述：质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵

3、；位移向量，激励力向量位移向量，激励力向量。5基本特征a.描述系统特性的描述系统特性的 M、K 和和 C 不再是三个常数，不再是三个常数，而是三个常数矩阵而是三个常数矩阵;（现象）（现象）b.系统中各自由度的运动是相互关联的，这反映系统中各自由度的运动是相互关联的，这反映在方程中在方程中矩阵矩阵 M、K 和和 C 的非对角元素不为的非对角元素不为零。这种系统运动的相互关联称作零。这种系统运动的相互关联称作耦合。这样。这样的动力学方程组求解比较困难。的动力学方程组求解比较困难。（本质）（本质）由简至繁：先研究无阻尼系统振动。由简至繁：先研究无阻尼系统振动。（固有振动（固有振动自由振动自由振动受迫

4、振动）受迫振动）62.2 2.2 建立系统微分方程的方建立系统微分方程的方法（建模）法（建模）w单自由度系统是和容易通过牛顿定律和单自由度系统是和容易通过牛顿定律和达朗贝尔原理建立动力学方程的。但对达朗贝尔原理建立动力学方程的。但对于自由度数较多的情况，建立正确的微于自由度数较多的情况，建立正确的微分方程本身就是一件困难的事。需要找分方程本身就是一件困难的事。需要找到一种规范化、程式化的建模方法。到一种规范化、程式化的建模方法。结构力学结构力学刚度法、柔度法刚度法、柔度法分析力学分析力学拉格朗日法拉格朗日法7刚度法和柔度法刚度法和柔度法w同一种方法的两个视角（影响系数）同一种方法的两个视角（影

5、响系数）刚度法（单位位移法）刚度法（单位位移法）考考虑虑系系统统的的弹弹性性静静力力学学性性质质。在在系系统统各各自自由由度度上上作作用用静静力力，使使系系统统由由静静平平衡衡位位置置产产生生静静位位移移 而而 。记记这这组组特特殊殊的的静静力力为为 ，其其中中 是是在在第第 i个个自自由由度度上上施施加加的的静静力力。命命 ，则则共共有有N 组组这这样样的的静静力力 ，我们称其为系统的我们称其为系统的刚度（影响）系数。由于系统是线性的，当第由于系统是线性的，当第 j 个自由度有静位移个自由度有静位移 、而其余自由、而其余自由度无位移时，系统诸自由度上应施加一组静力度无位移时，系统诸自由度上应

6、施加一组静力 。一般地，若系统各自由度分别有静位移一般地，若系统各自由度分别有静位移 ，根据，根据线性系线性系统的可叠加性质统的可叠加性质知，在系统上施加的静力应为知，在系统上施加的静力应为：8如设如设 N=3，则有则有如设如设 ,则有则有注意注意（材料力学）（材料力学）9对于动力学问题，还要考虑系统的惯性和阻尼。对于动力学问题，还要考虑系统的惯性和阻尼。在有限大外力作在有限大外力作用的瞬间，系统只产生加速度而来不及产生位移和速度。因此，可用的瞬间，系统只产生加速度而来不及产生位移和速度。因此，可定义系统的定义系统的质量系数 ,是使系统产生加速度是使系统产生加速度 而而 需在第需在第 i 个自

7、由度上施加的力。类似地，定义个自由度上施加的力。类似地，定义阻尼系数为为 ，是为克服系统阻尼，使系统产生速度是为克服系统阻尼，使系统产生速度 而而 需在第需在第 i 个自由度上施加的力。个自由度上施加的力。当系统受动载荷当系统受动载荷 作用时，根据上述作用时，根据上述质量系数、质量系数、阻尼系数、刚度系数阻尼系数、刚度系数的定义和的定义和达朗贝尔达朗贝尔原理原理，可写出各自由度上的，可写出各自由度上的力平衡关系力平衡关系 10建立方程的重要条件是建立方程的重要条件是系统的状态作用不相耦系统的状态作用不相耦合与系统的线性特性合与系统的线性特性11例例3.1.1 建立图示建立图示N自由度链式系统的

8、运动微分方程自由度链式系统的运动微分方程解：解：先计算刚度矩阵先计算刚度矩阵12刚度矩阵为刚度矩阵为13Diag Diagonal质量矩阵可用类似的过程得到质量矩阵可用类似的过程得到14 柔度法柔度法 如如果果系系统统受受外外部部约约束束而而无无刚刚体体运运动动，系系统统的的柔柔度度系系数数定定义义为为：在在第第 j 个个自自由由度度上上施施加加单单位位静静力力时时，第第 i 个个自由度所产生的静位移。自由度所产生的静位移。（单位（单位力力法）法）其中其中:15当系统受动载荷当系统受动载荷 作用时，根据作用时，根据达朗贝尔达朗贝尔原理和质量原理和质量系数、阻尼系数的定义，第系数、阻尼系数的定义

9、，第 j 个自由度相当于受到静力个自由度相当于受到静力 由由柔度系数柔度系数的定义和线性系统的可叠加性质，第的定义和线性系统的可叠加性质，第i个自由度的位移是个自由度的位移是 16(1)刚刚度度法法实实施施过过程程中中要要求求系系统统仅仅一一个个自自由由度度有有位位移移，人人为为地地增增加加了了确确定定刚刚度度系系数数时时系系统统的的静静不不定定程程度度，求求解甚繁解甚繁。一般不用。一般不用。(2)柔柔度度法法维维持持原原系系统统的的约约束束，实实施施比比较较方方便便。特特别别是是用用实实验验来来确确定定系系统统的的弹弹性性性性质质时时均均采采用用柔柔度度法法，刚度法几乎不能实现。刚度法几乎不

10、能实现。(3)(3)刚刚度度矩矩阵阵和和柔柔度度矩矩阵阵均均具具有有对对称称性性。根根据据功功的的互互易定理可以证明，这是线弹性系统的一般特性。易定理可以证明，这是线弹性系统的一般特性。两种方法的特点两种方法的特点(4)如如果果系系统统具具有有刚刚体体运运动动自自由由度度，则则在在静静力力作作用用下下会会产产生生刚刚体体位位移移。对对这这样样的的系系统统无无法法按按照照定定义义来来确确定定柔柔度度系系数数，柔柔度度法法失失效效；但但刚刚度度法法可可奏奏效效。所所以以刚度法的应用范围比柔度法要大刚度法的应用范围比柔度法要大。17例例 用柔度法建立图中系统的运动微分方程。用柔度法建立图中系统的运动

11、微分方程。由由上上式式知知，问问题题在在于于建建立立系系统统的的柔柔度度矩矩阵阵D。按按柔柔度度系系数数的的定定义义，先先在在 上上作作用用单单位位力力，这这时时仅仅弹弹簧簧 提提供供恢恢复复力力，各质量位移均为各质量位移均为 ，故，故解：解：18再再在在 上上作作用用单单位位力力，其其左左面面质质量量 的的位位移移为为 ，其余质量位移均为，其余质量位移均为 ，故，故 依次分析下去得依次分析下去得最最后后将将所所得得 排排为为柔柔度度矩矩阵阵D。取取N=3为例为例19例：梁的横向振动近似计算方程例：梁的横向振动近似计算方程 EI,l，M用用集集中中质质量量法法可可将将梁梁系系统统简化为一个二自

12、由度系统简化为一个二自由度系统解：解：用单位力法计算柔度系数用单位力法计算柔度系数20各个柔度系数为：各个柔度系数为：柔度矩阵为：柔度矩阵为：刚度矩阵为：刚度矩阵为：质量矩阵为：质量矩阵为：运动方程：运动方程：21单自由度刚度与质量的能量表示w单自由度刚度与势能关系w单自由度质量与动能关系22柔度影响系数与势能w对多自由度系统w位移力与柔度影响系数w推出23刚度影响系数与势能w对多自由度系统w位移力与刚度影响系数w推出24广义坐标广义坐标结构位置（系统运动）的描述可以采用不同的结构位置（系统运动）的描述可以采用不同的独立独立坐标坐标广义坐标广义坐标来完成。若坐标系之间存在来完成。若坐标系之间存

13、在线性变换关系，线性变换关系，则则称坐标系是可以相互称坐标系是可以相互线性线性映射的。映射的。称作称作线性变换矩阵线性变换矩阵。坐标坐标 1坐标坐标 2坐标坐标 线性变换线性变换25多自由度系统的能量多自由度系统的能量 系统的动能系统的动能 是各质点动能之和是各质点动能之和质质量量矩矩阵阵是是对对称称矩矩阵阵。对对于于任任意意的的运运动动，动动能能恒恒正正，故故质质量矩阵总是正定矩阵。量矩阵总是正定矩阵。质点的位置矢量质点的位置矢量:o动能二次型动能二次型:其中其中:26 在定常约束下，系统的势能仅仅是广义坐标在定常约束下，系统的势能仅仅是广义坐标 q 的函数。的函数。将势能将势能 用用Tay

14、lor级数展开，有级数展开，有是系统在平衡位置的势能，可以是任意常数。取为零。是系统在平衡位置的势能，可以是任意常数。取为零。是是系系统统在在平平衡衡位位置置的的势势能能对对广广义义坐坐标标的的一一阶阶导导数数。因因为为系系统统的的势能在平衡位置取极值，故其对广义坐标的一阶导数必为零。势能在平衡位置取极值，故其对广义坐标的一阶导数必为零。27上上述述结结论论可可表达为表达为:是是系系统统在在广广义义坐坐标标下下的的刚刚度度系系数数。研研究究系系统统微微振振动动时时，只只需需取势能的二次近似。将刚度系数组成刚度矩阵，则势能可写作取势能的二次近似。将刚度系数组成刚度矩阵，则势能可写作其中其中:刚刚

15、度度矩矩阵阵 总总是是对对称称的的。显显然然，如如果果系系统统的的刚刚体体运运动动受受到到约约束束而而只只有有弹弹性性变变形形，势势能能恒恒正正，从从而而刚刚度度矩矩阵阵正正定定。但但若若系系统统具具有有刚刚体体运运动动 ，则则有有 ，刚刚度度矩阵仅是半正定的。矩阵仅是半正定的。势能二次型势能二次型:28LagrangeLagrange方程方法方程方法(分析力学）分析力学）特特点点:不不用用对对系系统统取取分分离离体体作作受受力力分分析析，也也不不用用考考虑虑约约束束力力的的影影响响，而而是是基基于于系系统统的的能能量量来来建建立立系系统的运动微分方程。统的运动微分方程。将将系系统统的的约约束

16、束分分为为两两类类，一一类类是是理理想想约约束束，其其约约束束反反力力不不作作功功。刚刚体体的的内内力力、不不可可伸伸长长的的绳绳索索、光光滑滑固固定定面面、光光滑滑铰铰链链等等都都属属于于此此列列。另另一一类类是是非非理理想想约约束束，例例如如摩摩擦擦等等。我我们们将将非非理理想想约约束束的的反反力力与与外外力力归归在在一一起起。根根据据功功能能原原理理，外外力力和和非非理理想想约约束束反反力力作作的的元元功功等等于于系系统统总总能量的微分，能量的微分，即即 29外力外力元元功功:定常约束系统势能只是广义坐标函数定常约束系统势能只是广义坐标函数系统的动能增量系统的动能增量T一一般般同同时时是

17、是广广义义位位移移和和速速度度的函数。的函数。(A)30对上式两端微分得对上式两端微分得 由由可推得可推得(B)由由(B)(A)得得31功能原理的具体形式功能原理的具体形式:这就是系统运动应满足的这就是系统运动应满足的Lagrange方程。它表明：方程。它表明：建立系建立系统运动微分方程时，只要把非理想约束力归入外力，写出统运动微分方程时，只要把非理想约束力归入外力，写出能量表达式即可得到系统的运动微分方程。这自然比刚度能量表达式即可得到系统的运动微分方程。这自然比刚度法和柔度法简单。法和柔度法简单。根据广义坐标的根据广义坐标的 独立性，诸独立性，诸 不可能同时为零，不可能同时为零，？由于系统

18、处于运动中，诸由于系统处于运动中，诸 不可能为零（恒不为零）不可能为零（恒不为零）从而有从而有32例例3.1.4 用用Lagrange方程建立图方程建立图示示系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。解解:取系统的广义坐标为图示物理坐标，则该系统取系统的广义坐标为图示物理坐标，则该系统 的动、势能分别为的动、势能分别为 33代入代入Lagrange方程方程34例：例：图中置于光滑平面的小车质量图中置于光滑平面的小车质量 ，车上质量为，车上质量为 的圆的圆柱体可作无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。柱体可作无滑动的纯滚动。试建立该系统的运动微分方程。解：取小车的绝对位移解：取小车的绝对位移

19、 和圆柱体的绝对位移和圆柱体的绝对位移 为广义坐标。为广义坐标。根据圆柱体对圆心的转动惯量根据圆柱体对圆心的转动惯量 和纯滚动的转角和纯滚动的转角 ，,不难写出系统的动能和势能不难写出系统的动能和势能35代入代入Lagrange方程方程得系统运动微分方程得系统运动微分方程矩阵形式为矩阵形式为36 Lagrange方方程程适适用用于于非非线线性性系系统统。一一般般情情况况下下，系系统统动动能能与与q有有关关，势势能能中中有有q的的高高次次项项，广广义义力力中中有有非非理理想想约约束束反反力力，由由Lagrange方程导出的系统运动微分方程是非线性的。方程导出的系统运动微分方程是非线性的。为为建建

20、立立线线性性运运动动微微分分方方程程，可可根根据据微微振振动动前前提提，命命动动能能表表达式中达式中q=0 并略去势能中并略去势能中q 的二次以上项。的二次以上项。一一般般线线性性系系统统情情况况下下，动动能能与与广广义义坐坐标标q无无关关，故故Lagrange方方程程又又可可以以写为：写为：37 若若系系统统中中有有线线性性粘粘性性阻阻尼尼力力，将将它它从从广广义义力力中中分分离离出出来来，引入耗散函数（阻尼作功）引入耗散函数（阻尼作功）或或其中其中 是粘性阻尼力（耗散力），是粘性阻尼力（耗散力），为外力。为外力。382.2.3 3 无阻尼系统的自由振动无阻尼系统的自由振动2.3.1 二二自

21、自由由度度系系统统固固有振动（无阻尼）有振动（无阻尼）39试探解试探解实实验验测试测试经经验验猜测猜测以以 某某 个个 频频率率 振振 动动，但但 幅幅 值值 可可能不同能不同40该该方方程程组组系系数数矩矩阵阵行行列列式式为为零零，所所以以方方程程的的非非零零解解有有无穷多个无穷多个。只能确定振幅之比。只能确定振幅之比。系统可能以两个不同频率同步振动系统可能以两个不同频率同步振动（固有频率：仅由物理参数确定）（固有频率：仅由物理参数确定）不同频率对应不同（解）振幅关系不同频率对应不同（解）振幅关系41所以向量所以向量 反映了二自由度系统作固有振动时的形态，分别称之为反映了二自由度系统作固有振

22、动时的形态，分别称之为第一阶和第二阶第一阶和第二阶固有振动的振型固有振动的振型，或简称，或简称固有振型固有振型。42 二二自自由由度度无无阻阻尼尼系系统统具具有有两两种种不不同同频频率率的的同同步步自自由由振振动动，这这两两个个频频率率仅仅取取决决于于原原系系统统的的弹弹性性和和惯惯性性特特性性。我我们们将将这这两两个个频频率率从从小小到到大大依依次次称称为为系系统统的的第第一一阶阶固固有有频频率率和和第第二二阶阶固固有有频频率率，相相应应的的振振动动分分别别称称为为系系统统的的第第一一阶阶固固有有振振动动和和第第二二阶阶固固有有振振动动。两两种种不不同同频频率率对对应应了了二二自自由由度度系

23、系统统不不同同的的同同步步振振动动形形态态，分分别别称称之之为为第第一一阶阶和和第第二二阶阶固固有有振动的振型振动的振型，或简称，或简称固有振型固有振型。振振型型性性质质：a.固固有有振振型型反反映映了了二二自自由由度度系系统统作作某某阶阶固固有有振振动动时时两两自自由由度度的的位位移移比比例例关关系系，它它们们的的固固有有振振动动总总是是同同频频率的简谐振动，但可能同相或反相。率的简谐振动，但可能同相或反相。b.对对任任一一固固有有振振型型和和非非零零实实数数，其其乘乘积积仍仍是是对对应应固固有有频频率率的的固固有有振振型型，即即固固有有振振型型只只能能确确定定到到相相差差一一个个实实常常数

24、数因因子子的程度。的程度。43几个重要概念几个重要概念固固有有模模态态：无无阻阻尼尼系系统统的的固固有有频频率率和和固固有振型有振型被称作系统的固有模态被称作系统的固有模态 。模模态态向向量量 ：固固有有振振型型这这一一向向量量也也被被称称作作模态向量。模态向量。模模态态：系系统统的的运运动动模模式式。（固固有有模模态态；自然模态；复模态）自然模态；复模态）44例：例：设图中二自由度系统的物理参数为设图中二自由度系统的物理参数为 .确确定定系系统统的的固固有有振振动动.解：将参数代入频率公式，解得系统的两个固有频率分别为解：将参数代入频率公式，解得系统的两个固有频率分别为两两个个固固有有振动形

25、如振动形如 45思考思考1：试探解只是可行解之一，引发固有振：试探解只是可行解之一，引发固有振动动要求初始条件要求初始条件为为使使系系统统产产生生第第r阶阶固固有有振振动动，系系统统初初始始位位移移、初初始始速速度度必必须须与与该该阶阶固固有有振振型型成成一一定定的的比比例例关关系系。这这是是有别于单自由度无阻尼系统固有振动的。有别于单自由度无阻尼系统固有振动的。思考思考2：对称系统的模态振型也有对称性？解题：对称系统的模态振型也有对称性？解题时怎么运用？时怎么运用？节点节点：某阶固有振动中，系统的非约束不动点某阶固有振动中，系统的非约束不动点。思考思考462.3.2二自由度系统自由振动二自由

26、度系统自由振动 根根据据线线性性常常微微分分方方程程理理论论可可知知，线线性性（二二自自由由度度无无阻阻尼尼）系系统统的的任任一一自自由由振振动动总总是是这这两两种种固固有有振振动动的的线线性性组合组合。47例：例：如果上例二自由度系统的运动初始条件为如果上例二自由度系统的运动初始条件为试确定系统的自由振动。试确定系统的自由振动。解：由上例的结果，系统的自由振动应为解：由上例的结果，系统的自由振动应为其中其中48系统的自由振动为系统的自由振动为非周期振动非周期振动 同向同向反向反向49拍现象拍现象 中间弹簧非常柔软的情况。此时中间弹簧非常柔软的情况。此时则则502.3.3 二自由度系统的运动耦

27、合与解耦二自由度系统的运动耦合与解耦 例例图图中中刚刚性性车车体体质质量量为为m，绕绕质质心心C的的转转动动惯惯量量为为J，试试分析系统的运动耦合问题。分析系统的运动耦合问题。51可选择适当的可选择适当的e消除惯性耦合或弹性耦合（又称消除惯性耦合或弹性耦合（又称解耦解耦）再再选选取取另另一一组组坐坐标标系系来来分分析析系系统统的的振振动动。指指定定车车体体上上一一点点B，它它距距质质心心C的的水水平平距距离离为为e（向向右右为为正正）。用用车车体体在在该该点点的的铅铅垂垂位位移移和和绕绕该该点点的的转转角角为为坐坐标标来来建建立立系系统统的的运运动动微微分分方方程程。根根据据刚刚体体的的平面运

28、动定理得平面运动定理得 52 二二自自由由度度系系统统间间的的耦耦合合取取决决于于我我们们观观察察其其运运动动时时所所选选定定的的坐坐标标系系。坐坐标标系系选选得得适适合合则则可可使使运运动动间间消消去去某某种种耦耦合合作作用用。自自然然，我我们们关关心心能能否否选选到到适适宜宜的的坐坐标标系系，使使得得运运动动完完全全不不耦耦合合，即即系系统统质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵同同时时是是对对角角阵阵。如如果果这这种种坐坐标标系系存存在在，则则称称其其为为主主坐坐标标系系。在在主主坐坐标标系系下下，二二自自由由度度系系统统犹犹如如两两个个彼彼此此独立的单自由度系统。独立的单自由度系统。事事

29、实实上上，二二自自由由度度系系统统的的运运动动总总是是发发生生在在一一个个二二维维空空间间中中，即即平平面面之之中中；而而平平面面中中坐坐标标系系的的选选取取有有无无穷多种。穷多种。解解耦耦条件条件或或532.3.4多自由度系统固有振动多自由度自由振动微分方程矩阵形式多自由度自由振动微分方程矩阵形式设设试探解试探解具有谐振动形式具有谐振动形式:得特征方程或特征值问题得特征方程或特征值问题有解条件是有解条件是什么？什么？矩阵形式54或或解得解得N个特征根个特征根然然后后逐逐一一代代回回特特征征方方程程，寻寻求求齐齐次次线线性性代代数数方方程程的的非非零零解解向量。向量。对于振动问题对于振动问题:

30、特征方程概念特征方程概念何时等于何时等于零？零？第第r阶模态质量与模态刚度（广义质量与广义刚度；主质阶模态质量与模态刚度（广义质量与广义刚度；主质量与主刚度）量与主刚度）55用用 左乘左乘特征特征关系关系式式后可解出（利用正交特性）后可解出（利用正交特性）当当N3时时，已已无无法法用用求求解解公公式式计计算算特特征征值值多多项项式式的的根根。实际计算特征值实际计算特征值:一一元元二二次次方方程程的的封封闭解闭解诸诸 排列为排列为 何时等于？何时等于？56一一元元三三次次方方程程的的封封闭解闭解57试探解可行，系统的振动可以表示为：试探解可行，系统的振动可以表示为：我我们们将将无无阻阻尼尼系系统

31、统的的这这种种自自由由振振动动称称作作其其第第 r 阶阶固固有有振振动动，（与与系系统统特特征征值值、向向量量对对应应的的振振动动称称 为为它它的的第第 r 阶阶固固有有频频率率，为为它它的第的第 r 阶固有振型。这两者又常合在一起，被称作第阶固有振型。这两者又常合在一起，被称作第 r 阶固有模态。）阶固有模态。）使第使第r阶固有振动发生的初始条件应满足阶固有振动发生的初始条件应满足 如果上述条件不能满足，系统的自由振动将是各阶固有如果上述条件不能满足，系统的自由振动将是各阶固有振动的线性组合（微分方程理论：解的线性叠加性）振动的线性组合（微分方程理论：解的线性叠加性）其中实常数其中实常数 或

32、等价的或等价的 可由初始条件确定。可由初始条件确定。固有振动特点：同频率，同相位固有振动特点：同频率，同相位58固有振动与自由振动固有振动与自由振动w固有振动是一种自由振动的特例固有振动是一种自由振动的特例w固有振动各自由度同频同相固有振动各自由度同频同相w初始条件决定自由振动是否是固有振动初始条件决定自由振动是否是固有振动w自由振动是固有振动的线性迭加自由振动是固有振动的线性迭加59广义特征问题与标准特征问题 幂法幂法 逆迭代法逆迭代法 子空间法迭代法子空间法迭代法 兰索士法兰索士法 QR法法 广义特征值问题广义特征值问题:标准特征值问题标准特征值问题:实对称矩阵实对称矩阵 的标准特征值问题

33、，它与原广义特征的标准特征值问题，它与原广义特征问题有相同的特征值，而两者的特征向量问题有相同的特征值，而两者的特征向量 和和 可经过可逆矩阵可经过可逆矩阵 相互转换。相互转换。广广义义问问题题标标准准化化60固有振型的归一化（正则化）按某一自由度的幅值归一化按某一自由度的幅值归一化 按诸自由度最大幅值归一化按诸自由度最大幅值归一化 按欧氏范数归一化按欧氏范数归一化 按模态质量归一化按模态质量归一化 最重要最重要61固有振型的性质固有振型的性质 1.1.单构系统单构系统 所所谓谓单单构构系系统统是是指指系系统统的的所所有有固固有有频频率率互互异异，这是多数结构所满足的条件。这是多数结构所满足的

34、条件。定理：定理：N阶实对称矩阵的标准特阶实对称矩阵的标准特征值问题总存在征值问题总存在N个相互正交的个相互正交的特征向量。（不证明）特征向量。（不证明）性质性质a.a.特征向量对质量矩阵和刚度矩阵加权正交特征向量对质量矩阵和刚度矩阵加权正交 性质性质b.固有振型的线性无关性固有振型的线性无关性 62(A)(B)(A)-(B)由于由于故故证明证明a：（因为是单构系统）（因为是单构系统）63加权正交关系更一般的形式加权正交关系更一般的形式:其中其中 和和 即为对应第即为对应第r阶固有模态的阶固有模态的广义质量广义质量和和广广义刚度（模态质量与模态刚度）义刚度（模态质量与模态刚度）.其中其中 广义

35、质量和广义质量和广义刚度的广义刚度的矩阵形式矩阵形式64加权正交的另一种更广义的证明（数加权正交的另一种更广义的证明（数学化）：学化）：无无阻阻尼尼系系统统的的广广义义特特征征值值问问题题可可化化为为实实对对称称矩矩阵阵的的标标准准特特征征 值值 问问 题题。实实 对对 称称 矩矩 阵阵 总总 有有 N个个 相相 互互 正正 交交 的的 实实 特特 征征 向向 量量 ，（定理），（定理）对应原广义特征问题将有对应原广义特征问题将有N个特征向量个特征向量矩阵矩阵 可逆保证所有可逆保证所有 线性无关，并且由线性无关，并且由 的正交性可得的正交性可得 自然这样的自然这样的 也关于刚度矩阵加权正交。也

36、关于刚度矩阵加权正交。该法对重构系统亦成立！该法对重构系统亦成立！下面由正交性导出线性无关性65性质性质b.固有振型的线性无关性固有振型的线性无关性 分析：如果固有振型向量是线性无关的向量组，欲分析：如果固有振型向量是线性无关的向量组，欲使下式成立，系数使下式成立，系数 必须全为零。必须全为零。证：证：左乘左乘得得662.2.非单构系统非单构系统（频率相同，振型不同）（频率相同，振型不同）工工程程上上不不少少结结构构具具有有两两个个以以上上的的对对称称面面或或包包含含多多个个完完全全相相同同的的子子结结构构，譬譬如如方方板板、圆圆板板、发发动动机机叶叶盘盘、雷雷达达天天线线等等等等。作作为为振

37、振动动系系统统，它它们们具具有有两两个个以以上上相相重重合合的的固固有有频频率率，被被称称作作非单构系统非单构系统，其模态特性比较复杂。，其模态特性比较复杂。67例例：图图中中的的轻轻质质圆圆板板中中心心固固定定，周周边边上上均均布布了了三三个个相相同同的的集集中中质质量量块块 ，试试分分析析沿沿板板横横向向振振动动的的系系统固有模态。统固有模态。旋转对称结构图旋转对称结构图重频固有振型对图重频固有振型对图在在图图示示的的物物理理坐坐标标下下用用刚刚度度法法建建立立其其运运动动微微分分方方程程。根根据据对对称称性性，圆圆板板在在三三个个质质量量安安装装点点横横向向变变形的刚度矩阵应形如形的刚度

38、矩阵应形如解解:68其中其中 和和 分别为原点刚度系数和跨点刚度系数。忽略分别为原点刚度系数和跨点刚度系数。忽略板的质量，由刚度法得到系统自由振动微分方程组板的质量，由刚度法得到系统自由振动微分方程组 系统的固有频率方程为系统的固有频率方程为 69解出固有频率解出固有频率 对于对于单重固有频率单重固有频率 ，代入原特征值问题得到代入原特征值问题得到秩为秩为2 2的齐次线性方程的齐次线性方程 对于对于二重固有频率二重固有频率 ，将其代入原特征值问，将其代入原特征值问题得到题得到秩为秩为1 1的齐次方程的齐次方程 各质量块作同向、同振幅振动各质量块作同向、同振幅振动70可解出一对相互独立的固有振型

39、，但可解出一对相互独立的固有振型，但这种这种固有振型有无数多对固有振型有无数多对。例如。例如 对对应应这这阶阶重重频频固固有有振振动动的的固固有有振振型型空空间间是是二二维维的的，而而 是是其其基基底底。这这种基底自然有无穷多对。种基底自然有无穷多对。取定取定 和和 为一对固有为一对固有振型时，它们的线性组合振型时，它们的线性组合也成为一个固有振型。也成为一个固有振型。重频固有振型对图重频固有振型对图?71 为为了了动动响响应应分分析析的的方方便便，可可以以按按照照关关于于质质量量矩矩阵阵和和刚刚度度矩矩阵阵加加权权正正交交的的原原则则来来选选择择重重频频固固有有振振型型 。这这样样选选出出的

40、的固固有有振振型型具具有有单单构构系系统统固固有有振振型型的的一一切切性性质质，只只是是相相对对应应的的固固有有频频率率相相重重合合，这这种种特特殊殊现现象象可可视作视作系统的退化系统的退化。无无阻阻尼尼非非单单构构系系统统是是否否都都能能按按上上述述步步骤骤选选出出相相互互独独立立并并与与质质量量矩矩阵阵、刚刚度度矩矩阵阵加加权权正正交交的的固固有有振振型型呢？回答是肯定的。参见单构系统证明方法呢？回答是肯定的。参见单构系统证明方法2。振型的选择振型的选择要满足正交性要满足正交性72更多阶重频振型怎样处理？更多阶重频振型怎样处理？上例平板上例平板振型振型733.3.刚体模态刚体模态 刚刚体体

41、运运动动振振型型对对应应于于系系统统广广义义特特征征值值为为零零、即即零零频频率率的的情情况况。将将零零固固有有频频率率及及相相应应的的刚刚体体运运动动振振型型一一并并称称作作刚刚体模态体模态。刚体运动的试探解为。刚体运动的试探解为其其中中 和和 是是由由初初始始条条件件确确定定的的常常数数，描描述述了了系系统统作作刚刚体体运动时各自由度位移间的相对比例，称作运动时各自由度位移间的相对比例，称作刚体运动振型。这样的刚体运动将要求振型这样的刚体运动将要求振型 满足满足 势能二次型势能二次型:矩阵矩阵 K K 奇异奇异 刚体运动不产生弹性势能刚体运动不产生弹性势能 匀速运动74例：例：分析图中卡车

42、一拖车系统的固有振动。分析图中卡车一拖车系统的固有振动。解：解：系统在图示坐标系中的运动微分方程为系统在图示坐标系中的运动微分方程为对应的广义特征值问题为对应的广义特征值问题为75系统的运动由刚体运动叠加简谐振动而成系统的运动由刚体运动叠加简谐振动而成其中常数其中常数 由初始条件确定。由初始条件确定。相应的固有振型为相应的固有振型为解出系统的解出系统的两两个固有频率个固有频率762.3.5 运动解耦与自由振动解运动解耦与自由振动解 wN维空间可由N个线性无关N维向量组成一组基（坐标系）；wN维空间中任一向量可由基线性表示；w振型向量是一组线性无关N维向量（性质2）w任意N维空间向量可由振型线性

43、组合77物理坐标下的物理坐标下的自由振动运动方程自由振动运动方程加权正交性条件加权正交性条件坐标变换坐标变换 模态坐标下的模态坐标下的自由振动运动方程自由振动运动方程独立的独立的N个标量函数个标量函数 的微分方程的微分方程(运动解耦运动解耦)固固有有振振动动78对于无刚体自由度的系统对于无刚体自由度的系统:其中其中 对于给定的初始条件对于给定的初始条件 和和 ，由上式及其导数可得到，由上式及其导数可得到 79可解出参数向量（因为振型向量线性无关，矩阵可逆）可解出参数向量（因为振型向量线性无关，矩阵可逆）因此，系统的自由振动可写作因此，系统的自由振动可写作 其中其中实实际际计计算算中中，为为了了

44、避避免免求求解解上上式式中中的的固固有有振振型型矩矩阵阵之之逆逆，可可采采用用关关于于模模态态质质量量归归一一化的固有振型矩阵。化的固有振型矩阵。如如果果系系统统具具有有刚刚体体自自由由度度，自自由由振振动动中中还还有有刚刚体体位位移移成成分分。由由于于刚刚体体模态与弹性模态线性无关，可以完全类似地确定系统的运动。模态与弹性模态线性无关，可以完全类似地确定系统的运动。80 例例：设图中卡车设图中卡车拖车系统在拖车系统在 时静止，时静止，时一汽车迎面时一汽车迎面与卡车相撞后立即反弹脱离，卡车受到冲量与卡车相撞后立即反弹脱离，卡车受到冲量 作用，试确定作用，试确定 后后卡车卡车拖车系统的响应。拖车

45、系统的响应。系系统的运动是如下刚体位移与弹性振动的叠加统的运动是如下刚体位移与弹性振动的叠加其中其中解：解：在冲击过程中，卡车在冲击过程中，卡车与拖车间联接件来不及发生变与拖车间联接件来不及发生变形，从而冲击结束时系统运动形，从而冲击结束时系统运动的初始条件为的初始条件为81代入初始条件得代入初始条件得由固有振型矩阵可逆，解出由固有振型矩阵可逆，解出 系统运动为系统运动为82系统运动为：系统运动为：832.4 无阻尼系统的受迫振动无阻尼系统的受迫振动 3.3.1 频域分析频域分析系统的受迫振动运动方程系统的受迫振动运动方程:（1）动刚度矩阵和频响函数矩阵）动刚度矩阵和频响函数矩阵动刚度矩阵动刚

46、度矩阵 取特解取特解84位移频响函数矩阵位移频响函数矩阵其元素其元素 具有刚度系数具有刚度系数 的量纲，反映了系统第的量纲，反映了系统第j个自由度个自由度具有单位位移响应具有单位位移响应 、而其余坐标静止不动时，应施加在第、而其余坐标静止不动时，应施加在第i个自由度上的正弦广义力幅值个自由度上的正弦广义力幅值 。当。当 时，动刚度阵时，动刚度阵 就是系统刚度矩阵就是系统刚度矩阵 。如果激励频率与系统固有频率如果激励频率与系统固有频率 不相重合，不相重合，动刚度矩阵动刚度矩阵 是可逆的，记其逆矩阵为是可逆的，记其逆矩阵为它的元素它的元素 具有柔度系数的量纲，反映具有柔度系数的量纲，反映了在系统第

47、了在系统第 j个自由度上施加单位正弦激励个自由度上施加单位正弦激励后第后第 i个自由度的稳态位移响应幅值。个自由度的稳态位移响应幅值。动柔度矩阵动柔度矩阵不为零不为零85(2(2）频响函数矩阵的模态展开式）频响函数矩阵的模态展开式(研究研究H与模态参数关系与模态参数关系)利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性对上式两端求逆，得到对上式两端求逆，得到频响函数矩阵的模态展开式频响函数矩阵的模态展开式频响函数矩阵的元素为频响函数矩阵的元素为 86模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的关系：模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的

48、关系：a.在第在第j个自由度上施加简谐激励时，系统在第个自由度上施加简谐激励时，系统在第i个自由度上的响个自由度上的响应由应由N个与固有振型分量个与固有振型分量 成正比的基本振动分量叠成正比的基本振动分量叠加而成。加而成。b.这些基本振动分量的大小与这些基本振动分量的大小与 、亦即激励处的固有振型分量、亦即激励处的固有振型分量有关。如果有关。如果 ，即激励点正好位于第，即激励点正好位于第r阶固有振型阶固有振型 的节点的节点上，响应中就没有该激励诱发出的第上，响应中就没有该激励诱发出的第r阶基本振动成分。阶基本振动成分。c.若若 ，则当激励频率等于系统固有频率，则当激励频率等于系统固有频率 时，

49、时，将无穷大，即系统发生将无穷大，即系统发生共振共振。若系统的各阶固有频率值。若系统的各阶固有频率值相差显著，当激励频率相差显著，当激励频率 接近接近 时，频响函数可近似地表为时，频响函数可近似地表为系统在该频带内呈现单自由度系统的振动系统在该频带内呈现单自由度系统的振动特特性性.87（3）系统的反共振问题）系统的反共振问题 根根据据线线性性代代数数中中逆逆矩矩阵阵与与伴伴随随矩矩阵阵间间的的关关系系，系系统统第第i自自由由度度与第与第j自由度间的频响函数可写作自由度间的频响函数可写作 其中其中 是动刚度矩阵是动刚度矩阵 中元素中元素 的代数余子式，的代数余子式，的反共振频率的反共振频率 的零

50、点的零点 必要性必要性:a.动动力力吸吸振振:被被吸吸振振的的主主系系统统比比较较复复杂杂而而需需要要用用多多自自由由度度 力学模型描述力学模型描述;b.b.考考虑虑用用反反共共振振现现象象来来减减小小复复杂杂结结构构重重要要部部位位在在某某一一频频 带内的振动带内的振动.即将即将 划去第划去第 i 行和第行和第 j 列后的行列式再乘以列后的行列式再乘以 。88例例3.3.1 试计算图中系统频响函数试计算图中系统频响函数 和和 的的反共振频率。反共振频率。解：解：建立系统运动微分方程建立系统运动微分方程系统的动刚度矩阵为系统的动刚度矩阵为 a.对于对于原点频响函数原点频响函数 ，反共振频率方程