隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数.ppt

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1、第三节第三节 隐函数的导数和由参隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数数方程确定的函数的导数 一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率 一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义：定义：若由方程若由方程 F(x,y)=0 可确定可确定 y 是是 x 的函数的函数,则称此函数为则称此函数为隐函数隐函数.由由 y=f(x)表示表示的函数的函数称为称为显函数显函数.隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边

2、求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.隐函数隐函数求导方法求导方法:两边对两边对 x 求导求导(含导数含导数 y 的方程的方程)例例1 1解解解得解得注意：注意：隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量隐函数的导数的表达式中一般同时含有变量 x 和和 y.解解所求切线方程为所求切线方程为显然通过原点显然通过原点.例例2 2.,)23,23(,333线通过原点线通过原点在该点的法在该点的法并证明曲线并证明曲线的切线方程的切线方程点点上上求过求过的方程为的方程为设曲线设曲线CCxyyxC=+例例3 3解解二、对数求导法二、对数求导法观察函数观察函数对数求导法对数求导法:先在方程两边取对数先在方程

3、两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.适用范围适用范围:有些函数用对数求导法求导很方便有些函数用对数求导法求导很方便 .例例1 1解解等式两边取对数得等式两边取对数得例例2 2解解等式两边取对数得等式两边取对数得对幂指函数对幂指函数 求导也可用对数求导法求导也可用对数求导法.解解例例3 3等式两边取对数得等式两边取对数得例例4 4解解等式两边取对数得等式两边取对数得三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数例如例如消去参数消去参数 t问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得由复合

4、函数及反函数的求导法则得例例1 1解解例例2 2解解故故所求切线方程为所求切线方程为解解：思考思考：方程组两边同时对方程组两边同时对 t 求导求导,得得,求求设设四、相关变化率四、相关变化率相关变化率问题相关变化率问题:研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个研究两个变化率之间的关系，以便已知其中一个变化率时求出另一个变化率变化率时求出另一个变化率.相关变化率相关变化率相关变化率问题解法相关变化率问题解法:找出相关变量的关系式找出相关变量的关系式对对 t 求导求导得相关变化率之间的关系式得相关变化率之间的关系式求出未知的相关变化率求出未知的相关变化率解解仰角增加率仰角增加率例例1 1思考题思

5、考题:当气球升至当气球升至500 m 时停住时停住,有一观测者以有一观测者以100 msec 的速率向气球出发点走来的速率向气球出发点走来,当距离为当距离为500 m 时时,仰角的增加率是多少仰角的增加率是多少?提示提示:对对 t 求导求导已知已知求求试求当容器内水试求当容器内水例例2.有一底半径为有一底半径为 R cm,高为高为 h cm 的圆锥容器的圆锥容器,今以今以 自顶部向容器内注水自顶部向容器内注水,位等于锥高的一半时水面上升的速度位等于锥高的一半时水面上升的速度.解解:设时刻设时刻 t 容器内水面高度为容器内水面高度为 x,水的水的上式两边对上式两边对 t 求导，得求导，得而而故故

6、体积为体积为 V,则则练习练习：设溶液自深设溶液自深18cm，顶直径顶直径12cm的圆锥形的圆锥形漏斗中漏入一直径为漏斗中漏入一直径为10cm的圆柱形桶中，开始是的圆柱形桶中，开始是漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为漏斗中盛满了溶液，已知当溶液在漏斗中深为12cm时，其液面下降的速率为时，其液面下降的速率为1cm/min，问此时问此时圆柱形桶中液面上升的速率为多少圆柱形桶中液面上升的速率为多少?五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导；直接对方程两边求导；对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导；导法则求导；参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则；实质上是利用复合函数求导法则；相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链用链式求导法求解式求导法求解.练练 习习 题题练习题答案练习题答案例例3 3解解例例3 3解解水面上升之速率水面上升之速率4000m