勾股定理单元 易错题学能测试试题.pdf
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1、一、选择题一、选择题1“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a,较短直角边长为 b,若(ab)221,大正方形的面积为 13,则小正方形的面积为()A3B4C5D62一艘渔船从港口 A 沿北偏东 60方向航行至 C 处时突然发生故障,在C 处等待救援有一救援艇位于港口 A 正东方向 20(31)海里的 B 处,接到求救信号后,立即沿北偏东 45方向以 30 海里/小时的速度前往 C 处救援则救援艇到达C 处所用的时间为()A3小时3B2小时3C2 2小时3D2 3 2小时33如图,在ABC 中,ACB90,AB 的中垂
2、线交 AC 于 D,P 是 BD 的中点,若 BC4,AC8,则 SPBC为()A3B3.3C4D4.54如图是我国数学家赵爽的股弦图,它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形已知大正方形的面积是l3,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为 b,那么ab值为()2A25A内角和为 360B9B对角线互相平分C13C对角线相等D169D对角线互相垂直5下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()6“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形
3、较长直角边长为 a,较短直角边长为 b,若(ab)2 21,大正方形的面积为 13,则小正方形的面积为()A3A30,40,60B4B7,12,13C5C6,8,10D6D3,4,67下列各组线段能构成直角三角形的一组是()8如图是甲、乙两张不同的矩形纸片,将它们分别沿着虚线剪开后,各自要拼一个与原来面积相等的正方形,则()A甲、乙都可以C甲不可以、乙可以B甲、乙都不可以D甲可以、乙不可以9如图,已知数轴上点P表示的数为1,点A表示的数为 1,过点A作直线l垂直于PA,在l上取点B,使AB 1,以点P为圆心,以PB为半径作弧,弧与数轴的交点C所表示的数为()A5B5 1C5 1D 5 110在
4、直角三角形ABC中,C 90,两直角边长及斜边上的高分别为a,b,h,则下列关系式成立的是()A221222abhB111a2b2h2Ch2 abDh2 a2b2二、填空题二、填空题11如图所示的网格是正方形网格,则ABCACB_(点A,B,C是网格线交点)12若ABC为直角三角形,B 90,AB6,BC8,点D在斜边AC上,且AC 2BD,则AD的长为_13在Rt ABC中,C 90,A 30,BC 2,以ABC的边AC为一边的等腰三角形,它的第三个顶点在ABC的斜边AB上,则这个等腰三角形的腰长为_.14如图,ABC 中,ABC45,BCA30,点 D 在 BC 上,点 E 在ABC 外,
5、且 ADAECE,ADAE,则AB的值为_BD15如图,在等边ABC 中,AB6,AN2,BAC 的平分线交 BC 于点 D,M 是 AD 上的动点,则 BM+MN 的最小值是_16如图,P 是等边三角形 ABC 内的一点,且 PA=3,PB=4,PC=5,以 BC 为边在ABC 外作BQCBPA,连接 PQ,则以下结论中正确有_(填序号)BPQ 是等边三角形 PCQ 是直角三角形 APB=150 APC=13517已知a、b、c是ABC 三边的长,且满足关系式(c a b)ab 0,则222 2ABC 的形状为_18如图,RtABC中,BCA90,AB5,AC2,D为斜边AB上一动点(不与点
6、A,B重合),DEAC,DFBC,垂足分别为E、F,连接EF,则EF的最小值是_19观察:3、4、5,5、12、13,7、24、25,发现这些勾股数的“勾”都是奇数,且从 3 起就没断过根据以上规律,请写出第8 组勾股数:_20已知,在ABC 中,BC=3,A=22.5,将ABC 翻折使得点 B 与点 A 重合,折痕与边 AC 交于点 P,如果 AP=4,那么 AC 的长为_三、解答题三、解答题13 12 248 2 3;21(1)计算:3(2)已知 a、b、c 满足|a2 3|3 2 b(c30)2 0判断以 a、b、c 为边能否构成三角形?若能构成三角形,说明此三角形是什么形状?并求出三角
7、形的面积;若不能,请说明理由22如图,在等腰直角三角形ABC 中,ACB=90,AC=BC,AD 平分BAC,BDAD 于点D,E 是 AB 的中点,连接 CE 交 AD 于点 F,BD=3,求 BF 的长23定义:如图 1,平面上两条直线AB、CD相交于点O,对于平面内任意一点M,点M到直线AB、CD的距离分别为p、q,则称有序实数对(p,q)是点M的“距离坐标”,根据上述定义,“距离坐标”为(0,0)的点有 1 个,即点O(1)“距离坐标”为1,0的点有个;(2)如图 2,若点M在过点O且与直线AB垂直的直线l上时,点M的“距离坐标”为p,q,且BOD 150,请写出p、q的关系式并证明;
8、(3)如图 3,点M的“距离坐标”为(1,3),且DOB 30,求OM的长24如图,在ABC中,BAC 90,AB AC,点D是BC上一动点、连接AD,过点A作AE AD,并且始终保持AE AD,连接CE,(1)求证:ABD ACE;(2)若AF平分DAE交BC于F,探究线段BD,DF,FC之间的数量关系,并证明;若BD 3,CF 4,求AD的长,25如图,ABC 中 AC=BC,点 D,E 在 AB 边上,连接 CD,CE(1)如图 1,如果 ACB=90,把线段 CD 逆时针旋转 90,得到线段 CF,连接 BF,求证:ACD BCF;若 DCE=45,求证:DE2=AD2+BE2;(2)
9、如图 2,如果 ACB=60,DCE=30,用等式表示 AD,DE,BE 三条线段的数量关系,说明理由26如图,ABD为边长不变的等腰直角三角形,AB AD,BAD 90,在ABD外取一点内部,E,以A为直角顶点作等腰直角AEP,其中P在ABDEAP90,AE AP 2,当 E、P、D 三点共线时,BP 7下列结论:E、P、D 共线时,点B到直线AE的距离为5;E、P、D 共线时,SADPSABP 1 3;5SABD=3;2作点A关于绕点BD的对称点C,在AEPA旋转的过程中,PC的最小值为5+2 3 2;AEP绕点A旋转,当点E落在AB上,当点P落在AD上时,取BP上一点N,使得AN BN,
10、连接ED,则AN ED其中正确结论的序号是_27在ABC中,AB AC,CD 是 AB 边上的高,若AB 10,BC 4 5.(1)求 CD 的长.(2)动点 P 在边 AB 上从点 A 出发向点 B 运动,速度为 1 个单位/秒;动点 Q 在边 AC 上从点 A 出发向点 C 运动,速度为 v 个单位秒v1,设运动的时间为tt 0,当点 Q 到点C 时,两个点都停止运动.若当v 2时,CP BQ,求 t 的值.若在运动过程中存在某一时刻,使CP BQ成立,求 v 关于 t 的函数表达式,并写出自变量 t 的取值范围.28如图,在平面直角坐标系中,点O是坐标原点,ABC,ADE,AFO均为等边
11、三角形,A在y轴正半轴上,点B(6,0),点C(6,0),点D在ABC内部,点E在ABC的外部,AD 3 2,DOE30,OF与AB交于点G,连接DF,DG,DO,OE.(1)求点A的坐标;(2)判断DF与OE的数量关系,并说明理由;(3)直接写出ADG的周长.29如图,在ABC 中,D 是边 AB 的中点,E 是边 AC 上一动点,连结 DE,过点 D 作 DFDE 交边BC 于点 F(点 F 与点 B、C 不重合),延长 FD 到点 G,使 DG=DF,连结 EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:ADGBDF;(2)请你连结 EG,并求证:EF=EG;(3)设 AE=
12、x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(4)求线段 EF 长度的最小值.30(发现)小慧和小雯用一个平面去截正方体,得到一个三角形截面(截出的面),发现截面一定是锐角三角形为什么呢?她们带着这个疑问请教许老师(体验)(1)从特殊入手 许老师用 1 个铆钉把长度分别为4 和 3 的两根窄木棒的一端连在一起(如图过程,观测,的大小和),保持不动,让从重合位置开始绕点 转动,在转动的的形状,并列出下表:的大小的形状请仔细体会其中的道理,并填空:(2)猜想一般结论 在若若若为直角三角形,则为锐角三角形,则为钝角三角形,则,中,设满足直角三角形直角三角形_,_;,;(),满足_
13、;满足_,请帮助小慧说明为锐角三角形的道理(探索)在许老师的启发下,小慧用小刀在一个长方体橡皮上切出一个三角形截面(如图 1),设(应用)在小慧的基础上,小雯又切掉一块“角”,得到一个新的三角形截面2),那么的形状是()A一定是锐角三角形B可能是锐角三角形或直角三角形,但不可能是钝角三角形C可能是锐角三角形或直角三角形或钝角三角形(如图【参考答案】*试卷处理标记,请不要删除一、选择题一、选择题1C解析:C【分析】观察图形可知,小正方形的面积=大正方形的面积-4 个直角三角形的面积,利用已知(ab)2=21,大正方形的面积为13,可以得以直角三角形的面积,进而求出答案。【详解】由于大正方形的边长
14、为a2b2,又大正方形的面积为 13,即a2b213,而小正方形的面积表达式为a2b213,而小正方形的面积表达式为(ab)2 2(a2b2)(a b)2 21321 5故本题正确答案为 C【点睛】本题主要考查直角三角形,用到勾股定理的证明,正确计算是解题的关键2C解析:C【解析】【分析】过点 C 作 CD 垂直 AB 延长线于 D,根据题意得CDB=45,CAD=30,设BD=x 则CD=BD=x,BC=2x,由CAD=30可知 tanCAD=x3CD3即,3AD320(3 1)x解方程求出 BD 的长,从而可知 BC 的长,进而求出救援艇到达C 处所用的时间即可.【详解】如图:过点 C 作
15、 CD 垂直 AB 延长线于 D,则CDB=45,CAD=30,CDB=45,CDBD,BD=CD,设 BD=x,救援艇到达 C 处所用的时间为 t,tanCAD=CD3,AD=AB+BD,AD3x3,得 x=20(海里),320(3 1)xBC=2BD=202(海里),t=20 22 2=(小时),303故选 C.【点睛】本题考查特殊角三角函数,正确添加辅助线、熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键.3A解析:A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,根据勾股定理求出 BD,得到 CD 的长,根据三角形的面积公式计算,得到答案【详解】解:点 D 在线段 AB 的垂直平分线上,DADB,
16、在 RtBCD 中,BC2+CD2BD2,即 42+(8BD)2BD2,解得,BD5,CD853,BCD 的面积11CDBC346,22P 是 BD 的中点,SPBC1SBCD3,2故选:A【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理,掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键4A解析:A【分析】根据勾股定理可以求得a2b2等于大正方形的面积,然后求四个直角三角形的面积,即可得到ab的值,然后根据ab a22abb2即可求解【详解】根据勾股定理可得a2b213,四个直角三角形的面积是:221ab4 13112,即2ab12,2则ab a22abb2131
17、2 25故选:A【点睛】本题考查了勾股定理以及完全平方式,正确根据图形的关系求得a2b2和ab的值是关键5C解析:C【分析】矩形与菱形相比,菱形的四条边相等、对角线互相垂直;矩形四个角是直角,对角线相等,由此结合选项即可得出答案【详解】A、菱形、矩形的内角和都为360,故本选项错误;B、对角互相平分,菱形、矩形都具有,故本选项错误;C、对角线相等菱形不具有,而矩形具有,故本选项正确D、对角线互相垂直,菱形具有而矩形不具有,故本选项错误,故选 C【点睛】本题考查了菱形的性质及矩形的性质,熟练掌握矩形的性质与菱形的性质是解题的关键.6C解析:C【详解】如图所示,(a+b)2=21 a2+2ab+b
18、2=21,大正方形的面积为 13,2ab=2113=8,小正方形的面积为 138=5故选 C考点:勾股定理的证明7C解析:C【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【详解】A、302 402 602,该选项的三条线段不能构成直角三角形;B、72122132,该选项的三条线段不能构成直角三角形;C、6282102,该选项的三条线段能构成直角三角形;D、3242 62,该选项的三条线段不能构成直角三角形;故选:C.【点睛】此题考查勾股定理的逆定理,掌握勾股定理的逆定理的计算法则及正确计算是解题的关键.8A解析:A【解析】试题分析:剪拼如下图:乙故选 A考点:剪拼,面积不变性,二次方根9B解析:B【分
19、析】由数轴上点P表示的数为1,点A表示的数为 1,得 PA=2,根据勾股定理得PB 5,进而即可得到答案【详解】数轴上点P表示的数为1,点A表示的数为 1,PA=2,又lPA,AB 1,PBPA2 AB25,PB=PC=5,数轴上点C所表示的数为:5 1故选 B【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理,掌握数轴上两点之间的距离求法,是解题的关键10B解析:B【分析】设斜边为 c,根据勾股定理得出 c=a2b2,再由三角形的面积公式即可得出结论【详解】解:设斜边为 c,根据勾股定理得出 c=a2b2,11ab=ch,22ab=a2b2h,即 a2b2=a2h2+b2h2,a2b2a2h2b
20、2h2222=222+222,a b ha b ha b h111+222bha故选:B【点睛】即本题考查勾股定理,熟知在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键二、填空题二、填空题1145【分析】如下图,延长 BA 至网络中的点 D 处,连接 CD.ABC ACB DAC,只需证ADC 是等腰直角三角形即可【详解】如下图,延长 BA 至网络中的点 D 处,连接 CD设正方形网络每一小格的长度为1则根据网络,AB=5,AD=5,CD=5,BC=5,BD=25其中 BD、DC、BC 边长满足勾股定理逆定理CDA=90AD=DCADC 是等腰直角三角形DAC=45
21、故答案为:45【点睛】本题是在网格中考察勾股定理的逆定理,解题关键是延长BA,构造处ABC 的外角CAD125【分析】在直角ABC中,依据勾股定理求出AC的长度,再算出BD,过点 B 作BE AC于点E,通过等面积法求出BE,得到两个直角三角形,分别运用勾股定理算出AE、ED,两者相加即为AD的长.【详解】解:如图,过点 B 作BE AC于点 E,则BEA90,BED90,直角ABC中,B 90,AB6,BC8,AC=AB2 BC210,又2SABC ABBC AC BE,AC 2BD6810BE,BD 5,BE=4.8,BEA90,BED90AE=AB2 BE2 3.6,ED=BD2 BE2
22、1.4,AD AEED5.故答案为:5.【点睛】本题考查了勾股定理,通过作直角三角形斜边上的高,既构造了两个直角三角形求位置线段,又通过等面积法求出了一条直角边的长度,为运用勾股定理求线段创造了条件;故在求线段长时,可以考虑构造直角三角形.132 3或 2【分析】先求出 AC的长,再分两种情况:当AC为腰时及 AC 为底时,分别求出腰长即可.【详解】在Rt ABC中,C 90,A 30,BC 2,AB=2BC=4,AC AB2BC24222 2 3,当 AC为腰时,则该三角形的腰长为2 3;当 AC为底时,作 AC 的垂直平分线交 AB于点 D,交 AC于点 E,如图,此时ACD是等腰三角形,
23、则 AE=3,设 DE=x,则 AD=2x,AE2 DE2 AD2,x2(3)2(2x)2x=1(负值舍去),腰长 AD=2x=2,故答案为:2 3或 2【点睛】此题考查勾股定理的运用,结合线段的垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,解题时注意:“AC为一边的等腰三角形”没有明确AC是等腰三角形的腰或底,故应分为两种情况解题,这是此题的易错之处.146 22【解析】【分析】过 A 点作 BC 的垂线,E 点作 AC 的垂线,构造全等三角形,利用对应角相等计算得出DAM=15,在 AM 上截取 AG=DG,则DGM=30,设 DM=a,通过勾股定理可得到DG=AG=2a,GM=3a,AM=BM=(
24、3 2)a,BD=(3 1)a,AB=2(3 1)a,代入计算即可.【详解】过 A 点作 AMBC 于 M 点,过 E 点 ENAC 于 N 点.BCA30,AE=EC11AC,AN=AC22AM=AN又AD=AERtADM RtAEN(HL)DAM=EANAM=又MAC=60,ADAEDAM=EAN=15在 AM 上截取 AG=DG,则DGM=30设 DM=a,则 DG=AG=2a,根据勾股定理得:GM=3a,ABC45AM=BM=(3 2)aBD=(3 1)a,AB=2(3 2)a,ABBD6 2 2 a3 1 a6 226 22故答案为:【点睛】本题主要考查等于三角形的性质、含30角的直
25、角三角形的性质,勾股定理等知识,关键是能根据已知条件构建全等三角形及构建等腰三角形将15角转化为 30角,本题有较大难度.157【解析】【分析】通过作辅助线转化 BM,MN 的值,从而找出其最小值求解【详解】解:连接 CN,与 AD 交于点 M则 CN 就是 BM+MN 的最小值取 BN 中点 E,连接 DE,如图所示:等边ABC 的边长为 6,AN2,BNACAN624,BEENAN2,又AD 是 BC 边上的中线,DE 是BCN 的中位线,CN2DE,CNDE,又N 为 AE 的中点,M 为 AD 的中点,MN 是ADE 的中位线,DE2MN,CN2DE4MN,CM3CN4113 3BC3
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