勾股定理单元 易错题难题综合模拟测评检测.pdf

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1、一、选择题一、选择题1已知，如图，ABC，点P,Q分别是BAC的角平分线AD，边AB上的两个动点，C 45，BC 6，则PB PQ的最小值是（）A3B2 3C4D3 22如图，在等腰三角形ABC 中，AC=BC=5，AB=8，D 为底边上一动点（不与点A，B 重合），DEAC，DFBC，垂足分别为 E、F，则 DE+DF=（）A5B8C13D483如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形A、B、C、D 的边长是 3、5、2、3，则最大正方形 E 的面积是A13B22 5C47D134已知ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第

2、二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰RtADE，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的面积是()A2n2B2n1C2nD2n+15如图，ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 E，AEB=45，BD=2，将 ABC 沿 AC 所在直线翻折 180到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为 B，则 DB的长为（）A1B2C32D36如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，D 为 BC 边上的一点，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使 AC 落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，则 CD 的长为（）A2cmA6B2.5cm

3、B12C3cmC6 2D4cmD6 37在ABC中，C 90，A 30，AB 12，则AC（）8如图，在 RtABC 中，A=90，AB=6，AC=8，现将 RtABC 沿 BD 进行翻折，使点 A刚好落在 BC 上，则 CD 的长为（）A10B5C4D39如图，点A和点B在数轴上对应的数分别是4 和 2，分别以点A和点B为圆心，线段AB的长度为半径画弧，在数轴的上方交于点C再以原点O为圆心，OC为半径画弧，与数轴的正半轴交于点M，则点M对应的数为（）A35B2 3C13D3 6210九章算术是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系“折竹抵地”问题源自九章算术中：“今

4、有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC中，ACB90，AC AB 10尺，BC 4尺，求AC的长.AC的长为（）A3 尺B4.2 尺C5 尺D4 尺二、填空题二、填空题11如图，AB12，ABBC 于点 B，ABAD 于点 A，AD5，BC10，E 是 CD 的中点，则 AE 的长是_ _12在ABC中，BAC90，以BC为斜边作等腰直角BCD，连接DA，若AB 2 2，AC 4 2，则DA的长为_13如图，在 RtABC 中，B=90,以 AC 为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=102,则另一直角边 AB 的长为_.14如图，在

5、RtABC中，ABC 90，DE垂直平分AC，垂足为F，AD/BC，且AB 3，BC 4，则AD的长为_15如图，在锐角ABC中，AB 2，BAC 60，BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM MN的最小值是_.16如图，在等边ABC 中，AB6，AN2，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M 是 AD 上的动点，则 BM+MN 的最小值是_17如图,AOB30，点M,N分别在OA,OB上，且OM 6,ON 8，点P,Q分别在OB,OA上运动，则PM PQ QN的最小值为_18已知a、b、c是ABC 三边的长，且满足关系式(c a b)ab 0，则222 2ABC

6、的形状为_19如图，在ABC中，ABAC10，BC12，BD是高，则点BD的长为_20如图，在四边形 ABCD 中，AD=4，CD=3，ABC=ACB=ADC=45，则BD2 _三、解答题三、解答题21如图，ABC 和 ADE 都是等腰三角形，其中ABAC，ADAE，且 BAC DAE（1）如图，连接 BE、CD，求证：BECD；（2）如图，连接 BE、CD，若 BAC DAE60，CDAE，AD3，CD4，求 BD 的长；（3）如图，若 BAC DAE90，且 C 点恰好落在 DE 上，试探究 CD2、CE2和 BC2之间的数量关系，并加以说明22如图，已知ABC中，B 90，AB 8cm，

7、BC 6cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）当t 2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B C A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间23阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法例如，在ABC中，AB AC（如图），怎样证明C B呢？分析：把AC沿A的角平分线AD翻折，因为AB AC，所以，点C落在AB上的点C处，即AC AC，据以上操作，易证明ACDACD，所以

8、ACD C，又因为ACD B，所以C B感悟与应用：（1）如图（a），在ABC中，ACB90，B 30，CD平分ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分BAD，AC 16，AD 8，DC BC 12，求证：BD 180；求AB的长24如图，在ABC中，BAC 90，AB AC，点D是BC上一动点、连接AD，过点A作AE AD，并且始终保持AE AD，连接CE，（1）求证：ABD ACE；（2）若AF平分DAE交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；若BD 3，CF 4，求AD的长，25如图，在边长为 2 的等边

9、三角形ABC中，D点在边BC上运动（不与B，C重合），点E在边AB的延长线上，点F在边AC的延长线上，AD DE DF（1）若AED30，则ADB _（2）求证：BEDCDF（3）试说明点D在BC边上从点B至点C的运动过程中，BED的周长l是否发生变化？若不变，请求出l的值，若变，请求出l的取值范围26我国古代数学家赵爽曾用图1 证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图 2)，其图案正是由“弦图”演变而来.“弦图”是由 4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1 解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用

10、文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求ab的值.227如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，A=60，点E为AD边上一点，连接CE，BD.CE与BD交于点F，且CEAB.（1）求证:CED ADB；（2）若AB=8，CE=6.求BC的长.28定义：在ABC 中，若 BCa，ACb，ABc，若 a，b，c 满足 ac+a2b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图 1，若等腰三角形 ABC 是“类勾股三角形”，其中 ABBC，

11、ACAB，请求A 的度数；（3）如图 2，在ABC 中，B2A，且CA当A32时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2 中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；请证明ABC 为“类勾股三角形”29已知，矩形 ABCD 中，AB4cm，BC8cm，AC 的垂直平分线 EF 分别交 AD、BC 于点E、F，垂足为 O（1）如图 1，连接 AF、CE求证：四边形 AFCE 为菱形（2）如图 1，求 AF 的长（3）如图 2，动点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发，沿AFB 和CDE 各边匀速运动一周即点 P 自 AFBA 停止，点 Q 自 C

12、DEC 停止在运动过程中，点P 的速度为每秒 1cm，设运动时间为 t 秒问在运动的过程中，以A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间 t 和点 Q 的速度；若不可能，请说明理由若点 Q 的速度为每秒 0.8cm，当 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值30如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，AB2，CD 是边 AB 的高线，动点 E 从点 A出发，以每秒 1 个单位的速度沿射线AC 运动；同时，动点 F 从点 C 出发，以相同的速度沿射线 CB 运动设 E 的运动时间为 t（s）（t0）（1）AE（用含 t 的代数式表示），BCD

13、 的大小是度；（2）点 E 在边 AC 上运动时，求证：ADE CDF；（3）点 E 在边 AC 上运动时，求EDF 的度数；（4）连结 BE，当 CEAD 时，直接写出 t 的值和此时 BE 对应的值【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1D解析：D【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是线段QE垂直平分线，再根据垂直平分线的性质、两点之间线段最短得出PB PQ最小值为BE，最后根据垂线段最短、直角三角形的性质得出 BE 的最小值即可得【详解】如图，作QE AD，交 AC 于点 E，AD 平分 BAC，BAD=CAD，AD是线段QE垂直平分线（等腰三角形的三线合一）PQ

14、PEPB PQ PB PE由两点之间线段最短得：当点B,P,E共线时，PB PE最小，最小值为BE点P,Q都是动点BE随点P,Q的运动而变化由垂线段最短得：当BE AC时，BE取得最小值在RtBCE中，C 45,BC 6BE CE 2BC 3 22即PB PQ的最小值为3 2故选：D【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、两点之间线段最短等知识点，利用两点之间线段最短和垂线段最短确认PB PQ的最小值是解题关键2D解析：D【分析】过点 C作 CHAB，连接 CD，根据等腰三角形的三线合一的性质及勾股定理求出CH，再利用SABC SACD SBCD即可求出答案.【详解】如图，过点

15、C 作 CHAB，连接 CD，AC=BC，CHAB，AB=8，AH=BH=4，AC=5，CH SABCAC2 AH252423,SACD SBCD，111 ABCH ACDE BCDF,222111835DE 5DF,222DE+DF=4.8，故选：D.【点睛】此题考查等腰三角形三线合一的性质，勾股定理解直角三角形，根据题意得到SABC SACD SBCD的思路是解题的关键，依此作辅助线解决问题.3C解析：C【分析】根据勾股定理即可得到正方形A的面积加上 B的面积加上 C 的面积和 D的面积是 E的面积即可求解【详解】四个正方形的面积的和是正方形E 的面积：即32522232=92549=47

16、；故答案为 C【点睛】理解正方形 A，B，C，D的面积的和是 E的面积是解决本题的关键4A解析：A【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.【详解】解：ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形11SABC11 212，22AC 12122,AD(2)2(2)2 21SAACD22 1 222:21SADE22 1 2322第 n 个等腰直角三角形的面积是2n2，故答案为 A.【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.5B解析：B【解析】【分析】如图，连接 BB根据折叠的性质知 BBE 是等腰直角三角形，则BB=

17、2BE又 BE 是 BD的中垂线，则 DB=BB【详解】四边形 ABCD 是平行四边形，BD=2，BE=1BD=12如图 2，连接 BB根据折叠的性质知，AEB=AEB=45，BE=BEBEB=90，BBE 是等腰直角三角形，则BB=2BE=2,又BE=DE，BEBD，DB=BB=2故选 B【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用6C解析：C【分析】首先由勾股定理求得 AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设 DC=x，则 BD=8x，在BDE 中，利用勾股定理列方程求解即可【详解】在 RtABC 中，由勾股定理可知

18、：AB=AC2BC2628210，由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE=6，DEA=C=90，BE=AB-AE=10-6=4，DEB=90，设 DC=x，则 BD=8-x，DE=x，在 RtBED 中，由勾股定理得：BE2+DE2=BD2，即 42+x2=(8-x)2，解得：x=3，CD=3故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解决问题的关键7D解析：D【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案【详解】解：C=90，A=30，BC=1AB=6，2由勾股定理得，AC=故选：D【点睛】AB2 BC2 6 3，本题考查的是直角三角形

19、的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键8B解析：B【分析】根据“在 RtABC 中”和“沿 BD 进行翻折”可知，本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理和翻折的性质，运用方程的方法进行求解【详解】A=90，AB=6，AC=8，BC=8262=10，根据翻折的性质可得 AB=AB=6，AD=AD，AC=10-6=4设 CD=x，则 AD=8-x，根据勾股定理可得 x2-（8-x）2=42，解得 x=5，故 CD=5故答案为：B【点睛】本题考察勾股定理和翻折问题，根据勾股定理把求线段的长的问题转化为方程问题是解决本题的关键9B解析：B【分析】如图，作

20、CDAB 于点 D，由题意可得ABC 是等边三角形，从而可得BD、OD 的长，然后根据勾股定理即可求出 CD 与 OC 的长，进而可得 OM 的长，于是可得答案【详解】解：点A和点B在数轴上对应的数分别是4 和 2，OB=2，OA=4，如图，作 CDAB 于点 D，则由题意得：CA=CB=AB=2，ABC 是等边三角形，BD=AD=1AB 1，2OD=OB+BD=3，CD BC2BD23，OC OD2CD232OM=OC=2 3，点M对应的数为2 3故选：B32 2 3，【点睛】本题考查了实数与数轴、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的

21、关键10B解析：B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10 x)尺，利用勾股定理解题即可【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10 x)尺，根据勾股定理得：x2 42(10 x)2解得：x 4.2，折断处离地面的高度为4.2 尺，故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题二、填空题二、填空题115【详解】解：如图，延长 AE 交 BC 于点 F，点 E 是 CD 的中点,DE=CE，,ABBC，ABAD,ADBC,ADE=BCE 且 DE=CE，AED=CEF,AEDFEC（ASA）,AD

22、=FC=5，AE=EF,BF=BC-FC=5,在 RtABF 中，AF AB2 BF213,AF 6.52故答案为：6.5126 或 2.【分析】AE 由于已知没有图形，当RtABC 固定后，根据“以 BC 为斜边作等腰直角BCD”可知分两种情况讨论：当 D 点在 BC 上方时，如图 1，把ABD 绕点 D 逆时针旋转 90得到DCE，证明 A、C、E 三点共线，在等腰 RtADE 中，利用勾股定理可求AD 长；当 D 点在 BC 下方时，如图 2，把BAD 绕点 D 顺时针旋转 90得到CED，证明过程类似于求解【详解】解：分两种情况讨论：当 D 点在 BC 上方时，如图 1 所示，把ABD

23、 绕点 D 逆时针旋转 90，得到DCE，则ABD=ECD，CE=AB=22，AD=DE，且ADE=90在四边形 ACDB 中，BAC+BDC=90+90=180，ABD+ACD=360-180=180，ACD+ECD=180，A、C、E 三点共线AE=AC+CE=42+22=62在等腰 RtADE 中，AD2+DE2=AE2，即 2AD2=（62）2，解得 AD=6当 D 点在 BC 下方时，如图 2 所示，把BAD 绕点 D 顺时针旋转 90得到CED，则 CE=AB=22，BAD=CED，AD=AE 且ADE=90，所以EAD=AED=45，BAD=90+45=135，即CED=135，

24、CED+AED=180，即 A、E、C 三点共线AE=AC-CE=42-22=22在等腰 RtADE 中，2AD2=AE2=8，解得 AD=2故答案为：6 或 2.【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理，解决这类等边（或共边）的两个三角形问题，一般是通过旋转的方式作辅助线，转化线段使得已知线段于一个特殊三角形中进行求解1312【分析】延长 BA 至 E，使 AE=BC，并连接 OE.证BCOEAO，再证三角形 BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得 BE=BO2 EO2【详解】10 210 222 20，可得 AB=BE-AE.如图，延长 BA 至 E，使 AE=BC，并连接 OE.因

25、为三角形 COA 是等腰直角三角形所以 CO=AO,AOC=BOC+AOB=90因为ABC=90，AOC=90，所以BAO+BCO=180,又BAO+OAE=180所以BCO=OAE所以BCO EAO所以 BO=EO,BOC=EOA所以，BOE=EOA+AOB=90所以三角形 BOE 是等腰直角三角形所以 BE=BO2 EO2所以 AB=BE-AE=20-8=12故答案为：12【点睛】考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.10 210 222 20258【分析】14先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据 DE 垂直平分 AC 得出 FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出AF

26、DCBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论【详解】RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，AC=AB2+BC2=32+42=5；DE 垂直平分 AC，垂足为 F，FA=51AC=，AFD=B=90，22ADBC，A=C，AFDCBA，2525ADFAAD2.5=，即，解得 AD=；故答案为ACBC5488【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键153【分析】作点 B 关于 AD 的对称点 B，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，根据轴对称确定最短路线问题，BN 的长度

27、即为 BM+MN 的最小值，根据BAC=60判断出 ABB是等边三角形，再根据等边三角形的性质求解即可【详解】如图，作点 B 关于 AD 的对称点 B，由垂线段最短，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，BN 最短，由轴对称性质，BM=BM，BM+MN=BM+MN=BN，由轴对称的性质，AD 垂直平分 BB，AB=AB，BAC=60，ABB是等边三角形，AB=2，BN=23=3，2即 BM+MN 的最小值是3故答案为3【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观167【解析】【分析】通过作辅助线转化 BM，M

28、N 的值，从而找出其最小值求解【详解】解：连接 CN，与 AD 交于点 M则 CN 就是 BM+MN 的最小值取 BN 中点 E，连接 DE，如图所示：等边ABC 的边长为 6，AN2，BNACAN624，BEENAN2，又AD 是 BC 边上的中线，DE 是BCN 的中位线，CN2DE，CNDE，又N 为 AE 的中点，M 为 AD 的中点，MN 是ADE 的中位线，DE2MN，CN2DE4MN，CM3CN4113 3BC3，DMAD，22237，2在直角CDM 中，CD22CMCD MD CN437 2 732BM+MNCN，BM+MN 的最小值为 27故答案是：27【点睛】考查等边三角形

29、的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用1710【分析】首先作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN，即为 MP+PQ+QN的最小值，易得ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90，继而可以求得答案【详解】作 M 关于 OB 的对称点 M，作 N 关于 OA 的对称点 N，连接 MN，即为 MP+PQ+QN 的最小值根据轴对称的定义可知：NOQ=MOB=30，ONN=60，OM=OM=6，ON=ON=8，ONN为等边三角形，OMM为等边三角形，NOM=90在 Rt MON中，MN=OM2ON2=10故答案为 10【点睛】本题考查了最短路径问题，根

30、据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键18等腰直角三角形【解析】根据非负数的意义，由c2a2b2形是等腰直角三角形.故答案为：等腰直角三角形.点睛：此题主要考查了三角形形状的确定，根据非负数的性质，可分别得到关系式，然后结合勾股定理的逆定理知是直角三角形，然后由a-b=0得到等腰直角三角形，比较容易，关键是利用非负数的性质得到关系式.2 ab 0，可知c2 a2b2，a=b，可知此三角19485【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质和勾股定理可知BC 边上的高为 8，然后根据三角形的面积法可得2041【解析】作 ADAD，AD=AD，连接 CD，DD，如图：1148.10B

31、D 128，解得 BD=225BAC+CAD=DAD+CAD，即BAD=CAD，在BAD与CAD中，BACA;BADCADADADBD=CD，DAD=90，由勾股定理得 DD=BADCAD（SAS），AD2 AD2，DDA+ADC=90，由勾股定理得 CD=DC2DD2，BD=CD=41，即 BD2=41故答案是：41三、解答题三、解答题21（1）证明见解析；（2）5；（3）CD2+CE2BC2，证明见解析【分析】（1）先判断出BAE=CAD，进而得出 ACDABE，即可得出结论（2）先求出CDA=1ADE=30，进而求出BED=90，最后用勾股定理即可得出结论2（3）方法 1、同（2）的方法

32、即可得出结论；方法2、先判断出 CD2+CE2=2（AP2+CP2），再判断出 CD2+CE2=2AC2即可得出结论【详解】解：BACDAE，BAC+CAEDAE+CAE，即BAECAD又ABAC，ADAE，ACDABE（SAS），CDBE（2）如图 2，连结 BE，ADAE，DAE60，ADE 是等边三角形，DEAD3，ADEAED60，CDAE，CDA11ADE6030，22由（1）得ACDABE，BECD4，BEACDA30，BEDBEA+AED30+6090，即 BEDE，BDBE2 DE232425（3）CD2、CE2、BC2之间的数量关系为：CD2+CE2BC2，理由如下：解法一：

33、如图 3，连结 BEADAE，DAE90，DAED45，由（1）得ACDABE，BECD，BEACDA45，BECBEA+AED45+4590，即 BEDE，在 RtBEC 中，由勾股定理可知：BC2BE2+CE2BC2CD2+CE2解法二：如图 4，过点 A 作 APDE 于点 PADE 为等腰直角三角形，APDE，APEPDPCD2（CP+PD）2（CP+AP）2CP2+2CPAP+AP2，CE2（EPCP）2（APCP）2AP22APCP+CP2，CD2+CE22AP2+2CP22（AP2+CP2），在 RtAPC 中，由勾股定理可知：AC2AP2+CP2，CD2+CE22AC2ABC

34、为等腰直角三角形，由勾股定理可知：AB2+AC2BC2，即 2AC2BC2，CD2+CE2BC2【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解（1）的关键是判断出BAE=CAD，解（2）（3）的关键是判断出 BEDE，是一道中等难度的中考常考题822（1）2 13；（2）；（3）5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒3【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ BP，即2t 8t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使BCQ成为等腰三角形的运动

35、时间有三种情况：当CQ BQ时（图1)，则C CBQ，可证明AABQ，则BQ AQ，则CQ AQ，从而求得t；当CQ BC时（图2)，则BCCQ12，易求得t；当BC BQ时（图3)，过B点作BE AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t【详解】（1）解：（1）BQ 22 4cm，BP AB AP 8216cm，B 90，PQBQ2 BP24262 2 13(cm)；（2）解：根据题意得：BQ BP，即2t 8t，解得：t 8；383即出发时间为秒时，PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：当CQ BQ时，如图 1 所示：则C CBQ，ABC 90，CBQ ABQ 90，AC 90，A AB

36、QBQ AQ，CQ AQ 5，BC CQ 11，t 112 5.5秒当CQ BC时，如图 2 所示：则BCCQ12t 122 6秒当BC BQ时，如图 3 所示：过B点作BE AC于点E，则BE AB BC68 4.8(cm)AC10CE BC2 BE2 3.6cm，CQ 2CE 7.2cm，BC CQ 13.2cm，t 13.22 6.6秒由上可知，当t为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时，BCQ为等腰三角形【点睛】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用23（1）BCACAD；理由详见解析；（2）详见解析；AB=14【分析】（1

37、）在 CB上截取 CECA，连接 DE，证ACDECD得 DEDA，ACED60，据此CED2CBA，结合CEDCBABDE得出CBABDE，即可得 DEBE，进而得出答案；（2）在 AB上截取 AMAD，连接 CM，先证ADCAMC，得到DAMC，CDCM，结合 CDBC知 CMCB，据此得BCMB，根据CMBCMA180可得；设 BNa，过点 C作 CNAB于点 N，由 CBCM知 BNMNa，CN2BC2BN2AC2AN2，可得关于 a 的方程，解之可得答案【详解】解：（1）BCACAD理由如下：如图（a），在 CB 上截取 CECA，连接 DE，CD 平分ACB，ACDECD，又 CD

38、CD，ACDECD（SAS），DEDA，ACED60，CED2CBA，CEDCBABDE，CBABDE，DEBE，ADBE，BEBCCEBCAC，BCACAD（2）如图（b），在 AB 上截取 AMAD，连接 CM，AC 平分DAB，DACMAC，ACAC，ADCAMC（SAS），DAMC，CDCM12，CDBC12，CMCB，BCMB，CMBCMA180，BD180；设 BNa，过点 C 作 CNAB 于点 N，CBCM12，BNMNa，在 RtBCN 中，CN2BC2 BN2122a2，2222216(8a)，在 RtACN 中，CN AC AN 16(8a)，则12 a 解得：a3，即

39、BNMN3，则 AB8+3+3=14，AB=142222【点睛】本题考查了四边形的综合题，以及全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质；本题有一定难度，需要通过作辅助线证明三角形全等才能得出结果24（1）见详解（2）结论：BD2 FC DF2，证明见详解3 5【分析】（1）根据SAS，只要证明BADCAE即可解决问题；（2）结论：BD2 FC DF2连接EF，进一步证明ECF 90，DF EF，再利用勾股定理即可得证；过点A作AGBC于点G，在Rt ADG中求出AG、DG即可求解【详解】解：（1）AE ADDACCAE 90BAC90DACBAD90BADCAE在ABD和ACE

40、中22AB ACBAD CAEAD AEABDACESAS（2）结论：BD2 FC DF2证明：连接EF，如图：2ABDACEB ACE，BDCEECF BCAACE BCAB 90FC2CE2 EF2FC2 BD2 EF2AF平分DAEDAF EAF在DAF和EAF中AD AEDAF EAFAF AFDAFEAFSASDF EFFC2 BD2 DF2即BD2 FC DF2过点A作AGBC于点G，如图：2由可知DF2 BD2 FC 32 42 25DF 5BC BDDF FC 35412AB AC，AGBCBG AG 211BC 12 622DG BGBD 633在Rt ADG中，ADDG2

41、AG232623 52故答案是：（1）见详解（2）结论：BD2 FC DF2，证明见详解3 5【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定和性质以及角平分线的性质综合性较强，属中档题，学会灵活应用相关知识点进行推理证明25（1）90；（2）证明见解析；（3）变化，23 l 4【分析】（1）由等边三角形的性质可得ABC=ACB=60，由等腰三角形的性质可求DAE=DEA=30，由三角形内角和定理可求解；（2）根据等腰三角形的性质，可证得CDF=DEA 和EDB=DFA，由此可利用“ASA”证明全等；（3）根据全等三角形的性质可得l=2+AD，根据 AD 的取值范围即可得出 l 的取

42、值范围【详解】解：（1）ABC 是等边三角形，AB=AC=BC=2，ABC=ACB=60，AD=DEDAE=DEA=30，ADB=180-BAD-ABD=90，故答案为：90；（2）AD=DE=DF，DAE=DEA，DAF=DFA，DAE+DAF=BAC=60，DEA+DFA=60，ABC=DEA+EDB=60，EDB=DFA，ACB=DFA+CDF=60，CDF=DEA，在BDE 和CFD 中CDF DEADE DF，EDB DFABDECFD（ASA）（3）BDECFD，BE=CD，l=BD+BE+DE=BD+CD+AD=BC+AD=2+AD，当 D 点在 C 或 B 点时，AD=AC=A

43、B=2,此时 B、D、E 三点在同一条直线上不构成三角形，2+AD=4；当 D 点在 BC 的中点时，AB=AC，BD=1BC 1，AD AB2BD23，2此时l 2 AD 23综上可知23 l 4【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理（1）掌握等腰三角形等边对等角是解决此问的关键；（2）中注意角之间的转换；（3）中注意临界点是否可取26（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利用大正方形面积、小正方形面积和4 个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（

44、3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出ab为大正方形面积和4 个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方在直角三角形中，两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，a2+b2=c2（2）S大正方形=c2，S小正方形=(b-a)2，4 SRt=4 c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2，即 a2+b2=c2（3）4 SRt=S大正方形-S小正方形=13-1=12,2ab=12.(a+b)2=a2+b2+2ab=c2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验

45、证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.27（1）见解析；（2）BC 2 7.21ab=2ab，2【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得ABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接 AC交 BD于点 O，由题意可证 AC 垂直平分 BD，ABD是等边三角形，可得BAO=DAO=30，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明EDF是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求 OC，BC的长【详解】（1）证明：AB AD，A=60，ABD是等边三角形.ADB 60.CEAB，CEDA60.CED ADB.（2）解：连接AC交BD于点O，A

46、B AD，BC DC，AC垂直平分BD.BAODAO30.ABD是等边三角形，AB8AD BD AB 8，BO OD 4.CEAB，ACE BAO.AE CE 6,DE AD AE 2.CEDADB60.EFD 60.EDF是等边三角形.EF DF DE 2,CF CEEF 4,OF ODDF 2.在 RtCOF中，OC CF2OF2 2 3.在 RtBOC中，BC【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键28（1）假；（2）A45；（3）不能，理由见解析，见解析【分析】（1）先由直角三角形是类勾股三角形得出ab+a2=c2，再由勾股定理得 a2+

47、b2=c2，即可判断出此直角三角形是等腰直角三角形；（2）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论；（3）分三种情况，利用等腰三角形的性质即可得出结论；先求出 CD=CB=a，AD=CD=a，DB=AB-AD=c-a，DG=BG=直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论【详解】解：（1）如图 1，假设 RtABC 是类勾股三角形，BO2OC242(2 3)2 2 7.11（c-a），AG=（a+c），两个22ab+a2c2，在 RtABC 中，C90，根据勾股定理得，a2+b2c2，ab+b2a2+b2，aba2，ab，ABC 是等腰直角三角形，等腰直角三角形是类勾

48、股三角形，即：原命题是假命题，故答案为：假；（2）ABBC，ACAB，ac，bc，ABC 是类勾股三角形，ac+a2b2，c2+a2b2，ABC 是等腰直角三角形，A45，（3）在ABC 中，ABC2BAC，BAC32，ABC64，根据三角形的内角和定理得，ACB180BACABC84，把这个三角形分成两个等腰三角形，（）、当BCDBDC 时，ABC64，BCDBDC58，ACDACBBCD845826，ADCABC+BCD122ACD 不是等腰三角形，此种情况不成立；（）、当BCDABC64时，BDC52，ACD20，ADC128，ACD 是等腰三角形，此种情况不成立；（）、当BDCABC6

49、4时，BCD52，ACDACBBCD32BAC，ACD 是等腰三角形，即：分割线和顶角标注如图2 所示，、分ABC，同（）的方法，判断此种情况不成立；、分BAC，同（）的方法，判断此种情况不成立；如图 3，在 AB 边上取点 D，连接 CD，使ACDA图 3作 CGAB 于 G，CDBACD+A2A，B2A，CDBB，CDCBa，ACDA，ADCDa，DBABADca，CGAB，DGBG1（ca），211（ca）（a+c），22AGAD+DGa+1（c+a）2，21在 RtBCG 中，CG2BC2BG2a2（ca）2，2在 RtACG 中，CG2AC2AG2b211（a+c）2a2（ca）2，

50、22b2ac+a2，ABC 是“类勾股三角形”【点睛】b2此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，新定义“类勾股三角形”，分类讨论的数学思想，解本题的关键是理解新定义29（1）证明见解析；（2）AF5cm；（3）有可能是矩形，P 点运动的时间是 8，Q的速度是 0.5cm/s；t【解析】【分析】（1）证 AEOCFO，推出 OE=OF，根据平行四边形和菱形的判定推出即可；（2）设 AF=CF=a，根据勾股定理得出关于a 的方程，求出即可；（3）只有当 P 运动到 B 点，Q 运动到 D 点时，以 A、P、C、Q 四点为顶点的四边形有可能是矩形，求出时间 t，即可求出答案；分为