初二数学勾股定理经典易错题.pdf

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1、初二数学勾股定理经典易错题2022 年 1 月 22 日数学期末考试试卷一、选择题（共 30 小题；共150 分）1.若正方形的周长为，则其对角线长为A.B.C.D.2.如图，字母所代表的正方形的面积是 A.B.C.D.3.如图，池塘边有两点，点是与方向成直角的方向上一点，测得，则，两点间的距离是A.B.C.D.4.如图所示：某商场有一段楼梯，高，斜边是，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是 A.B.C.D.5.如图所示，中，于，若，则的长为A.B.C.D.6.直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的倍，这个三角形有一个锐角是 A.B.C.D.7.如图，将一个边长分别为，的矩形纸片折叠，

2、使点和点重合，则折痕的长是A.B.C.D.8.如图，每个小正方形的边长为，则的三边长，的大小关系是 A.B.C.D.9.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是 A.，B.，C.，D.，10.小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多米，当他把绳子的下端水平拉开米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是A.米 B.米 C.米 D.米 11.下列数据中是勾股数的有（），（），（），（），（），A.组 B.组 C.组 D.组 12.满足下列条件的，不是直角三角形的是 A.B.C.D.13.如图，每个小正方形的边长为，是小正方形的顶点，则的度数为A.B.C.D.14.一根竹子高丈，折断后竹

3、子顶端落在离竹子底端尺处，则折断处离地面的高度为（这是我国古代数学著作九章算术中的一个问题，其中的丈、尺是长度单位，丈尺）A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 15.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于 A.B.C.D.16.下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是 A.，B.，C.，D.，17.适合下列条件的中，直角三角形有，A.个 B.个 C.个 D.个 18.满足下列条件的中，直角三角形的个数为，；，；，；，A.个 B.个 C.个 D.个 19.如图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若，将四个直角三

4、角形中边长为的直角边分别向外延长一倍，得到如图 2 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 A.B.C.D.20.一轮船以海里/时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以海里/时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距 A.海里 B.海里 C.海里 D.海里 21.下列条件中，不能判断为直角三角形的是 A.B.C.D.，22.如图，在中，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为 A.B.C.D.23.如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的

5、宽度为 A.米 B.米 C.米 D.米 24.菱形的边长为，有一个内角为，则较长的对角线的长为 A.B.C.D.25.如图，是等边三角形内的一点，且，以为边在外作，连接，则以下结论错误的是A.是等边三角形 B.是直角三角形 C.D.26.如图，平行四边形的对角线与相交于点，垂足为，则的长为 A.B.C.D.27.如图，正的边长为，动点从点出发，以每秒的速度，沿的方向运动，到达点时停止，设运动时间为（秒），则关于的函数的图象大致为 A.B.C.D.28.如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是 A.B.C.D.29.若等腰三角形的两边

6、长分别为和，则底边上的高为 A.B.或 C.D.或 30.如图：已知是线段上的动点（不与，重合），分别以，为边在线段的同侧作等边和等边，连接，设的中点为；连接，当动点从点运动到点时，设，则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（共30 小题；共 150 分）31.如果一个三角形三边的长分别为，那么这个三角形的面积为32.如图，分别以三角形三边为直径向外作个半圆，如果较小的两个半圆的面积之和等于较大半圆的面积，这个三角形为三角形33.在中，若，则度34.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何”题意是：如图所示，把枯木看作一

7、个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是尺35.如图，一只蚂蚁从长、宽都是，高是的长方体纸箱的点沿纸箱表面爬到点，那么它所行的最短路线的长是36.测得一个三角形花坛的三边长分别为，则这个花坛的面积是；其最短边上的高为37.若等边三角形的边长为，则它的面积是38.若在中，边上的中线，则的度数是度39.如图，菱形的周长为，、分别为、的中点则的长为.40.一个三角形的三条中位线的长分别为，则三角形的面积为41.有两棵树，一棵高米，另一棵高米，两树相距米一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了米42.若

8、三角形的三边，满足，则该三角形的三个内角的度数分别为43.如图，在钝角中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，若，则的度数为44.已知一个直角三角形的两条直角边分别为、，那么这个直角三角形斜边上的高为45.中，则；的三边长为，且满足，则是三角形46.中，边上的中线，则47.如果梯子的底端离建筑物米，米长的梯子可以到达该建筑物的高度是48.如图，在正方形中，点、是正方形外的两点，且，则的长为49.如图，在中，点在上若点为的中点，则的值为；若边上有个不同的点，且，则的值为50.在中，以斜边为一边，作等边，则线段的长为51.如图，在中，按以下步骤作图：以点为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交，于

9、点，；分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点；作射线，交边于点则为的平分线，这样作图的依据是；若，则52.如图，中，分别以、为边作正方形、，再作，使，点在边上，点、在边上，点、在边上，则的长为53.如图，点是线段上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接当为直角三角形时，的长为54.如图，与都是等腰直角三角形，为的中点，若，则四边形的面积为55.在数学实践课上，老师给同学们布置了如下任务：为美化校园环境，计划在学校内某处空地，用平方米的草皮铺设一块等腰三角形绿地，使等腰三角形绿地的一边长为米，请你给出设计方案同学们开始思考，交流，一致认为应先通过画图、计算，求出等腰三角形绿地的另

10、两边的长请你也通过画图、计算，求出这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为56.如图，每个小正方形的边长为，在中，点为的中点，则线段的长为57.如图，在中，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为58.如图，在中，是边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作的垂线交射线于点当为等腰三角形时，的长度为59.如图，在梯形中，则梯形的面积为60.已知：如图，等腰直角，点为外一点，连接，则四边形的面积为三、解答题（共 40 小题；共 520 分）61.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗 62.如图，在平行四边形中，于点，（1）求的长；（

11、2）的面积为63.图 1、图 2 是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为，点和点在小正方形的顶点上（1）在图 1 中画出（点在小正方形的顶点上），使为直角三角形（画一个即可）；（2）在图 2 中画出（点在小正方形的顶点上），使为等腰三角形（画一个即可）64.如图，四边形中，已知四边形的周长为，求65.如图，在四边形中，（1）求的度数；（2）求四边形的面积66.已知：如图，矩形中，于点求的长67.方格纸中小正方形的顶点叫格点点和点是格点，位置如图（1）在图 1 中确定格点使为直角三角形，画出一个这样的；（2）在图 2 中确定格点使为等腰三角形，画出一个这样的；（3）在

12、图 2 中满足题（2）条件的格点有个68.如图，是中点，（1）求证：四边形是矩形（2）若，是上一点，且，求长69.一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗 70.如图，（1）求长（2）求的面积71.如图，四边形是平行四边形，对角线，相交于点，且，求证：四边形是菱形72.如图，在四边形中，求的长73.如图，已知点在正方形中，求图中阴影部分的面积74.图 1，图 2 分别是的网格，网格中每个小正方形的边长均为，线段的端点在小正方形的顶点上，请在图 1，图 2 中各画一个图形，所画图形各顶点必须在小正方形的顶点上，并且分别满足以下要求：（1

13、）在图 1 中画一个以线段为一边的直角三角形，且三角形的面积为；（2）在图 2 中画一个以线段为一边的平行四边形，且平行四边形的面积为连接，请直接写出的长75.已知三边长都是整数且互不相等，它的周长为，当为最大边时，求的度数76.已知：在中，为边上一点，两点到直线的距离相等（1）如图，若是等腰三角形，则点的位置在；（2）如图，若是任意一个锐角三角形，猜想点的位置是否发生变化，请补全图形并加以证明；（3）如图，当是直角三角形，并且点满足（2）的位置条件，用等式表示线段，之间的数量关系并加以证明77.如图，在四边形中，求的度数78.在中，以为斜边作等腰直角三角形，且点与点在直线的两侧，连接（1）如

14、图，若，则的度数为（2）已知，依题意将图补全；求的长；小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求长的几种想法：想法：延长，在延长线上截取，连接要求的长，需证明，为等腰直角三角形想法：过点作于点，交的延长线于点，要求的长，需证明，为等腰直角三角形请参考上面的想法，帮助小聪求出的长（一种方法即可）（3）用等式表示线段，之间的数量关系（直接写出即可）79.如图，的三个顶点在正方形网格的格点上，每个小正方形的边长都是（1）画出关于直线对称的；（2）判断的形状：直角三角形（填“是”或“不是”）；（3）的面积是80.在平面直角坐标系中，对于两点与的“比例距离”，给出如下定义：若，则

15、线段的长为点与点的“比例距离”例如：点，因为，所以点与点的“比例距离”为，也就是图中线段的长（1）若点与点之间存在“比例距离”，且，则，点与点的“比例距离”为；（2）点是直线上的一个动点，求点与点的“比例距离”及相应的点的坐标；如图，是以原点为圆心，为半径的圆上的一个动点，求点与点的“比例距离”的最小值及相应的点的坐标81.如图，在矩形中，点，分别在，上，将矩形沿折叠，设点的对应点是点（1）若点在边上，求的长；（2）若点在对角线上，请直接写出的取值范围：82.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作且，连接，连接交于点（1）求证：；（2）若菱形的边长为，求的长83.已知：如图，中，边上的中线（1）

16、判断是何种特殊三角形（2）对中你所给的结论进行证明84.如图，菱形的对角线，相交于点，连接，若，求的长85.如图，在四边形中，是上一点，且，则和互相垂直吗请理由86.如图，已知正方形，是延长线上一点，连接，交于点，过点作于点，连接（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）写出，之间的等量关系，并证明87.如图，在每个小正方形的边长均为的方格纸中，有线段，点，均在小正方形的顶点上（1）在方格纸中画出以为一边的直角三角形，点在小正方形的顶点上，且三角形的面积为；（2）在方格纸中画出以为一边的菱形，点，均在小正方形的顶点上，且菱形的面积为连接，请直接写出线段的长88.与是共顶点的等边三角形直线与直线

17、交于点，点，不在的边上（1）当点在外部时（如图 1），写出与的数量关系（2）若，将绕着点逆时针旋转，使得点由的外部运动到的内部（如图2）在这个运动过程中，的大小是否发生变化若不变，在图2 的情况下求出的度数，若变化，说明理由（3）如图 3，当，三点在同一条直线上，且时，写出，与之间的数量关系89.在直线上顺次取，三点，分别以，为边长在直线的同侧作等边三角形，作得两个等边三角形的另一顶点分别为，连接（1）如图，连接，求证：；（2）如图，若，求的长；（3）如图，将图中的正三角形绕点作适当的旋转，连接，若有，试求的度数90.右图中，求四边形的面积为91.已知：如图，的网格中（每个小正方形的边长为）有

18、一个格点（1）利用网格线，画的平分线，画的垂直平分线，交于点，交直线于点；（2）连接，判断的形状，并说明理由：92.如图，在中，是的中点，若，求四边形的周长 93.已知，如图，中，是的中点，求：的长及的面积94.如图，在平行四边形中，于点，延长至点使，连接，（1）求证：四边形是矩形；（2）若，求的长95.在中，动点从点出发，沿着运动，速度为每秒个单位，到达点时运动停止，设运动时间为秒，请解答下列问题：（1）求上的高；（2）当为何值时，为等腰三角形 96.已知：正方形的边长为，点为的中点，点在边上，画出，猜想的度数并写出计算过程97.如图，在四边形中，求的度数98.如图，正方形中，为上一动点，过

19、点作交边于点（1）求证：；（2）用等式表示，之间的数量关系，并证明；（3）点从点出发，沿方向移动，若移动的路径长为，则的中点移动的路径长为（直接写出答案）99.数学活动课上，老师提出这样一个问题：如果，连接，那么、之间会有怎样的等量关系呢经过思考后，部分同学进行了如下的交流：小蕾：我将图形进行了特殊化，让点在延长线上（如图 1），得到了一个猜想：小东：我假设点在的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转后得到，并且可推出，分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法这时老师对同学们说，请大家完成以下问题：（1）如图 2，点在的内部，；用等式表示

20、、之间的数量关系，并证明（2）对于点的其他位置，是否始终具有（2）中的结论若是，请证明；若不是，请举例说明100.阅读：如图，在中，求的长小明的思路：如图，作于点，在的延长线上取点，使得，连接，易得为等腰三角形由和，易得为等腰三角形依据已知条件可得和的长解决下列问题：（1）图中，；（2）在中，、的对边分别为、如图，当时，用含、的式子表示；（要求写解答过程）当时，可得答案第一部分 1.C2.C3.C4.C5.B6.B7.D8.C【解析】根据勾股定理得，故9.A10.C11.B【解析】（），不是勾股数，因为；（），不是勾股数，因为；（），不是勾股数，因为，不是正整数；（），是勾股数，因为，且，是正

21、整数；（），是勾股数，因为，且，是正整数12.D13.C【解析】提示：如图14.C15.B【解析】由，得，设，则16.A17.A18.A19.A20.D21.A22.C【解析】设，由折叠的性质可得，根据中点的定义可得在中，根据勾股定理可得关于的方程：，解得23.C24.A25.D26.D27.D【解析】提示：当点在线段上时，过点作当点与点重合时，值最小当点在线段上时，28.A【解析】提示：利用勾股定理可知是等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形斜边的高线等于斜边的一半即可求出29.B30.A【解析】将，延长交于点，连接，是等边三角形四边形是平行四边形，第二部分31.32.直角33.34.【解析

22、】如图，一条直角边（即枯木的高）长尺，另一条直角边长（尺），因此葛藤长为尺35.36.，37.38.39.【解析】提示：菱形的周长为，.又，可求得.由题知40.41.42.，43.44.45.，直角 46.47.米 48.【解析】延长和交于点.，.，.，.，.，.，.49.，【解析】当为的中点时，为的中点，当，为上不同的点时，过作，垂足为，则有，根据勾股定理，得，又，50.或【解析】提示：为等边三角形为等边三角形51.三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形对应角相等，【解析】提示：由角平分线的性质得点到和边的距离相等.又，.52.【解析】过作于点在中，则，为等边三角形在中，又，又，53.或【

23、解析】当为直角三角形时，有两种情况：当时，点、共线，如图所示连接在中，沿折叠，使点落在点处，.当为直角三角形时，只能得到，点、共线，即沿折叠，使点落在对角线上的点处.，设，则，.在中，解得，；当时，如图所示此时为正方形，综上所述，的长为或54.55.米，米或米，米或米，米【解析】如图，当底边米时，作垂足为.，.，如图当时，（i）当为钝角时，作，垂足为.，（ii）当为锐角时，作，垂足为.，综上：这个等腰三角形绿地的另两边的长分别为米，米或米，米或米，米56.57.【解析】在中，.即又于，于，四边形是矩形.是的中点，因为的最小值即为直角三角形斜边上的高，即.的最小值是58.或【解析】当时，.当时，

24、.59.60.第三部分 61.，即，故，同理=62.（1）四边形是平行四边形，中，中，（2）【解析】63.（1）如图 1，、，画一个即可（2）如图 2，、，画一个即可64.连接，过点作，垂足为则为等边三角形，在中，设，根据勾股定理，得，解得，65.（1）连接，是等边三角形，在中，是直角三角形，（2）66.连接，67.（1）如图即为所求（画出一个即可）（2）如图即为所求（画出一个即可）（3）68.（1）因为，所以是等腰三角形因为是中点，所以，因为，所以因为，所以四边形是平行四边形又因为，所以四边形是矩形（2）在中，所以因为于，所以，解得69.，即，故，同理，70.（1）设，（2），是等边三角形，

25、过作，垂足为，71.，是直角三角形，又四边形是平行四边形，四边形是菱形72.分别延长，交于点在中，73.在中，是直角三角形，答：阴影部分的面积是74.（1）如图 3，三角形即为所求（2）如图 4，平行四边形即为所求75.根据题意，设，边的长度分别是，则；为最大边，最大，又，三边长都是整数，又三边长互不相等，其他两边分别为，是直角三角形，即的度数是76.（1）边的中点（2）点的位置没有发生变化证明：过作于点，过作于点.，；即点是边的中点（3），之间的数量关系为证明：延长到点使，连接点是边的中点，又，77.连接，是等边三角形，则，78.（1）（2）补全图形，如图所示，想法：如图，在和中，为等腰直角

26、三角形，（3）79.（1）如图即为所求；（2）不是（3）80.（1）；（2）设点坐标为，由题意可知：解得：或当时，点的坐标为，点与点的“比例距离”为；当时，点的坐标为，点与点的“比例距离”为设直线与轴交于点，与轴交于点，直线与交于点，此时点与点的“比例距离”最小的半径为，点在上，由勾股定理得：设点的坐标为，解得或经检验，当时，点与点的“比例距离”有最小值81.（1）由题意，沿折叠得到，过点作交于点，则四边形为矩形，中，（2）【解析】由勾股定理得，点在处时，所以；点在处时，82.（1）在菱形中，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形（2）在菱形中，在矩形中，在中，83.（1）是等腰三角形（2）为边

27、上的中线，在中，（或写成），为直角三角形，为直角边，又垂直并平分，即是以，为腰的等腰三角形84.四边形为菱形，四边形为矩形，为等边三角形，中，85.和互相垂直理由：过点作，分别交于点，因为，所以，所以四边形，四边形都是平行四边形所以，所以在中，所以所以为直角三角形，且，即，因为，所以86.（1）补全图形，如图（2）四边形是正方形，于点，（3）证明：在上截取，连接，四边形是正方形，（已证），87.（1）如图（2）88.（1）【解析】与是共顶点的等边三角形，.，即.（2）不变，由（1）可证：，（3）（或）【解析】，.，三点在同一条直线上，.，.在中，即.，.89.（1）和都是等边三角形，在和中，（

28、2）如图，取的中点，连接，是等边三角形，（3）如图，连接，和都是等边三角形，在和中，90.【解析】延长交于点，延长交于点设，在中，91.（1）如图所示，即为所求（2）等腰直角三角形理由如下，为等腰直角三角形92.，四边形为平行四边形，是的中点，四边形的周长为93.延长至使得，连接在与中，在中，而，即，；在中，；94.（1），即在平行四边形中，且，且四边形是平行四边形，平行四边形是矩形（2）平行四边形是矩形，95.（1）过点作于点，如图，即为直角三角形，（2）当时，秒；当时，过点作于点，如图，秒，当时，秒综上所述，96.所画如图所示的度数为如图，连接，作于点正方形的边长为，点为的中点，点在边上，

29、在中，在，中，同理有，在和中，有设，则整理，得解得，即，97.连接，在中，所以，所以所以因为，所以在中，所以是直角三角形，即因为，所以98.（1）过点作于点，于点四边形是正方形，四边形是正方形，（2）延长交于点四边形是正方形，是等腰直角三角形由勾股定理得，同理由得，是等腰直角三角形由勾股定理得，四边形为矩形，（3）【解析】当点在点处时，点与点重合，的中点即为点，则的中点移动的路径长为的长；连接，如图所示：由正方形的对称性得：，由（）得：是等腰直角三角形，由（）得：，是的中点，是的中点，.99.（1）；证明：作，且使，连接、，在四边形 ABCP 中，是等边三角形在中，（2）点在其他位置时，不是始终具有中猜想的结论，举例：如图，当点在的延长线上时，结论为（说明：答案不惟一）100.（1）；【解析】在中根据勾股定理即可求出（2）作交延长线于点，在延长线上取点，使得，连接为的中垂线，在中，在中，【解析】作交延长线于点，在延长线上取点，使得，连接，在上取点，连接，使，在上截取一点使设，由可知，在中，在中，由已知易证：，设，在中，在中，在中，综上可得：