勾股定理单元 易错题质量专项训练.pdf

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1、一、选择题一、选择题2)，若点P在x轴上，且APO是等腰三角形，则点P的坐1如图，点A的坐标是(2，标不可能是（）A（2，0）C（2 2，0）D 到 AB 边的距离为（）B（4，0）D（3，0）2如图，在ABC 中，C90，AD 是ABC 的一条角平分线若AC6，AB10，则点A2B2.5C3D43如图，ABAC，CAB90，ADC=45，AD1，CD3，则 BD 的长为（）A3B11C23D44如图，已知MON 45，点A、B在边ON上，OA3，点C是边OM上一个动点，若ABC周长的最小值是 6，则AB的长是（）A12B34C56D15如图，已知 1 号、4 号两个正方形的面积之和为7，2

2、号、3 号两个正方形的面积之和为 4，则 a、b、c 三个正方形的面积之和为（）A11（）B15C10D226如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长为A5cmB10cmC14cmD20cm7如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图是由四个全等的直角三角形拼接而成，其中 AE=10，BE=24，则 EF 的长是（）A14B13C143D1428已知 M、N 是线段 AB 上的两点，AMMN2，NB1，以点 A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点 B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C，连接 AC，BC，则ABC 一定是()A锐角三角

3、形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形9如图，在 RtABC 中，A=90，AB=6，AC=8，现将 RtABC 沿 BD 进行翻折，使点 A刚好落在 BC 上，则 CD 的长为（）A10B5C4D310由下列条件不能判定 ABC 为直角三角形的是（）AA+B=CCa=2，b=3，c=4BA：B：C=1：3：2D(b+c)(b-c)=a二、填空题二、填空题11如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，CACB，CE CD，ABC的顶点A在ECD的斜边上若AE 3，AD 7，则AC的长为_12已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点 A、C 的坐标分别为 A（10

4、，0）、C（0，4），点 D 是 OA 的中点，点 P 在 BC 边上运动，当 ODP是腰长为 5 的等腰三角形时，点P 的坐标为_13我国古代数学名著九章算术中有云：“今有木长二丈，围之三尺葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”大意为：有一根木头长2 丈，上、下底面的周长为3尺，葛生长在木下的一方，绕木7 周，葛梢与木头上端刚好齐平，则葛长是_尺(注：l 丈等于 10 尺，葛缠木以最短的路径向上生长，误差忽略不计)14在ABC 中，AB=15，AC=13，高 AD=12，则ABC的周长为_15在Rt ABC中，C 90,A 30,BC 2，以ABC的边AC为一边的等腰三角形，它的第三个顶

5、点在ABC的斜边AB上，则这个等腰三角形的腰长为_.16如图，在等边ABC 中，AB6，AN2，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_17如图，在ABC 中，C=90，ABC=45，D 是 BC 边上的一点，BD=2，将ACD 沿直线 AD 翻折，点 C 刚好落在 AB 边上的点 E 处.若 P 是直线 AD 上的动点，则PEB 的周长的最小值是_18已知 x，y 为一个直角三角形的两边的长，且（x6）2=9，y=3，则该三角形的第三边长为_19在等腰RtABC中，C 90，AC 点，且AB AF，则FC _20如图所示，圆柱体底面圆的半径是2

6、，过点C作直线lAB，F是l上的一2，高为 1，若一只小虫从 A 点出发沿着圆柱体的外侧面爬行到 C 点，则小虫爬行的最短路程是_三、解答题三、解答题21如图，一架长 25 米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7 米（1）此时梯子顶端离地面多少米？（2）若梯子顶端下滑 4 米，那么梯子底端将向左滑动多少米？22定义：如图 1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对(p，q)是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”为（0，0）的点有 1 个，即点O（1）“距离坐标”为1，0的点有个；（2）如图 2，若点M在

7、过点O且与直线AB垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为p，q，且BOD 150，请写出p、q的关系式并证明；（3）如图 3，点M的“距离坐标”为(1,3)，且DOB 30，求OM的长23如图，在ABC中，BAC 90，AB AC，点D是BC上一动点、连接AD，过点A作AE AD，并且始终保持AE AD，连接CE，（1）求证：ABD ACE；（2）若AF平分DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；若BD 3，CF 4，求AD的长，24如图，在边长为 2 的等边三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD D

8、E DF（1）若AED30，则ADB _（2）求证：BEDCDF（3）试说明点D在BC边上从点B至点C的运动过程中，BED的周长l是否发生变化？若不变，请求出l的值，若变，请求出l的取值范围25如图 1，在等腰直角三角形ABC中，动点 D 在直线 AB（点 A 与点 B 重合除外）上时，以 CD 为一腰在 CD 上方作等腰直角三角形ECD，且ECD90，连接 AE（1）判断 AE 与 BD 的数量关系和位置关系；并说明理由（2）如图 2，若BD 4，P，Q 两点在直线 AB 上且EP EQ 5，试求 PQ 的长（3）在第（2）小题的条件下，当点D 在线段 AB 的延长线（或反向延长线）上时，判

9、断PQ 的长是否为定值分别画出图形，若是请直接写出PQ 的长；若不是请简单说明理由26已知 a，b，c 满足8a a8（1）求 a，b，c 的值；（2）试问以 a，b，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，求出三角形的周长和面积；若不能构成三角形，请说明理由27我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图 1，在ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2 BO2的值，可记为ABAC OA2 BO2（1）在ABC中，若ACB90，ABAC 81，求AC的值（2）如图 2，在ABC中，AB AC 12，BAC120，求ABAC，BABC的值

10、（3）如图 3，在ABC中，AO是BC边上的中线，SABC 24，AC 8，|c17|+b230b+225，ABAC 64，求BC和AB的长28如图所示，已知ABC中，B 90，AB 16cm，AC 20cm，P、Q是ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts（1）则BC _cm；（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ _?（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使BCQ成为等腰三角形的运动时间29已知ABC中，AB AC.（1）如图 1，在ADE中，A

11、D AE，连接BD、CE，若DAEBAC，求证：BDCE（2）如图 2，在ADE中，AD AE，连接BE、CE，若DAE BAC 60，CE AD于点F，AE4，EC 5，求BE的长；（3）如图 3，在BCD中，CBD CDB 45，连接AD，若CAB 45，求AD的值.AB30如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，A=60，点E为AD边上一点，连接CE，BD.CE与BD交于点F，且CEAB.（1）求证:CED ADB；（2）若AB=8，CE=6.求BC的长.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1D解析：D【详解】解：（1）当点 P 在 x 轴正半轴上，以 O

12、A 为腰时，A 的坐标是（2，2），AOP=45，OA=2 2，P 的坐标是（4，0）或（2 2，0）；以 OA 为底边时，点 A 的坐标是（2，2），当点 P 的坐标为：（2，0）时，OP=AP；（2）当点 P 在 x 轴负半轴上，以 OA 为腰时，A 的坐标是（2，2），OA=2 2，OA=AP=2 2P 的坐标是（-2 2，0）故选 D2C解析：C【分析】作 DEAB 于 E，由勾股定理计算出可求BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用等等面积法列方程、解方程即可解答.【详解】解：作 DEAB 于 E，如图，在 Rt ABC 中，BC102628，AD 是 A

13、BC 的一条角平分线，DCAC，DEAB，DEDC，设 DEDCx，SABD11DEABACBD，22即 10 x6（8x），解得 x3，即点 D 到 AB 边的距离为 3故答案为 C【点睛】本题考查了角平分线的性质和勾股定理的相关知识，理解角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答本题的关键.3B解析：B【分析】过点 A 作 AEAD 交 CD 于 E，连接 BE，利用 SAS 可证明BAECAD，利用全等的性质证得BED=90，最后根据勾股定理即可求出BD.【详解】解：如图，过点 A 作 AEAD 交 CD 于 E，连接 BE.DAE=90，ADE=45，ADE=AED=45，AE=AD=

14、1，在 RtADE 中，DE=1212DAE=BAC=90，DAE+EAC=BAC+EAC，即CAD=BAE，又AB=AC,BAECAD(SAS)，2，CD=BE=3，AEB=ADC=45，BED=90，在 RtBED 中，BD=BE2 DE232故选 B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.2211.4D解析：D【分析】作点 A 关于 OM 的对称点 E，AE 交 OM 于点 D，连接 BE、OE，BE 交 OM 于点 C，此时ABC 周长最小，根据题意及作图可得出OAD 是等腰直角三角形，OA=OE=3，所

15、以OAE=OEA=45，从而证明BOE 是直角三角形，然后设 AB=x，则 OB=3+x，根据周长最小值可表示出 BE=6x，最后在 RtOBE 中，利用勾股定理建立方程求解即可.【详解】解：作点 A 关于 OM 的对称点 E，AE 交 OM 于点 D，连接 BE、OE，BE 交 OM 于点 C，此时ABC 周长最小，最小值=AB+AC+BC=AB+EC+BC=AB+BE，ABC 周长的最小值是 6，AB+BE=6，MON=45，ADOM，OAD 是等腰直角三角形，OAD=45，由作图可知 OM 垂直平分 AE，OA=OE=3，OAE=OEA=45，AOE=90，BOE 是直角三角形，设 AB

16、=x，则 OB=3+x，BE=6x，在 RtOBE 中，32+3+x6 x，解得：x=1，AB=1.故选 D.22【点睛】本题考查了利用轴对称求最值，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握作图技巧，正确利用勾股定理建立出方程是解题的关键.5B解析：B【分析】由直角三角形的勾股定理以及正方形的面积公式不难发现：a 的面积等于 1 号的面积加上 2号的面积，b 的面积等于 2 号的面积加上 3 号的面积，c 的面积等于 3 号的面积加上 4 号的面积，据此可以求出三个的面积之和.【详解】利用勾股定理可得：Sa S1 S2，Sb S2 S3，Sc S3 S4Sa Sb Sc S1 S2 S2

17、 S3 S3 S474415故选 B【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.6D解析：D【解析】【分析】11AC，OB BD，再利用勾股22定理列式求出 AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD，OA【详解】解：四边形 ABCD是菱形，ACBD，OA 11AC 6=3cm，22OB 11BD 8 4cm22根据勾股定理得，ABOA2OB232425cm，所以，这个菱形的周长=45=20cm.故选：D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.7D解析：D【分析】24 和 10

18、 为两条直角边长时，求出小正方形的边长14，即可利用勾股定理得出EF 的长【详解】解：AE=10，BE=24，即 24 和 10 为两条直角边长时，小正方形的边长=24-10=14，EF=14214214 2故选 D【点睛】本题考查了勾股定理、正方形的性质；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键8B解析：B【分析】依据作图即可得到 ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，进而得到 AC2+BC2AB2，即可得出ABC 是直角三角形【详解】如图所示，ACAN4，BCBM3，AB2+2+15，AC2+BC2AB2，ABC 是直角三角形，且ACB90，故选 B【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果

19、三角形的三边长a，b，c 满足 a2+b2c2，那么这个三角形就是直角三角形9B解析：B【分析】根据“在 RtABC 中”和“沿 BD 进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解【详解】A=90，AB=6，AC=8，BC=8262=10，根据翻折的性质可得 AB=AB=6，AD=AD，AC=10-6=4设 CD=x，则 AD=8-x，根据勾股定理可得 x2-（8-x）2=42，解得 x=5，故 CD=5故答案为：B【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键10C解析：C【分析】由勾股定理的逆

20、定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90即可【详解】A、A+BC，可得C90，是直角三角形，错误；B、A：B：C1：3：2，可得B90，是直角三角形，错误；C、22+3242，故不能判定是直角三角形，正确；D、（b+c）（bc）a2，b2c2a2，即 a2+c2b2，故是直角三角形，错误；故选 C【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可二、填空题二、填空题115【分析】由题意可知，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，求出ACEBCD 可证 ACEBCD，可得 AEBD3，ADB9

21、0，由勾股定理求出 AB 即可得到 AC 的长【详解】解：如图所示，连接 BD，ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形，ACBC，DCEC，DCEACB90，DE45，且ACEBCD90-ACD，在ACE 和BCD 中，AC=BCACE=BCDCE=CDACEBCD（SAS），AEBD3，EBDC45，ADBADC+BDC45+4590，ABAD2+BD2=7+3=10，AB=2BC，BC2AB=5，2故答案为：5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键12（3，4）或（2，4）或（8，4）【分析】题中没有指明

22、 ODP 的腰长与底分别是哪个边，故应该分情况进行分析，从而求得点P 的坐标【详解】解：（1）OD 是等腰三角形的底边时，P 就是 OD 的垂直平分线与 CB 的交点，此时 OPPD5；（2）OD 是等腰三角形的一条腰时：若点 O 是顶角顶点时，P 点就是以点 O 为圆心，以 5 为半径的弧与 CB 的交点，在直角 OPC 中，CPOP2OC252423，则 P 的坐标是（3，4）若 D 是顶角顶点时，P 点就是以点 D 为圆心，以 5 为半径的弧与 CB 的交点，过 D 作 DMBC 于点 M，在直角 PDM 中，PMPD2 DM23，当 P 在 M 的左边时，CP532，则 P 的坐标是（

23、2，4）；当 P 在 M 的右侧时，CP5+38，则 P 的坐标是（8，4）故 P 的坐标为：（3，4）或（2，4）或（8，4）故答案为：（3，4）或（2，4）或（8，4）【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理的运用等知识,注意正确地进行分类，考虑到所有可能的情况并进行分析求解是解题的关键.13【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出【详解】解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20 尺，另一条直角边长 73=21（尺），因此葛藤长202212=29（尺）答：葛藤长 29 尺故答案为：29【点睛】

24、本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解1432 或 42【分析】根据题意画出图形，分两种情况：ABC 是钝角三角形或锐角三角形，分别求出边BC，即可得到答案【详解】当ABC 是钝角三角形时，D=90，AC=13，AD=12，CDAC2 AD2 1321225,D=90，AB=15，AD=12，BD AB2 AD2152122 9,BC=BD-CD=9-5=4，ABC 的周长=4+15+13=32；当ABC 是锐角三角形时，ADC=90，AC=13，AD=12，CDAC2 AD2 1321225，ADB=90，AB=15

25、，AD=12，BD AB2 AD2152122 9，BC=BD-CD=9+5=14，ABC 的周长=14+15+13=42；综上，ABC 的周长是 32 或 42，故答案为：32 或 42.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.152 3或 2【分析】先求出 AC的长，再分两种情况：当AC为腰时及 AC 为底时，分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC中，C 90,A 30,BC 2，AB=2BC=4，AC AB2BC24222 2 3,当 AC为腰时，则该三角形的腰长为2 3；当 AC为底时，作 AC 的垂直平分线交 AB于点 D，交 AC于点 E，

26、如图，此时ACD是等腰三角形，则 AE=3,设 DE=x，则 AD=2x，AE2 DE2 AD2,x2(3)2(2x)2x=1（负值舍去），腰长 AD=2x=2，故答案为：2 3或 2【点睛】此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC为一边的等腰三角形”没有明确AC是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处.167【解析】【分析】通过作辅助线转化 BM，MN 的值，从而找出其最小值求解【详解】解：连接 CN，与 AD 交于点 M则 CN 就是 BM+MN 的最小值取 BN 中点 E，连接 DE，如图所示：等边ABC 的边长为 6

27、，AN2，BNACAN624，BEENAN2，又AD 是 BC 边上的中线，DE 是BCN 的中位线，CN2DE，CNDE，又N 为 AE 的中点，M 为 AD 的中点，MN 是ADE 的中位线，DE2MN，CN2DE4MN，CM3CN4113 3BC3，DMAD，22237，2在直角CDM 中，CD22CMCD MD 437 2 732BM+MNCN，CNBM+MN 的最小值为 27故答案是：27【点睛】考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用172 2 2【分析】连接 CE，交 AD 于 M，根据折叠和等腰三角形性质得出当P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，此时BPE

28、的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，先求出 BC 和 BE 长，代入求出即可【详解】如图，连接 CE，交 AD 于 M，沿 AD 折叠 C 和 E 重合，ACD=AED=90，AC=AE，CAD=EAD，AD 垂直平分 CE，即 C 和 E 关于 AD 对称，BD=2，CD=DE=2，当 P 和 D 重合时，PE+BP 的值最小，即此时BPE 的周长最小，最小值是BE+PE+PB=BE+CD+DB=BC+BE，DEA=90，DEB=90，ABC=45，B=45，DE=2，BE=2，即 BC=2+2，PEB 的周长的最小值是 BC+BE=2+2+2=2+22故答案

29、为 2+22【点睛】本题考查了折叠性质，等腰三角形性质，轴对称-最短路线问题，勾股定理，含30 度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P 点的位置183 10，6 2或3 2【解析】【详解】（x-6）2=9，x-6=3，解得：x1=9，x2=3，x，y 为一个直角三角形的两边的长，y=3，当 x=3时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为32323 2；当 x=9时，x、y都为直角三角形的直角边，则斜边为92323 10；当 x=9时，x 为斜边、y为直角边，则第三边为92326 2.故答案为：3 10，6 2或3 2.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确分类讨论是解决问题的关键，解题

30、时注意一定不要漏解193 1或3 1【解析】如图，lAB，AC 2，作AD l于点D，AD 1，AF AB DF1 DF22 2 2，且F有2个，22123，DC AD1，CF1CDDF11 3CF2 DF2CD31点睛：本题考查了勾股定理的运用，通过添加辅助线，可将问题转化到直角三角形中，利用勾股定理解答，考查了学生的空间想象能力205【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，C 是边的中点，矩形的宽即高等于圆柱的母线长AB=AC=2，CB=12AB2BC2=2212=5，故答案为：5.【点睛】圆柱的侧面展开图是一个矩形，

31、此矩形的长等于圆柱底面周长，矩形的宽即高等于圆柱的母线长本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决三、解答题三、解答题21（1）梯子顶端离地面 24 米（2）梯子底端将向左滑动了8 米【解析】试题分析：（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.试题解析：（1）如图，AB=25 米，BE=7 米，梯子距离地面的高度 AE=25272=24 米答：此时梯子顶端离地面24 米；（2）梯子下滑了 4 米，即梯子距离地面的高度CE=（244）=20 米，BD+BE=DE=CD2CE2=252202=15，DE

32、=157=8（米），即下端滑行了8 米答：梯子底端将向左滑动了8 米22(1)2；(2)q 3p；(3)OM 2 72【分析】（1）根据“距离坐标”的定义结合图形判断即可；（2）过 M 作 MNCD 于 N，根据已知得出MN q，OM p，求出MON60，根据含 30 度直角三角形的性质和勾股定理求出MN 题；（3）分别作点M关于AB、CD的对称点F、E，连接EF、OE、OF，连接MF、MO2 NO23p即可解决问2ME分别交AB、CD于P点、Q点，首先证明OM OE OF EF，求出MF 2，ME 2 3，然后过F作FG QM，交QM延长线于G，根据含 30 度直角三角形的性质求出FG 1，

33、MG 3，再利用勾股定理求出 EF 即可【详解】解：（1）由题意可知，在直线 CD 上，且在点 O 的两侧各有一个，共2 个，故答案为：2；（2）过M作MN CD于N，直线l AB于O，BOD 150，MON 60，MN q，OM p，NO MN q 11MO p，22MO2 NO23p，23p；2（3）分别作点M关于AB、CD的对称点F、E，连接EF、OE、OF，连接MF、ME分别交AB、CD于P点、Q点OFPOMP，OEQOMQ，FOP MOP，EOQ MOQ，OM OE OF，EOF 2BOD 60，OEF 是等边三角形，OM OE OF EF，MP1，MQ 3，MF 2，ME 2 3，

34、BOD30，PMQ 150，过F作FG QM，交QM延长线于G，FMG 30，在RtFMG中，FG 1MF 1，则MG 3，2在Rt EGF中，FG 1，EG ME MG 3 3，EF(3 3)212 2 7，OM 2 7【点睛】本题考查了轴对称的应用，含30 度直角三角形的性质，勾股定理以及等边三角形的判定和性质等，正确理解题目中的新定义是解答本题的关键23（1）见详解（2）结论：BD2 FC DF2，证明见详解3 5【分析】（1）根据SAS，只要证明BADCAE即可解决问题；（2）结论：BD2 FC DF2连接EF，进一步证明ECF 90，DF EF，再利用勾股定理即可得证；过点A作AGB

35、C于点G，在Rt ADG中求出AG、DG即可求解【详解】解：（1）AE ADDACCAE 90BAC90DACBAD90BADCAE在ABD和ACE中22AB ACBAD CAEAD AEABDACESAS（2）结论：BD2 FC DF2证明：连接EF，如图：2ABDACEB ACE，BDCEECF BCAACE BCAB 90FC2CE2 EF2FC2 BD2 EF2AF平分DAEDAF EAF在DAF和EAF中AD AEDAF EAFAF AFDAFEAFSASDF EFFC2 BD2 DF2即BD2 FC DF2过点A作AGBC于点G，如图：2由可知DF2 BD2 FC 32 42 25

36、DF 5BC BDDF FC 35412AB AC，AGBCBG AG 211BC 12 622DG BGBD 633在Rt ADG中，ADDG2 AG232623 52故答案是：（1）见详解（2）结论：BD2 FC DF2，证明见详解3 5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明24（1）90；（2）证明见解析；（3）变化，23 l 4【分析】（1）由等边三角形的性质可得ABC=ACB=60，由等腰三角形的性质可求DAE=DEA=30，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得

37、CDF=DEA 和EDB=DFA，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l=2+AD，根据 AD 的取值范围即可得出 l 的取值范围【详解】解：（1）ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=2，ABC=ACB=60，AD=DEDAE=DEA=30，ADB=180-BAD-ABD=90，故答案为：90；（2）AD=DE=DF，DAE=DEA，DAF=DFA，DAE+DAF=BAC=60，DEA+DFA=60，ABC=DEA+EDB=60，EDB=DFA，ACB=DFA+CDF=60，CDF=DEA，在BDE 和CFD 中CDF DEADE DF，EDB DFABDECFD（

38、ASA）（3）BDECFD，BE=CD，l=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD，当 D 点在 C 或 B 点时，AD=AC=AB=2,此时 B、D、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当 D 点在 BC 的中点时，AB=AC，BD=1BC 1，AD AB2BD23，2此时l 2 AD 23综上可知23 l 4【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取25（1）AE=BD 且 AEBD；（2）6；（3）

39、PQ 为定值 6，图形见解析【分析】（1）由“SAS”可证ACEBCD，可得 AE=BD，EAC=DBC=45，可得 AEBD；（2）由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求 PA的长，即可求 PQ 的长；（3）分两种情况讨论，由“SAS”可证ACEBCD，可得 AE=BD，EAC=DBC，可得AEBD，由等腰三角形的性质可得PA=AQ，由勾股定理可求 PA的长，即可求 PQ 的长【详解】解：（1）AE=BD，AEBD，理由如下：ABC，ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD，ACEBC

40、D（SAS）AE=BD，EAC=DBC=45，EAC+CAB=90，AEBD；（2）PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2 AE2=2516=3，PQ=2AQ=6；（3）如图 3，若点 D 在 AB 的延长线上，ABC，ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CAE=135，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2 AE2=2516=3，PQ=2A

41、Q=6；如图 4，若点 D 在 BA 的延长线上，ABC，ECD 都是等腰直角三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=90，ABC=CAB=45，ACE=DCB，且 AC=BC，CE=CD，ACEBCD（SAS）AE=BD，CBD=CAE=45，且CAB=45，EAB=90，PE=EQ，AEBD，PA=AQ，EP=EQ=5，AE=BD=4，AQ=EQ2 AE2=2516=3，PQ=2AQ=6.【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，证明 AEBD 是本题的关键26（1）a8，b15，c17；（2）能，60【分析】（1）根据算术平方根，

42、绝对值，平方的非负性即可求出a、b、c的值；（2）根据勾股定理的逆定理即可求出此三角形是直角三角形，由此得到面积和周长【详解】解：（1）a，b，c 满足8a a8|c17|+b230b+225，8a a 8|c 17|(b15)2，a80，b150，c170，a8，b15，c17；（2）能由（1）知 a8，b15，c17，82+152172a2+c2b2，此三角形是直角三角形，三角形的周长8+15+1740；三角形的面积【点睛】此题考查算术平方根，绝对值，平方的非负性，勾股定理的逆定理判断三角形的形状.27(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=273,A

43、B=10.【分析】(1)在 RtAOC中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)先利用含 30的直角三角形的性质求出AO=2,OB=2 3,再用新定义即可得出结论;先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出 BD,最后用新定义即可得出结论;(3)作 BDCD,构造直角三角形 BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形 AOD 是直角三角形,根据中线性质得出 OA 的长度,根据勾股定理求出 OC,从1815602而得出 BC,再根据勾股定理求出 CD,再求出 AD,再运用勾股定理求出 AB.【详解】(1)已知如图:AO 为 BC 上的中线

44、,在 RtAOC中,AO2-OC2=AC2因为ABAC 81所以 AO2-OC2=81所以 AC2=81所以 AC=9.(2)如图 2,取 BC 的中点 D,连接 AO,AB=AC,AOBC,在ABC 中,AB=AC,BAC=120,ABC=30,在 RtAOB 中,AB=12,ABC=30,AO=6,OB=ABAC=AO2BO2=36108=72,AB2 AO2 12262=6 3,1AC=6,过点 B 作 BEAC 交 CA 的延长线于 E,在2RtABE 中,BAE=180BAC=60,ABE=30,取 AC 的中点 D,连接 BD,AD=CD=AB=12,AE=6,BE=DE=AD+A

45、E=12,在 RtBED 中,根据勾股定理得,BD=BE2 DE2BABC=BD2CD2=216;AB2 AE2 122626 3,6 32122 6 7(3)作 BDCD,因为SABC 24,AC 8,所以 BD=2SABC AC 6,因为ABAC 64,AO是BC边上的中线,所以 AO2-OC2=-64,所以 OC2-AO2=64,由因为 AC2=82=64,所以 OC2-AO2=AC2所以OAC=90所以 OA=2所以 OC=SABC24 AC 28 322AC2OA2823273所以 BC=2OC=273,在 RtBCD 中,CD=BC2BD22 7326216所以 AD=CD-AC=

46、16-8=8所以 AB=AD2BD2826210【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含 30直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.28（1）12；（2）t=12.5s时，13 cm；（3）11s 或 12s 或 13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC=PA=t，则 PB=16-t在 Rt BPC 中，由勾股定理可求得 t 的值，判断出此时，点Q 在边 AC 上，根据 CQ=2t-BC 计算即可；（3）用 t 分别表示出 BQ 和 CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC 和 BQ=CQ 三

47、种情况，分别得到关于 t 的方程，可求得 t 的值【详解】（1）在 RtABC 中，BC故答案为：12；（2）如图，点 P 在边 AC 的垂直平分线上时，连接PC，AC2 AB220216212(cm)PC=PA=t，PB=16-t（16t)t，在 Rt BPC 中，BC2BP2CP2，即12 解得：t=222252256，2Q 从 B 到 C 所需的时间为 122=6(s)，此时，点 Q 在边 AC 上，CQ=22512 13(cm)；2（3）分三种情况讨论：当 CQ=BQ 时，如图 1 所示，则C=CBQABC=90，CBQ+ABQ=90，A+C=90，A=ABQ，BQ=AQ，CQ=AQ=

48、10，BC+CQ=22，t=222=11(s)当 CQ=BC 时，如图 2 所示，则 BC+CQ=24，t=242=12(s)当 BC=BQ 时，如图 3 所示，过 B 点作 BEAC 于点 E，则 BECEABBC121648，AC205BC2 BE2122(48236)=7.255BC=BQ，BECQ，CQ=2CE=14.4，BC+CQ=26.4，t=26.42=13.2(s)综上所述：当 t 为 11s 或 12s 或 13.2s 时，BCQ 为等腰三角形【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题

49、的一般思路，注意方程思想的应用29（1）详见解析；（2）41；（3）3.【分析】（1）证EAC=DAB.利用 SAS 证ACEABD 可得；（2）连接 BD，证FEA 1AED 30，证ACEABD 可得FEA BDA 30,CE=BD=5，利用勾2股定理求解；（3）作 CE 垂直于 AC,且 CE=AC,连接 AE,则ACE 90,CAE 45，利用勾股定理得 AE2AB，BE=3AB，根据（1）思路得 AD=BE=3AB.【详解】(1)证明：DAE=BAC，DAE+CAD=BAC+CAD，即EAC=DAB.在ACE 与ABD 中，AD AEEAC BAB，AC ABACEABD(SAS)，

50、BDCE；(2)连接 BD因为AD AE，DAE BAC 60，所以ADE是等边三角形因为DAE DEA EDA 60,ED=AD=AE=4因为CE AD所以FEA 1AED 302同(1)可知ACEABD(SAS)，所以FEA BDA 30,CE=BD=5所以BDE BDAADE 90所以 BE=BD2DE2524241(3)作 CE 垂直于 AC,且 CE=AC,连接 AE,则ACE 90,CAE 45所以 AE=AB2 AC22AC因为AB AC所以 AE2AB又因为CAB 45所以ABE 90所以BE AE AB 222AB AB23AB2因为CBD CDB 45所以 BC=CD,BC