2023年用几何画板辅助初中数学教学研究.docx

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1、2023年用几何画板辅助初中数学教学研究 目录 摘 要 .2 1引言 .3 2几何画板辅助初中数学教学 .4 2.1应用几何画板解决初中数学的平面几何问题 .4 2.2为学生验证问题搭建技术平台，使几何画板成为“数学实验室” .9 2.3应用几何画板解决初中数学的函数问题 .13 3结论 .16 4结束语 .17 参考文献 .18 致谢 .19 用几何画板辅助初中数学教学研究 数学系本0703班 臧宏文 指导教师：曹萧 摘 要: 20世纪以来，随着信息技术的迅猛发展，数学教育教学方式的改革也在快速的，推进对数学教学改革中充分应用多媒体教学，尤其是如何更快更有效地利用“几何画板”有着重要的现实意

2、义。利用建构主义的学习理论，根据教学内容,应用几何画板创设新奇的学习情境,可以极大地激发与调动学生的学习积极性，提高课堂教学效率。进一步探索新课标下中学数学课堂教学新理念、新方法和新思路。利用几何画板实现初中数学中相关知识点的教学辅助设计，如图形的对称，旋转，平移，三角形的全等、相似等等。并结合课堂教学实际，设计相应的教学案例，以此分析、总结和探索中学数学教学的新理念、新方法和新思路。 关键词: 初中几何，几何画板，直观动态性，案例。 1引言 在数学的学习过程中，大多数同学说数学科目比较难，那么数学到底难在哪，我认为难在其抽象。数学有些知识太抽象，使学生只记住一些理论、符号、公式，学生不能把概

3、念转换为图形语言，不能从图形中理解抽象的概念，而且对具体事实及事物的本质特征没有完全感知，使感性与理性脱节，学习也就望而却步。 传统教学模式下，教师要利用三角板、直尺等教学工具用粉笔在黑板上做出很多有关教学内容的具有代表性的图形，并结合学生生活的具体实际，借助日常生活中学生熟知的经验知识，对典型图形进行分析、描述，引导学生认真观察、辨认，启发学生比较、联想。这样的教学虽然对学生认识图形、理解概念、奠定学习几何的形态式语言基础、建立起图形与概念之间的本质联系、深化对概念的认识有着重要的作用。但是这样的教学手段难以进行“动态处理”，学生难以形成良好的运动观，在这些内容中，应该充分利用计算机技术，将

4、数形结合起来，使动点的运动过程活生生的展现在学生面前，使学生从观察动点的变化过程中发现规律。这就需要一个辅助初中数学得教学软件，而几何画板中的动画、追踪轨迹等功能就恰好填补了探索动态运动规律的空白，为教学提供了有效的手段。 几何画板新颖生动、感染力强，是一种模拟性、启发性的直观教学手段，由于它不但容易激发学生的学习兴趣，诱发学生的学习动机，而且可以打破时间、空间上的限制，能够让学生清楚地看到事物发展的全过程，化静为动、化繁为简、化虚为实，使枯燥的知识趣味化，抽象的语言形象化，深奥的道理具体化，有利于学生加深对知识的理解、巩固和记忆。因此，它对全面提高学生能力，培养学生素质，有着不可估量的作用。

5、综上,研究几何画板在中学数学教学中的应用已是十分迫切与必要的。它还适用于平面几何教学和学习,也可以用于代数、立体几何、解析几何等的教学和学习中。 几何画板(The Geometers Sketchpad)软件是由美国的优秀教育软件, 它是由 Nicholas Jackiw 设计，Nicholas Jackiw 和 Scott Steketee 程序实现，Steven Rasmuen 领导的 Key Curriculum 出版社出版。它的全名是几何画板21 世纪的动态几何。几何画板是全国中小学计算机教育研究中心在 CAI（Computer Aistant Instruction）中推广使用的软件

6、之一。几何画 3 板是一个能够构建数学模型、揭示数学规律、直观反映数学变化、动态保持形数关系的软件。它以点、线、圆为基本元素,通过对这些基本元素的变换、构造、测算、计算、动画、跟踪轨迹等, 显示或构造出千变万化的图形。为教师和学生提供了直观、方便、快捷、准确的图形表现工具; 使学生在图形的运动和变化的过程中,观察、归纳出图形的数量关系和图形性质。具体来说,几何画板提供了画点、画线、画圆的工具, 如通过画线工具可画出线段、射线、直线, 通过画圆工具可画出正圆；通过“作图”菜单提供的画平行线、垂线、以圆心和圆周上的点画圆等命令可准确作图。所有这些作图都能够体现数学概念表达的准确性,因而可以绘制所有

7、尺规作图,演绎欧式几何。它提供的旋转、平移、缩放、反射等图形变换功能,可以按指定值、计算值或动态值对图形进行变换,进而可以研究某些非欧几何问题。使用“度量”和“图表”菜单你可以在直角坐标系和极坐标系中测定图形的特征,包括测量线段长度、斜率,测量角的度数以及多边形、圆、弓形、扇形的面积,提供直线和圆的方程等功能,还能对测出的值进行运算（四则运算、幂函数、三角函数等）,因此,许多定量问题可在几何画板中进行研究。在教学中,了解学生思路和对概念的掌握程度是相当重要的一个环节,利用几何画板的“记录”功能是了解学生几何作图思路的重要工具,而且利用“记录”还可创造出新的绘图工具以扩充其功能。 2几何画板辅助

8、初中数学教学 几何画板进入课堂改变了教学内容的呈现方式，改变了教师的教法与学生的学法，使数学教学过程发生了重大变化新的教学模式出现，教育观念在不断更新，数学课堂教学改革进入了一个新的阶段。而且几何画板在抽象的问题上发挥着巨大的作用，几何画板的动态性和直观性，可有效的解决几何教学、函数教学当中较为抽象和复杂的问题，下面就应用几何画板辅助初中数学教学谈谈自己的几点感受： 2.1应用几何画板解决初中数学的平面几何问题 平面几何是研究平面图形的形状、大小和位置关系的一门数学学科。它的精髓在于在不断变化的几何图形中,研究不变的几何规律。由于几何内在规律的复杂性及其受尺规作图手段的限制,传统的教学往往是直

9、接将规律给予学生,然后 4 给出演绎的证明,最多对一些浅显且易于演示的几何规律给出一些图形解释。这样使得几何规律及其证明过程存在着不透明性,忽略了从感性认识到理性认识的过程，至使教师教起来枯燥，学生学起来乏味，并且学生受心理年龄的限制，缺乏足够的抽象思维能力、一定的生活经验、学习的耐心和良好的学习习惯，这些因素也将导致他们畏惧几何的学习。因此,几何教学是中学数学教学的一个难点,难就难在学生看不到知识的形成过程, 学生的学习处于被动状态。几何画板提供一目了然的教学意图、教学步骤及操作方法，可以在很大程度上弥补这一缺陷，激发学生的兴趣，突出重点，分散难点，提高教学效果。那么我们来看几个重要的案例：

10、 案例1 在教学三角形的中位线时，用几何画板做如下图所示： AAD E=54.40 AB C=54.40 AE D=58.31 AC B=58.31 DE =2.86 厘米BC =5.72 厘米DE 作ABC，取AB的中点D、AC的中点E，连联结D、E；接着测算出DE，BC，ADE，AED，ABC，ACB等，甚至把ACB，AB，AC也测量出来（干扰观察），这些数据都动态地展现在屏幕上然后让学生观察：你发现了什么？学生的任何发现，利用几何画板，只要拖动点A（或B，或C），就可立即验证其正确如何这为激发学生的学习兴趣，培养他们的观察力，想象力，归纳等诸能力，创设了极好的“情景”，增强了教学的自主性

11、、学生的参与性。 再如在三角形的中位线教学中，对四边形各边中点所围成的四边形是特殊的四边形，且与原四边形对角线的有一定关系这一问题的理解，内容比较多，可用几何画板软件制作如图所示的动画演示效果（如图）： BC 5 DEA运动点矩形菱形正方形等腰梯AC垂直BDAC垂直相BD等BFH GC 学生对四边形ABCD的变化过程中四边形EFGH的特征能直观感受到，并且加深了印象，而这个效果与教师简单把结论教给学生或不断画图来说明都是不可比较的。 案例2 等腰三角形是初中几何的一个重点内容，这部分有很多定理教材在处理方法上引入了较多的动手操作和直观感知，通过折纸、观察、归纳等方法很直观地得出等腰三角形的有关

12、性质和识别。但是由于学生在制作等腰三角形的模型时，存在一定的误差，导致结论不是很准确。而且学生所制作的模型带有一定的局限性，无法更好地解释这种结论的一般性。应用几何画板就可以模拟这些折叠、翻转的动画效果，而且可以达到很准确的效果。然后还可以通过拖动等腰三角形的顶点任意改变它的形状和大小，直观地说明结论的正确性，从而也便于论证结论的一般性。 具体过程如下： （1）等腰ABC纸片中，AB=AC，（图1-1）将AB与AC重合在一起折叠，（图1-2）观察两部分会完全重合等腰三角形是轴对称图形，折痕AD是对称轴，B与C重合，BD与CD重合ABC=ACB，即等边对等角。（图1-3）通过引导学生对折痕AD的

13、分析，也就能很容易得出“三线合一”的性质用这种直接的方式得出结论，就可以避免烦琐的推理过程，而且也让学生更容易记住结论。 （2）在画ABC，使ABC=ACB，D为BC中点，连结AD，（图1-4）沿AD为折痕对折，观察两部分会完全重合AB与AC会完全重合，ABC是等腰三角形，即等角对等边。（图1-5） （3）拖动等腰ABC的顶点A，改变三角形的形状，得到不同形状的符合条件的三角形，然后重复上述的步骤（1）和步骤（2），也得到同样的结论。让学生掌握以上结论的一般性， AAB = 4.74厘米CA = 4.74厘米AB = 4.74厘米ACA = 4.74厘米BD图1-1CBE折叠三角形图1-2C

14、ACA = 4.74厘米AB = 4.74厘米ABC = 45.11结论1.BD=CD2.ABC = 49.65ACB = 49.65BC折叠三角形图1-3DB折叠三角形图1-4DCAACB = 45.11D为BC中点 AABC = 45.11ACB = 45.11结论AB=ACBC折叠三角形图1-5D 案例3 讲三角形内角和定理，以前都是用剪纸、拼接和度量的方法让学生直观感受，但由于实际操作起来都有误差，很难达到理想的效果。现在利用“几 何画板”随意画一个三角形，度量出它的三个内角并求和（图1-1图1-2），然后拖动三角形的顶点任意改变三角形的形状和大小（图1-3的钝角三角形和图1-4直角三

15、角形），发现：无论怎么变，三个内角的和总是180度。这无疑大大激发起学生进一步探究“为什么”的欲望。 ABC = 56.02AACB = 51.05BAC = 72.93ABC = 56.02AACB = 51.05BAC = 72.93B图1-1CBABC+ACB+BAC = 180.00图1-2C ABAC = 90.00ABC = 44.78ACB = 45.22AABC = 109.36BAC = 41.28ACB = 29.36BABC+BAC+ACB = 180.00图1-3CBABC+BAC+ACB = 180.00图1-4C 案例 4在学习三角形的三条角平分线（三条中线、三条高

16、或高的延长线、三边的垂直平分线）相交于一点时，传统教学方式都是让学生作图、观察、得出结论，但每个学生在作图中总会出现种种误差，导致三条线没有相交于一点，即使交于一点了，也会心存疑惑：是否是个别现象？使得学生很难领会数学内容的本质。但利用信息技术就不同了，我们可以在几何画板里只要画出一个三角形（图1-1），用菜单命令画出相应的三条角平分线，就能观察到三线交于一点的事实（图1-2），然后任意拖动三角形的顶点，改变三角形的形状和大小，发现三线交于一点的事实总是不会改变的（图1-3）。特别是像高这样有特征情况的线，还可以通过拖动得出交点的三个不同位置。（图1-4，图1-5，图1-6，） OB画任意三角

17、形图1-1CB画三个内角平分线且交与一点O图1-2C EHFBEC = 90.00AFB = 90.00AGB = 90.00OB任意拖动角平分线仍交于O点图1-3CBG三条高交点在内部图1-4C AACB = 90.00ADC = 90.00ADC = 90.00DAMAMC = 90.00ANB = 90.00BEA = 90.00BHCNB三条高交点在顶点图1-5CE三条高交点在外部图1-6H 2.2为学生验证问题搭建技术平台，使几何画板成为“数学实验室” 在解决数学问题中，由于问题本身的抽象性和推理的复杂性，花费了很多时间都未能把问题证明出来，此时，产生对问题的疑义并对问题真实性进行验

18、证是一种极为可能并欲想去做的事。验证一方面可以缓解心理紧张和心理焦虑，变换思维角度，对问题进行再认识；另一方面可以调节心理平衡，重塑解题信心。学生在通过实验验证得出问题是真实的时，将会激发起信心，增强解决问题的动力。从而，有效地克服推理过程中产生的心理障碍。使用几何画板进行数学试验 教学，巧妙地将传统的基础知识教学与几何画板教学软件的特色有机结合，使几何画板教学软件成为学生自主使用的认知、探究手段和解决问题的工具，构建学生自主学习、发现性学习、创造性学习、探究性学习和研究性学习的教学环境，提高了学生自主获取信息，加工处理及应用信息的能力，分析和解决问题能力，交流与合作的能力；整合中使我们的教师

19、、学生，学习伙伴能进行多元化的信息交互，从而达成互动教学，转变传统的教与学的方式。例如： 案例1 如学生证明：“三角形中，如果有两个角的平分线相等，则这个三角形是等腰三角形。”的问题时，由于该题目的证明思路很不容易被找到，学生尝试用多种方法思考证不出来时，提出了“老师，你让我们证明的题目是正确的吗？”这样的问题来。我提示学生用几何画板对题目进行验证。 AAB =5.87 厘米CA =5.87 厘米EFCE =6.10 厘米BF =6.10 厘米 BC 学生做出了图形，并测量了有关的线段的长度，当通过拖动如图所示的M、N两点，在找准使AM与BN相等的点时，学生得到AC与BC的值总是相等的。于是，

20、在验证了结论是正确的这样一种良好心理支撑下，学生兴奋的告诉说：“老师，题目的结论是正确的，我要再试试如何证明。” 案例2 利用几何画板可以为教师培养学生探究性地建构知识提供环境，为学生进行猜想提供技术平台，从而让学生在探索中学习，在探究中自主地建构知识，提出猜想的结论，实现创新。 如学习了“相交弦定理”后，教师可以这样提出问题，启发学生去进行探索：“如图所示， ADPAABBCCDPCDP 根据相交弦定理，我们知道PA*PBPC*PD，那么，如果P点在o外，PA*PBPC*PD这个结论还成立吗？特别地如果P点在过A、B、C、D中某一点的切线上时，结论又怎样”? 此问题的探索大致可以按下述四个步

21、骤进行： 1、测量PA、PB、PC、PD的值，并计算PA?PB，PC?PD； 2、用鼠标将P点从圆内拖到圆外； 3、观察PA?PB，PC?PD的值的变化情况，仔细查看当P点在圆外变动时变化了的PA?PB，PC?PD的值是否相等。 4、得到结论。 对于切线位置，可以过某一点（如C点）作圆的一条切线（CM），在该切线上任取一点H（H点最好不与C点重合），然而，用选择工具选择P点按住Shift键后再选H点，使两点都被选中，用鼠标选择【编辑】下的【操作类按钮】下的【移动】命令，为从P点移动到H点设置一个运动按钮，当双击按钮时，P会从它的当前位置移动到H点，并使P、H两点重合通过观察PA?PB，PC?P

22、D的值，可确立两者的值的关系，得到结论。 案例3 “勾股定理”是初中平面几何中的一个定理。如下图是用几何画板验证勾股定理的设计实例： 勾股定理的演示a2+b=c色块复位a2cc2abb2c 它的设计步骤如下： 1、作一个直角三角形,画一条线段AB。过B点作直线垂直于 线段AB，在直线上任取一点C。连接AC。 2、分别以AB边，BC边向三角形内作正方形，AC边向外作正方形，过E作AF的垂线EP，隐藏直线，见（a )图。 3、任取一点B1，分别使点B1按标记向量B-A，B-C平移，得到点A1 ，C1。连接A 1、B 1、C1。以三边为边作三个正方形。见（b）图 AA1cBCB1EPFD(a)(b)

23、abC1 4、作五个小色块，用来填充（a）图上对应的块 作对应APE的色块：另画一点P，将P分别按向量PE和向量PA平移动，得到两点E、A，作这三点的内部 同样作其余四个色块 5、作“色块复位”按钮，依次选择色块上的点和（b）图上两个小正方形大的对应点作移动按钮，标签为“色块复位” 6、作另一 色块移动按钮，依次选择色块上的点和（a）图上大正方形的对应点作移动按钮，标签为“a2+b2=c2” 7、隐藏点，只留A点 2.3应用几何画板解决初中数学的函数问题 几何画板可以解决学生难以绘制的图形，而且提供了图形“变换”的动感，丰富多彩的“动画”模型，给学生一种耳目一新的视觉感受，使学生从画面中去寻求

24、到问题解决的方法和依据，并从画面中去认清问题的本质。在引入几何画板之后，给解决函数问题创造了一条便捷的通道，它可以测量各种数值以及进行各种函数运算，在图形的变化过程中，数量变化特征也可以直观地展现在学生眼前，“以形助数”，“用数解形”，这在传统教学中无法办到。几何画板中的动画、追踪轨迹等功能就恰好填补了探索动点运动规律的空白，为轨迹教学提供了有效的手段。那么我们来看几个案例： 案例1 选取底数a(a0且a1)的若干个不同的值，在同一个坐标系内做出相应的指数函数的图像，观察图像，你能发现它们有哪些共同特征？ 利用几何画板的作图功能，根据学生选取的底数a做出相应的指数函数的图像，随着多个函数图像的

25、显示，学生已慢慢地感觉到底数a对函数性态的影响。这时，教师慢慢地拖动点a，改变a的取值，屏幕上便出现了一个个底数不同的指数函数的图像，经纬分明，学生深深地被画面所吸引，已不自觉地投入到函数性质的探索中。从画面的变化规律中，学生预测到函数性质，接着我指导学生分组讨论，探索函数性质的规律，顺利地突破教学难点，突出教学重点。 S1：当底数a取不同的值时，所有的图像都过定点（0，1）。 S2：所有的图像都位于x轴的上方。 T：这说明了怎样的一个数学事实？ S2:（思考后）指数函数的值域为（0，）。 S3：黑色区域的图像对应的函数的底数a1，函数在R上是增函数；同样可看出当0时，函数在R上是减函数。 S

26、4：从图像上可以看出当a1时，随着a的增大，函数的图像无限地趋向于x轴、y轴；当0时，随着a的增大，函数的图像无限地趋向于x轴、y轴。 S5：从画面上看，在第一象限，当a1时，函数的图像位于红线（y=1）上方；当0时，函数的图像位于红线（y=1）下方。 T：这又说明了什么？ S6：这说明当a1时，若x0则y1；当0时，若x0则0。当x S7：当两个指数函数的底数为互为倒数时，它们的图像关于y轴对称。 案例2 对“一次函数y=kx+b（k0）的性质”的学习，如果学生不清楚y=kx+b（k0）在k0或k 又如，在三角函数 y=Asin(wx+j) 的图像教学中，往往就参数的几个特殊的取值，做出几个

27、函数的图像（如A=1， A=2）就开始归纳参数A的几何意义，不能令人信服，学生的印象不深，教学效果不理想。而“几何画板”能够及时计算出因参数变化而引起的函数值的变化，从而展示所引起的图像形状的变化，形象、直观，教学效果好。在同一个图像上，不仅可以改变A的值，而且也可以改 变的值，您只需要轻轻拖动点A或就可以了（如下图）。 案例3 在讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)或y=a(x+h)2+k(a0)中，二次函数图像与常量a、b、c、h、k之间的关系时可作以下设计： 1.在演示画面中，实时显示抛物线的顶点坐标、与y轴的交点坐标和对称轴。 2.拖动有向线段a，改变a的取值观察抛物线开口方向及大

28、小 3.归纳：当a0时，开口向上，开口大小随a的增大而变小；当a 5.拖动有向线段h、k，改变h、k的取值观察得抛物线随h、k的变化而左右平移或上下平移顶点坐标是(h、k),也就是(-b/2a，(4ac-b2)/4a)从而归纳出抛物线的顶点坐标与对称轴和h、k的关系，并将实验观察所得结论，进行推理论证 案例4 函数y=2x的图像与y=2x的图像有什么关系？可否利用y=2x的图像画出y=2x的图像？ 几何画板强大的画图功能，集表格、图像、动画为一体，资源整合，操作简易，交互性强，并能结合学生个体的实际情况，给每个学生一个合理的期望。在同一坐标系中，利用两个表格进行描点、绘制、画出函数y=2x的图

29、像与y=2x的图像，两个图像的对称性关系非常明显。这时，老师在y=2x的图像上任取一点M，并作它关于y轴的对称点N，拖到点M时会看到点N始终在y=2x的图像的上运动。通过试验演示验证，改变传统用黑板画图的不准确性， 改善学习环境，提高准确画图意识。当然，在利用计算机辅助画图教学时，有必要给出一定的时间来训练学生纸笔画图的能力。 3结论 当今，数学自身发生了巨大的变化，特别是与计算机的结合，使得数学在研究领域、研究方式和应用范围等方面得到了空前的拓展。因此，要重视现代教育技术手段在教学中的创造性应用搞好计算机辅助数学教学，特别要选取一个适合辅助初中数学的教学软件，把数学学习变成一个生动活拨的、主

30、动的和富有个性的课程。 4结束语 总之，随着现代科学技术的发展，计算机已进入各个教育领域，多媒体、网络等现代信息技术的快速发展对现代教育产生了极大的影响，有力地推动了计算机辅助教学的深化和发展。计算机在教育领域的应用，使得教育的价值、目标、内容以及学习和教学的方式产生重大的变革。数学作为一门基础学科，在中学教育过程中的作用是显而易见的。数学课程要重视运用现代技术手段,特别是要充分应用多媒体辅助教学方式,将传统的教学媒体与现代教学媒体有机地结合起来，把现代多媒体作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,使学生从大量繁杂、重复的运算中解放出来,将更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。而几何画

31、板以其学习入门容易和操作简单的优点及其强大的图形和图象功能、方便的动画功能被国内许多数学教师看好，并已成为制作中学数学课件的主要创作平台之一。它在数学教学中具有传统教学方法无法比拟的巨大优势，是新课程改革中数学教学不可缺少的辅助工具。 参考文献： 1陶维林.几何画板开展中学数学CAI实验的好软件J .1999, 6(4) : 12-50 . 2缪亮、朱俊杰等.几何画板辅助数学教学M .清华大学出版社, 2023.3陶维林.几何画板新版特色与实用技巧M .清华大学出版社, 2023 .4陶维林.几何画板实用范例教程M .清华大学出版社, 2000 . 5张保祥.几何画板在数学教学中的应用J .安

32、庆师范学院学报（自然科学版）2023, 5,(11) : 78-98 . 6王新敞.“几何画板”给教育带来了什么J .信息技术教育2023, 3, (6) : 123-142 . 7王竹.几何画板软件在中学教学中的应用J .太原教育学院学报, 2023, 3(4) : 45-69 . 8 刘胜利 .几何画板制作教程M .第二版:北京科教出社.2023: 25- 27、182-199. 9 张景斌.中学数学教学教程M .第二版:北京科学出版社.2000: 37-49.10 朱德祥、朱维宗.初等几何研究M .第二版:北京高等教育出版社.2023: 31-35 . 11杨斌.几何画板在立体几何教学中

33、的运用J .中学数学教学, 2023年,第5期:40-41.12李中华.浅谈几何画板与数学学科教学的整和J .辽宁教育,2023年第9期. 致谢 时光如梭，短暂而有意义的四年大学生活即将结束，此时看着毕业论文摆在面前，我感慨万千。它不仅承载了我二年来的学习收获，更让我学会了如何求学、如何进行科学研究甚至如何做人。回想起二年的学习生活，有太多的人给我以帮助与鼓励，教导与交流。在此我将对我的恩师们，还有所有的同学们表示我的谢意！ 首先，衷心感谢我的曹萧老师对我的悉心教诲和指导！在跟随曹老师的这段时间里，我不仅跟曹老师学到了许多专业知识，同时也学习到了他严谨求实、一丝不苟的治学态度和踏踏实实、孜孜不倦的工作精神，它将使我受益终生。在此我对曹老师的教育和培养表示衷心的感谢！ 同时我还还要感谢学校领导和数学系的师生对我日常生活的关心和帮助，思想上的激励和启发，以及为我提供了良好的学习环境。谢谢你们！ 用几何画板辅助初中数学教学研究 几何画板优化初中数学教学研究 几何画板优化初中数学教学实践研究 运用几何画板辅助初中数学教学的实践及案例 几何画板辅助教学之我见 几何画板在初中数学教学中应用 几何画板与数学教学 利用几何画板辅助教学的体会 几何画板辅助数学教学中的问题谈谈几点思考 用几何画板进行数学研究性学习的