勾股定理单元 易错题难题质量专项训练.pdf

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1、一、选择题一、选择题1如图，在23的正方形网格中，AMB的度数是（）A22.5B30C45D602如图，在四边形 ABCD 中，B C 90，DAB与ADC的平分线相交于 BC边上的 M 点，则下列结论：AMD 90；SADM=AB CD AD；M到 AD 的距离等于 BC 的（）1S梯形ABCD；21；M为 BC 的中点；其中正确的有3A2 个（）B3 个C4 个D5 个3如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 的长分别为 6cm，8cm，则这个菱形的周长为A5cmB10cmC14cmD20cm4如图中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为 10c

2、m，正方形 A 的边长为 6cm、B 的边长为 5cm、C 的边长为 5cm，则正方形 D的边长为()A3cmB14cmC5cmD4cm5如图，是一长、宽都是3 cm，高 BC9 cm 的长方体纸箱，BC 上有一点 P，PC2BC，一只蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是()3A62cmB33cmC10 cmD12 cm6以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是()A2、3、6C3、4、7A1、2、3B2、3、4B3、4、5D2、3、4C1、2、3D4、5、67下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）8已知直角三角形纸片ABC 的两直角边长分别为6，8，现将ABC按如图所示的

3、方式折叠，使点 A 与点 B 重合，则 BE 的长是（）A72B74C254D1549如图，在ABC中，D、E分别是BC、AC的中点已知ACB90，BE 4，AD7，则AB的长为（）A10B5 3C2 13D2 1510九章算术是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系“折竹抵地”问题源自九章算术中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，ABC中，ACB90，AC AB 10尺，BC 4尺，求AC的长.AC的长为（）A3 尺B4.2 尺C5 尺D4 尺二、填空题二、填空题11如图，这是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形

4、ABCD，正方形 EFGH，正方形 MNKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1 S2 S3144，则S2的值是_12如图，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，矩形内一动点 P 使得 SPAD点 P 到点 A、D 的距离之和 PA+PD 的最小值为_1S矩形ABCD，则313若ABC为直角三角形，B 90，AB6，BC8，点D在斜边AC上，且AC 2BD，则AD的长为_14在ABC 中，AB6，AC5，BC 边上的高 AD4，则ABC 的周长为_.15如图是由边长为 1 的小正方形组成的网格图，线段AB，BC，BD，DE 的端点均在格点上，线段 AB 和 DE 交于点 F，则 DF 的长度

5、为_16如图，在RtABC中，ABC 90，DE垂直平分AC，垂足为F，AD/BC，且AB 3，BC 4，则AD的长为_17一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为 3m 的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为_m 18如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕为2MN2MN，连接 CN若 CDN 的面积与 CMN 的面积比为 1：3，则的值为2BM_19如图，RtABC中，BCA90，AB5，AC2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DEAC，DFBC，垂足分别为E、F，连接

6、EF，则EF的最小值是_20在Rt ABC中，A 90，其中一个锐角为60，BC 2 3，点P在直线AC上（不与A，C两点重合），当ABP30时，CP的长为_三、解答题三、解答题21已知ABC中，如果过项点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC的关于点B的二分割线例如：如图 1，RtABC中，A 90，C 20，若过顶点B的一条直线BD交AC于点D，若DBC 20，显然直线BD是ABC的关于点B的二分割线（1）在图 2 的ABC中，C 20，ABC 110请在图 2 中画出ABC关于点B的二分割线，且DBC角度是；（2）已知C

7、20，在图 3 中画出不同于图 1，图 2 的ABC，所画ABC同时满足:C为最小角；存在关于点B的二分割线BAC的度数是；（3）已知C，ABC同时满足：C为最小角；存在关于点B的二分割线请求出BAC的度数（用表示）22如图，ABC 中 AC=BC，点 D，E 在 AB 边上，连接 CD，CE(1)如图 1，如果 ACB=90，把线段 CD 逆时针旋转 90，得到线段 CF，连接 BF，求证：ACD BCF；若 DCE=45，求证：DE2=AD2+BE2；(2)如图 2，如果 ACB=60，DCE=30，用等式表示 AD，DE，BE 三条线段的数量关系，说明理由23如图所示，已知ABC中，B

8、90，AB 16cm，AC 20cm，P、Q是ABC的边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B C A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为ts（1）则BC _cm；（2）当t为何值时，点P在边AC的垂直平分线上？此时CQ _?（3）当点Q在边CA上运动时，直接写出使BCQ成为等腰三角形的运动时间24如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，A=60，点E为AD边上一点，连接CE，BD.CE与BD交于点F，且CEAB.（1）求证:CED ADB；（2）若AB=8，CE=6.求BC的长.25问题情境：综合实践活动课上，

9、同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题问题解决：图（1）、图（2）都是 66 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出ABC，其顶点 A，B，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A，ED 经过点 B同学们借助此图求出了ABC 的面积（1）在图（1）中，ABC 的三边长分别是 AB，BC，ACABC的面积是（2）已知PMN 中，PM17，MN25，NP13请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出PMN，并直接写出RMN 的面积

10、26如图 1，ABC 中，CDAB 于 D，且 BD:AD:CD2:3:4，（1）试说明ABC 是等腰三角形；（2）已知 SABC40cm2，如图 2，动点 M 从点 B 出发以每秒 2cm 的速度沿线段 BA 向点 A运动，同时动点 N 从点 A 出发以每秒 1cm 速度沿线段 AC 向点 C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止.设点 M 运动的时间为 t（秒），若DMN 的边与 BC 平行，求 t 的值；若点 E 是边 AC 的中点，问在点 M 运动的过程中，MDE 能否成为等腰三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由图 1图 2备用图27如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标

11、原点，ABC，ADE，AFO均为等边三角形，A在y轴正半轴上，点B(6,0)，点C(6,0)，点D在ABC内部，点E在ABC的外部，AD 3 2，DOE30，OF与AB交于点G，连接DF，DG，DO，OE.（1）求点A的坐标；（2）判断DF与OE的数量关系，并说明理由；（3）直接写出ADG的周长.28（1）如图 1，在 RtABC 和 RtADE 中，ABAC，ADAE，且点 D 在 BC 边上滑动（点 D 不与点 B，C 重合），连接 EC，则线段 BC，DC，EC 之间满足的等量关系式为；求证：BD2+CD22AD2；（2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABCACBADC45若 BD9

12、，CD3，求 AD的长29已知：四边形 ABCD 是菱形，AB4，ABC60，有一足够大的含 60角的直角三角尺的 60角的顶点与菱形 ABCD 的顶点 A 重合，两边分别射线 CB、DC 相交于点 E、F，且EAP60（1）如图 1，当点 E 是线段 CB 的中点时，请直接判断AEF 的形状是（2）如图 2，当点 E 是线段 CB 上任意一点时（点 E 不与 B、C 重合），求证：BECF；（3）如图 3，当点 E 在线段 CB 的延长线上，且EAB15时，求点 F 到 BC 的距离30如图,在ABC 中,D 是边 AB 的中点,E 是边 AC 上一动点,连结 DE,过点 D 作 DFDE

13、交边BC 于点 F(点 F 与点 B、C 不重合),延长 FD 到点 G,使 DG=DF,连结 EF、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8.(1)求证:ADGBDF；(2)请你连结 EG,并求证:EF=EG；(3)设 AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；(4)求线段 EF 长度的最小值.【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题一、选择题1C解析：C【分析】连接 AB，求出 AB、BM、AM 的长，根据勾股定理逆定理即可求证AMB为直角三角形，而 AM=BM，即AMB为等腰直角三角形，据此即可求解【详解】连接 ABAM 12225，AB 12225，

14、BM 1232 10AM2 AB2 BM210AMB为等腰直角三角形AMB 45故选 C【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，重点是求出三条边的长，然后证明AMB为直角三角形2C解析：C【分析】11过M作ME AD于E，得出MDE CDA，MAD BAD，求出221MDAMAD(CDABAD)90，根据三角形内角和定理求出AMD，即可判2断；根据角平分线性质求出MC ME，ME MB，即可判断和；由勾股定理求出DC DE，AB AE，即可判断；根据SSS证DEM DCM，推出S三角形DEM S三角形DCM，同理得出S三角形AEM S三角形ABM，即可判断【详解】解：过M作ME AD于E，DAB与

15、ADC的平分线相交于BC边上的M点，11MDE CDA，MAD BAD，22DC/AB，CDABAD180，11MDA MAD(CDA BAD)180 90，22AMD 18090 90，故正确；DM平分CDE，C 90(MC DC)，ME DA，MCME，同理ME MB，MC MB ME 1BC，故正确；2M到AD的距离等于BC的一半，故错误；由勾股定理得：DC2 MD2 MC2，DE2 MD2ME2，ME MC，MD MD，DC DE，同理AB AE，又AD AE DE AB DC，故正确；DE DC在DEM和DCM中DM DM，ME MCDEM DCM(SSS)，S三角形DEM S三角形

16、DCM同理S三角形AEM S三角形ABM，1S三角形AMDS梯形ABCD，故正确；2故选：C【点睛】本题考查了角平分线性质，垂直定义，直角梯形，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力3D解析：D【解析】【分析】11AC，OB BD，再利用勾股22定理列式求出 AB，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解.根据菱形的对角线互相垂直平分可得ACBD，OA【详解】解：四边形 ABCD是菱形，ACBD，OA 11AC 6=3cm，22OB 11BD 8 4cm22根据勾股定理得，ABOA2OB232425cm，所以，这个菱形的周长=45=20cm.故选：

17、D.【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分，需熟记.4B解析：B【解析】【分析】先求出 SA、SB、SC的值，再根据勾股定理的几何意义求出D 的面积，从而求出正方形D的边长.【详解】解SA=66=36cm2，SB=55=25cm2，Sc=55=25cm2，又SA SB SC SD1010，36+25+25+SD=100，SD=14，正方形 D的边长为14cm.故选：B.【点睛】本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键.5A解析：A【解析】【分析】将图形展开，可得到安排AP 较短的展法两种，通过计算，得到较短的即可【详解】解：(1)如图 1，AD

18、=3cm，DP=3+6=9cm，在 RtADP 中，AP=3292310cm(2)如图 2，AC=6cm，CP=6cm，RtADP 中，AP=6262=6 2 cm综上，蚂蚁从点 A 出发沿纸箱表面爬行到点P 的最短距离是6 2cm故选 A【点睛】题考查了平面展开-最短路径问题，熟悉平面展开图是解题的关键6C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.【详解】选项 A，(2)2(3)2(6)2，不能构成直角三角形；选项 B，(3)2(4)2(5)2，不能构成直角三角形；选项 C，(3)2(4)2(7)2，能构成直角三角形；选项 D，(2)2(3)2(4)2，不能构成直角三角形故

19、选 C【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可7A解析：A【分析】求出两小边的平方和、最长边的平方,看看是否相等即可.【详解】A、12+（2）2=（3）2以 1、2、3为边组成的三角形是直角三角形,故本选项正确;B、22+3242以 2、3、4 为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;C、D、12+223242+5262以 1、2、3 为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;以 4、5、6 为边组成的三角形不是直角三角形,故本选项错误;故选 A.【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理应用，掌握勾股定理逆

20、定理的内容就解答本题的关键.8C解析：C【分析】根据图形翻折变换的性质可知，AE=BE，设 AE=x，则 BE=x，CE=8-x，再在 RtBCE 中利用勾股定理即可求出 BE 的长度【详解】解：ADE 翻折后与BDE 完全重合，AEBE，设 AEx，则 BEx，CE8x，在 RtBCE 中，BE2BC2+CE2，即 x262+（8x）2，解得，xBE25，4254故选：C【点睛】本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变9C解析：C【分析】设 EC=x，DC=y，则直角BCE 中，x2+4y2=BE2=16，在直

21、角ADC 中，4x2+y2=AD2=49，由方程组可求得 x2+y2，在直角ABC 中，AB【详解】解：设 EC=x，DC=y，ACB=90，D、E分别是BC、AC的中点，AC=2EC=2x，BC=2DC=2y，在直角BCE 中，CE2+BC2=x2+4y2=BE2=16在直角ADC 中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49，5x24x24y25y2164965，即x2 y213，在直角ABC 中，AB故选：C【点睛】4x24y24 132 13本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角BCE 和直角ADC求得x2y2的值是解题的关键10B解析：B【分析】竹子折断后刚

22、好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10 x)尺，利用勾股定理解题即可【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为(10 x)尺，根据勾股定理得：x2 42(10 x)2解得：x 4.2，折断处离地面的高度为4.2 尺，故选：B【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题二、填空题二、填空题1148【分析】用 a 和 b 表示直角三角形的两个直角边，然后根据勾股定理列出正方形面积的式子，求出S2的面积【详解】解：本图是由八个全等的直角三角形拼成的，设这个直角三角形两个直角边中较长的长度为 a，较短的长度为 b，即图中的AE a

23、，AH b，222则S1 AB2ab，S2 HE a b，S3TM2ab，22S1 S2 S3144，aba2b2ab14422a2b2 2aba2b2a2b22ab 1443a23b2144a2 b2 48，S2 48故答案是：48【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是要熟悉赵爽弦图中勾股定理的应用1282【分析】根据 SPAD1S矩形ABCD，得出动点 P 在与 AD 平行且与 AD 的距离是 4 的直线 l 上，作 A 关3于直线 l 的对称点 E，连接 DE，BE，则 DE 的长就是所求的最短距离然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到 PA+PD的最小值【详解】

24、设PAD中 AD 边上的高是 hSPAD1S矩形ABCD，311ADhADAB，23h2AB4，3动点 P 在与 AD 平行且与 AD 的距离是 4 的直线 l 上，如图，作 A 关于直线 l 的对称点 E，连接 BE，DE，则 DE 的长就是所求的最短距离在 RtADE 中，AD8，AE4+48，DEAE2 AD282828 2,即 PA+PD 的最小值为 82故答案 82【点睛】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质得出动点P 所在的位置是解题的关键135【分析】在直角ABC中，依据勾股定理求出AC的长度，再算出BD，过点 B 作BE

25、 AC于点E，通过等面积法求出BE，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE、ED，两者相加即为AD的长.【详解】解：如图，过点 B 作BE AC于点 E，则BEA90,BED90,直角ABC中，B 90，AB6，BC8，AC=AB2 BC210,又2SABC ABBC AC BE，AC 2BD6810BE，BD 5,BE=4.8,BEA90,BED90AE=AB2 BE2 3.6,ED=BD2 BE21.4,AD AE ED5.故答案为：5.【点睛】本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段

26、创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.14142 5或82 5【分析】分两种情况考虑：如图1 所示，此时 ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形 ACD 中，利用勾股定理求出BD 与 DC 的长，由 BD+DC 求出 BC 的长，即可求出周长；如图 2 所示，此时 ABC 为钝角三角形，同理由BD-CD 求出 BC 的长，即可求出周长【详解】解：分两种情况考虑：如图 1 所示，此时ABC 为锐角三角形，在 RtABD 中，根据勾股定理得：BD=在 RtACD 中，根据勾股定理得：CD=AB2 AD26242 2 5，AC2 AD252423，BC=2 5 3，AB

27、C 的周长为：652 5 3142 5；如图 2 所示，此时ABC 为钝角三角形，在 RtABD 中，根据勾股定理得：BD=在 RtACD 中，根据勾股定理得：CD=BC=2 5 3，AB2 AD26242 2 5，AC2 AD252423，ABC 的周长为：65 2 5 382 5；综合上述，ABC 的周长为：142 5或82 5；故答案为：142 5或82 5.【点睛】此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键152【分析】连接 AD、CD，由勾股定理得：AB DE 42325，BD4222 2 5，222CD AD 12225，得出 ABDEBC，BD AD

28、 AB，由此可得ABD 为直角三角形，同理可得BCD 为直角三角用形，继而得出A、D、C 三点共线.再证明ABCDEB，得出BACEDB，得出 DFAB，BD 平分ABC，再由角平分线的性得出 DFDG2 即可的解.【详解】连接 AD、CD，如图所示：由勾股定理可得，AB DE 42325，BD 4222 2 5，CD AD 12225，BE=BC=5，AB=DEABBC，BD2 AD2 AB2，ABD 是直角三角形，ADB90，同理可得：BCD 是直角三角形，BDC90，ADC180，点 A、D、C 三点共线，AC 2AD 2 5 BD，在ABC 和DEB 中，AB DEBCEB，ABCDE

29、B(SSS)，BACEDB，AC BDEDB+ADF90，BAD+ADF90，BFD90，DFAB，AB=BC，BDAC，BD 平分ABC，DGBC，DFDG2.【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定以及勾股定理的相关知识，解题的关键是熟练掌握勾股定理和过股定理的逆定理.258【分析】16先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据 DE 垂直平分 AC 得出 FA 的长，根据相似三角形的判定定理得出AFDCBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论【详解】RtABC 中，ABC=90，AB=3，BC=4，AC=AB2+BC2=32+42=5；DE 垂直平分 AC，垂足为 F，FA=51AC=，A

30、FD=B=90，22ADBC，A=C，AFDCBA，2525ADFAAD2.5=，即，解得 AD=；故答案为ACBC5488【点睛】本题考查的是勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键178 或 10 或 12 或【详解】解：如图 1：253当 BC=CD=3m 时，AB=AD=5m，ACBD，此时等腰三角形绿地的面积：如图 2：164=12（m2）；2当 AC=CD=4m 时，ACCB，此时等腰三角形绿地的面积：如图 3：144=8（m2）；2当 AD=BD 时，设 AD=BD=xm，在 Rt ACD 中，CD=

31、（x-3）m，AC=4m，由勾股定理，得 AD2=DC2+CA2，即(x-3)2+42=x2，解得 x=25，6112525BDAC=4=（m2）；3226此时等腰三角形绿地的面积：如图 4，延长 BC 到 D，使 BD=AB=5m，故 CD=2m，此时等腰三角形绿地的面积：11BDAC=54=10（m2）；22252m 3综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积为8m2或 12m2或 10m2或点睛：此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形1812【解析】如图，过点 N 作 NGBC 于点 G，连接 CN，根据轴对称的性质有：MA=MC，NA=NC，

32、AMN=CMN.因为四边形 ABCD 是矩形，所以 AD BC，所以 ANM=CMN.所以AMN=ANM，所以AM=AN.所以 AM=AN=CM=CN.因为 CDN 的面积与 CMN 的面积比为 1：3，所以 DN:CM=1:3.设 DN=x，则 CG=x，AM=AN=CM=CN=3x，由勾股定理可得 NG=所以 MN=2 2x23x2 x2 2 2x，2223x x12x2，BM2=3x 2 2x2 x2.MN212x2所以2=12.2BMx枚本题应填 12.点睛：矩形中的折叠问题，其本质是轴对称问题，根据轴对称的性质，找到对应的线段和角，也就找到了相等的线段和角，矩形中的折叠一般会伴随着等

33、腰三角形(也就是基本图形“平行线+角平分线等腰三角形”)，所以常常会结合等腰三角形，勾股定理来列方程求解.192 55【解析】试题分析：根据勾股定理可求出BC=1，然后根据 BCA90，DEAC，DFBC，证得四边形 CEDF 是矩形，连接 CD，则 CD=EF，当 CDAB 时，CD 最短，即 EF=CD=2 5.5故答案为2 5.5点睛：本题考查了勾股定理的运用，矩形的判定和性质以及垂线段最短的性质，同时也考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力202 3或2或 4【分析】根据题意画出图形，分4 种情况进行讨论，利用含30角直角三角形与勾股定理解答【详解】解：如图 1：当C=60时，AB

34、C=30，与ABP=30矛盾；如图 2：当C=60时，ABC=30，ABP=30，CBP=60，PBC 是等边三角形，CP BC 2 3；如图 3：当ABC=60时，C=30，ABP=30，PBC=60-30=30，PC=PB，BC 2 3，1BC 3,AC BC2 AB2(2 3)2(3)23，2在 RtAPB 中，根据勾股定理AP2 AB2 BP2,AB 222即(AC PC)AB PC,即(3 PC)2(3)2 PC2，解得PC 2，如图 4：当ABC=60时，C=30，ABP=30，PBC=60+30=90，BP 1PC2在 RtBCP 中，根据勾股定理BP2 BC2 PC2,即(PC

35、)(2 3)PC,解得 PC=4（已舍去负值）综上所述，CP的长为2 3或2或 412222故答案为：2 3或2或 4【点睛】本题考查含 30角直角三角形，等边三角形的性质和判定，勾股定理理解直角三角形30角所对边是斜边的一半，并能通过勾股定理去求另外一个直角边是解决此题的关键三、解答题三、解答题21（1）作图见解析，DBC 20；（2）作图见解析，BAC35；（3）A=45或 90或 902 或45，或 45时 45BAC90【分析】（1）根据二分割线的定义，只要把ABC 分成 90角和 20角即可；（2）可以画出A=35的三角形；（3）设 BD 为ABC 的二分割线，分以下两种情况第一种情

36、况：BDC 是等腰三角形，ABD 是直角三角形；第二种情况：BDC 是直角三角形，ABD 是等腰三角形分别利用直角三角形的性质、等腰三角形的性质和三角形的内角和定理解答即可【详解】解：（1）ABC关于点B的二分割线 BD 如图 4 所示，DBC 20；故答案为：20；12（2）如图所示：BAC=35；（3）设 BD 为ABC 的二分割线，分以下两种情况第一种情况：BDC 是等腰三角形，ABD 是直角三角形，易知C 和DBC 必为底角，DBCC当A90时，ABC 存在二分分割线；当ABD90时，ABC 存在二分分割线，此时A902；当ADB90时，ABC 存在二分割线，此时 45且 45A90；

37、第二种情况：BDC 是直角三角形，ABD 是等腰三角形，当DBC90时，若 BDAD，则ABC 存在二分割线，此时A 180901 45；22当BDC90时，若 BDAD，则ABC 存在二分割线，此时A45，综上，A=45或 90或 902 或45，或 45时，45BAC90【点睛】本题考查的是二分割线的理解与作图，属于新定义题型，主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质和三角形的内角和定理等知识，正确理解二分割线的定义、熟练掌握等腰三角形和直角三角形的性质是解答的关键22（1）详见解析；详见解析；（2）DE2=EB2+AD2+EBAD，证明详见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得CF=C

38、D，DCF=90，再根据已知条件即可证明ACD BCF；连接 EF，根据中全等三角形的性质可得EBF=90，再证明DCEFCE 得到 EF=DE即可证明；（2）根据（1）中的思路作出辅助线，通过全等三角形的判定及性质得出相等的边，再由勾股定理得出 AD，DE，BE 之间的关系【详解】解：（1）证明：由旋转可得 CF=CD，DCF=90ACD=90ACD=BCF又AC=BCACDBCF证明：连接 EF，由知ACDBCFCBF=CAD=CBA=45，BCF=ACD，BF=ADEBF=90EF2=BE2+BF2，EF2=BE2+AD2又ACB=DCF=90，CDE=45FCE=DCE=45又CD=C

39、F，CE=CEDCEFCEEF=DEDE2=AD2+BE212DE2=EB2+AD2+EBAD理由：如图 2，将ADC 绕点 C 逆时针旋转 60，得到CBF，过点 F 作 FGAB，交 AB的延长线于点 G，连接 EF，CBE=CAD，BCF=ACD，BF=ADAC=BC，ACB=60CAB=CBA=60ABE=120，EBF=60，BFG=30BG=13BF，FG=BF22ACB=60，DCE=30，ACD+BCE=30，ECF=FCB+BCE=30CD=CF，CE=CEECFECDEF=ED在 RtEFG 中，EF2=FG2+EG2又EG=EB+BGEG=EB+1BF，213BF）2+（

40、BF）22213AD）2+（AD）222EF2=（EB+DE2=（EB+DE2=EB2+AD2+EBAD【点睛】本题考查了全等三角形的性质与旋转模型，解题的关键是找出全等三角形，转换线段，并通过勾股定理的计算得出线段之间的关系23（1）12；（2）t=12.5s时，13 cm；（3）11s 或 12s 或 13.2s【分析】（1）由勾股定理即可得出结论；（2）由线段垂直平分线的性质得到PC=PA=t，则 PB=16-t在 RtBPC 中，由勾股定理可求得 t 的值，判断出此时，点Q 在边 AC 上，根据 CQ=2t-BC 计算即可；（3）用 t 分别表示出 BQ 和 CQ，利用等腰三角形的性质

41、可分BQ=BC、CQ=BC 和 BQ=CQ 三种情况，分别得到关于 t 的方程，可求得 t 的值【详解】（1）在 RtABC 中，BC故答案为：12；（2）如图，点 P 在边 AC 的垂直平分线上时，连接PC，PC=PA=t，PB=16-tAC2 AB220216212(cm)（16t)t，在 RtBPC 中，BC2BP2CP2，即12 解得：t=222252256，2Q 从 B 到 C 所需的时间为 122=6(s)，此时，点 Q 在边 AC 上，CQ=22512 13(cm)；2（3）分三种情况讨论：当 CQ=BQ 时，如图 1 所示，则C=CBQABC=90，CBQ+ABQ=90，A+C

42、=90，A=ABQ，BQ=AQ，CQ=AQ=10，BC+CQ=22，t=222=11(s)当 CQ=BC 时，如图 2 所示，则 BC+CQ=24，t=242=12(s)当 BC=BQ 时，如图 3 所示，过 B 点作 BEAC 于点 E，则 BECEABBC121648，AC205BC2 BE2122(48236)=7.255BC=BQ，BECQ，CQ=2CE=14.4，BC+CQ=26.4，t=26.42=13.2(s)综上所述：当 t 为 11s 或 12s 或 13.2s 时，BCQ 为等腰三角形【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识用时间t 表示出

43、相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用24（1）见解析；（2）BC 2 7.【分析】（1）由等边三角形的判定定理可得ABD为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.（2）连接 AC交 BD于点 O，由题意可证 AC 垂直平分 BD，ABD是等边三角形，可得BAO=DAO=30，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明EDF是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求 OC，BC的长【详解】（1）证明：AB AD，A=60，ABD是等边三角形.ADB 60.CEAB，CEDA60.CED ADB.（2）解：连接AC交BD于点O，AB A

44、D，BC DC，AC垂直平分BD.BAODAO30.ABD是等边三角形，AB8AD BD AB 8，BO OD 4.CEAB，ACE BAO.AE CE 6,DE AD AE 2.CEDADB60.EFD 60.EDF是等边三角形.EF DF DE 2,CF CEEF 4,OF ODDF 2.在 RtCOF中，OC CF2OF2 2 3.在 RtBOC中，BC【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键25（1）13，17，10，【分析】（1）利用勾股定理求出 AB，BC，AC，理由分割法求出ABC 的面积（2）模仿（1）中方法，画出PMN，利用分割

45、法求解即可【详解】解：（1）如图 1 中，ABAE2 BE2322213，BCBD2CD2124217，ACAF2CF2BO2OC242(2 3)2 2 7.11；（2）图见解析；72123210，3112，22SABCS矩形DEFCSAEBSAFCSBDC123故答案为13，17，10，（2）PMN 如图所示112SPMN442347，故答案为 7【点睛】此题重点考查学生对勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.26（1）见详解；（2）t 值为：【分析】（1）设 BD=2x，AD=3x，CD=4x，则 AB=5x，由勾股定理求出 AC，即可得出结论；（2）由ABC 的面积求出 BD、A

46、D、CD、AC；当 MNBC 时，AM=AN；当 DNBC 时，AD=AN；得出方程，解方程即可；根据题意得出当点 M 在 DA 上，即 2t5 时，MDE 为等腰三角形，有3 种可能：如果 DE=DM；如果 ED=EM；如果 MD=ME=2t-4；分别得出方程，解方程即可1049s 或 6s；t 值为：4.5 或 5 或312【详解】解：（1）证明：设 BD=2x，AD=3x，CD=4x，则 AB=5x，在 Rt ACD 中，AC=5x，AB=AC，ABC 是等腰三角形；（2）解：由（1）知，AB=5x，CD=4x，SABC=15x4x=40cm2，而 x0，2x=2cm，则 BD=4cm，

47、AD=6cm，CD=8cm，AB=AC=10cm由运动知，AM=10-2t，AN=t，当 MNBC 时，AM=AN，即 10-2t=t，t10；3当 DNBC 时，AD=AN，6=t，得：t=6；若 DMN 的边与 BC 平行时，t 值为存在，理由：、当点 M 在 BD 上，即 0t2 时，MDE 为钝角三角形，但 DMDE；、当 t=2 时，点 M 运动到点 D，不构成三角形、当点 M 在 DA 上，即 2t5 时，MDE 为等腰三角形，有 3 种可能点 E 是边 AC 的中点，DE=10s 或 6s31AC=52当 DE=DM，则 2t-4=5，t=4.5s；当 ED=EM，则点 M 运动

48、到点 A，t=5s；当 MD=ME=2t-4，如图，过点 E 作 EF 垂直 AB 于 F，ED=EA，DF=AF=1AD=3，2在 Rt AEF 中，EF=4；BM=2t，BF=BD+DF=4+3=7，FM=2t-7在 Rt EFM 中，（2t-4）2-（2t-7）2=42，t=49124912综上所述，符合要求的 t 值为 4.5 或 5 或【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是分情况讨论27（1）(0，6 3)；（2）DF OE；（3）93 2 3 3.【分析】（1）由等边三角形的性质得出OB6，AB AC BC 12，由勾股定理

49、得出OAAB2OB26 3，即可得出点A的坐标；（2）由等边三角形的性质得出AD AE，AF AO，FAODAE60，证出FADOAE，由SAS证明FAD OAE，即可得出DF OE；（3）证出AGO90，求出AG 9，由全等三角形的性质得出AOEAFD，证1出FDOAFD60 AOD90，由等边三角形的性质得DG OF 3 3，2即可得出答案【详解】解：（1）ABC是等边三角形，点B(6,0)，点C(6,0)，OB6，AB AC BC 12，OAAB2OB2 122626 3，点A的坐标为(0，6 3)；（2）DF OE；理由如下：ADE，AFO均为等边三角形，AD AE，AF AO，FAO

50、DAE60，FADOAE，AF AO在FAD和OAE中，FAD OAE，AD AEFAD OAE(SAS)，DF OE；AOF 60，FOB30，ABO60，AGO90，（3）AFO是等边三角形，AO 6 3，AG OAsin60 36 3 9，2FAD OAE，AOEAFD，DOE30AODAOE，AODAFD30，FDOAFDFAOAOD，FDOAFD60 AOD60 3090，AG OF，AOF为等边三角形，G为斜边OF的中点，11DG OF 6 3 3 3，22ADG的周长 AG AD DG 93 2 3 3【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、勾股定理、坐标与图形性质