北师大版八年级上册 第二章 实数 复习教案.pdf

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1、第二章实数复习教案第二章实数复习教案教学目标教学目标知识与技能知识与技能:1.掌握平方根和立方根的概念,并能求出某些数的平方根和立方根.2.掌握估算的方法,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.3.掌握实数的概念和意义,理解实数的分类,并能运用运算律进行实数的相关运算.4.了解二次根式、最简二次根式的概念,了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则,会用它们进行有关的简单四则运算.过程与方法过程与方法:1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程,理解实数.2.经历数系扩充、探求实数性质及其运算规律、借助计算器探索数学规律等活动过程.3.了解无理数和实

2、数的概念,知道实数与数轴上的点一一对应,能求实数的相反数与绝对值.4.了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,并会按问题的要求对结果取近似值.情感态度与价值观情感态度与价值观:1.发展抽象概括能力,并在活动中进一步发展学生独立思考、合作交流的意识和能力.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题,提高应用意识,发展解决问题的能力,从中体会数学的应用价值.教学重难点教学重难点【重点】1.实数的概念和意义.2.会用计算器求平方根和立方根,并能探索一些有趣的数学规律.3.能对带根号的数进行化简,并能利用化简进行有关实数的简单四则运算.4.能运用实数的运算解决简单的实际问题.【难点】1.无理

3、数概念的理解及应用.2.解决与实数有关的实际问题时的思维转化.3.运算性质的掌握与应用.知识总结知识总结实数分为实数分为:有理数整数分数实数分类正无理数无理数负无理数2定义:如果一个数的平方等于,即=,那么这个数叫做的平方根平方根表示:若2=,则=算术平方根:若2=,则的算术平方根为定义:如果一个数的立方等于,即3=,那么这个数叫做的立方根立方根33表示:若=,则=a定义:形如a(a 0)的式子叫做二次根式二次根式最简二次根式:被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式2(a)=(0)重要性质a2=|3(3)=33=(0,0)=(0,0)积、商的算术平方根的性质及二次根式的乘、除法法则=(

4、0,0)=(0,0)专题讲座专题讲座:专题一专题一实数的相关概念、性质和运算实数的相关概念、性质和运算【专题分析】【专题分析】有理数和无理数统称为实数,在有理数范围内的运算法则和运算律,以及倒数、绝对值、相反数等在实数范围内仍然成立,明确平方根和立方根的含义.无理数和有理数一样,是初中数学学习乃至今后进一步学习的基础.实数是中学数学的重要基础,很多数学问题都是借助实数解决的,在中考中占有重要的地位.下列各数中,哪些是有理数?哪些是无理数?23,5,3.14159265,9,-,3-1,(-5),3.1010010001(相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 1).解析 整数和分数统称为有理数,

5、无限不循环小数是无理数.解:3.14159265,9,(-5)是有理数.23,5,-,3-1,3.1010010001(相邻两个1之间0的个数逐次加1)是无理数.知识总结此题考查有理数和无理数的概念.整数和分数统称为有理数,这是有理数的判断方法.无理数是无限不循环小数,这是无理数的判断方法.而无限不循环小数主要有以下几种:开方开不尽的方根;含的数;是无限小数且不循环.易错提示(-5)2=5,是有理数,不是无理数.【针对训练 1】下列各数-,-0.001,(2)2中,是无33 311 433223理数的是.解析根据无理数的定义判断.故填,.3 31 4解题策略判断是不是无理数时,不要只看表面形式

6、,如3-0.001=-0.1,(2)=2 都是有理数.2计算.(1)-40;(2)512-9 +48.1032解析本题主要考查实数的运算法则及二次根式的化简.解:(1)-40=101111111-410=101191010-210=-.1010(2)512-9+48=543-932133+163=103-93+23=103-33+23=93.2【针对训练 2】(1)已知a,b满足-2+|b+3|=0,求(a+b)2019的值;(2)已知y=2-4-24-2+3,求xy的值.解:(1)-20,|b+3|0,且-2+|b+3|=0,201920192019-2=0,|b+3|=0,a=2,b=-3

7、,(a+b)=(2-3)=(-1)=-1.(2)2x-40,4-2x0,2x-4=4-2x=0,x=2,y=0-0+3=3,xy=23=8.解题策略运用算术平方根的双重非负性解决此题,这也是本章的难点之一.【针对训练 3】已知ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高AD=8,则边BC的长为多少?解析分ABC是锐角三角形和钝角三角形两种情况.解:如图(1)所示,当ABC为锐角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15+6=21.如图(2)所示,当ABC为钝角三角形时,易求BD=15,DC=6,从而求得BC=15-6=9.知识总结此题是关于运用实数相关知识解决三角形中线段长度的问

8、题.其易错点是ABC的形状有两种情况,学生容易忽略钝角三角形的情况.通过此题意在提高学生运用分类讨论的思想解决数学问题的能力.专题二专题二与二次根式有关的规律探究题与二次根式有关的规律探究题【专题分析】【专题分析】二次根式在形式上有自己的特殊性,由于这种规律性,出题往往根据它来设计题目.在近年的中考中,逐渐关注此类的规律探索题.在解决此类题目时,通过已知条件,找准式子和序号之间的关系,从而确定二次根式的规律.1,2,3,6按如图所示的方式排列.若规定(m,n)表示第m排从左到右第n个数,则(4,2)与(21,2)表示的两数之积是()A.1B.2 C.23 D.6解析若将上述数阵从左到右,从上到

9、下排成一排,得到由1,2,3,6这四个数循环排列的数列,那么(m,n)是第(1-1)(-1)2+n=(-1)2+n个数,即(4,2)是第4(4-1)22+2=8 个数,8+2=212 个4=2,故(4,2)表示的数是 6.(21,2)是第21(21-1)数,2124=53,所以(21,2)表示的数是6,所以(4,2)与(21,2)表示的两数之积是 6.故选 D.【针对训练 4】观察下列各式及其验证过程,然后回答后面的问题.2=2,验证:2=338338338322282223=2;323=3,验证:3=278=3238=3.84153(1)按照上述两个等式及其验证过程,猜想4进行验证;的变形结

10、果并(2)针对上述各式反映的规律,写出用a(a为任意自然数,且a2)表示的等式,并给出验证.解析(1)通过观察,不难发现:等式左边的被开方数是两个数相加,两个加数分别是右边根号外的数和根号内的数.(2)根据上述变形过程的规律,即可推广到一般.表示等式时,注意等式右边根号外的数和根号内的分子相同,根号内的分母是分子的平方减去 1.解:(1)4验证如下:415=4.1544+415=156442415=4.154(2)+2=n2.-1-1验证如下:+2-1=(2-1)+2-1=32-1=n2-1.阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如 3+22=(1+2)

11、2,善于思考的小明进行了以下探索:设a+b2=(m+n2)2(其中a,b,m,n均为正整数),则有a+b2=m2+2n2+2mn2,a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把部分形如a+b2的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当a,b,m,n均为正整数时,若a+b3=(m+n3)2,用含m,n的式子分别表示a,b,则a=,b=;(2)利用所探索的结论,找一组正整数a,b,m,n填空:+3=(+3)2;(3)已知a+43=(m+n3)2,且a,m,n均为正整数,求a的值.解析(1)根据完全平方公式运算法则,即可得出a,b的表达式.a+b3=(+3),a+

12、b3=m2+3n2+2mn3,a=m2+3n2,b=2mn.(2)首先确定好2m,n的正整数值,然后根据(1)的结论即可求出a,b的值.设m=1,n=1,则a=m2+3n2=4,b=2mn=2.(3)根据题意,4=2mn,首先确定m,n的值,通过分析得m=2,n=1 或m=1,n=2,然后即可确定a的值.解:(1)m2+3n22mn(2)4211(3)由题意,得a=m2+3n2,b=2mn,4=2mn,且m,n为正整数,m=2,n=1 或m=1,n=2,a=22+312=7 或a=12+322=13.【针对训练 5】研究下列算式,你发现有什么规律?1 3+1=4=2;2 4+1=9=3;3 5

13、+1=16=4;4 6+1=25=5请你找出规律,并用含字母的等式表示出来.解:(+2)+1=(+1)=n+1(n为正整数).【针对训练 6】先观察下列等式,再回答下列问题:1+1+1+112+212=1+-21111 1+11=1;2112+2=1+-2312 2+111=1;6113+214=1+-23 3+1=1.12141(1)请你根据上面三个等式提供的信息,猜想1+并验证;+2152的结果,(2)请你按照上面各等式反映的规律,试写出用含n的式子表示上面规律的等式(n为正整数).解:(1)1+验证:1+14214+2=1+-251521(+1)1114 4+11161=1.201251

14、+=1+2=1+-+=1+125400+16400=441400=1.201(2)1+2+11+1=1+(+1)(n为正整数).方法归纳找准式子和序号之间的关系特别重要,关于二次根式的规律探究,可以从式子本身的特征出发,根据每个式子与式子序号之间的关系来确定.专题三专题三实数与数轴实数与数轴【专题分析】【专题分析】数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比较数的大小.数轴上的点可以表示实数,每一个实数都能在数轴上找到一个点和它对应.如图所示,直径为 1 个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周(不滑动),圆上的一点由原点到达点O,点O所对应的数值是.解析 圆的周长为2r,将r=0.5代入,得周长为.故填.【针对训练 7】若2=-a,则实数a在数轴上的对应点一定在()A.原点左侧 B.原点右侧 C.原点或原点左侧 D.原点或原点右侧解析当a0 时,2=-a.故选 C.【针对训练 8】实数a,b在数轴上的位置如图所示,化简|a-5|+|b-2|.解析由数轴可知 1a25,-1b02.解:原式=5-a+2-b=5+2-a-b.方法归纳数轴上的点和实数是一一对应的,当然通过数轴还能比较数的大小.