线性规划的灵敏度分析与最优解的解释.ppt

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1、第三章 线性规划的灵敏度分析与最优解 的解释讲授人：朱玉春朱玉春朱玉春朱玉春 教授教授教授教授单 位：经济管理学院经济管理学院经济管理学院经济管理学院 20112011年年年年西北农林科技大学西北农林科技大学引言 灵灵敏敏度度分分析析是是研研究究当当一一个个线线性性规规划划问问题题中中的的系系数数发发生生变变化化时时，其其对对函函数数最最优优解解的的影影响响程程度度。运用灵敏度分析，我们可以回答以下问题：运用灵敏度分析，我们可以回答以下问题：1.1.如如果果目目标标函函数数的的系系数数发发生生了了变变化化，对对最最优优解解会会产产生什么影响？生什么影响？2.2.如如果果改改变变约约束束条条件件

2、的的右右端端值值，对对最最优优解解会会产产生生什什么影响？么影响？首首先先我我们们将将介介绍绍如如何何使使用用图图解解法法进进行行双双变变量量线线性性规规划划问问题题的的灵灵敏敏度度分分析析，然然后后介介绍绍如如何何使使用用管理科学家软件得到灵敏度分析报告。管理科学家软件得到灵敏度分析报告。本章主要内容l3.1 3.1 灵敏度分析简介灵敏度分析简介l3.2 3.2 图解法灵敏度分析图解法灵敏度分析l3.3 3.3 灵敏度分析：计算机求解灵敏度分析：计算机求解l3.4 3.4 多于两个决策变量的情况多于两个决策变量的情况l3.5 3.5 电子通信公司问题电子通信公司问题3.1 灵敏度分析简介 灵

3、敏度分析对于决策者的重要性不言而喻。灵敏度分析对于决策者的重要性不言而喻。在在真真实实世世界界里里，周周围围的的环环境境，条条件件是是在在不不断断变变化化的的。原原材材料料的的成成本本在在变变，产产品品的的需需求求在在变变，公公司司购购买买新新设设备备、股股票票价价格格的的波波动动，员员工工流流动动等等等等这这些些都都在在不不断断发发生生。如如果果我我们们要要用用线线性性规规划划模模型型去去解解决决实实际问题，那模型中的系数就不可能是一成不变的。际问题，那模型中的系数就不可能是一成不变的。这这些些系系数数的的变变化化会会对对模模型型的的最最优优解解产产生生什什么么样样的的影影响响呢呢？运运用用

4、灵灵敏敏度度分分析析，我我们们只只需需要要改改变变相相应应的的系数就可以得到答案，而不需要建立新的模型。系数就可以得到答案，而不需要建立新的模型。3.1 灵敏度分析简介回忆Par公司的问题：我们已经知道这个问题的最优解是标准袋生产我们已经知道这个问题的最优解是标准袋生产540540个，高级袋生产个，高级袋生产252252个，个，这个最优解的前提是每个标准袋的利润是这个最优解的前提是每个标准袋的利润是1010美元，每个高级袋的利润是美元，每个高级袋的利润是9 9美元。美元。3.1 灵敏度分析简介 假假设设，我我们们得得知知由由于于价价格格的的下下降降，标标准准袋袋的的利利润润由由1010美美元元

5、下下降降到到8.58.5美美元元。这这时时我我们们可可以以用用灵灵敏敏度度分分析析来来确确定定标标准准袋袋生生产产540540个个，高高级级袋袋生生产产252252个个是是否否还还是是最最优优解解。如如果果还还是，则不必建立新的模型求解了。是，则不必建立新的模型求解了。灵灵敏敏度度分分析析还还可可以以用用来来分分析析模模型型中中的的系系数数哪哪个个更更能能左左右右最优解。最优解。比比如如，管管理理层层认认为为高高级级袋袋的的利利润润9 9美美元元只只是是一一个个估估计计量量，如如果果通通过过灵灵敏敏度度分分析析得得到到高高级级袋袋的的利利润润在在6.676.67和和14.2914.29美美元元

6、之之间间变变化化时时，模模型型的的最最优优解解都都是是540540个个标标准准袋袋和和252252个个高高级级袋袋，那那么么管管理理层层就就对对9 9美美元元这这个个估估计计量量和和模模型型所所得得出出的的最最优优产产量量比比较较满满意意。但但是是，如如果果灵灵敏敏度度分分析析告告诉诉我我们们只只有有当当高高级级袋袋的的利利润润在在8.98.9和和9.259.25美美元元之之间间，模模型型的的最最优优解解才才是是540540个个标标准准袋袋和和252252个个高高级级袋袋，那那么么管管理理层层就就必必须须思思考考9 9美美元元这这个估计量的可信程度有多大了。个估计量的可信程度有多大了。3.1

7、灵敏度分析简介 灵灵敏敏度度分分析析的的另另一一个个用用途途是是分分析析约约束束条条件件的的右右端端值值变变化化对对最最优优解解的的影影响响。还还是是以以ParPar公公司司为为例例，在在最最优优产产量量的的情情况况下下，切切割割与与印印染染部部门门和和成成型型部部门门的的工工作作时时间间已已经经完完全全被被占占用用了了。如如果果现现在在公公司司增增加加了了这这两两个个部部门门的的生生产产能能力力，那那么么最最优优解解以以及及总总利利润润的的值值会会发发生生什什么么样样的的变变化化呢呢？灵灵敏敏度度分分析析可可以以帮帮助助确确定定每每一一个个工工时时的的边边际际价价值值，以以及及在在利利润润下

8、降之前部门工时的最大增加量。下降之前部门工时的最大增加量。3.2 图解法灵敏度分析 对对于于双双变变量量的的线线性性规规划划问问题题，当当目目标标函函数数的的系系数数或或约约束束条件的右端值变化时，用图解法对其进行灵敏度分析。条件的右端值变化时，用图解法对其进行灵敏度分析。我我们们先先思思考考目目标标函函数数的的系系数数变变化化会会对对ParPar公公司司的的最最优优产产量量产产生生什什么么样样的的影影响响。选选择择每每个个标标准准袋袋的的利利润润是是1010美美元元，每每个个高高级级袋袋的的利利润润是是9 9美美元元，如如果果其其中中一一种种袋袋子子利利润润下下降降，公公司司就就会会削削减减

9、其其产产量量，如如果果利利润润上上升升，公公司司就就会会增增加加其其产产量量。究究竟竟利利润润变化多少，管理者才应该改变产量呢？变化多少，管理者才应该改变产量呢？现现在在，模模型型的的最最优优解解540540个个标标准准袋袋和和252252个个高高级级袋袋。每每个个目目标标函函数数系系数数都都有有一一个个最最优优范范围围，即即目目标标函函数数系系数数在在什什么么范范围围内内变化，模型的最优解保持不变。变化，模型的最优解保持不变。3.2 图解法灵敏度分析 3.2.1 目标函数系数 认认真真观观察察图图发发现现，只只要要目目标标函函数数直直线线的的斜斜率率处处于于直直线线A A（和和切切割割与与印

10、印染染约约束束线线重重合合）的的斜斜率率与与直直线线B B（与与成成型型约约束束线线重重合合）的的 斜斜 率率 之之 间间，极极 点点3 3（S=540S=540，D=252D=252）就就是是最优解的点。最优解的点。改改变变目目标标函函数数里里S S和和D D的的系系数数，引引起起目目标标函函数数直直线线斜斜率率的的变变化化，即即绕绕着着极极点点3 3旋旋转转。只只要要目目标标函函数数直直线线仍仍在在阴阴影影区区域域内内，极极点点3 3仍是最优解。仍是最优解。3.2 图解法灵敏度分析 逆逆时时针针转转动动目目标标函函数数直直线线，使使其其斜斜率率变变成成一一个个绝绝对对值值更更小小的的负负数

11、数，从从而而斜斜率率变变大大了了。直直到到与与A A重重合合，我我们们就就获获得得了了多多重重最最优优解解在在极极点点3 3和和极极点点4 4之之间间的的点点都都是是最最优优点点。因因此此A A的斜率是目标函数直线的上限。的斜率是目标函数直线的上限。顺顺时时针针转转动动目目标标函函数数直直线线，使使其其斜斜率率变变成成一一个个绝绝对对值值更更大大的的负负数数，从从而而斜斜率率变变小小了了。直直到到与与B B重重合合，我我们们又又获获得得了了多多重重最最优优解解极极点点3 3和和极极点点2 2之之间间都都是是最最优优点点。因因此此B B的的斜斜率是目标函数直线斜率的下限。率是目标函数直线斜率的下

12、限。因此，极点因此，极点3 3总是最优解点，只要总是最优解点，只要直线直线B B的斜率的斜率目标函数直线的斜率目标函数直线的斜率直线直线A A的斜率的斜率3.2 图解法灵敏度分析 根据直线根据直线A A和直线和直线B B的表达式，可以算出的表达式，可以算出A A的斜率是的斜率是-7/10-7/10，截距是，截距是630630。B B的斜率是的斜率是-3/2-3/2，截距是，截距是10621062。则则直直线线A A和和直直线线B B的的斜斜率率都都已已经经计计算算出出来来了了，我我们们来来看看保持极点保持极点3 3仍然为最优解点，应满足条件：仍然为最优解点，应满足条件：-3/2-3/2目标函数

13、的斜率目标函数的斜率-7/10-7/103.2 图解法灵敏度分析 现现在在让让我我们们考考虑虑目目标标直直线线斜斜率率的的一一般般形形式式。用用CSCS表表示示标标准准袋袋的的利利润润，CDCD表表示示高高级级袋袋的的利利润润，P P表表示示目目标标函函数数值值。使用这些标识，目标函数直线可以写成：使用这些标识，目标函数直线可以写成：P=CP=CS SS+CS+CD DD D 把上面方程写成斜截式，得到把上面方程写成斜截式，得到C CD DD=-CD=-CS SS+PS+P 以及以及D=-S(CD=-S(CS S/C/CD D)+P/C)+P/CD D 因因此此我我们们看看到到只只要要满满足足

14、下下列列条条件件，极极点点3 3就就仍仍然然为为最最优优解解点：点：-3/2-C-3/2-CS S/C/CD D-7/10-7/103.2 图解法灵敏度分析 为为了了计计算算标标准准袋袋利利润润最最优优的的范范围围，我我们们假假设设高高级级袋袋的的利润利润C CD D=9=9，代入上式得，代入上式得-3/2-C-3/2-CS S/9-7/10/9-7/10 从左边的不等式得到从左边的不等式得到-3/2-C-3/2-CS S/9/9或者或者3/2C3/2CS S/9/9 从右边的不等式得到从右边的不等式得到-C-CS S/9-7/10/9-7/10或者或者C CS S/97/10/97/10 综

15、合标准袋利润综合标准袋利润C CS S的极限，标准袋最优范围为的极限，标准袋最优范围为6.3 C6.3 CS S13.513.53.2 图解法灵敏度分析 因因此此，只只要要标标准准袋袋的的利利润润在在6.36.3美美元元与与13.513.5美美元元之之间间，540540个个标标准准袋袋和和252252个个高高级级袋袋总总是是最最优优产产量量。值值得得注注意意的的是是，即即使使产产量量不不变变，总总的的利利润润也也可可能能由由于于每每一一个个标标准准袋袋利利润润的的变变化化而而变变化化。这这些些计计算算可可以以重重复复进进行行，假假设设标标准准袋袋的的利利润润为为常常数数C CS S=10=10

16、，如如此此一一来来，高高级级袋袋的的利利润润的的最最优优范范围围就就能能够确认，这个范围是够确认，这个范围是6.67C6.67CD D14.2914.29。3.2 图解法灵敏度分析 当当目目标标函函数数绕绕最最优优点点旋旋转转，使使之之与与坐坐标标轴轴垂垂直直时时，像像式式中中出出现现的的那那种种斜斜率率的的上上限限或或下下限限就就不不存存在在了了。为为了了说说明明这这种种特特殊殊情情况况，我我们们设设ParPar公公司司的的目目标标函函数数为为18C18CS S+9C+9CD D；这这样样，图图中中，极极点点2 2是是最最优优解解点点，绕绕着着极极点点2 2逆逆时时针针旋旋转转目目标标函函数

17、数，当当目目标标函函数数与与直直线线B B重重合合时时，就就得得到到了了斜斜率率的的上上限限-3/23/2。所所以以目目标标函函数数斜斜率率上上限限一一定定是是-3/2-3/2。最最后后当当目目标标函函数数垂垂直直于于坐坐标标轴轴时时，其其斜斜率率接接近近负负无无穷穷大大，在在这这种种情情况况下下，目标函数的斜率没有下限，只有上限目标函数的斜率没有下限，只有上限-3/2-3/2。-C-CS S/C/CD D-3/2-3/23.2 图解法灵敏度分析 按按照照前前面面假假定定的的CDCD的的值值，仍为常数仍为常数9 9，我们得到，我们得到-C-CS S/9-3/2/9-3/2或者或者C CS S/

18、93/2/93/2 解出解出CSCS，得，得C CS S27/2=13.527/2=13.5 我我们们注注意意到到，只只要要CSCS的的值值大大于于等等于于13.513.5，极极点点2 2仍仍然然是是最最优优解解点点，因因此此我我们们得得到到以以极极点点2 2为为最最优优解解的的C CS S的的范范围围，如下如下13.5C13.5CS S3.2 图解法灵敏度分析 多多系系数数同同时时改改变变 目目标标函函数数系系数数的的最最优优范范围围只只能能够够应应用用于于一一次次只只有有一一个个系系数数发发生生改改变变的的情情况况，其其他他系系数数都都假假定定保保持持初初值值而而不不发发生生改改变变。如如

19、果果两两个个或或两两个个以以上上目目标标函函数数的的系系数数被被同同时时改改变变，就就有有必必要要进进一一步步判判断断最最优优解解会会不不会会也也发发生生变变化化。对对于于解解决决只只有有两两个个变变量量的的问问题题时时，简简单单的的计计算算出出在在新新的的系系数数值值下下目目标标函函数数的的斜斜率率（-C-CS S/C/CD D），如如果果这这个个比比值值大大于于等等于于目目标标函函数数斜斜率率的的下下限限，同同时时小小于于等等于于目目标标函函数数斜斜率的上限，那么系数值的变化不会使最优解发生变化。率的上限，那么系数值的变化不会使最优解发生变化。3.2 图解法灵敏度分析 观观察察最最优优范范

20、围围，我我们们得得出出结结论论，无无论论是是C CS S升升高高到到1313美美元元还还是是使使C CD D降降低低到到8 8美美元元（但但不不是是同同时时改改变变），都都不不会会带带来来最最优优解解的的变变化化。但但当当C CS S与与C CD D同同时时改改变变时时，目目标标函函数数斜斜率率的的变变化化导导致致了了最最优优解解的的变变化化。这这个个结结论论强强调调了了这这样样一一个个事事实实：仅仅仅仅是是通通过过最最优优范范围围，只只能能用用于于判判断断在在一一次次改改变变一一个个目标函数系数的情况下最优解的变化。目标函数系数的情况下最优解的变化。3.2 图解法灵敏度分析 3.2.2 约束

21、条件右端值的变化 现在让我们来考虑约束条现在让我们来考虑约束条件右端值的变化对可行域带来件右端值的变化对可行域带来的影响，及其可能对最优解带的影响，及其可能对最优解带来的变化。为了阐明敏感度分来的变化。为了阐明敏感度分析的这方面内容，我们假设析的这方面内容，我们假设ParPar公司的切割与印染部门增公司的切割与印染部门增加了加了1010个小时的生产时间，然个小时的生产时间，然后来考虑将会有什么发生。切后来考虑将会有什么发生。切割与印染约束条件的右端值由割与印染约束条件的右端值由630630变为变为640640，约束条件可写作，约束条件可写作7/10S+D6407/10S+D6403.2 图解法

22、灵敏度分析 获获得得10小小时时的的切切割割与与印印染染时时间间，我我们们可可以以扩扩展展问问题题的的可可行行域域。运运用用图图解解法法可可以以看看出出，极极点点S=527.5，D=270.5是是最最优优解解点点。新新的的目目标标函函数数值值为为10*527.5+9*270.5=7711.75美元，比原先利润增加了美元，比原先利润增加了43.75美元。美元。约约束束条条件件右右端端值值每每增增加加一一个个单单位位引引起起的的最最优优值值的的变变化化量量称称为为对对偶偶价价格格。在在这这个个例例子子里里，切切割割与与印印染染约约束束条条件件的的对对偶偶价价格格为为4.375美美元元。约约束束条条

23、件件增增加加或或减减少少一一小小时时，目目标函数值会相应增加或减少标函数值会相应增加或减少4.375美元。美元。3.2 图解法灵敏度分析 在在这这里里，我我们们要要注注意意的的是是，对对偶偶价价格格可可能能只只适适用用于于在在右右端端值值仅仅发发生生了了很很小小的的变变动动时时的的情情况况。随随着着所所获获得得的的资资源源越越来来越越多多，从从而而右右端端值值越越来来越越大大，其其他他的的约约束束条条件件也也可可能能会约束和限制目标函数值的变化。会约束和限制目标函数值的变化。3.3 灵敏度分析：计算机求解 为为了了使使用用管管理理科科学学家家软软件件，我我们们使使用用小小数数代代替替分分数数。

24、Par公司的问题用小数形式的系数表示如下：公司的问题用小数形式的系数表示如下：Max 10S+9D s.t.0.7S+D630 切割与缝合切割与缝合 0.5S+0.83333D600 缝合缝合 1.0S+0.66667D708 成型成型 0.1S+0.25D135 检查与包装检查与包装 S,D03.3 灵敏度分析：计算机求解 3.3.1 计算机输出的解释计算机输出的解释第一个例子第一个例子 回回忆忆Par公公司司的的例例子子，其其中中有有4个个小小于于或或等等于于约约束束条条件件的的，都都是是关关于于各各个个生生产产部部门门的的生生产产时时间间。在在松松弛弛/剩剩余余变变量量一栏中，可以看到每

25、个部门的松弛变量值。信息归总如下一栏中，可以看到每个部门的松弛变量值。信息归总如下：从上述数据中，我们可以看到束缚性约束条件（切割从上述数据中，我们可以看到束缚性约束条件（切割与印染和成型）在目标函数的最优下，松弛为与印染和成型）在目标函数的最优下，松弛为0。缝合部门。缝合部门有有120小时的松弛或未使用的缝合能力，检查与包装部门有小时的松弛或未使用的缝合能力，检查与包装部门有18小时的松弛。小时的松弛。3.3 灵敏度分析：计算机求解3.3 灵敏度分析：计算机求解 这这里里，约约束束条条件件1 1（切切割割与与印印染染）和和约约束束条条件件3 3（成成型型）的的非非零零对对偶偶价价格格分分别别

26、为为4.374964.37496和和6.937536.93753。这这告告诉诉我我们们，每每额额外外增增加加1 1小小时时的的切切割割与与印印染染时时间间会会使使最最优优解解增增加加4.374.37美美元元，每增加每增加1 1小时成型时间会使最优解增加小时成型时间会使最优解增加6.946.94美元。美元。看看上上图图结结果果，我我们们看看到到管管理理科科学学家家软软件件除除了了提提供供松松弛弛/剩剩余余变变量量和和对对偶偶价价格格的的约约束束信信息息之之外外，还还给给出出了了目目标标函函数数系系数和约束条件右端值的变化范围。数和约束条件右端值的变化范围。变量变量S S的最优化范围是：的最优化范

27、围是：6.3CS13.5 6.3CS13.5 变量变量D D的最优化范围是：的最优化范围是：6.67CD14.29 6.67CD14.29 这个最优化范围与图解法得出的结论是一致的。这个最优化范围与图解法得出的结论是一致的。3.3 灵敏度分析：计算机求解 计计算算机机输输出出结结果果的的最最后后一一部部分分右右端端值值范范围围给给出出了了对对偶偶价价格格适适用用范范围围的的限限制制条条件件。只只要要约约束束条条件件右右端端值值处处于于系系统统所所给给出出的的下下限限和和上上限限之之间间，对对偶偶价价格格就就会会给给出出当当右右端端值值增增加加1 1时时，最优解的增加量。最优解的增加量。右右端端

28、值值范范围围给给出出了了一一个个对对偶偶价价格格的的适适用用范范围围。如如果果右右端端值值的的变变化化超超出出了了这这个个范范围围，就就需需要要重重解解原原问问题题并并找找出出新新的的对对偶偶价价格格。我我们们把把这这个个对对偶偶价价格格适适用用的的范范围围称称作作可可行行域域。ParPar公公司问题的可行域汇总如下。司问题的可行域汇总如下。只要右端值在这些范围之内，系统分析结果中的那些对只要右端值在这些范围之内，系统分析结果中的那些对偶价格就不会改变。右端值如果超过了这些范围，对偶价偶价格就不会改变。右端值如果超过了这些范围，对偶价格信息会随之改变。格信息会随之改变。3.3 灵敏度分析：计算

29、机求解 3.3.2 多系数同时变化 系系统统灵灵敏敏度度分分析析的的输输出出是是基基于于单单函函数数系系数数变变化化的的。它它假假设设所所有有其其他他系系数数都都保保持持不不变变。因因此此目目标标函函数数系系数数和和约约束束右右端端值值的的变变化化范范围围只只能能适适用用于于单单个个系系数数发发生生变变化化的的情情况况。然然而而很很多多情情况况下下，我我们们可可能能更更关关注注两两个个或或两两个个以以上上系系数数同同时时变变化化时时，目目标标函函数数将将怎怎样样变变化化。有有些些多多系系数数同同时时变变化化的的分析可能会用到分析可能会用到100%法则法则。下面分析如何应用。下面分析如何应用10

30、0%法则。法则。3.3 灵敏度分析：计算机求解 假假设设Par公公司司的的会会计计部部门门指指出出原原先先的的标标准准袋袋和和高高级级袋袋利利润润计计算算有有误误，应应该该是是11.5美美元元和和8.25美美元元。为为了了确确定定这这样样的的变变化化是是否否会会对对最最优优解解产产生生影影响响，我我们们先先要要定定义义两两个个术术语语“允允许许增增加加量量”和和“允允许许减减少少量量”。对对于于目目标标函函数数的的系系数数，允允许许增增加加量量是是在在不不超超过过最最优优范范围围的的情情况况下下，系系数数尽尽可可能能增增加加的的最最大大量量；而而允允许许减减少少量量是是在在不不低低于于最最优优

31、范范围围下下限限的情况下，系数可能减少的最大量。的情况下，系数可能减少的最大量。3.3 灵敏度分析：计算机求解目标函数系数的目标函数系数的100%100%法则法则 对对所所有有变变化化的的目目标标函函数数系系数数，计计算算其其占占允允许许增增加加量量和和允允许许减减少少量量的的百百分分比比之之和和。如如果果和和没没有有达达到到100%100%，最最优优解解就不会改变。就不会改变。但但是是，100%100%法法则则并并没没有有规规定定如如果果各各百百分分比比之之和和达达到到100%100%，最最优优解解一一定定会会发发生生变变化化。如如果果100%100%法法则则的的条条件件不不能能被被满满足足

32、，就就必必须须对对问问题题重重新新求求解解，以以确确定定最最优优解解是是否否发发生生变化。变化。3.3 灵敏度分析：计算机求解 下下面面100%100%法法则则相相似似的的定定理理也也可可以以用用来来解解决决多多个个约约束束条条件右端值同时发生变化的情况：件右端值同时发生变化的情况：约束条件右端值的约束条件右端值的100%100%法则法则 对对所所有有变变化化的的右右端端值值，计计算算其其占占允允许许增增加加量量和和允允许许减减少少量量的的百百分分比比之之和和。如如果果和和没没有有达达到到100%100%，对对偶偶价价格格就就不不会改变。会改变。下下面面我我们们说说明明在在ParPar公公司司

33、问问题题中中，多多个个右右端端值值发发生生变变化时，约束条件右端值的化时，约束条件右端值的100%100%法则法则。3.3 灵敏度分析：计算机求解 例例如如，假假设设切切割割与与印印染染部部门门能能获获得得额额外外的的20个个小小时时时时间间，同同时时成成型型部部门门能能获获得得额额外外的的100小小时时的的时时间间，切切割割与与印印染染时时间间的的允允许许增增量量是是52.36316，成成型型时时间间允允许许增增量量是是192.0，新新增增的的20小小时时切切割割与与印印染染时时间间占占约约束束条条件件右右端端值值允允许许增增加加量量的的38.19%，额额外外的的100小小时时成成型型占占了

34、了总总允允许许增增加加量量的的52.8%。二二者者百百分分比比和和为为90.27%，没没有有超超过过100%，因因此此我我们们可可以以得得出出结结论论：对对偶偶价价格格在在这这里里是是适适用用的的，并并且目标函数值将由此增加且目标函数值将由此增加20*4.37+100*6.94=781.40.3.3 灵敏度分析：计算机求解 3.3.4 关于对偶价格解释的注释 如如前前所所述述，对对偶偶价价格格是是右右端端值值每每增增加加一一个个单单位位时时对对最最优优值值的的改改进进。当当约约束束条条件件的的右右端端值值表表示示某某种种资资源源的的可可利利用用量量时时，对对偶偶价价格格通通常常可可以以解解释释

35、为为公公司司对对额额外外支支付付一一单单位位这这种种资资源源所所愿愿意意提提供供的的金金额额。然然而而这这种种解解释释也也并并非非总总是是正正确确的。的。要要理理解解这这个个问问题题，我我们们先先要要理理解解沉沉没没成成本本和和相相关关成成本本的的区区别别。沉沉没没成成本本不不会会受受决决策策影影响响，无无论论决决策策变变量量为为何何值值，这这种种成成本本都都会会发发生生。相相关关成成本本则则取取决决于于决决策策的的制制定定，这这种种成本决定于决策变量值的变化。成本决定于决策变量值的变化。3.3 灵敏度分析：计算机求解 重重新新考考虑虑ParPar公公司司的的例例子子。切切割割印印染染总总时时

36、间间是是630630小小时时，无无论论生生产产标标准准袋袋还还是是高高级级袋袋，都都是是按按照照时时间间来来付付工工资资的的，那那么么时时间间成成本本就就是是一一种种沉沉没没成成本本。如如果果ParPar公公司司只只需需要要为为那那些些切切割割与与印印染染高高尔尔夫夫球球袋袋的的时时间间偿偿付付工工资资，那那么么时时间间成成本本就就是是一一种种相相关关成成本本。所所有有的的相相关关成成本本都都要要在线性规划的目标函数中有所反映。在线性规划的目标函数中有所反映。3.3 灵敏度分析：计算机求解 对对ParPar公公司司而而言言，我我们们一一直直假假设设公公司司必必须须按按照照工工作作时时间间来来向

37、向工工人人发发工工资资，不不管管他他们们的的工工作作时时间间是是否否有有效效率率地地被被利利用用。因因此此，ParPar公公司司的的劳劳动动时时间间资资源源的的成成本本就就属属于于沉沉没没成本而不在目标函数中反映出来。成本而不在目标函数中反映出来。当当某某种种资资源源的的成成本本属属于于沉沉没没成成本本，对对偶偶价价格格就就可可以以被被解解释释为为得得到到额额外外一一个个单单位位这这种种资资源源而而付付出出的的金金额额。当当某某种种资资源源的的成成本本属属于于相相关关成成本本，对对偶偶价价格格则则可可以以被被解解释释为为这这种种资资源源的的价价值值超超过过其其成成本本的的数数额额，也也就就是是

38、增增加加一一个个这这种种资资源源时，公司能付出的最大成本量。时，公司能付出的最大成本量。3.4 多于两个决策变量的情况 图图解解法法只只能能应应用用于于解解决决双双决决策策变变量量的的线线性性规规划划问问题题，而而计计算算机机软软件件是是用用来来处处理理多多变变量量和和约约束束条条件件的的线线性性规规划划问问题题的的。在在现现实实生生活活中中，用用线线性性规规划划解解决决的的问问题题经经常常包包含含大大量的变量和约束条件。量的变量和约束条件。Par Par公司原来的问题模型如下：公司原来的问题模型如下：3.4 多于两个决策变量的情况 假假设设管管理理者者希希望望生生产产一一种种轻轻便便的的、可

39、可以以被被球球手手随随身身携携带带的的球球袋袋模模型型。设设计计部部门门估估计计每每个个新新球球袋袋将将需需要要0.80.8小小时时的的切切割割印印染染，1 1小小时时缝缝合合，1 1小小时时成成型型和和0.250.25小小时时检检查查包包装装。管管理理者者认认为为每每个个轻轻便便袋袋可可以以获获利利12.8512.85美美元元。修修改改模模型型，加加入入新新的决策变量，得模型：的决策变量，得模型：Max 10S+9D+12.85Ls.t.0.7S+D+0.8L630 0.5S+0.83333D+L630 S+0.66667D+L708 0.1S+0.25D+0.25L135 S,D,L03.

40、4 多于两个决策变量的情况3.4 多于两个决策变量的情况3.4 多于两个决策变量的情况3.4 多于两个决策变量的情况 计计算算机机输输出出结结果果表表明明，S S和和L L的的减减少少的的成成本本都都为为0 0，这这是是因因为为相相应应的的决决策策变变量量值值在在最最优优解解处处已已经经是是正正值值。变变量量D D的的减减少少的的成成本本为为1.150031.15003，表表明明高高级级袋袋的的利利润润至至少少增增加加到到9+1.15003=10.150039+1.15003=10.15003美美元元，D D才能变成一个正值。才能变成一个正值。假假设设我我们们使使D D的的系系数数正正好好增增

41、加加1.150031.15003美美元元，在用管理科学家软件来重解原问题。在用管理科学家软件来重解原问题。3.4 多于两个决策变量的情况3.4 多于两个决策变量的情况 我我们们注注意意到到，尽尽管管D D的的值值已已经经是是正正数数最最优优解解的的值值仍仍然然没没有有变变。换换言言之之，当当D D利利润润的的增增量量正正好好等等于于其其减减少少的的成成本本时时，能能得得到到多多重重最最优优解解。如如果果换换一一个个软软件件解解决决问问题题，目目标标函函数数中中D D的的系系数数正正好好是是10.1500310.15003，D D将将不不再再是是正正值值。这这是是因因为为软软件件得得出出了了一一

42、个个不不同同的的最最优优解解。但但是是，如如果果D D的的利利润润增增加加量量超超过过1.150031.15003美元，它在最优解处就不再是美元，它在最优解处就不再是0 0。3.4 多于两个决策变量的情况 假假设设管管理理者者审审核核了了解解决决方方案案后后发发现现，他他们们会会放放弃弃所所有有不不生生产产高高级级袋袋的的方方案案，并并要要求求高高级级袋袋的的产量至少达到标准袋的产量至少达到标准袋的30%30%。表示如下：。表示如下：D0.3S D0.3S 或者或者-0.3S+D0-0.3S+D0 把这个新的约束条件加入把这个新的约束条件加入ParPar公司的模型中公司的模型中运用管理科学家软

43、件进行重解，我们得到下图的运用管理科学家软件进行重解，我们得到下图的最优解。最优解。3.4 多于两个决策变量的情况3.4 多于两个决策变量的情况 我我们们来来解解释释约约束束条条件件的的对对偶偶价价格格，这这一一约约束束要要求求高高级级袋袋产产量量至至少少要要达达到到标标准准袋袋产产量量30%30%。其其对对偶偶价价格格为为-1.38-1.38，表表明明如如果果右右端端值值增增加加一一个个单单位位，将将使使利利润润减减少少1.381.38美美元元。因因此此，-1.38-1.38的的对对偶偶价价格格告告诉诉我我们们，如果约束条件变为如下形式，最优解将会怎么变化。如果约束条件变为如下形式，最优解将

44、会怎么变化。D0.3S+1D0.3S+13.4 多于两个决策变量的情况 对对-1.38-1.38的的对对偶偶价价格格比比较较正正确确的的解解释释可可以以表表述述如如下下：如如果果高高级级袋袋的的产产量量由由30%30%的的标标准准袋袋产产量量提提高高一一个个单单位位，总总利利润润会会减减少少1.381.38美美元元。相相反反，如如果果使使得得30%30%的的最最低低要要求求减减少少一一个个单单位位(D0.3S-1)(D0.3S-1)，总总利利润会增加润会增加1.381.38美元。美元。3.4 多于两个决策变量的情况 3.4.2 牧草农场问题 我我们们来来看看一一个个三三决决策策变变量量的的最最

45、小小化化问问题题。牧牧草草农农场场公公司司一一直直在在试试验验一一种种特特殊殊的的赛赛马马食食品品。该该食食品品的的成成分分包包括括标标准准的的马马饲饲料料产产品品，一一种种富富含含维维生生素素的的燕燕麦麦，以以及及一一种种新新型型维维生生素素和和矿矿物物质质饲饲料料添添加加剂剂。下下表表归归纳纳了了每每磅磅食食品品的的营营养养价价值值和和各各种成分的成本。种成分的成本。3.4 多于两个决策变量的情况3.4.3 建立牧草农场问题的模型建立牧草农场的线性规划模型之前，我们需要引入如下建立牧草农场的线性规划模型之前，我们需要引入如下3 3个变量：个变量：SS标准马饲料的量标准马饲料的量EE高营养燕

46、麦的量高营养燕麦的量 A A维生素和矿物质饲料添加剂的量维生素和矿物质饲料添加剂的量运用数据，总成本最小的目标函数可以表示如下：运用数据，总成本最小的目标函数可以表示如下：Min 0.25S+0.50E+3AMin 0.25S+0.50E+3A成分成分A A的约束：的约束：0.8S+0.2E30.8S+0.2E3成分成分B B的约束：的约束：S+1.5E+3A6S+1.5E+3A6成分成分C C的约束：的约束：S+0.6E+2A4S+0.6E+2A4最多最多6 6磅的混合重量的约束：磅的混合重量的约束：S+E+A6S+E+A63.4 多于两个决策变量的情况 合合并并所所有有约约束束条条件件，加

47、加上上非非负负约约束束，完完整整的的牧牧草草农农场场问问题的线性规划模型表述如下：题的线性规划模型表述如下：3.4 多于两个决策变量的情况 3.4.4 牧草农场问题的计算机求解和解释 用用管管理理科科学学家家软软件件解解决决牧牧草草农农场场问问题题的的结结果果如如图图所所示示。取取近近似似后后最最优优解解为为每每天天的的食食品品中中包包含含3.513.51磅磅的的标标准准马马饲饲料料，0.950.95磅磅的的高高营营养养燕燕麦麦和和1.541.54磅磅维维生生素素和和矿矿物物质质饲饲料料添添加加剂剂。因因此此，各各成成分分的的单单位位成成本本分分别别为为0.250.25美美元元、0.50.5美

48、美元元、3.003.00美美元，因此总的成本为：元，因此总的成本为：3.4 多于两个决策变量的情况3.4 多于两个决策变量的情况 观观察察计计算算机机输输出出的的松松弛弛/剩剩余余部部分分，约约束束条条件件2 2的的值值为为3.554.3.554.由由于于约约束束2 2是是大大于于等等于于型型的的，因因此此3.5543.554是是剩剩余余值值。由由于于约约束束1 1和和约约束束3 3的的剩剩余余值值都都是是0 0，因因而而我我们们看看到到最最优优混混合合中中，成成分分A A和和成成分分C C刚刚好好满满足足最最低低要要求求。此此外外，约约束束4 4的的剩剩余余值值也也是是0 0，说明最优解中每

49、天的饲料重量正好是说明最优解中每天的饲料重量正好是6 6磅。磅。3.4 多于两个决策变量的情况 成成分分A A的的约约束束条条件件（约约束束条条件件1 1）的的对对偶偶价价格格为为-1.22.-1.22.合合理理解解释释这这个个值值，首首先先我我们们看看它它的的符符号号为为负负，因因此此我我们们知知道道如如果果增增加加其其右右端端值值，将将使使得得最最优优解解变变得得更更坏坏。在在最最小小化化问问题题中中，“更更坏坏”意意味味着着总总成成本本的的增增加加，因因此此，右右端端值值一一单单位位的的增增加加会会使使总总成成本本上上升升1.221.22美美元元。反反过过来来，也也可可以以说说右右端端值

50、值每每减减少少一一个个单单位位，总总成成本本下下降降1.221.22美美元元。观观察察右右端端值值范范围围部部分分，我我们们看看见见只只要要右右端端值值在在1.1431.143到到3.3683.368之间，上述解释就是合理的。之间，上述解释就是合理的。3.4 多于两个决策变量的情况 假假设设牧牧草草农农场场的的管管理理者者想想重重新新考考虑虑马马匹匹的的最最大大进进食食量量，约约束束条条件件的的对对偶偶价价格格为为0.920.92，表表明明右右端端值值每每增增加加一一个个单单位位，总总成成本本就就会会减减少少0.920.92美美元元。右右端端值值范范围围部部分分显显示示，在在右右端端值值增增加