函数对称性、周期性和奇偶性规律总结.pdf

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1、函数对称性、周期性和奇偶性函数对称性、周期性和奇偶性关岭民中数学组关岭民中数学组(一)、同一函数的函数的奇偶性与对称性：（奇偶性是一种特殊的对称性）1、奇偶性:（1）奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式f(x)f(x)0（2）偶函数关于 y（即 x=0）轴对称，偶函数有关系式f(x)f(x)2、奇偶性的拓展:同一函数的对称性（1）函数的轴对称：函数y f(x)关于x a对称f(a x)f(a x)f(a x)f(a x)也可以写成f(x)f(2a x)或f(x)f(2a x)若 写 成：f(a x)f(b x)，则 函 数y f(x)关 于 直 线x(a x)(b x)a b对称22证 明

2、：设 点(x1,y1)在y f(x)上，通 过f(x)f(2a x)可 知，y1 f(x1)f(2a x1)，即点(2a x1,y1)也在y f(x)上，而点(x1,y1)与点(2a x1,y1)关于 x=a 对称。得证。说明：关于x a对称要求横坐标之和为2a，纵坐标相等。(a x1,y1)与(a x1,y1)关于x a对称，函数y f(x)关于x a对称f(a x)f(a x)(x1,y1)与(2a x1,y1)关于x a对称，函数y f(x)关于x a对称f(x)f(2a x)(x1,y1)与(2a x1,y1)关于x a对称，函数y f(x)关于x a对称f(x)f(2a x)（2）函

3、数的点对称：函数y f(x)关于点(a,b)对称f(a x)f(a x)2b上述关系也可以写成 f(2a x)f(x)2b或f(2a x)f(x)2b若写成：f(a x)f(b x)c，函数y f(x)关于点(a b c,)对称22证明：设点(x1,y1)在y f(x)上，即y1 f(x1)，通过f(2a x)f(x)2b可知，f(2a x1)f(x1)2b，所以f(2a x1)2b f(x1)2b y1，所以点(2a x1,2b y1)也在y f(x)上，而点(2a x1,2b y1)与(x1,y1)关于(a,b)对称得证。说 明:关 于 点(a,b)对 称 要 求 横 坐 标 之 和 为2

4、a,纵 坐 标 之 和 为2b,如(a x)与（a x)之和为2a。（3）函数y f(x)关于点y b对称:假设函数关于y b对称，即关于任一个x值，都有两个y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y b对称。但在 曲线 c(x,y)=0，则 有可能 会出 现关于y b对称，比如圆c(x,y)x2 y2 4 0它会关于 y=0 对称。（4）复合函数的奇偶性的性质定理：性质 1、复数函数 yfg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)。复合函数 yfg(x)为奇函数，则 fg(x)fg(x)。性质 2、复合函数 yf(xa)为偶函数，则 f(xa)f(xa)；复合函数 yf(

5、xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)。性质 3、复合函数 yf(xa)为偶函数，则 yf(x)关于直线 xa 轴对称。复合函数 yf(xa)为奇函数，则 yf(x)关于点(a,0)中心对称。总结：总结：x x 的系数一个为的系数一个为 1 1，一个为，一个为1 1，相加除以，相加除以 2 2，可得对称轴方程，可得对称轴方程总结：总结：x x 的系数一个为的系数一个为 1 1，一个为，一个为1 1，f(x)f(x)整理成两边，其中一个的系数是为整理成两边，其中一个的系数是为 1 1，另一个为另一个为1 1，存在对称中心。，存在对称中心。总结：总结：x x 的系数同为为的系数同为为 1 1，具

6、有周期性。，具有周期性。(二)、两个函数的图象对称性1、y f(x)与y f(x)关于 X 轴对称。证明：设y f(x)上任一点 为(x1,y1)则y1 f(x1)，所以y f(x)经过点(x1,y1)(x1,y1)与(x1,y1)关于 X 轴对称，y1 f(x1)与y f(x)关于 X 轴对称.注：换种说法：y f(x)与y g(x)f(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于y 0对称。2、y f(x)与y f(x)关于 Y 轴对称。证明：设y f(x)上任一点为(x1,y1)则y1 f(x1)，所以y f(x)经过点(x1,y1)(x1,y1)与(x1,y1)关于 Y 轴对称，y f(x)

7、与y f(x)关于 Y 轴对称。注：因为(x1,y1)代入y f(x)得y1 f(x1)f(x1)所以y f(x)经过点(x1,y1)换种说法：y f(x)与y g(x)f(x)若满足f(x)g(x)，即它们关于x 0对称。g(x)f(x)f(x)3、y f(x)与y f(2a x)关于直线x a对称。证明：设y f(x)上任一点为(x1,y1)则y1 f(x1)，所以y f(2a x)经过点(2a x1,y1)(x1,y1)与(2a x1,y1)关于x a轴对称，y f(x)与y f(2a x)关于直线x a对称。注：换种说法：y f(x)与y g(x)f(2a x)若满足f(x)g(2a

8、x)，即它们关于x a对称。4、y f(x)与y 2a f(x)关于直线y a对称。证明：设y f(x)上任一点为(x1,y1)则y1 f(x1)，所以y 2a f(x)经过点(x1,2a y1)(x1,y1)与(x1,2a y1)关于y a轴对称，y f(x)与y 2a f(x)关于直线y a对称.注：换种说法：y f(x)与y g(x)2a f(x)若满足f(x)g(x)2a，即它们关于y a对称。5、y f(x)与y 2b f(2a x)关于点(a,b)对称。证明：设y f(x)上任一点为(x1,y1)则y1 f(x1)，所以y 2b f(2a x)经过点(2a x1,2b y1)(x1

9、,y1)与(2a x1,2b y1)关于点(a,b)对称，y f(x)与y 2b f(2a x)关于点(a,b)对称.注：换种说法：y f(x)与y g(x)2b f(2a x)若满足f(x)g(2a x)2b，即它们关于点(a,b)对称。g(2a x)2b f(2a(2a x)2b f(x)6、y f(a x)与y f(xb)关于直线x a b对称。2证明：设y f(x)上任一点为(x1,y1)则y1 f(x1)，所以y f(a x)经过点(a x1,y1),y f(b x)经过点(b x1,y1),(a x1,y1)与(b x1,y1)关于直线x a b对称，2a b对称。2y f(a x

10、)与y f(xb)关于直线x 三、总规律：定义在上的函数y y f f x x，在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。一、同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)(一)、函数的周期性：对于函数y f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有f(x T)f(x)都成立，那么就把函数y f(x)叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。1、周期性：（1）函数y f(x)满足如下关系式，则f(x)的周期为2TA、f(x T)f(x)B、f(x T)C

11、、f(x 11或f(x T)f(x)f(x)T1 f(x)T1 f(x)或f(x)（等式右边加负号亦成立）21 f(x)21 f(x)D、其他情形（2）函数y f(x)满足f(a x)f(a x)且f(b x)f(b x)，则可推出f(x)f(2a x)fb (2a x b)fb(2a x b)fx 2(b a)即可以得到y f(x)的周期为 2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于 x轴两条直线对称，则函数一定是周期函数”（3）如果奇函数满足f(x T)f(x)则可以推出其周期是 2T，且可以推出对称轴为x T 2kT(k z)，根据f(x)f(x 2T)可以找出其对称中心为2

12、(kT，0)(k z)（以上T 0）如果偶函数满足f(x T)f(x)则亦可以推出周期是 2T，且可以推出对称中心为(T 2kT,0)(k z)，根 据f(x)f(x 2T)可 以 推 出 对 称 轴 为2x T 2kT(k z)（以上T 0）（4）如果奇函数y f(x)满足f(T x)f(T x)（T 0），则函数y f(x)是以 4T 为周期的周期性函数。如果偶函数y f(x)满足f(T x)f(T x)（T 0），则函数y f(x)是以 2T 为周期的周期性函数。定理 1：若函数f f x x 在 R 上满足f f(a a x x)f f a a x x，且f f(b b x x)f f

13、 b b x x（其中a a b b），则函数y y f f x x 以2 2 a a b b 为周期.定理 2：若函数f f x x 在 R 上满足f f(a a x x)f f a a x x，且f f(b b x x)f f b b x x（其中a a b b），则函数y y f f x x 以2 2 a a b b 为周期.定理 3：若函数f f x x 在 R 上满足f f(a a x x)f f a a x x，且f f(b b x x)f f b b x x（其中a a b b），则函数y y f f x x 以4 4 a a b b 为周期.定理 4：若函数 f(x)的图像关于

14、直线 x=a 和 x=b 都对称，则 f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理 5：若函数 f(x)的图像关于点（a,c）和(b,c)都成中心对称，则 f(x)是周期函数，2（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理 6：若函数 f(x)关于点（a,c）和 x=b 都对称，则 f(x)是周期，4（b-a）是它的一个周期（未必是最小正周期）。定理 7：若函数 f(x)满足 f(x-a)=f(x+a)(a0),则 f(x)是周期函数，2a 是它的一个周期。定理8：若函数f(x)满足f(x+a)=f(x)(a0)(或f(x+a)=11或f(x+a)=)f(x)f(x)则 f(x)周期函数，2a 是它的一个周期。定理 9：若函数f(x a)1 f(x)(f(x)1,a 0),则 f(x)是周期函数，4a 是1 f(x)它的一个周期。若 f(x)满足f(x a)1 f(x)1 f(x)(f(x)1,a 0),则 f(x)是周期函数，的一个周期。2a 是它