高等数学(下)无穷级数.ppt

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1、无穷级数 无穷级数无穷级数数项级数数项级数幂级数幂级数傅氏级数（数一）傅氏级数（数一）第十一章常数项级数的概念和性质 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 第一节 第十一章 一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念 引例引例 用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积 A.设 a0 表示即内接正三角形面积,ak 表示边数增加时增加的面积,则圆内接正定义定义：给定一个数列将各项依即称上式为无穷级数，其中第 n 项叫做级数的一般项,级数的前 n 项和称为级数的部分和部分和.

2、次相加,简记为当级数收敛时,称差值为级数的余项余项.则称无穷级数发散发散.显然收敛收敛,则称无穷级数并称 S 为级数的和和,记作例例1.讨论等比级数 (又称几何级数)(q 称为公比)的敛散性.解解:1)若从而因此级数收敛,从而则部分和因此级数发散.其和为2).若因此级数发散;因此n 为奇数n 为偶数从而综合 1)、2)可知,时,等比级数收敛;时,等比级数发散.则级数成为不存在,因此级数发散.例例2.判别下列级数的敛散性:解解:(1)所以级数(1)发散;技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和(2)所以级数(2)收敛,其和为 1.技巧技巧:利用“拆项相消拆项相消”求和二、无穷级数的基本性质二、无穷

3、级数的基本性质 性质性质1.若级数收敛于 S,则各项乘以常数 c 所得级数也收敛,说明说明:级数各项乘以非零常数后其敛散性不变.即其和为 c S.性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为说明说明:(2)若两级数中一个收敛一个发散,则必发散.但若二级数都发散,不一定发散.例如例如,(1)性质2 表明收敛级数可逐项相加或减.性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项有限项,不会影响级数的敛散性.性质性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论推论:若加括弧后的级数发散,则原级数必发散.注意注意:收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但发散.例如，三、级数收敛的必要条件三、级数收敛

4、的必要条件 性质5、设收敛级数则必有可见:若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.例如例如,其一般项为不趋于0,因此这个级数发散.注意注意:并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数虽然但此级数发散.事实上事实上,假设调和级数收敛于 S,则但矛盾!所以假设不真.二、交错级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 第二节第二节一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法常数项级数的审敛法 第十一章 一、正项级数及其审敛法一、正项级数及其审敛法若定理定理 1.正项级数收敛部分和序列有界.则称为正项级数.定理定理

5、2(比较审敛法比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数 k 0),例例1.讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性.解解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切证明级数发散.证证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例例2.2.定理定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=设两正项级数满足(1)

6、当 0 l 时,是两个正项级数正项级数,(1)当 时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数(2)当 且 收敛时,(3)当 且 发散时,也收敛;也发散.的敛散性.例例3.判别级数的敛散性.解解:根据比较审敛法的极限形式知例例4.判别级数解解:根据比较审敛法的极限形式知定理定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛;或时,级数发散.说明说明:当时,级数可能收敛也可能发散.例如例如,p 级数但级数收敛;级数发散.例例5.讨论级数的敛散性.解解:根据定理4可知:级数收敛;级数发散;例例6.讨论级数的敛散性.定理定理5.根值审敛法(

7、Cauchy判别法)设 为正项级则数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 说明说明:但级数收敛;级数发散.例例7.讨论级数的敛散性.例例8.讨论级数的敛散性.二二、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数交错级数.定理定理6.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数收敛,且其和 其余项满足收敛收敛用Leibnitz 判别法判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛收敛三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛 定义定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,则称原级收敛,数为条

8、件收敛.均为绝对收敛.例如例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.定理定理7.绝对收敛的级数一定收敛.说明：上述逆定理不一定成立。即发散发散例例9.证明下列级数绝对收敛:证证:(1)而收敛,收敛因此绝对收敛.(2)令因此收敛,绝对收敛.内容小结内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限3.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛例1、（06，一，三）若则级数（）A、B、C、D、例2、（05，三）设若则下列结论正确的是（）A、B

9、、C、D、第三节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算 幂级数 第十一章 一、一、函数项级数的概念函数项级数的概念设为定义在区间 I 上的函数项级数函数项级数.对若常数项级数敛点敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域收敛域;若常数项级数为定义在区间 I 上的函数,称收敛,发散,所有为其收收 为其发散点发散点,发散点的全体称为其发散域发散域.为级数的和函数和函数,并写成若用令余项则在收敛域上有表示函数项级数前 n 项的和,即在收敛域上,函数项级数的和是 x 的函数 称它例如例如,等比级数它的收敛域是它的发散域是或写作又如又

10、如,级数级数发散;所以级数的收敛域仅为有和函数 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如的函数项级数称为幂级数幂级数,其中数列下面着重讨论例如,幂级数为幂级数的系数系数.即是此种情形.的情形,即称 发 散发 散收 敛收敛 发散定理定理 1.(Abel定理定理)若幂级数则对满足不等式的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之,若当的一切 x,该幂级数也发散.时该幂级数发散,则对满足不等式幂级数在(,+)收敛;由Abel 定理可以看出,中心的区间.用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为则R=0 时,幂级数仅在 x=0 收敛;R=时,幂级数在(R,R)收敛;(R,R)加上收敛的端点称为

11、收敛域收敛域.R 称为收敛半径收敛半径，在R,R 可能收敛也可能发散.外发散;在(R,R)称为收敛区间收敛区间.发 散发 散收 敛收敛 发散定理定理2.若的系数满足1)当 0 时,2)当 0 时,3)当 时,则 的收敛半径为说明说明:据此定理对端点 x=1,的收敛半径及收敛域.解解:对端点 x=1,级数为交错级数收敛;级数为发散.故收敛域为例例1 1.求幂级数 例例2.求下列幂级数的收敛域:解解:(1)所以收敛域为(2)所以级数仅在 x=0 处收敛.规定:0!=1例例3.的收敛半径.解解:级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.时级数收敛时级数发散 故收敛半径为 故直接由例

12、例4.的收敛域.解解:令 级数变为当 t=2 时,级数为此级数发散;当 t=2 时,级数为此级数条件收敛;因此级数的收敛域为故原级数的收敛域为即三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3.设幂级数及的收敛半径分别为令则有:其中说明说明:两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如,设 它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 定理定理4 若幂级数的收敛半径则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同:注注:逐项积分时,运算前后端点处的敛散性不变.例例5.求级数的和函数解解:易求出幂级数的收敛半径为 1,及收敛,因此由和函数的连续

13、性得:而及内容小结内容小结1.求幂级数收敛域的方法1)对标准型幂级数先求收敛半径,再讨论端点的收敛性.2)对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值法或根值法,2.幂级数的性质1)两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与也可通过换元化为标准型再求.乘法运算.2)在收敛区间内幂级数的和函数连续;3)幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.第四节两类问题:在收敛域内和函数求 和展 开本节本节内容内容:一、泰勒一、泰勒(Taylor)级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十一章 一、泰勒一、泰勒(Taylor)级级数数 其中(在 x 与 x0 之间)

14、称为拉格朗日余项拉格朗日余项.则在若函数的某邻域内具有 n+1 阶导数,此式称为 f(x)的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式,该邻域内有:为f(x)的泰勒级数泰勒级数.则称当x0=0 时,泰勒级数又称为麦克劳林级数麦克劳林级数.1)对此级数,它的收敛域是什么？2)在收敛域上,和函数是否为 f(x)?待解决的问题:若函数的某邻域内具有任意阶导数,定理定理1.各阶导数,则 f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f(x)的泰勒公式中的余项满足:设函数 f(x)在点 x0 的某一邻域 内具有定理定理2.若 f(x)能展成 x 的幂级数,则这种展开式是唯一的,且与它的麦克劳林级数相同.二、函数展开成

15、幂级数二、函数展开成幂级数 1.直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知,第一步 求函数及其各阶导数在 x=0 处的值;第二步 写出麦克劳林级数,并求出其收敛半径 R;第三步 判别在收敛区间(R,R)内是否为骤如下:展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0.的函数展开例例1.将函数展开成 x 的幂级数.解解:其收敛半径为 对任何有限数 x,其余项满足故(在0与x 之间)故得级数 当 m=1 时2.间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质,例例4.将函数展开成 x 的幂级数.解解:因为把 x 换成,得将所给函数展开成 幂级数.例例5.将函数展

16、开成 x 的幂级数.解解:从 0 到 x 积分,得定义且连续,区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛例例6.将展成解解:的幂级数.例例7.将展成 x1 的幂级数.解解:(06,一)将展成关于x的幂级数内容小结内容小结1.函数的幂级数展开法(1)直接展开法 利用泰勒公式;(2)间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2.常用函数的幂级数展开式式的函数.当 m=1 时第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十一章

17、 傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动:(谐波函数)(A为振幅,复杂的周期运动:令得函数项级数为角频率,为初相)(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.定理定理 1.组成三角级数的函数系证证:同理可证:正交,上的积分等于 0.即其中任意两个不同的函数之积在上的积分不等于 0.且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数定理定理 2.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,且右端级数可逐项积分,则有叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数;由公式 确定的的傅里里的傅傅里里叶

18、级数叶级数.称为函数以定理定理3(收敛定理收敛定理,展开定理展开定理)设 f(x)是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷(Dirichlet)条件条件:1)在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2)在一个周期内只有有限个极值点,则 f(x)的傅里里叶级数收敛,且有 x 为间断点其中为 f(x)的傅里里叶系数.x 为连续点注意注意:函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.例例1.设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 上的表达式为解解:先求傅里里叶系数将 f(x)展成傅里里叶级数.1)根据收敛定理可知,时,级数收敛于2)傅氏级数的部分和逼近说明说明:f(x)的情况见右图

19、.例例2.上的表达式为将 f(x)展成傅里里叶级数.解解:设 f(x)是周期为 2 的周期函数,它在 说明说明:当时,级数收敛于周期延拓傅里里叶展开上的傅里里叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f(x)的傅氏级数展开的傅氏级数展开法法其它例例3.将函数级数.则解解:将 f(x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x),利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x=0 时,f(0)=0,得说明说明:设已知又三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1.周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4.对周期为 2 的奇函数 f(x),其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f(x),其傅里里叶级

20、数为余弦级数,它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为例例4.设的表达式为 f(x)x,将 f(x)展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在解解:若不计周期为 2 的奇函数,因此n1根据收敛定理可得 f(x)的正弦级数:级数的部分和 n2n3n4逼近 f(x)的情况见右图.n5例例5.将周期函数展成傅里里叶级数,其中E 为正常数.解解:是周期为2 的周期偶函数,因此2.在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数周期延拓 F(x)f(x)在 0,上展成周期延拓 F(x)余弦级数奇延拓偶延拓正弦级数 f(x)在 0,上展成例例6.将函数分别展成正弦级数与余弦级数.解解:先求正弦级数.去掉端点

21、,将 f(x)作奇周期延拓,注意注意:在端点 x=0,级数的和为0,与给定函数因此得 f(x)=x+1 的值不同.再求余弦级数.将则有作偶周期延拓,说明说明:令 x=0 可得即内容小结内容小结1.周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 其中注意注意:若为间断点,则级数收敛于2.周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3.在 0,上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓,展开为正弦级数 作偶周期延拓,展开为余弦级数叶级数展式为则其中系提示提示:利用“偶倍奇零”(93 考研)的傅里 为正弦 级数.推广推广1.周期为2l 的函数的傅里里叶级数展开公式(x 间断点)其中当f(x)为奇 函数时,(偶)(余弦)2.在任意有限区间上函数的傅里里叶展开法变换延拓3.傅里里叶级数的复数形式利用欧拉公式导出