高等数学格林公式及其应用.ppt

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1、 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用110.3 格林公式及其应用格林公式及其应用 小结小结 思考题思考题 作业作业格林格林(Green)(Green)公式公式平面上曲线积分与路径无关的平面上曲线积分与路径无关的条件条件全微分方程全微分方程格林格林 Green.G.(17931841)英国数学家、物理学家英国数学家、物理学家第第1010章章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用21.区域连通性的分类区域连通性的分类 设设D为平面区域为平面区域,复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域一、格林公式一、格林公式否则称为否则称为则称则称D为平面为平面

2、复连通区域复连通区域.成的部分都属于成的部分都属于D,如果如果D内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围单连通区域单连通区域,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用3定理定理10.4(10.4(格林公式格林公式)设设闭区域闭区域D由分段光滑由分段光滑的曲线的曲线L围成围成,函数函数P(x,y)及及Q(x,y)在在D上具有上具有连续偏导数连续偏导数,则有则有2.格林公式格林公式其中其中L是是 D的取的取正向正向的边界曲线的边界曲线.一阶一阶 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用4当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,(1)P、Q在闭区域在闭区域D上具有一阶连续偏导上具有一阶连续偏导;(2)

3、曲线曲线L是封闭的是封闭的,并且取正向并且取正向.注注规定规定 边界曲线边界曲线L的的正向正向.区域区域D总在他的总在他的左边左边.格林公式格林公式 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用5(1)先对简单区域证明先对简单区域证明:证明证明若区域若区域D既是既是又是又是即平行于坐标轴的直线即平行于坐标轴的直线和和L至多交于两点至多交于两点.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用6同理可证同理可证化为二次积分化为二次积分化化为为第第二二类类曲曲线线积积分分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用7(2)再对一般区域证明再对一般区域证明:若区域若区域D由按段光滑由按段光滑(如图如图)将将

4、D分成三个既是分成三个既是又是又是的区域的区域的闭曲线围成的闭曲线围成.积分区域的可加性积分区域的可加性积分区域的可加性积分区域的可加性 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用8(L1,L2,L3对对D来说为正方向来说为正方向)10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用9(3)对复连通区域证明对复连通区域证明:若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线所围成所围成.格林公式格林公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域D的的全部边界全部边界域域D来说都是正向来说都是正向.对复连通区域对复连通区域D,(L1,L2,L3对对D来说为正方向来说为

5、正方向)10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用10(3)对复连通区域证明对复连通区域证明:由由(2)知知若区域不止由一条闭曲线若区域不止由一条闭曲线添加直线段添加直线段则则D的边界曲线由的边界曲线由及及构成构成.所围成所围成.GFCEAB(L1,L2,L3对对D来说为正方向来说为正方向)对复连通区域对复连通区域D,格林公式格林公式且边界的方向对区且边界的方向对区的曲线积分的曲线积分,右端应包括沿区域右端应包括沿区域D的的全部边界全部边界域域D来说都是正向来说都是正向.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用11 便于记忆形式便于记忆形式:格林公式的实质格林公式的实质之间的联系之间的联系.

6、沟通了沿闭曲线的积分与沟通了沿闭曲线的积分与二重积分二重积分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用12(1)计算平面的面积计算平面的面积3.简单应用简单应用格林公式格林公式得得闭区域闭区域D的的面积面积 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用13 例例 求椭圆求椭圆解解由公式由公式得得D所围成的面积所围成的面积.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用14对对平面闭曲线平面闭曲线上的对坐标曲线积分上的对坐标曲线积分,比较简单时比较简单时,常常考虑通过常常考虑通过格林格林公式公式化为化为二重积分二重积分来计算来计算.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用15计算计算L是圆周是圆周

7、:如把如把圆周写成参数方程圆周写成参数方程:再将线积分化为定积分计算再将线积分化为定积分计算,用用格林公式格林公式易求易求.分析分析则过程较麻烦则过程较麻烦.解解由格林公式由格林公式(2)简化曲线积分的计算简化曲线积分的计算例例 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用16.其中其中L为圆周为圆周解解由由格林公式格林公式有有对称性对称性的的正向正向.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用17解解由格林公式由格林公式 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用18例例 计算计算 分析分析但由但由可知可知非常简单非常简单.其中其中AO是从点是从点A(a,0)到到点点O(0,0)的上半圆周的上

8、半圆周此积分路径此积分路径不是闭曲线不是闭曲线!10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用19为应用为应用格林公式格林公式再补充一段曲线再补充一段曲线,因在补充的曲线上还要算曲线积分因在补充的曲线上还要算曲线积分,补充的曲线要简单补充的曲线要简单,使之构成使之构成闭曲线闭曲线.所以所以因而这里补加直线段因而这里补加直线段直线段直线段.通常是补充与坐标轴平行的通常是补充与坐标轴平行的 L不闭合不闭合+边边L,使使L+L闭合闭合,再用再用格林公式格林公式.由由格林公式格林公式 解解的方程为的方程为故故所以所以,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用20则曲线积分则曲线积分设设L为正向圆周为正向

9、圆周在第一象限中的部分在第一象限中的部分,的值为的值为().解解 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用21(3)二重积分化为线积分计算二重积分化为线积分计算则则解解 令令例例为顶点的为顶点的格林公式格林公式三角形闭区域三角形闭区域.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用22解解记记L所围成的闭区域为所围成的闭区域为D,其中其中L为一条无重点为一条无重点,分段光滑且分段光滑且不经过原点不经过原点的连续闭曲线的连续闭曲线,L的方向为的方向为例例令令有有逆时针方向逆时针方向.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用23即即L为为不包围原点不包围原点的任一闭曲线的任一闭曲线.即即L为为包围

10、原点包围原点在内的任一在内的任一闭曲线闭曲线.由格林公式由格林公式应用由应用由格林公式格林公式,得得作位于作位于D内圆周内圆周P、Q在闭区域在闭区域D上具有一阶连续偏导上具有一阶连续偏导;曲线曲线L是封闭的是封闭的,并且取正向并且取正向.记记D1由由L和和l所围成所围成,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用24所以所以其中其中l 的方向取的方向取逆时针方向逆时针方向注意格林公式的条件注意格林公式的条件对复连通区域对复连通区域D,格林公式右端应包括沿格林公式右端应包括沿且边界的方向且边界的方向区域区域D的的全部边界全部边界的曲线积分的曲线积分,对区域对区域D来说都是正向来说都是正向.10.

11、3 格林公式及其应用格林公式及其应用25解解记记L与与l 围成的闭区域为围成的闭区域为D1.设设L为圆周为圆周在在L内部作有向椭圆内部作有向椭圆l:顺时针方向顺时针方向.例例l的方向为的方向为而而格林公式格林公式法一法一 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用26所以所以法二法二D2是由是由l 所围区域所围区域格林公式格林公式 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用31B如果在区域如果在区域G内有内有二、平面上曲线积分与路径无关二、平面上曲线积分与路径无关的条件的条件AL1L21.平面上曲线积分与路径无关的定义平面上曲线积分与路径无关的定义否则与路径有关否则与路径有关.则称曲线积分则称

12、曲线积分在在G内内与路径无关与路径无关,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用322.平面曲线积分与路径无关的条件平面曲线积分与路径无关的条件定理定理10.510.5的各分量在区域的各分量在区域D上有上有一阶一阶连续偏导数连续偏导数,则以下三个则以下三个(1)对对D中任意分段光滑的中任意分段光滑的闭闭曲线曲线L,总有总有(2)曲线积分曲线积分在在D内与内与(3)在在D内是某个二元内是某个二元函数的全微分函数的全微分,即存在即存在u(x,y),使得使得路径无关路径无关;设向量函数设向量函数命题命题等价等价：10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用33证证 定理中的三个条件互为定理中的三个条

13、件互为充要条件充要条件.证明方式证明方式在在D内与路径无关内与路径无关.ABL1L2如图如图,在在(1)的条件下的条件下于是于是,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用34由条件由条件(2)只需证只需证由偏导定义由偏导定义在在D内与路径无关内与路径无关设设A(x0,y0),B(x,y)是是D内任意两点内任意两点,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用35于是于是,积分中值定理积分中值定理P连续连续同理可证同理可证所以所以,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用36不妨设封闭曲线不妨设封闭曲线其参数方程为其参数方程为都对应都对应A点点,则则易证易证原函数原函数.ACBA是光滑的是光滑

14、的,化为定积分化为定积分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用37推论推论10.1(10.1(曲线积分的基本定理曲线积分的基本定理)积分积分区域区域G内的一个向量场内的一个向量场,设向量函数设向量函数续续,是平面是平面P(x,y)及及Q(x,y)都在都在G内连内连且存在一个数量函数且存在一个数量函数f(x,y),使得使得则曲线则曲线在在G内与路径无关内与路径无关,且且其中其中L为位于区域为位于区域G内起点为内起点为A、终点为、终点为B的任意分的任意分分段光滑曲线分段光滑曲线.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用38定理定理10.610.6下两个命题下两个命题等价等价：(1)曲线积分

15、曲线积分在在D内与内与(2)在在D内恒成立内恒成立.路径无关路径无关;的各分量在的各分量在单连通单连通区域区域D上有上有一阶一阶连续偏导数连续偏导数,设向量函数设向量函数则以则以证证在在D内任取一条内任取一条闭闭曲线曲线C,都有都有格林公式格林公式闭闭曲线曲线C所包围的区域所包围的区域G完全位于完全位于D内内,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用39的连续性的连续性,在在D内恒内恒可以得到可以得到成立成立.在在D内任取一条内任取一条闭闭曲线曲线C,单连通的单连通的,因为因为D是是闭闭曲线曲线C所包围的区域所包围的区域G完全位于完全位于D内内,格林公式格林公式所以所以,曲线积分与路径无关曲

16、线积分与路径无关.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用40例例 计算曲线积分计算曲线积分其中其中L是是的一段有向弧的一段有向弧.解解曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.上述定理的简单应用：上述定理的简单应用：(1)简化曲线积分简化曲线积分 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用41曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.所以所以可以用有向折线可以用有向折线代替有向弧代替有向弧L.如图如图.于是于是,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用42解解原式原式=曲线积分与路径无关曲线积分与路径无关.例例 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用43考虑表达式考虑表达式如果存在一个函数如

17、果存在一个函数使得使得则称则称并将并将全微分式全微分式,为一为一原函数原函数.的原函数的原函数.定理的简单应用：定理的简单应用：10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用44 由由例例可知可知:都是都是分别是上面的分别是上面的原函数原函数.全微分式全微分式.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用45 下面说明一般怎样下面说明一般怎样判断全微分式判断全微分式求原函数求原函数由定理由定理,是一个是一个全微分式全微分式,即即(1)判断全微分式判断全微分式 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用46D(x0,y)或或则则(2)求原函数求原函数 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用47例例

18、用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,解解 在全平面成立在全平面成立所以上式是所以上式是全微分式全微分式.因而一个原函数是：因而一个原函数是：全平面为单连通域全平面为单连通域,法一法一(x,y)10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用48这个原函数也可用下法这个原函数也可用下法“分组分组”凑出凑出:法二法二 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用49因为函数因为函数u满足满足故故从而从而所以所以,问问 是否为全微分式是否为全微分式?用曲线积分求其一个原函数用曲线积分求其一个原函数.如是如是,由此得由此得y的待定函数的待定函数法三法三 10.3 格林公式及其应用格林公

19、式及其应用50解解积分与路径无关积分与路径无关设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,即即 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用51(1,0)设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用52法二法二设曲线积分设曲线积分与路径无关与路径无关,具有连续的导数具有连续的导数,10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用53内具有一阶连续导数内具有一阶连续导数,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,为为(a,b),终点为终点为(c,d).记记(1)证明证明曲线积

20、分曲线积分I 与路径与路径L无关无关;(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.证证因为因为所以在上半平面内所以在上半平面内曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关.(1)例例其起点其起点 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用54解解(2)由于由于曲线积分曲线积分I 与路径与路径L无关无关,L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).所以所以(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法一法一 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用55解解(2)L是上半平面是上半平面(y 0)内的有向分段光滑曲线内的有向分

21、段光滑曲线,起点起点(a,b),终点终点(c,d).(2)当当ab=cd 时时,求求I 的值的值.法二法二设设F(x)为为f(x)的一个原函数的一个原函数,则则由此得由此得 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用56例例 求解求解 有的微分方程可以由多元函数全微分的逆运有的微分方程可以由多元函数全微分的逆运(是可分离是可分离、解解 将方程写成将方程写成因为左端是全微分式因为左端是全微分式所以方程变成所以方程变成得通解得通解三、全微分方程三、全微分方程又是齐次方程又是齐次方程)算解出算解出.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用571.定义定义则则若有全微分形式若有全微分形式如如全微分方

22、程全微分方程或恰当方程或恰当方程是全微分方程是全微分方程.所以所以全微分方程全微分方程 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用582.解法解法(1)应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关;通解为通解为(2)用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法;全微分方程全微分方程(3)用不定积分的用不定积分的方法方法.D(x0,y)因为因为 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用59解解例例将方程整理得将方程整理得全微分方程全微分方程因为因为(1)用曲线积分与路径无关用曲线积分与路径无关 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用60(2)凑微分法凑微分法原方程的通解为原方程的通解为 10.

23、3 格林公式及其应用格林公式及其应用61(3)不定积分不定积分法法原方程的通解为原方程的通解为因为因为所以所以所以所以所以所以 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用62解解全微分方程全微分方程将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为例例 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用63格林公式格林公式四四、小结、小结单单(复复)连通区域的概念连通区域的概念 格林公式的应用格林公式的应用格林公式的实质格林公式的实质的联系的联系.沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间注意使用条件注意使用条件 与路径无关的等价命题与路径无关的等价命题 10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用64思考题思考题是非题是非题解解 因为因为故曲线积分与路径无关故曲线积分与路径无关.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用65非非 因为在因为在定理定理10.610.6中中,要求所考虑区域要求所考虑区域G是是且函数且函数P(x,y),Q(x,y)及其偏导数在及其偏导数在G上上对本题来说对本题来说,当且仅当当且仅当导数连续导数连续,上述解法中点上述解法中点(0,0)在直线在直线从而从而单连通的单连通的,连续连续,P、Q及其偏及其偏不满足不满足定理定理10.610.6的条件的条件.10.3 格林公式及其应用格林公式及其应用66作作 业业习题册习题册完全掌握课后题