八年级数学寒假专题18 因式分解华东师大版.doc

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1、初二数学寒假专题因式分解华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容： 寒假专题因式分解二. 重点、难点： 1. 重点： （1）因式分解的意义； （2）因式分解的一般步骤. 2. 难点： （1）因式分解与整式乘法的联系与区别； （2）灵活运用因式分解的方法解答实际问题.三. 知识梳理： 1. 因式分解的意义： 把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式因式分解可见，因式分解与整式乘法是正好相反的过程 例如：下列因式分解中，结果正确的是. A. B. C. D. 来源:学.科.网 2. 因式分解的两种基本方法： （1）提公因式法：如abac=a （bc）。 （2）运用公式法：如，运用平方差

2、公式； ，运用完全平方公式。 “先看有无公因式，再看能否用公式”。这个思想要贯穿于我们解题的始终，不管是难题还是易题，填空题还是大题，这样更有利于形成能力.因式分解要彻底，也就是分解到不能再分解为止。 例如：分解因式：x5x3. 3. 公因式的意义： 多项式的各项中都含有的相同的因式，叫公因式，如abacad中，各项中都含有因式a，故a叫公因式。 4. 公因式的确定： （1）在提公因式时，若各项系数都是整数，所提公因式是各项系数的最大公约数与各项均含有的字母的最低次幂的积。 （2）如果多项式的首项是负数，则公因式符号取“”，这样可使括号内的第一项系数为正数，但要注意，在提出“”号时，多项式的各

3、项都要变号。 5. 运用平方差公式分解因式的特点： （1）应是二项式。 （2）二项式的每项（不含符号）都是一个单项式（或多项式）的平方。来源:学科网ZXXK （3）二项是异号。 凡具备上述特点的式子，可以用平方差公式分解因式。如。 6. 运用完全平方公式分解因式的特点： （1）应是三项式。 （2）其中两项同号，且各为一个整式的平方。 （3）还有一项可“”可“”，且它是前两项幂的底数的乘积的2倍。 凡具备上述特点的式子，可以用完全平方公式分解因式，如。【典型例题】 例1. 把2a34a22a分解因式。 分析：多项式首项为负时，常提出这个负号，使首项为正，所提的公因式与某项相同时，这项提出公因式后

4、为1。一般来说，一个多项式有多少项，提出公因式后，仍然有多少项.此题避免出现2a34a22a=2a（a22a）这样的错误。 解：2a34a22a=2a（a22a1）=2a（a1）2来源:Z.xx.k.Com 例2. 分解因式：25（ab）29（ab）2来源:学科网ZXXK 分析：运用整体的思想，还应将因式分解彻底。 解：25（ab）29（ab）2 =5（ab）23（ab）2 =5（ab）3（ab）5（ab）3（ab）来源:学科网 =（2a8b）（8a2b） =4（a4b）（4ab） 例3. 分解因式5（xy）310（yx）2 分析：观察（xy）3与（yx）2的底数互为相反数，只需要将其中的一个

5、通过恒等变形，使它们的指数变得一致就可以了。 理解变形：（xy）3=（yx）3=（yx）3 （xy）2=（yx）2=（yx）2 更进一步的认识到：（xy）2n+1=（yx）2n+1=（yx）2n+1； （xy）2n=（yx）2n=（yx）2n； 用语言表述这个规律，当一个式子的指数是偶数时，其底数变为它的相反数后，其值不变；当一个式子的指数是奇数时，底数变为它的相反数后，这个式子本身的前面添上负号。这里以变指数是偶数项最为简便。 解：5（xy）310（yx）2 =5（xy）310（xy）2 =5（xy）2（xy2）. 例4. 利用因式分解计算： （1）；（2）； （3）； （4）。 分析：在运

6、用因式分解进行简便运算时，只要数值的特点符合公式的特点，一定要结合公式进行简化运算.有时需要对数据变形后再用公式进行简便运算。 解：（1）解： =499100 =49900 （2）.来源:学+科+网Z+X+X+K （3） =2000 （4） = =（10099）（10099）（9897）（9897）（21）（21） =1009998974321 =5050来源:Z_xx_k.Com 例5. 试说明：是25的倍数。 分析：要说明其是25的倍数，只要能化简到有一个因数是25就行了。 解： 所以，式子是25的倍数。 例6. 已知，求的值来源:Zxxk.Com 分析：将看成一个整体对所求式进行化简 解

7、： 由于 则 例7. 已知二次三项式2x2-9x+k分解因式后有一个因式是x-3，试求k的值及另一个因式。 分析：原式是二次三项式，分解后有一个因式是x-3，则另一个因式的一次项定是2x，可设另一个因式的常数项，再根据因式分解与整式乘法的关系求得常数及k的值，这种方法也叫待定系数法。 解：设2x2-9x+k=（x-3）（2x+a）=2x2+ax-6x-3a=2x2+（a-6）x-3a. 由对应项系数相等得：a-6=-9，所以a=-3 所以k=-3a=-3（-3）=9 例8. 阅读下列解题过程： 等式a2-4ab+5b2-2b+1=0可变形为（a2-4ab+4b2）+（b2-2b+1）=0 再变

8、形为（a-2b）2+（b-1）2=0 所以a=2，b=1 根据上述过程完成下题： 已知x2+6xy+10y22y+1=0.求x、y的值 分析：这是一道阅读理解题，根据阅读获得解题方法，再解答类似的问题。 解：x2+6xy+10y22y+1=0可变形为：（x2+6xy+9y2）+（y22y+1）=0 再变形为：（x+3y）2+（y-1）2=0 所以：x=-3，y=1 例9. 阅读下列计算过程并解答： 9999+199=992+299+1=（99+1）2=1002=104 （1）999999+1999= = = = ； 99999999+19999= = = = ； （2）猜想：+等于多少?写出计

9、算过程。 分析：从解题过程中发现规律，依次类推，得到结果 解：（1）9992+2999+1，（999+1）2，10002，106；99992+29999+1，（9999+1）2，108； （2）1020（过程略，由同学们自己写出来） 例10. 计算多项式的乘法时，有这样一个结果： （xp）（xq）=x2mxn 则m=（p+q），n=pq 这说明如果一个二次三项式的常数项分成pq，而pq恰好是系数，那么这个x2mxn二次三项式就可以分解成x2mxn=（xp）（xq），通过上面的方法，分解下列二次三项式： x25x6=_； x25x6=_；x25x6=_；x25x6=_；x2x6=_；x2x6=_

10、；x27x6=_；x27x6=_。 分析：这是对二次项的系数为1的特殊的二次三项式分解因式的一种方法的总结，即因式分解后，两个一次式的常数项的和与积与原二次三项式的一次项系数与常数项之间的关系，注意体会本例题，在今后的学习中很有用。来源:学科网ZXXK 解：（x+2）（x+3）；（x2）（x3）；（x6）（x1）；（x1）（x6）；（x3）（x+2）；（x3）（x2）；（x6）（x1）；（x6）（x1）。 *拓展：根据对本例的解答，你能将多项式：（x22x）27（x22x）8分解因式吗? 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一. 选择题： 1. 多项式 3a2b3c-4a5b2+6a3bc2的公

11、因式为（ ） A. a2bcB. 12 a5b3c2 C. 12a2bcD. a2b 2. 若x2+2（m-3）x+16是完全平方式，则m的值等于（ ） A. -5B. 3C. 7D. 7或-1 3. 化简：得（ ） A. B. -C. D. 4. （-2）2005+（-2）2006的结果为（ ） A. -22005B. 22005C. 2D. 22006二. 填空题： 5. 任写一个三项式，使它们各项之间的公因式为-2ab2，这个三项式为：_。 6. 已知 x3-3x+k 有一个因式是（x-7），则k=_。 7. 若m-1+=0，则m=_，n=_，此时将mx2-ny2 分解因式得mx2-ny

12、2=_。 8. 已知a+b=5，ab=3，则代数式a3b-2a2b2+ab3=_。 9. 若非零实数a、b满足4a2+b2=4ab，则=_。 三. 解答题（16题12分、17题8分，18、19题各10分，共40分） 10. 分解因式： （3m2n）2（m4n）2； 9（2p+3q）2（2pq）2； 11. 分解因式10a（xy）25b（yx）。来源:Z|xx|k.Com 12. （1）利用分解因式解方程：（55x+35）（53x+26）-（55x+35）（53x+27）=0。 （2）计算：。 13. （1）拼一拼，画一画：请你用4个长为a，宽为b的拼成一个大正方形，并且正中间留下一个洞，矩形这

13、个洞恰好是一个小正方形。 （2）用不同方法计算中间的小正方形的面积，你能发现什么？ （3）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，它的面积就多39cm2，求小正方形的边长。来源:学#科#网【试题答案】一. 选择题： 1. D2. D3. D4. B二. 填空题： 5. （答案不惟一） 6. -28来源:学科网 7. 1，25，（x+5y）（x-5y） 8. 39 9. 2 三. 解答题： 10. （3m2n）2（m4n）2 =（4m2n）（2m6n） =4（2mn）（m3n）； 9（2p+3q）2（2pq）2 =3（2p3q）（2pq）3（2p3q）（2pq） =（4p10q）（8p8q） =16（2p5q）（pq）。 11. 10a（xy）25b（yx）=5（xy）（2ax2ayb）。 12. （1）x=-。（2）； 13. （1）略 （2）（a+b）2-（a-b）2=4ab （3）5