勾股定理单元 易错题测试综合卷学能测试试卷.pdf

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1、一、选择题一、选择题1勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书网醉算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理图2 是由图 1 放入矩形内得到的，BAC=90，AB=3，BC=5，点 D，E，F，G，H，I 都在矩形 KLMJ 的边上，则矩形 KLMJ 的面积为()A121B110C100D902“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为 b，若（ab）221，大正方形的面积为 13，则小正方形的面积为（）A3B4C5D63如图，

2、在等边ABC 中，AB15，BD6，BE3，点 P 从点 E 出发沿 EA 方向运动，连结 PD，以 PD 为边，在 PD 右侧按如图方式作等边DPF，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点F 运动的路径长是（）A8B10C4 3D124如果正整数 a、b、c 满足等式a2b2 c2，那么正整数 a、b、c 叫做勾股数.某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x y的值为（）A47B62C79D985已知ABC 是腰长为 1 的等腰直角三角形，以RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 RtACD，再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边，画第三个等腰RtAD

3、E，依此类推，第 n 个等腰直角三角形的面积是()A2n2B2n1C2nD2n+16如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，且 DM=2，N 是 AC 上的一动点，则DN+MN 的最小值是（）A8B9C10D127下列说法不能得到直角三角形的（）A三个角度之比为 1：2：3 的三角形C三个边长之比为 8：16：17 的三角形分AFC 的面积为（）B三个边长之比为 3：4：5 的三角形D三个角度之比为 1：1：2 的三角形8如图，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=4，将矩形沿 AC 折叠，点 B 落在点 B处，则重叠部A12C8则 BC 的长是（）B10D69如图，ACB90

4、，ACBC，ADCE，BECE，垂足分别是点 D、E，AD3，BE1，A32B2C2 2D1010下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是()A6，8，10B5，12，13C3，5，6D2，3，5二、填空题二、填空题11我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形 ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，若 S1+S2+S3=10，则 S2的值是_12如图，点 E 在DBC边 DB 上，点 A 在DBC内部，DAEBAC90，ADAE，AB

5、AC，给出下列结论，其中正确的是_（填序号）BDCE；DCBABD45；BDCE；BE22（AD2+AB2）13如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C处，若长方体的长AB 4cm，宽BC 2cm，高BB1cm，则蚂蚁爬行的最短路径长是_14如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1 S2 S3144，则S2的值是_15如图，有一个圆柱，它的高等于12 厘米，底面半径等于3 厘米在圆柱的下底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的 C 点处的食物，需要爬行的最短路程

6、是_（的值取 3）16如图，在 RtABC 中，ACB90，AB7.5cm，AC4.5cm，动点 P 从点 B 出发沿射线 BC 以 2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_17算法统宗中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点 A 离地 1 尺，将它往前推送 10 尺(水平距离)时，点 A 对应的点 B 就和某人一样高，若此人的身高为 5 尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为_尺.18如图，在锐角ABC中，AB 2，BAC 60，BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上

7、的动点，则BM MN的最小值是_.19RtABC 中，BAC=90，AB=AC=2，以 AC为一边在ABC 外部作等腰直角三角形ACD，则线段 BD 的长为_20如图，E 为等腰直角ABC 的边 AB 上的一点，要使 AE3，BE1，P 为 AC 上的动点，则 PBPE 的最小值为_三、解答题三、解答题21如图，ABC 和EDC都是等边三角形，AD 长；（2）BDC 的度数：（3）AC 的长7,BD 3,CD 2求:（1）AE22我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差如图 1，在ABC中，AO是BC边上的中线，AB与AC的“广益值”就等于AO2 BO2的值，可

8、记为ABAC OA2 BO2（1）在ABC中，若ACB90，ABAC 81，求AC的值（2）如图 2，在ABC中，AB AC 12，BAC120，求ABAC，BABC的值（3）如图 3，在ABC中，AO是BC边上的中线，SABC 24，AC 8，ABAC 64，求BC和AB的长23RtABC中，CAB 90，AC 4，AB8，M、N分别是边AB和CB上的动点，在图中画出AN MN值最小时的图形，并直接写出AN MN的最小值为 .24我国古代数学家赵爽曾用图1 证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”.2002年在北京召开的国际数学家大会(ICM 2002)的会标(图 2)，其图案正是由“弦图”演

9、变而来.“弦图”是由 4个全等的直角三角形与一个小正方形组成，恰好拼成一个大正方形请你根据图1 解答下列问题:(1)叙述勾股定理(用文字及符号语言叙述);(2)证明勾股定理;(3)若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,求ab的值.225如图，在ABC 中，C90，把ABC 沿直线 DE 折叠，使ADE 与BDE 重合(1)若A35，则CBD 的度数为_；(2)若 AC8，BC6，求 AD 的长；(3)当 ABm(m0)，ABC 的面积为 m1 时，求BCD 的周长(用含 m 的代数式表示)26已知ABC中，ACB90，AC BC，过顶点A作射线AP.（1）当射线AP在BAC外部时，如图，

10、点D在射线AP上，连结CD、BD，已知AD n21，AB n21，BD 2n（n 1）.试证明ABD是直角三角形；求线段CD的长.（用含n的代数式表示）（2）当射线AP在BAC内部时，如图，过点B作BD AP于点D，连结CD，请写出线段AD、BD、CD的数量关系，并说明理由.27如图，ABC 中，BAC90，AB=AC，P 是线段 BC 上一点,且0 BAP 45.作点 B 关于直线 AP 的对称点 D,连结 BD，CD，AD（1）补全图形.（2）设BAP 的大小为.求ADC 的大小(用含 的代数式表示).（3）延长 CD 与 AP 交于点 E,直接用等式表示线段BD 与 DE 之间的数量关系

11、.28如图，点 A 是射线 OE：yx（x0）上的一个动点，过点A 作 x 轴的垂线，垂足为B，过点 B 作 OA 的平行线交AOB 的平分线于点 C（1）若 OA52，求点 B 的坐标；（2）如图 2，过点 C 作 CGAB 于点 G，CHOE 于点 H，求证：CGCH（3）若点 A 的坐标为（2，2），射线 OC 与 AB 交于点 D，在射线 BC 上是否存在一点 P使得ACP 与BDC 全等，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由在（3）的条件下，在平面内另有三点P1（2，2），P2（2，22），P3（2+2，22），请你判断也满足ACP 与BDC 全等的点是（写出你认为正确的

12、点）29定义：在ABC 中，若 BCa，ACb，ABc，若 a，b，c 满足 ac+a2b2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是命题（填“真”或“假”）；（2）如图 1，若等腰三角形 ABC 是“类勾股三角形”，其中 ABBC，ACAB，请求A 的度数；（3）如图 2，在ABC 中，B2A，且CA当A32时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2 中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由；请证明ABC 为“类勾股三角形”30如图，在边长为2正方形ABCD中，点O是对角线AC的

13、中点，E是线段OA上一动点（不包括两个端点），连接BE.（1）如图 1，过点E作EF BE交CD于点F，连接BF交AC于点G.求证：BE EF;设AE x，CG y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图 2 中，请用无刻度的直尺作出一个以BE为边的菱形.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1B解析：B【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解【详解】解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，则四边形OALP是矩形

14、CBF 90，ABC OBF 90，又直角ABC中，ABCACB90，OBF ACB，在OBF和ACB中，BAC BOFACB OBF，BC BFOBF ACB(AAS)，AC OB，同理：ACB PGC，PC AB，OA AP，所以，矩形AOLP是正方形，边长AO AB AC 3 4 7，所以，KL 37 10，LM 47 11，因此，矩形KLMJ的面积为1011110，故选 B【点睛】本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键2C解析：C【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4 个直角三角形的面积，利用已知(ab)2=21，大正方形的面积为13，可以得以直

15、角三角形的面积，进而求出答案。【详解】由于大正方形的边长为a2b2，又大正方形的面积为 13，即a2b213，而小正方形的面积表达式为a2b213，而小正方形的面积表达式为(ab)2 2(a2b2)(a b)2 21321 5故本题正确答案为 C【点睛】本题主要考查直角三角形，用到勾股定理的证明，正确计算是解题的关键3D解析：D【分析】首先利用等边三角形的性质和含30直角三角形的运用，判定DPEFDH，DF2QADE，然后利用全等三角形的性质，得出点F 运动的路径长.【详解】ABC 为等边三角形，B=60，过 D 点作 DEAB，过点 F 作 FHBC 于 H，如图所示：则 BE=1BD=3，

16、2点 E与点 E 重合，BDE=30，DE=3BE=33，DPF 为等边三角形，PDF=60，DP=DF，EDP+HDF=90HDF+DFH=90，EDP=DFH，PED DHF 90在DPE 和FDH 中，EDP DFH，DP FDDPEFDH（AAS），FH=DE=33，点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径为一条线段，此线段到BC 的距离为 33，当点 P 在 E 点时，作等边三角形 DEF1，BDF1=30+60=90，则 DF1BC，当点 P 在 A 点时，作等边三角形 DAF2，作 F2QBC 于 Q，则四边形 DF1F2Q 是矩形，BDE=30，ADF2=60，A

17、DE+F2DQ=1803060=90，ADE+DAE=90，F2DQ=DAE，F2QD DEA 90DF QADE在2和中，F2DQ DAE，DF AD2DF2QADE（AAS），DQ=AE=ABBE=153=12，F1F2=DQ=12，当点 P 从点 E 运动到点 A 时，点 F 运动的路径长为 12，故选：D【点睛】此题主要考查等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题关键是作好辅助线.4C解析：C【分析】依据每列数的规律，即可得到a n 1,b n,c n 1，进而得出x y的值.222【详解】解：由题可得：3 2 1,4 2,5 2 1222a n21,b n2,c n21当c

18、n21 65时，n 8x 63,y 16x y 79故选 C【点睛】本题为勾股数与数列规律综合题；观察数列，找出规律是解答本题的关键.5A解析：A【分析】连续使用勾股定理求直角边和斜边，然后再求面积，观察发现规律，即可正确作答.【详解】解：ABC 是边长为 1 的等腰直角三角形11SABC11 212，22AC 12122,AD(2)2(2)2 21SAACD22 1 222:21SADE22 1 2322第 n 个等腰直角三角形的面积是2n2，故答案为 A.【点睛】本题的难点是运用勾股定理求直角三角形的直角边，同时观察、发现也是解答本题的关键.6C解析：C【解析】【分析】要求 DNMN 的最

19、小值，DN，MN 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化DN，MN 的值，从而找出其最小值求解【详解】解：正方形是轴对称图形，点B 与点 D是关于直线 AC为对称轴的对称点，连接 BN，BD，则直线 AC 即为 BD 的垂直平分线，BNNDDNMNBNMN连接 BM交 AC 于点 P，点 N为 AC 上的动点，由三角形两边和大于第三边，知当点 N 运动到点 P 时，BNMNBPPMBM，BNMN的最小值为 BM的长度，四边形 ABCD为正方形，BCCD8，CM82 6，BCM90，BM故选：C【点睛】此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，解题的难点在于确定满足条件的点 N 的位置

20、：利用轴对称的方法然后熟练运用勾股定理10，DNMN的最小值是 107C解析：C【分析】三角形内角和 180，根据比例判断 A、D 选项中是否有 90的角，根据勾股定理的逆定理判断 B、C 选项中边长是否符合直角三角形的关系.【详解】A 中，三个角之比为 1:2:3，则这三个角分别为：30、60、90，是直角三角形；D 中，三个角之比为 1:1:2，则这三个角分别为：45、45、90，是直角三角形；B 中，三边之比为 3:4:5，设这三条边长为：3x、4x、5x，满足：3x4x5x，是直角三角形；C 中，三边之比为 8:16:17，设这三条边长为：8x、16x、17x，8x16x17x，不满足

21、勾股定理逆定理，不是直角三角形故选：C【点睛】本题考查直角三角形的判定，常见方法有2 种；（1）有一个角是直角的三角形；（2）三边长满足勾股定理逆定理.2222228B解析：B【分析】已知AD为CF边上的高，要求AFC的面积，求得FC即可，求证AFDCFB，得BF DF，设DF x，则在RtAFD中，根据勾股定理求x，于是得到CF CD DF，即可得到答案【详解】解：由翻折变换的性质可知，AFDCFB，DF BF，设DF x，则AF CF 8 x，在RtAFD中，AF2 DF2 AD2，即(8 x)x 4，解得：x 3，CF CD FD 83 5，2221SAFC AF BC 102故选：B【

22、点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到AFDCFB是解题的关键9D解析：D【分析】根据条件可以得出EADC90，进而得出CEBADC，就可以得出 ADCE，再利用勾股定理就可以求出 BC 的值【详解】解：BECE，ADCE，EADC90，EBCBCE90BCEACD90，EBCDCA在CEB 和ADC 中，E ADCEBC DCA，BC ACCEBADC（AAS），CEAD3，在 RtBEC 中，BC=BE2+CE2=12+32=10，故选 D【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键10C解析：C【分析】求出两小边的平

23、方和长边的平方，再看看是否相等即可【详解】A、62+82=102，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122=132，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；C、32+5262，此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；D、22325，此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；2故选：C【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断二、填空题二、填空题103【解析】11试题解析：将四边形 MTKN 的面积设为 x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，正方形 ABCD，正方形 EFG

24、H，正方形 MNKT 的面积分别为 S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，得出 S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，S1+S2+S3=3x+12y=10，故 3x+12y=10，x+4y=10，3所以 S2=x+4y=103考点：勾股定理的证明12【分析】由已知条件证明DABEAC 即可；由可得ABD=ACE45；由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45+45=90可判断；由 BE2BC2EC22AB2（CD2DE2）2AB2CD2+2AD22（AD2+AB2）CD2可判断【详解】解：DAEBAC90，DABEAC，ADAE，ABAC，AED=ADE=A

25、BC=ACB=45，在DAB 和EAC 中，ADAEDABEAC，ABACDABEAC，BDCE，ABDECA，故正确；由可得ABD=ACE45故错误；ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC=45+45=90，CEB90，即 CEBD，故正确；BE2BC2EC22AB2（CD2DE2）2AB2CD2+2AD22（AD2+AB2）CD2BE22（AD2+AB2）CD2，故错误故答案为：【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质定理以及勾股定理公式是解题关键135cm【分析】连接 AC，分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算

26、出AC长，再比较大小即可得出结果【详解】解：如图展开成平面图，连接 AC，分三种情况讨论：如图 1，AB=4，BC=1+2=3，在 RtABC中，由勾股定理得 AC=4232=5（cm），如图 2，AC=4+2=6，CC=1在 RtACC中，由勾股定理得 AC=6212=37（cm），如图 3，AD=2，DC=1+4=5，在 RtADC中，由勾股定理得 AC=2252=29（cm）52937，蚂蚁爬行的最短路径长是5cm，故答案为：5cm【点睛】本题考查平面展开-最短路线问题和勾股定理，本题具有一定的代表性，是一道好题，注意要分类讨论1448【分析】用 a 和 b 表示直角三角形的两个直角边，

27、然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出S2的面积【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为 a，较短的长度为 b，即图中的AE a，AH b，222则S1 AB2ab，S2 HE a b，S3TM2ab，22S1 S2 S3144，aba2b2ab14422a2b22aba2b2a2b22ab 1443a23b2144a2 b2 48，S2 48故答案是：48【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用1515 厘米【分析】要想求得最短路程，首先要画出圆柱的侧面展开图，把A和C展开到一个平面内根据两点之间，线段最短，结合

28、勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程【详解】解：如图，展开圆柱的半个侧面是矩形，矩形的长是圆柱的底面周长的一半，即AB=3 9厘米，矩形的宽 BC=12 厘米蚂蚁需要爬行最短路程AC BC2 AB2122 9215厘米故答案为：15 厘米【点睛】求两个不在同一平面内的两点之间的最短距离时，一定要展开到一个平面内，根据两点之间，线段最短1675 或 6 或【分析】当ABP 为等腰三角形时，分三种情况：当ABBP 时；当 ABAP 时；当 BPAP时，分别求出 BP 的长度，继而可求得 t 值【详解】在 RtABC 中，BC2AB2AC27.524.5236，BC6（cm）；当 ABBP7.5cm

29、时，如图 1，t947.53.75（秒）；2当 ABAP7.5cm 时，如图 2，BP2BC12cm，t6（秒）；当 BPAP 时，如图 3，APBP2tcm，CP（4.52t）cm，AC4.5cm，在 RtACP 中，AP2AC2+CP2，所以 4t24.52+（4.52t）2，解得：t9，494综上所述：当ABP 为等腰三角形时，t3.75 或 t6 或 t故答案为：3.75 或 6 或94【点睛】此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.175【分析】设绳索 x尺，过点 B向地面及 AO作垂线 BE、BC，构成直角三角形

30、OBE，利用勾股定理求出 x 的值【详解】如图，过点 B 作 BCOA于点 C，作 BD垂直于地面，延长OA交地面于点 D由题意知 AD=1，BE=5，BC=10设绳索 x尺，则 OA=OB=xOC=x+1-5=x-4在 RtOBC中，OB2=OC2+BC2x (x4)10得 x=14.5（尺）故填 14.5222,【点睛】此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.183【分析】作点 B 关于 AD 的对称点 B，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，根据轴对称确定最短路线问题，BN 的长度即为 BM+MN 的最小值，根据BAC=60判断出 ABB是等边三

31、角形，再根据等边三角形的性质求解即可【详解】如图，作点 B 关于 AD 的对称点 B，由垂线段最短，过点 B作 BNAB 于 N 交 AD 于 M，BN 最短，由轴对称性质，BM=BM，BM+MN=BM+MN=BN，由轴对称的性质，AD 垂直平分 BB，AB=AB，BAC=60，ABB是等边三角形，AB=2，BN=23=3，2即 BM+MN 的最小值是3故答案为3【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，等边三角形的判定与性质，确定出点M、N 的位置是解题的关键，作出图形更形象直观194 或2 5或10【分析】分三种情况讨论：以A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；以 C 为直角顶点，向

32、外作等腰直角三角形 ACD；以 AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC分别画图，并求出 BD【详解】以 A 为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，如图 1DAC=90，且 AD=AC，BD=BA+AD=2+2=4；以 C 为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，如图 2连接 BD，过点 D 作 DEBC，交 BC 的延长线于 EABC 是等腰直角三角形，ACD=90，DCE=45又DECE，DEC=90，CDE=45，CE=DE=22222222 222 2，BDBE2 DE2（2 2 2）（2）在 RtBAC 中，BC2 5；以 AC 为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，如图 3ADC=

33、90，AD=DC，且 AC=2，AD=DC=ACsin45=2222又ABC、ADC 是等腰直角三角形，ACB=ACD=45，BCD=90又在 RtABC 中，BCBD22 222 2，22BC2CD2（2 2）（2）10故 BD 的长等于 4 或2 5或10故答案为 4 或2 5或10【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识解题的关键是分情况考虑问题，205【解析】试题分析：作点 B 关于 AC 的对称点 F，构建直角三角形，根据最短路径可知：此时PB+PE的值最小，接下来要求出这个最小值，即求EF 的长即可，因此要先求 AF 的长，证明 ADFCDB，可以解决这个问题，从而得

34、出EF=5，则 PB+PE 的最小值为 5解：如图，过 B 作 BDAC，垂足为 D，并截取 DF=BD，连接 EF 交 AC 于 P，连接 PB、AF，则此时 PB+PE 的值最小，ABC 是等腰直角三角形，AB=CB,ABC=90，AD=DC，BAC=C=45，ADF=CDB，ADFCDB，AF=BC,FAD=C=45，AE=3，BE=1，AB=BC=4，AF=4，BAF=BAC+FAD=45+45=90,由勾股定理得：EF=AF2 AE2=4232=5，AC 是 BF 的垂直平分线，BP=PF，PB+PE=PF+PE=EF=5，故答案为 5.点睛：本题主要考查最短路径问题.解题的关键在于

35、要利用轴对称知识，结合两点之间线段最短来求解.三、解答题三、解答题21（1）3；（2）150；（3）13【分析】（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明BCDACE，再根据全等三角形的性质即得结果；（2）在ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得AED90，进而可求出AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；（3）过 C 作 CPDE 于点 P，设 AC 与 DE 交于 G，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得 PE 与 CP 的长，进而可得 AECP，然后即可根据 AAS 证明AEGCPG，于是可得 AGCG，PGEG，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果【详解】解：（

36、1）ABC 和EDC 都是等边三角形，BCAC，CDCEDE2，ACBDCE60，BCDACE，在BCD 与ACE 中，BCAC，BCDACE，CDCE，BCDACE，AEBD3；（2）在ADE 中，AD DE+AE 2 22227,AE 3,DE 2，237AD，2AED90，DEC60，AEC150，BCDACE，BDCAEC150；（3）过 C 作 CPDE 于点 P，设 AC 与 DE 交于 G，如图，CDE 是等边三角形，PE1DE1，CP22 1223，AECP，在AEG 与CPG 中，AEGCPG90，AGECGP，AECP，AEGCPG，AGCG，PGEG1，2AGAE EG

37、223213 1，222AC2AG13【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键22(1)AC=9;(2)ABAC=-72,BABC=216;(3)BC=2OC=273,AB=10.【分析】(1)在 RtAOC中,根据勾股定理和新定义可得AO2-OC2=81=AC2;(2)先利用含 30的直角三角形的性质求出AO=2,OB=2 3,再用新定义即可得出结论;先构造直角三角形求出BE,AE,再用勾股定理求出 BD,最后用新定义即可得出结论;(3)作 BDCD,构造直角三角形 BCD,根据三角形面

38、积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形 AOD 是直角三角形,根据中线性质得出 OA 的长度,根据勾股定理求出 OC,从而得出 BC,再根据勾股定理求出 CD,再求出 AD,再运用勾股定理求出 AB.【详解】(1)已知如图:AO 为 BC 上的中线,在 RtAOC中,AO2-OC2=AC2因为ABAC 81所以 AO2-OC2=81所以 AC2=81所以 AC=9.(2)如图 2,取 BC 的中点 D,连接 AO,AB=AC,AOBC,在ABC 中,AB=AC,BAC=120,ABC=30,在 RtAOB 中,AB=12,ABC=30,AO=6,OB=ABAC=AO2BO2=36

39、108=72,AB2 AO2 12262=6 3,1AC=6,过点 B 作 BEAC 交 CA 的延长线于 E,在2RtABE 中,BAE=180BAC=60,ABE=30,取 AC 的中点 D,连接 BD,AD=CD=AB=12,AE=6,BE=DE=AD+AE=12,在 RtBED 中,根据勾股定理得,BD=BE2 DE2BABC=BD2CD2=216;AB2 AE2 122626 3,6 32122 6 7(3)作 BDCD,因为SABC 24,AC 8,所以 BD=2SABC AC 6,因为ABAC 64,AO是BC边上的中线,所以 AO2-OC2=-64,所以 OC2-AO2=64,

40、由因为 AC2=82=64,所以 OC2-AO2=AC2所以OAC=90所以 OA=2所以 OC=SABC24 AC 28 322AC2OA2823273所以 BC=2OC=273,在 RtBCD 中,CD=BC2BD22 7326216所以 AD=CD-AC=16-8=8所以 AB=AD2BD2826210【点睛】考核知识点:勾股定理逆定理,含 30直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.23作图见解析，【分析】作 A 点关于 BC 的对称点 A，AA 与 BC 交于点 H，再作 AMAB 于点 M，与 BC 交于点N，此时 AN+MN 最小，连

41、接 AN，首先用等积法求出 AH 的长，易证ACHANH，可得AN=AC=4，然后设 NM=x，利用勾股定理建立方程求出NM 的长，AM 的长即为 AN+MN 的最小值【详解】如图，作 A 点关于 BC 的对称点 A，AA 与 BC 交于点 H，再作 AMAB 于点 M，与 BC 交于点 N，此时 AN+MN 最小，最小值为 AM 的长325连接 AN，在 RtABC 中，AC=4，AB=8，BC=AB2 AC2=82 42=4 511ABAC=BCAH22AH=848 5=54 5CAAB，AMAB，CAAMC=ANH，由对称的性质可得 AH=AH，AHC=AHN=90，AN=AN在ACH

42、和ANH 中，C=ANH，AHC=AHN，AH=AH，ACHANH（AAS）AN=AC=4=AN，设 NM=x，在 RtAMN 中，AM2=AN2-NM2=42 x216 x2在 RtAAM 中，AA=2AH=16 5，AM=AN+NM=4+x5216 52 4 xAM2=AA2-AM2=516 522 4 x=16 x52解得x 1251232=55此时AN MN的最小值=AM=AN+NM=4+【点睛】本题考查了最短路径问题，正确作出辅助线，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键24（1）见解析；（2）证明见解析；（3）25.【分析】（1）直接叙述勾股定理的内容，并用字母表明三边关系；（2）利

43、用大正方形面积、小正方形面积和4 个直角三角形的面积和之间的关系列式整理即可证明；（3）将原式利用完全平方公式展开，由勾股定理的内容可得出ab为大正方形面积和4 个直角三角形的面积和，根据已知条件即可求得.【详解】解：（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方在直角三角形中，两条直角边分别为 a、b，斜边为 c，a2+b2=c2（2）S大正方形=c2，S小正方形=(b-a)2，4 SRt=4 c2=2ab+(b-a)2=2ab+b2-2ab+a2=a2+b2，即 a2+b2=c2（3）4 SRt=S大正方形-S小正方形=13-1=12,2ab=12.(a+b)2=a2+b2+2a

44、b=c2+2ab=13+12=25.【点睛】本题考查勾股定理的内容及勾股定理的几何验证，利用等面积法证明勾股定理及运用勾股定理是解答此题的关键.25（1）CBD=20；（2）AD=6【分析】（1）根据折叠可得1=A=35，根据三角形内角和定理可以计算出ABC=55，进而得到CBD=20；（2）根据折叠可得 AD=DB，设 CD=x，则 AD=BD=8-x，再在 RtCDB中利用勾股定理可得 x2+62=（8-x）2，再解方程可得 x的值，进而得到 AD的长；（3）根据三角形 ACB的面积可得21ab=2ab，21；(3)BCD的周长为 m+241AC CB m1，2进而得到 ACBC=2m+2

45、，再在 RtCAB中，CA2+CB2=BA2，再把左边配成完全平方可得CA+CB的长，进而得到BCD的周长【详解】（1）把ABC沿直线 DE折叠，使ADE与BDE重合，1=A=35，C=90，ABC=180-90-35=55，2=55-35=20，即CBD=20；（2）把ABC沿直线 DE 折叠，使ADE与BDE重合，AD=DB，设 CD=x，则 AD=BD=8-x，在 RtCDB中，CD2+CB2=BD2，x2+62=（8-x）2，解得：x=AD=8-7，471=6；44（3）ABC 的面积为 m+1，1ACBC=m+1，2ACBC=2m+2，在 RtCAB中，CA2+CB2=BA2，CA2

46、+CB2+2ACBC=BA2+2ACBC，（CA+BC）2=m2+4m+4=（m+2）2，CA+CB=m+2，AD=DB，CD+DB+BC=m+2即BCD的周长为 m+2【点睛】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段26（1）详见解析；（2）CD 222（n 1）；（2）n 2n22ADBD 2CD，理由详见解析.【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断；过点 C 作 CECD 交 DB 的延长线于点 E，利用同角的余角相等证明3=4，1=E，进而证明ACDBCE，求出 DE 的长，再利用勾股定理求解即可.（2）过点 C

47、 作 CFCD 交 BD 的延长线于点 F，先证ACD=BCF，再证ACDBCF，得 CD=CF，AD=BF，再利用勾股定理求解即可.【详解】（1）AD2 BD2 n212n n222 22n214n2n22n21n2122又AB n 1222AD2 BD2 AB2ABD 是直角三角形如图，过点 C 作 CECD 交 DB 的延长线于点 E，3+BCD=ACD=90，4+BCD=DCE=903=4由知ABD 是直角三角形12 90又2E 901=E在ACD和BCE中，A E3 4AC BCACDBCECDCE，AD BEDE BD BE BD AD 2nn21又CDCE，DCE90由勾股定理得

48、DE CD2 DE22CDn22n1222CD（n 1）n 2n 222（2）AD、BD、CD 的数量关系为：ADBD 理由如下：如图，过点 C 作 CFCD 交 BD 的延长线于点 F，2CD，ACD=90+5，BCF=90+5ACD=BCFBDADADB=906+7=90ACB=909=8=90又6=87=9ACD和BCF中9 7AC BCACD BCFACDBCFCD=CF，AD=BF又DCF=90由勾股定理得DF CD2CF2又 DF=BF-BD=AD-BDADBD【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理及其逆定理是关键.27（1）见解析；

49、（2）ADC=45；（3）BD【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）根据对称的性质，等腰三角形的性质及角与角之间的和差关系进行计算即可；（3）画出图形，结合（2）的结论证明BED 为等腰直角三角形，从而得出结论.【详解】解：（1）如图所示；2CD2CD2DE（2）点 B 与点 D 关于直线 AP 对称，BAP=，PAD=，AB=AD，BAC90，DAC 902，又AB=AC，AD=AC，1180(902)=45；2（3）如图，连接 BE，ADC=由（2）知：ADC=45，ADC=AED+EAD，且EAD=，AED=45，点 B 与点 D 关于直线 AP 对称，即 AP 垂直平分 BD，AE

50、D=AEB=45，BE=DE，BED=90，BED 是等腰直角三角形，BD2 BE2 DE2 2DE2，BD【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，明确角与角之间的关系，学会添加常用辅助线构造直角三角形是解题的关键.28（1）（5，0）；（2）见解析；（3）P（4，2），满足ACP 与BDC 全等的点是 P1、P2，P3理由见解析【分析】（1）由题意可以假设 A（a，a）（a0），根据 AB2+OB2=OA2，构建方程即可解决问题；（2）由角平分线的性质定理证明CH=CF，CG=CF 即可解决问题；（3）如图 3 中，在 BC 的延长线上取点 P，使得 CP=DB，连