[数学]概率论与数理统计.ppt

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1、第六章第六章 参数估计参数估计v点估计v估计量的评选v区间估计6.1 6.1 点估计点估计总体总体X X的分布函数的分布函数F(xF(x；)的形状是已知的的形状是已知的，但但其中其中 为未知参数为未知参数,为参数空间。设为参数空间。设X X1 1，X Xn n是总体是总体X X的一个样本，的一个样本，若统计量若统计量g(Xg(X1 1，X Xn n)可作可作为为 的一个估计的一个估计,则称其为则称其为 的的一个估计一个估计量，记为量，记为若若x x1 1，x xn n是样本的一个观测值。是样本的一个观测值。由于由于g(xg(x1 1，x xn n)是实数域上的一个点，现用是实数域上的一个点，现

2、用它来估计它来估计，故称这种估计为点估计。故称这种估计为点估计。eg1.eg1.已知每包打印纸的重量已知每包打印纸的重量X XN(N(,2 2)，其中，其中，未知，现对未知，现对其中其中9 9包打印纸称重：包打印纸称重：试估计试估计。解：设解：设X Xi i=第第i i包打印纸重，包打印纸重，X Xi iN(N(,2 2)包包1 12 23 34 45 56 67 78 89 9kgkg1.81.82.12.11.91.91.81.82.02.01.91.92.02.02.12.11.81.82.2.设设(X(X1 1，X X2 2，X Xn n)是总体是总体X X的样本的样本:(1)X(1)

3、X的的k k阶阶原点矩原点矩：k k=E(XE(Xk k)样本的样本的k k阶阶原点矩原点矩：一一.矩估计法矩估计法1.1.矩估计法：矩估计法：（1 1）用样本矩作为总体同阶矩的估计；）用样本矩作为总体同阶矩的估计；（2 2）若）若 是未知参数是未知参数 的矩估计，则的矩估计，则g(g()的矩估计为的矩估计为g()g()。(2)X(2)X的的K K阶中心矩中心矩:k k=EX-EX-E(X)E(X)k k 样本的本的k k阶中心矩：中心矩：eg2.eg2.设设X1X1，XnXn为取自总体为取自总体Ua,bUa,b 的样本，的样本，求求a,ba,b的矩估计。的矩估计。解：解：eg3.eg3.设总

4、体设总体X X的概率密度为的概率密度为X X1 1，X Xn n为样本，求参数为样本，求参数 的矩估计。的矩估计。解：解：eg4.eg4.已知每包打印纸的重量已知每包打印纸的重量X XN(N(,2 2)，其中，其中，未知，现对未知，现对其中其中9 9包打印纸称重：包打印纸称重：试估计试估计,2 2。解：设解：设X Xi i=第第i i包打印纸重，包打印纸重，X Xi iN(N(,2 2)包包1 12 23 34 45 56 67 78 89 9kgkg1.81.82.12.11.91.91.81.82.02.01.91.92.02.02.12.11.81.8二二.极大似然估计法极大似然估计法e

5、g1.eg1.有两个射手，甲的命中率为有两个射手，甲的命中率为0.9,0.9,乙的命中率为乙的命中率为0.1,0.1,现在他们现在他们各向目标射击了一发，结果一个人命中了，估计是谁命中了的？各向目标射击了一发，结果一个人命中了，估计是谁命中了的？一般说，事件一般说，事件A A发生的概率与参数发生的概率与参数有关，有关，取值取值不同，则不同，则P(A)P(A)也不同。因而应记也不同。因而应记事件事件A A发生的概率为发生的概率为P(A|P(A|)。若。若A A发生了，则认为此时的发生了，则认为此时的 值应是在值应是在 中使中使P(A|P(A|)达到最大的那一个达到最大的那一个。这就是极大似然思想

6、。这就是极大似然思想。1.1.极大似然估计：极大似然估计：根据样本值选取参数根据样本值选取参数，使样本值发生的概率，使样本值发生的概率最大。最大。eg1eg1.有两个射手，甲的命中率为有两个射手，甲的命中率为p p1 1,乙的命中率为乙的命中率为p p2 2,现在他们现在他们各向目标射击了一发，结果甲命中了，估计是谁的命中率高？各向目标射击了一发，结果甲命中了，估计是谁的命中率高？eg2.eg2.一个盒子中有黑球和白球，比例是一个盒子中有黑球和白球，比例是3 3：1 1，但不知道那种球多，设，但不知道那种球多，设记记p=P(X=1)p=P(X=1)，现有放回地从中取了三个球得到样本值为（，现有

7、放回地从中取了三个球得到样本值为（x x1 1,x,x2 2,x,x3 3)，根据这个值应该如何确定根据这个值应该如何确定p p？解：解：PXPXkkp pk k(1(1p)p)1 1k k(k=0,1)p=1/4(k=0,1)p=1/4或或3/43/4作作 L(xL(x1 1,x,x2 2,x,x3 3:p)=P(X=x:p)=P(X=x1 1,X=x,X=x2 2,X=x,X=x3 3)x x1 1+x+x2 2+x+x3 30 01 12 23 3P=1/4P=1/4P=3/4P=3/42.2.离散型随机变量：离散型随机变量：设总体设总体X X的分布律为的分布律为设设(X(X1 1,X,

8、X2 2,X Xn n)是是X X的样本，有样本观察值的样本，有样本观察值x x1 1,x,x2 2,x xn n,则则L(L()称为似然函数。极大似然估计是在称为似然函数。极大似然估计是在 中选取适当的中选取适当的使使L(L()达到最大值。即达到最大值。即eg3.eg3.设设X X1 1，X Xn n为取自参数为为取自参数为p p的两点分布的两点分布总体的样本，求总体的样本，求p p的极的极大似然估计。大似然估计。解：解：PXPXkkp pk k(1(1p)p)1 1k k(k=0,1)(k=0,1)似然函数为：似然函数为：2.2.连续型随机变量：连续型随机变量：设总体设总体X X的概率密度

9、函数为的概率密度函数为f(xf(x;),),设设(X(X1 1,X,X2 2,X Xn n)是是X X的样本，有样本观察值的样本，有样本观察值x x1 1,x,x2 2,x xn n,则则作样本的作样本的似然函数为：似然函数为：极大似然估计是在极大似然估计是在 中选取适当的中选取适当的使使L(L()达到最大值。达到最大值。即即nxxniiinixiniiinndxdxxfdxxfxXPxXxXxXPni.),(.),()(),.,(111122111 =q qq qeg4.eg4.设设X X1 1，X Xn n为取自为取自 总体总体的样本，求参数的样本，求参数 的极大似然估计。的极大似然估计。

10、解：解：似然函数为：似然函数为：令令3.3.求极大似然估计的步骤求极大似然估计的步骤(1)(1)做似然函数做似然函数(2)(2)做对数似然函数做对数似然函数(3)(3)列似然方程列似然方程若该方程有解，则其解就是若该方程有解，则其解就是注注1 1：若概率函数中含有多个未知参数，则可解方程组若概率函数中含有多个未知参数，则可解方程组注注2 2：极大似然估计具有下述性质：极大似然估计具有下述性质：若若 是未知参数是未知参数 的极大似然估计，的极大似然估计，g(g()是是 的严格单调函数，则的严格单调函数，则g(g()的矩极大似然估计为的矩极大似然估计为g()g()。注注3 3：由似然方程解不出由似

11、然方程解不出 的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。的似然估计时，可由定义通过分析直接推求。事实上事实上 满足满足eg5.eg5.设设X1X1，XnXn为取自参数为为取自参数为 的指数分布的指数分布 总体的样本，总体的样本，a0a0为一给定实数。求为一给定实数。求p=PXap=PX00未知，未知，求参数求参数 的极大似然估计。的极大似然估计。解：解：似然函数为：似然函数为：用微分法不能求用微分法不能求 的极大似然估的极大似然估计。eg6eg6：设设X1X1，XnXn为取自为取自 U(0,U(0,)总体总体的样本，的样本，00未知，未知，求参数求参数 的极大似然估计。的极大似然估计。解：解：记

12、记 ，因为，因为X X U(0,U(0,)，似然函数为：似然函数为：当当时，才有可能是，才有可能是L(L()取的最大取的最大值又又 是是 的减函数，的减函数，则当当时取到最大取到最大值。6.2 6.2 估计量的评选标准估计量的评选标准一一.无偏性无偏性D D1.1.设为设为 的估计量，若，则称是的估计量，若，则称是 的的无偏估计量。无偏估计量。eg1.eg1.设随机变量设随机变量X X的的k k阶原点矩阶原点矩 k k =E(XE(Xk k)(k)(k=1,2,=1,2,n),n)存在，存在，求证：样本的求证：样本的k k阶原点矩是阶原点矩是 k k的无偏估计量。的无偏估计量。证明：证明：XX

13、i i与与X X同分布同分布 E(XE(Xi ik k)=)=E(XE(Xk k)=)=k k (k=1,2,.,n)(k=1,2,.,n)eg2.eg2.设随机变量设随机变量X X的期望的期望 和方差和方差 2 2都存在，则不论都存在，则不论X X的分布的分布如何，讨论如何，讨论 2 2的矩估计量的无偏性。的矩估计量的无偏性。解：解：M M2 2是是 2 2的有偏估的有偏估计量。量。S S2 2是是 2 2的无偏估的无偏估计量。量。eg3.eg3.设设X1X1，XnXn为取自为取自 U(0,U(0,)总体总体的样本，的样本，00未知，未知，考察考察 的矩估计和极大似然估计的无偏性的矩估计和极

14、大似然估计的无偏性。解：解：的矩估的矩估计计量量为为是是 的无偏估的无偏估计计量。量。的极大似然估的极大似然估计计量是量是 的有偏估的有偏估计计量。量。二二.有效性有效性eg4.eg4.设设X1X1，XnXn为取自为取自 U(0,U(0,)总体总体的样本，的样本，00未知，未知，比较和的有效性比较和的有效性。解：解：比有效比有效。*21nxnn+=q q三三.相合性相合性设是参数设是参数 的估计量，若的估计量，若，当，当n n时，称为时，称为 的相合估计量（一致估计量）。的相合估计量（一致估计量）。D D1.1.设总体设总体X X的分布函数的分布函数F(xF(x；)含有含有未知参数未知参数，对

15、于给定值对于给定值(0(0 1)1)，若由若由样本样本X X1 1,X Xn n可以确定可以确定两个统计量两个统计量 使使6.3 6.3 参数的区间估计参数的区间估计一一.概念概念eg1.eg1.对上海地区的明天的平均气温对上海地区的明天的平均气温T T进行预测，则假定进行预测，则假定T T a,ba,b。则称随机区间则称随机区间 为为 的的置信度为置信度为1 1的双侧的双侧置信区间。置信区间。分别称为置信度为分别称为置信度为1-1-的的双侧置信下限和双侧置信上限。双侧置信下限和双侧置信上限。D D2.2.上述定义中若为则称为上述定义中若为则称为 的单侧置信下限；的单侧置信下限；若为则称为若为

16、则称为 的单侧置信上限。的单侧置信上限。eg1.eg1.设某车间生产滚珠，其直径设某车间生产滚珠，其直径X XN(N(,2 2)，其中，其中 2 20.040.04，未知，现对其中未知，现对其中6 6个滚珠测得：个滚珠测得：在置信度在置信度0.950.95下求下求 的双侧置信区间。的双侧置信区间。解：解：个个1 12 23 34 45 56 6直径直径14.714.715.115.114.914.914.814.815.215.215.115.1 的置信度为的置信度为0.950.95的双侧置信区间：的双侧置信区间：即即 的置信度为的置信度为0.950.95的双侧置信区间：的双侧置信区间：1.1

17、.求正态总体参数置信区间的解题步骤：求正态总体参数置信区间的解题步骤：(1)(1)根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且根据实际问题构造样本的函数，要求仅含待估参数且分布已知分布已知(2)(2)令该令该函数落在由分位点确定函数落在由分位点确定的区间里的概率为的区间里的概率为给定的给定的置信度置信度1 1，要求要求区间按几何对称或概率对称区间按几何对称或概率对称；(3(3)解不等式得随机的置信解不等式得随机的置信区间；区间；(4)(4)由样本观测值及由样本观测值及 查分布表计算所求查分布表计算所求置信置信区间。区间。单个正态总体下参数的置信区间（置信度单个正态总体下参数的置信区间（置信度

18、1-1-）待估待估参数参数其他其他参数参数函数函数Z ZZ Z的分布的分布双侧置信区间双侧置信区间上、下限上、下限单侧置信下限单侧置信下限单侧置信上限单侧置信上限N(0,1)N(0,1)二二.正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计（一）单个正态总体（一）单个正态总体eg2.eg2.设有一批糖果，其净重设有一批糖果，其净重X XN(N(,2 2)，现对其中，现对其中1616包测得：包测得：在置信度在置信度0.950.95下求下求 的双侧置信区间。的双侧置信区间。解：解：506506508508499499503503504504510510 497497 51251251451450550

19、5493493496496506506502502 509509 496496 的置信度为的置信度为0.950.95的双侧置信区间：的双侧置信区间：eg3.eg3.设有一批糖果，其净重设有一批糖果，其净重X XN(N(,2 2)，现对其中，现对其中1616包测得：包测得：在置信度在置信度0.950.95下求下求 2 2的双侧置信区间。的双侧置信区间。解：解：506506508508499499503503504504510510 497497 512512514514505505493493496496506506502502 509509 496496 2 2的置信度为的置信度为0.950.

20、95的双侧置信区间：的双侧置信区间：（二）两个正态总体（二）两个正态总体两个正态总体下参数的置信区间（置信度两个正态总体下参数的置信区间（置信度1-1-）待估待估参数参数其他其他参数参数函数函数Z ZZ Z的分的分布布双侧置信区间上、双侧置信区间上、下限下限单侧置信下单侧置信下限限单侧置信上单侧置信上限限1-2N(0,1)N(0,1)eg4.eg4.机器机器A A与与B B生产的钢管的内径分布服从生产的钢管的内径分布服从N(N(1 1,1 12 2)和和 N(N(2 2,2 22 2)，现现随机抽取随机抽取A A生产的生产的1818个管子，测得个管子，测得S S1 12 2=0.34=0.34，B B生产的生产的1313个管子，测个管子，测得得S S2 22 2=0.29=0.29。在置信度。在置信度0.900.90下求下求 1 12 2/2 22 2的双侧置信区间。的双侧置信区间。解：解：的置信度为的置信度为0.90.9的双侧置信区间：的双侧置信区间：