医药高等数学1.1函数解析.ppt

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1、第第1 1章章 函数函数、极限极限与连续与连续 1.1 1.1 函函 数数1.2 1.2 极极 限限1.3 1.3 连连 续续12/16/20221医药高等数学医药高等数学1.1.11.1.1 实数、区间与邻域实数、区间与邻域1.1 1.1 函函 数数1.1.21.1.2 常量与变量常量与变量1.1.1.1.3 3 函数的定义函数的定义隐函数隐函数单值函数和多值函数单值函数和多值函数函数的定义函数的定义12/16/20222医药高等数学医药高等数学1.1.1.1.4 4 反函数反函数基本初等函数基本初等函数奇偶性奇偶性初等函数初等函数单调性单调性复合函数复合函数有界性有界性周期性周期性1.1.

2、1.1.6 6 分段函数分段函数1.1.1.1.7 7 函数的简单性质函数的简单性质1.1.1.1.5 5 初等函数初等函数1.1 1.1 函函 数数12/16/20223医药高等数学医药高等数学1.1.1 1.1.1 实数、区间与邻域实数、区间与邻域 1.1.实数实数实数实数由有理数和无理数两部分组成，全体由有理数和无理数两部分组成，全体实数实数可以用数轴上点的坐标来表示，每一可以用数轴上点的坐标来表示，每一实数构成的集合称为实数构成的集合称为实数集实数集。实数必是实数必是数轴上某一点的坐标数轴上某一点的坐标，反之，数，反之，数轴上没一点的坐标必是轴上没一点的坐标必是一个实数一个实数。每一实

3、。每一实数集与数轴上的全体点形成数集与数轴上的全体点形成一一对应一一对应的关系。的关系。12/16/20224医药高等数学医药高等数学2.2.区间区间区间区间是指介于某两个数之间的全体是指介于某两个数之间的全体在数轴上，区间是介于某两个点之间在数轴上，区间是介于某两个点之间实数，而这两个数叫做区间的实数，而这两个数叫做区间的端点。端点。的一条线段上点的全体，两点间的距的一条线段上点的全体，两点间的距离也就是线段的长度，称为离也就是线段的长度，称为区间的长度。区间的长度。区间可以分成以下几类：区间可以分成以下几类：开区间，闭区间，半开区间开区间，闭区间，半开区间12/16/20225医药高等数学

4、医药高等数学上述区间都称为上述区间都称为有限区间有限区间.如果区间的两个端点中至少有一个是如果区间的两个端点中至少有一个是(无限数）无限数）例如例如则称该区间为则称该区间为无限区间。无限区间。都是无限区间都是无限区间.全体实数构成的集合全体实数构成的集合R 可记作可记作也是也是无限区间无限区间在以上区间中，由于在以上区间中，由于a，b是两个实数，因此是两个实数，因此12/16/20226医药高等数学医药高等数学3.3.邻域邻域我们把以点我们把以点为中心，某一很小的正数为中心，某一很小的正数称为称为在后面的章节中经常会用到一种特殊的开在后面的章节中经常会用到一种特殊的开为半径的开区间为半径的开区

5、间区间，区间，称之为邻域。称之为邻域。的的邻域，邻域，其中点其中点，即即记为记为称为该称为该邻域的中心邻域的中心，称为该称为该邻域的半径。邻域的半径。正数正数12/16/20227医药高等数学医药高等数学将点将点的全体，的全体，即即的一切点的一切点x距离小于距离小于表示与点表示与点邻域邻域邻域邻域，记为，记为的去心的去心所得到的的实数全体，所得到的的实数全体，称为点称为点邻域中去掉中心点邻域中去掉中心点，即即称为称为称为称为其中其中的的12/16/20228医药高等数学医药高等数学1.1.2 1.1.2 常量与变量常量与变量 1.1.常量常量在某一现象或过程中始终保持同一数值不变在某一现象或过

6、程中始终保持同一数值不变的量称为的量称为常量常量。12/16/20229医药高等数学医药高等数学2.2.变量变量在某一现象或过程中量有变化，可以取不在某一现象或过程中量有变化，可以取不注意注意注意注意一个量是常量还是变量不是绝的，一个量是常量还是变量不是绝的，同的数值，这种量称为同的数值，这种量称为变量。变量。常量与变量是相对常量与变量是相对“场合场合”而言的。而言的。12/16/202210医药高等数学医药高等数学1.1.3 1.1.3 函数的定义函数的定义1.1.函数的定义函数的定义数集数集D叫做这个函数的叫做这个函数的定义域定义域因变量因变量自变量自变量12/16/202211医药高等数

7、学医药高等数学注意：注意：函数的两要素为：定义域和对应法则函数的两要素为：定义域和对应法则两个函数两个函数f(x)，g(x)相等是指：它们定相等是指：它们定义域义域相同，且对于定义域内任意一点相同，且对于定义域内任意一点x，都有都有f(x)=g(x)12/16/202212医药高等数学医药高等数学（1 1）函数的定义域的确定）函数的定义域的确定函数的定义域函数的定义域D通常按以下两种情形确定：通常按以下两种情形确定：当函数是用抽象的算式（解析式）表达当函数是用抽象的算式（解析式）表达 当函数在实际中应用时，其定义域不仅要使当函数在实际中应用时，其定义域不仅要使构成的集合。构成的集合。时，其定义

8、域是使算式时，其定义域是使算式有意义的一切实数有意义的一切实数函数的表达式有意义，还要有函数的表达式有意义，还要有实际意义实际意义来确定。来确定。其其定义域是定义域是12/16/202213医药高等数学医药高等数学对应法则对应法则-函数的表示法函数的表示法列表法列表法图像法图像法解析法解析法（2 2）函数对应法则的表达形式）函数对应法则的表达形式12/16/202214医药高等数学医药高等数学函数的表达主要是用函数的表达主要是用解析法解析法，下面举一个解析，下面举一个解析法表达的函数法表达的函数例例 假设假设16岁以上的成年人每天服用某药物的剂岁以上的成年人每天服用某药物的剂该函数的定义域是该

9、函数的定义域是，但在定义域的不，但在定义域的不同区间上，函数关系是用同区间上，函数关系是用两个解析式两个解析式表示的。表示的。量量Q是是2mg，而，而16岁以下的未成年人每天服用岁以下的未成年人每天服用该药物的剂量该药物的剂量Q与年龄与年龄t成正比，比例系数为成正比，比例系数为0.125mg/岁，则剂量岁，则剂量Q 与年龄与年龄t的函数关系为的函数关系为12/16/202215医药高等数学医药高等数学2.2.单值函数和多值函数单值函数和多值函数在函数定义在函数定义1-11-1中，如果自变量中，如果自变量x在在D内任取一个内任取一个值，对应的函数值值，对应的函数值y总是唯一的，这样的函数又总是唯

10、一的，这样的函数又确定了一个确定了一个称为称为单值函数单值函数，否则称为，否则称为多值函数多值函数注意：注意：注意：注意：在本书中，若无特殊说明，所称的函数在本书中，若无特殊说明，所称的函数例如例如在方程在方程都有两个都有两个y 值与之对应值与之对应中，对于每一个中，对于每一个以以x为自变量、为自变量、y为因变量的多值函数为因变量的多值函数.因此，方程因此，方程都都是单值函数是单值函数.12/16/202216医药高等数学医药高等数学3.3.隐函数隐函数称这种方式表达的函数为称这种方式表达的函数为显函数。显函数。如果因变量如果因变量y 是用是用x 的明显表达式的明显表达式表示出来的，表示出来的

11、，而有些函数的表达方式却不是这样，因变量与而有些函数的表达方式却不是这样，因变量与系隐含在这个方程中，这样的函数称为系隐含在这个方程中，这样的函数称为隐函数。隐函数。自变量的对应关系是由一个方程确定的，函数关自变量的对应关系是由一个方程确定的，函数关都是隐函数都是隐函数.例如例如12/16/202217医药高等数学医药高等数学如果变量如果变量y 与与x 满足一个方程满足一个方程那么就说方程那么就说方程当变量当变量x 取某区间内的任一值取某区间内的任一值时时相应地总有满足这方程的相应地总有满足这方程的y 值与之对应，值与之对应，在该区间内确定了以在该区间内确定了以x 为自变量为自变量y 为因变量

12、的隐函数为因变量的隐函数.在一定条件下在一定条件下，有些隐函数可以化成显函数，但显化有有些隐函数可以化成显函数，但显化有时很时很困难困难，甚至不可能甚至不可能。12/16/202218医药高等数学医药高等数学1.1.4 1.1.4 反函数反函数定义定义1-2量，哪个是因变量并不是量，哪个是因变量并不是绝对的绝对的，要根据所研究，要根据所研究一个叫做因变量，但在实际问题中，哪个是自变一个叫做因变量，但在实际问题中，哪个是自变的的具体问题而定。具体问题而定。在函数定义中的两个自变量，一个叫做自变量，在函数定义中的两个自变量，一个叫做自变量，反函数的一般定义如下：反函数的一般定义如下：都有都有唯一唯

13、一的且满足的且满足如果对于每一个如果对于每一个设设 f(x)是定义在是定义在D上的上的一个函数一个函数，值域为值域为W.12/16/202219医药高等数学医药高等数学关系式关系式x 的与之对应，则确定了一个定义在的与之对应，则确定了一个定义在W上、以上、以y 为自变量、为自变量、x 为因变量的新函数，为因变量的新函数，称为称为y=f(x)的反函数的反函数，记为记为互为反函数互为反函数而原来的函数而原来的函数y=f(x)称为称为直接函数直接函数，或称它们，或称它们我们通常用我们通常用x 表示自变量，表示自变量，y 表示因变量表示因变量这时我们说这时我们说因此，可以把因此，可以把改写为改写为是是

14、 y=f(x)的反函数。的反函数。12/16/202220医药高等数学医药高等数学表示变量表示变量y 和和x 的的同一种函数关系，同一种函数关系，y=f(x)和和的图形以的图形以y=x 为轴翻转为轴翻转它们的图形是它们的图形是同一条曲线；同一条曲线；y=f(x)注意：注意：就得到就得到的图形的图形.也就是说它们的图形是也就是说它们的图形是关于关于y=x 对称。对称。12/16/202221医药高等数学医药高等数学见图见图1-11-1图图1-112/16/202222医药高等数学医药高等数学例例求下列函数的反函数：求下列函数的反函数：由由改变变量的记号，即得到改变变量的记号，即得到反函数为：反函

15、数为：由由y=5x+6，解得，解得（1）y=5x+6，解得，解得改变变量的记号，即得到改变变量的记号，即得到反函数为：反函数为：解：解：（2）（1）12/16/202223医药高等数学医药高等数学注注1：并不是任何函数并不是任何函数y=f(x)都有反函数，都有反函数，因为对于因为对于y 的某些值，满足的某些值，满足y=f(x)这一条件的这一条件的x 值可能不止一个值可能不止一个.有些函数的反函数存在，但不一定能够有些函数的反函数存在，但不一定能够注注2：用一个显函数表示出来，即由用一个显函数表示出来，即由y=f(x)可能解不出可能解不出x=g(y),但反函数存在，但反函数存在，这时这时y=f(

16、x)的反函数表示为的反函数表示为隐函数形式隐函数形式.12/16/202224医药高等数学医药高等数学1.1.5 1.1.5 初等函数初等函数1.1.基本初等函数基本初等函数2.2.复合函数复合函数3.3.初等函数初等函数 12/16/202225医药高等数学医药高等数学幂函数幂函数、指数函数指数函数、对数函数对数函数、三角函数三角函数、反三角函数反三角函数六类函数：六类函数：1.基本初等函数基本初等函数常函数、常函数、12/16/202226医药高等数学医药高等数学1.基本初等函数基本初等函数常函数常函数常函数的定义域为常函数的定义域为它的图形是一条它的图形是一条水平直线水平直线。12/16

17、/202227医药高等数学医药高等数学幂函数幂函数幂函数的定义域依幂函数的定义域依例如例如而定，而定，的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为的定义域为但不论但不论取何值，当取何值，当 x0时，它总是有定义时，它总是有定义的，的，其图象都经过其图象都经过(1,1)点点.为实数为实数与与与与1.基本初等函数基本初等函数12/16/202228医药高等数学医药高等数学幂函数幂函数为实数为实数1.基本初等函数基本初等函数12/16/202229医药高等数学医药高等数学1.基本初等函数基本初等函数12/16/202230医药高等数学医药高等数学指数函数指数函数不论不论a为

18、何值，函数图象均经过为何值，函数图象均经过(0,1)点点.定义域定义域值域值域当当 a 1时，时，ax 单调增单调增；当当 0 a 1时，时，loga x严格单增；严格单增；当当0 a 1时，时，loga x 严格单减严格单减.1.基本初等函数基本初等函数12/16/202232医药高等数学医药高等数学三角函数三角函数常用的包括以下几种：常用的包括以下几种：有界函数有界函数(1)正弦函数正弦函数 y=sin x.定义域定义域值域值域奇函数，奇函数，周期周期1.基本初等函数基本初等函数12/16/202233医药高等数学医药高等数学有界函数有界函数（2）余弦函数余弦函数 y=cos x.定义域定

19、义域值域值域偶函数，偶函数，周期周期1.基本初等函数基本初等函数12/16/202234医药高等数学医药高等数学（3 3）正切函数）正切函数 y=tan x定义域定义域值域值域奇函数，奇函数，周期周期1.基本初等函数基本初等函数12/16/202235医药高等数学医药高等数学（4 4）余切函数）余切函数 y=cot x定义域定义域值域值域奇函数，奇函数，周期周期1.基本初等函数基本初等函数12/16/202236医药高等数学医药高等数学反三角函数反三角函数反三角函数是三角函数的反三角函数是三角函数的反函数反函数.由于三角函数都是周期函数，故对于值域的由于三角函数都是周期函数，故对于值域的每个每

20、个y 值，与之对应的值，与之对应的 x 值有无穷多个，因此，值有无穷多个，因此，在三角函数的整个定义域上，其反函数是不存在三角函数的整个定义域上，其反函数是不存在的在的,必须限制在三角函数的必须限制在三角函数的单调区间单调区间单调区间单调区间上才能建上才能建立反三角函数立反三角函数.1.1.基本初等函数基本初等函数12/16/202237医药高等数学医药高等数学记为记为故其反函数存在，称此反函数为故其反函数存在，称此反函数为反正弦函数反正弦函数奇函数，单调增奇函数，单调增.（1 1）反正弦函数）反正弦函数正弦函数正弦函数 y=sin x，在在上单调增，上单调增，定义域定义域值域值域1.基本初等

21、函数基本初等函数12/16/202238医药高等数学医药高等数学记为记为故其反函数存在，称此反函数为故其反函数存在，称此反函数为反余弦函数反余弦函数,单调减单调减.（2 2）反余弦函数）反余弦函数余弦函数余弦函数 y=cos x，在在上单调减，上单调减，其定义域其定义域值域值域1.基本初等函数基本初等函数12/16/202239医药高等数学医药高等数学（3 3）反正切函数）反正切函数记为记为故其反函数存在，称此反函数为故其反函数存在，称此反函数为反正切函数反正切函数，奇函数，单调增。奇函数，单调增。正切函数正切函数 y=tan x，在在上单调增，上单调增，其定义域其定义域值域值域1.1.基本初

22、等函数基本初等函数12/16/202240医药高等数学医药高等数学（4 4）反余切函数）反余切函数记为记为故其反函数存在，称此反函数为故其反函数存在，称此反函数为反余切函数反余切函数单调减单调减.余切函数余切函数 y=cot x，在在其定义域其定义域值域值域上单调减，上单调减，1.基本初等函数基本初等函数12/16/202241医药高等数学医药高等数学2.2.复合函数复合函数掌握：掌握：掌握：掌握：复合复合 分解分解 f(u)称为外函数外函数，g(x)称为内函数内函数，u称为中中间变量间变量.12/16/202242医药高等数学医药高等数学例例（1）设）设则则故故与与可以复合成复合函数：可以复

23、合成复合函数：复复 合合注注两个函数两个函数 y=f(u)与与 u=g(x)可复合成复合可复合成复合函数当且仅当函数当且仅当12/16/202243医药高等数学医药高等数学注注（2）设）设则则故故与与不能复合成复合函数不能复合成复合函数.求两个函数的复合函数，实际上就是将外函求两个函数的复合函数，实际上就是将外函数表达式中的自变量用内函数表达式来代替，从而数表达式中的自变量用内函数表达式来代替，从而得到复合函数的表达式得到复合函数的表达式.12/16/202244医药高等数学医药高等数学例例 已知已知求求 f(x1),f(x)解解：已知外函数和内函数，求复合函数的已知外函数和内函数，求复合函数

24、的问题，问题，直接代入直接代入直接代入直接代入即可即可.12/16/202245医药高等数学医药高等数学解：解：解：解：故有故有求求 f(x).令令解得反函数为解得反函数为因为因为从而从而例例例例 已知已知12/16/202246医药高等数学医药高等数学解解例例12/16/202247医药高等数学医药高等数学综上所述综上所述12/16/202248医药高等数学医药高等数学 把一个复合函数分解成几个简单的函数很重要，分解把一个复合函数分解成几个简单的函数很重要，分解的关键是分解出来的简单函数都是的关键是分解出来的简单函数都是基本初等函数基本初等函数或是或是由基由基本初等函数经过四则运算得到的函数

25、本初等函数经过四则运算得到的函数(简单函数）简单函数）分分 解解将下列复合函数分解为简单函数将下列复合函数分解为简单函数例例例例#12/16/202249医药高等数学医药高等数学3.3.初等函数初等函数由常数和五类基本初等函数经过有限次的由常数和五类基本初等函数经过有限次的四则运算与有限次的复合所得到的且四则运算与有限次的复合所得到的且仅用一个仅用一个解析式解析式表示的函数，统称为表示的函数，统称为初等函数初等函数.本书中讨论的函数基本上都是本书中讨论的函数基本上都是初等函数初等函数 例如：例如：例如：例如：注注并非所有函数都是初等函数并非所有函数都是初等函数.12/16/202250医药高等

26、数学医药高等数学1.1.6 分段函数分段函数 在定义域的不同部分内用不同的解析式表在定义域的不同部分内用不同的解析式表示的函数，称为示的函数，称为分段函数分段函数。但这也不是绝对的，例如但这也不是绝对的，例如分段函数一般不是初等函数分段函数一般不是初等函数.12/16/202251医药高等数学医药高等数学注注用解析式表示函数，并不要求函数在整个用解析式表示函数，并不要求函数在整个集上，集上，函数表达式不一样函数表达式不一样.如例中的符号函数如例中的符号函数y=sgnx 这样的函数这样的函数称为称为分分段函数段函数.定义域定义域D上有统一的解析表达式，在上有统一的解析表达式，在D不同子不同子#1

27、2/16/202252医药高等数学医药高等数学注注2 2分段函数的解析式不只一个，但它是一个分段函数的解析式不只一个，但它是一个函数，函数，其定义域是各段之并其定义域是各段之并.图象分段就是分段函数图象分段就是分段函数.分段函数的图像应分段作出，分段函数的图像应分段作出，但不要认为但不要认为#12/16/202253医药高等数学医药高等数学5.5.函数的简单性质函数的简单性质（1 1）单调性）单调性（2 2）奇偶性）奇偶性（3 3）周期性）周期性（4 4）有界性）有界性12/16/202254医药高等数学医药高等数学xyo oxyo o（1 1）单调性）单调性12/16/202255医药高等数

28、学医药高等数学偶函数偶函数y yx xox-x（2 2）奇偶性）奇偶性12/16/202256医药高等数学医药高等数学奇函数奇函数yxox-x12/16/202257医药高等数学医药高等数学例例例例解：解：解：解：12/16/202258医药高等数学医药高等数学（通常说周期函数的（通常说周期函数的周期周期是指其是指其最小正周期最小正周期）.在在(无穷无穷)多个正周期中多个正周期中若若存在一个最小数，此最小数称存在一个最小数，此最小数称为为最小正周期最小正周期。（3 3）周期性）周期性12/16/202259医药高等数学医药高等数学例例12/16/202260医药高等数学医药高等数学oyM-Mx

29、y=f(x)D有界有界无界无界M-MyxoD（4 4）有界性）有界性12/16/202261医药高等数学医药高等数学（4 4）函数的有界性）函数的有界性例如：例如：例如：例如：注意：注意：注意：注意：例如：例如：例如：例如：#12/16/202262医药高等数学医药高等数学1.1.1 1.1.1 实数、区间与邻域实数、区间与邻域 1.1 1.1 函函 数数函数的定义、单值函数和多值函数、隐函数函数的定义、单值函数和多值函数、隐函数1.1.4 1.1.4 反函数反函数1.1.2 1.1.2 常量与变量常量与变量1.1.3 1.1.3 函函数的定义数的定义小小 结结12/16/202263医药高等数学医药高等数学1.1.5 1.1.5 初等函数初等函数1.1.6 1.1.6 分段函数分段函数基本初等函数、复合函数、初等函数基本初等函数、复合函数、初等函数1.1.7 1.1.7 函数的简单性质函数的简单性质单调性、奇偶性、周期性、有界性单调性、奇偶性、周期性、有界性小小 结结#12/16/202264医药高等数学医药高等数学